2021版高考數學(人教A版理科)一輪復習攻略核心考點 互斥事件、對立事件的判斷

核心考點?精準研析

.超肉二互斥事件、對立費件的判斷‘囂囂

。題組練透?）

1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數,則下列各對事件是互斥而不是對立

事件的是（）

A.恰有1個是奇數和全是奇數

B.恰有1個是偶數和至少有1個是偶數

C.至少有1個是奇數和全是奇數

D.至少有1個是偶數和全是奇數

2.已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事

件”3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件

產品中至少有1件是次品”，則下列結論正確的是（）

A.F與G互斥

B.E與G互斥但不對立

C.E,F,G任意兩個事件均互斥

D.E與G對立

3.在下列六個事件中，隨機事件的個數為（）

①如果a,b都是實數,那么a+b=b+a;

②從分別標有數字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號簽;

③沒有水分,種子發(fā)芽；

-1-

④某電話總機在60秒內接到至少10次呼叫；

⑤在標準大氣壓下,水的溫度達到50℃時沸騰；

⑥同性電荷,相互排斥.

A.2B.3C.4D.5

4.在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡,從中任取2張,若事件“2張全

是移動卡”的概率是巨，那么概率是乙的事件是（）

1010

A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡

C,都不是移動卡D.至少有一張移動卡

【解析】1.選A.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數，共有三種情況:A=｛兩

個奇數｝,B=｛一個奇數一個偶數｝,C=｛兩個偶數｝，且A,B,C兩兩互斥，所以A：是互

斥事件，但不是對立事件;B：不互斥；C：不互斥；D：是互斥事件，也是對立事件.

2.選D.由題意得事件E與事件F不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G

不可能同時發(fā)生，是互斥事件；當事件F發(fā)生時，事件G一定發(fā)生，所以事件F與

事件G不是互斥事件，故A、C錯.事件E與事件G中必有一個發(fā)生，所以事件E

與事件G對立，所以B錯誤，D正確.

3.選A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是隨機事件.

4.選A.至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”“兩張全是聯通卡”

兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件.

口規(guī)律方海

定判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為

義互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩事件為對立事件,對立

法事件一定是互斥事件

-2-

集

①若A,B滿足AGB=0,則A,B是互斥事件

合

②若A,B滿足尸口8二。，則A,B是對立事件

法=n

?考點二隨機事件的頻率與概率體鉛

【典例】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集

了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如表所示.已知這100位顧客中一次

購物量超過8件的顧客占55%.

一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數/人X3025y10

結算時間/

11.522.53

(分鐘/人)

⑴確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值.

⑵求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

【解題導思】

序號聯想解題

(1)由“超過8件”占55%聯想到“不超過8件”占45%.

(2)拆分為三個事件的和事件

【解析】⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,

所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的

100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,

顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為

1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10,1q，、鐘

100

-3-

(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A,A,A分別表

123

示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間

為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”，將頻率視為概率得

P(A)二七三L,P(A)=王二丄,P(A)

11OO21O0103100J.

因為A=AUAUA,且A,A,A是互斥事件，

123123

所以P(A)=P(AUAUA);P(A)+P(A)+P(A)=2_+±+￡=_L.故一位顧客一次購物

1231232010410

的結算時間不超過2分鐘的概率為

10

口規(guī)律方法

1.求復雜互斥事件概率的2種方法

(1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和.

(2)間接法:先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)=『P(Z)求解.當題目涉及

“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法.

2.求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關鍵點

求解該類問題的關鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計

算出所求隨機事件出現的頻數.

」變式訓練

某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時)與該河上

游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關.

據統(tǒng)計,當X=70時,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值為

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,2

20,140,160.

-4-

(1)完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160200220

頻率142

202020

(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率

視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過

530(萬千瓦時)的概率.

【解析】⑴在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，

為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為

降雨量70110140160200220

頻率134732

202020202020

⑵由已知可得丫更+425,

故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)=P(Y<490或

Y>530)=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)

亠三+二旦

20202010

.考點三互斥事件、對立事件的概率計算‘簽落

-5-

考什么：(1)考查隨機事件的頻率與概率的關系

命

(2)考查互斥事件、對立事件的概念與概率計算問題

題

怎么考:重點考查互斥事件、對立事件的概率計算，多數是以選擇題、

精

填空題或解答題的一個小題的形式考查

解

新趨勢：結合新背景,考查互斥事件、對立事件的概率計算,或者與統(tǒng)計

讀

知識交匯考查隨機事件的概率計算

1.互斥事件、對立事件的概率問題的解決步驟

學

(1)明確區(qū)分互斥事件、對立事件.

霸

(2)應用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.

好

2.交匯問題

方

解決與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算問題時,先用統(tǒng)計知識

法

求頻數,頻率,再求概率.

命題角度1夕互斥事件的概率

【典例】(2019?天津模擬)經統(tǒng)計,在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等

候的人數及相應概率如表:

排隊人數0123425

概率0.10.160.30.30.10.04

則該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有1人排隊的概率是.

【解析】由表格可得至少有1人排隊的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.

答案：0.9

I秒殺絕招間接法：因為該營業(yè)窗口上午9點鐘時,沒有人排隊的概率是0.1,

所以至少有1人排隊的概率是1-0.1=0.9.

-6-

答案：0.9

匸解后反思］|

如何求互斥事件的概率？

把要求概率的事件恰當地拆分為若干個互斥事件的和事件,再用互斥事件的概

率加法公式計算所求概率.

命題角度2,對立事件的概率

【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數據：

日銷售量（件）0123

頻數1685

試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該

商品3件,當天營業(yè)結束后檢查存貨,若發(fā)現存貨少于2件,則當天進貨補充至3

件,否則不進貨，將頻率視為概率.

（1）設每銷售一件該商品獲利1000元，某天銷售該商品獲利情況如表，完成下表,

并求試銷期間日平均獲利錢數；

日獲利（元）0100020003000

頻率

⑵求第二天開始營業(yè)時該商品的件數為3件的概率.

【解析】（1）日獲利分別為0元，1000元,2000元,3000元的頻率分別為

丄，丄,2,丄;試銷期間日平均獲利數為0XJ-+1000X-L+2000X2+3000X1=1850

201049010c；4

元.

-7-

⑵由題意事件“第一天的銷售量為1件”是對立事件，所以P（“第二天開始營

業(yè)時該商品的件數為3件"）=1-P（“第一天的銷售量為1件"）=1-且='.

2010

口解后反思H

如何求對立事件的概率？

恰當地將所求事件的概率轉化為求對立事件的概率.

命題角度3夕互斥事件、對立事件的概率計算問題與統(tǒng)計等交匯

【典例】A地到火車站共有兩條路徑L和L,現隨機抽取100位從A地到火車站

12

的人進行調查，調查結果如下：

所用時間（分鐘）10?2020?3030?4040~5050?60

選擇L

1612181212

的人數

選擇L

2

0416164

的人數

⑴試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；

⑵分別求通過路徑L和L所用時間落在上表中各時間段內的頻率；

12

（3）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡可能在

允許的時間內趕到火車站,試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑.

【解析】（1）由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有

12+12+16+4=44人，

所以用頻率估計相應的概率為0.44.

（2）選擇L的有60人,選擇L的有40人，

12

-8-

故由調查結果得頻率為:

所用時間(分

10~2020?3030~4040?5050~60

鐘)

L的頻率0.10.20.30.20.2

1

L的頻率00.10.40.40.1

2

(3)A,A分別表示甲選擇L和L時，在40分鐘內趕到火車站；

1212

B,B分別表示乙選擇L和L時，在50分鐘內趕到火車站.

1212

由⑵知P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6,

1

P(A)=0.1+0.4=0.5,

2

P(A)>P(A),所以甲應選擇L,

121

P(B)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

1

P(B)=0.1+0.4+0.4=0.9,

2

P(B)>P(B),所以乙應選擇L.

212

口解后反思||

解決與統(tǒng)計知識交匯問題時應該注意什么？

提示：(1)準確讀取題目中的有用信息，正確運用到解題中.

⑵正確理解頻率與概率的關系，會在實際問題中應用它.

<?題組通關?>

變式鞏固?依

1.我國古代有著輝煌的數學研究成果.《周髀算經》《九章算術》《海島算經》

《孫子算經》《緝古算經》等10部專著,有著十分豐富多彩的內容,是了解我國

古代數學的重要文獻.這10部專著中有7部產生于魏晉南北朝時期.某中學擬從

-9-

這10部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容,則所選2部專著

中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為（）

A.—B.—C.-D.1

【解析】選A.設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件A,則

所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時期專著為事件配

所以P（Z）二豆二土，因此P（A）=1-P（m=1-±=￡.

C電1A1AIA

2.（2019?景德鎮(zhèn)模擬）空氣質量指數（AQI）是衡量空氣質量好壞的標準,下表是

我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質量檢測數據中，隨機抽取的40

天的統(tǒng)計結果：

空氣質量指數

國家環(huán)保標準頻數（天）頻率

（AQI）

[0,50]一級（優(yōu)）4

(50,100]二級（良）20

(100,150]三級（輕度污染）8

(150,200]四級（中度污染）4

(200,300]五級（重度污染）3

(300,+8)六級（嚴重污染）1

（1）若以這40天的統(tǒng)計數據來估計,一年中（365天）該市有多少天的空氣質量達

到優(yōu)良？

-10-

（2）若將頻率視為概率,某中學擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運動會，以上

表的數據為依據，問:①這三天空氣質量都達標（空氣質量屬一、二、三級內）的

概率；

②這三天恰好有一天空氣質量不達標（指四、五、六級）的概率.

【解析】設p（i=1、2、3、4、5、6）表示空氣質量達到第i級的概率，則

i

p=0.1,p=0.5,p=0.2,p=0.1,p=—,p.

12345an6an

⑴依題意得365X（p+p）=365X0.6=219（A）.

12

（2）①P|+p+p3=0.8,p=（pi+卩2+卩3）3=0-83=0?512.

②p+p+p=—+—+—=Q.2,

456404040

P=0.2X0.8X0.8+0.8X0.2X0.8+0.8X0.8X0,2=3X0.2X0.