專題02 空間角與距離的計算-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題02空間角與距離的計算異面直線所成的角1．（2023上·新疆·高二校聯考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，取的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據異面直線所成角的向量求法直接求解即可.【詳解】由題意知：，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.2．（2023上·陜西西安·高二?？计谀┤鐖D，長方體中，，，，E、F分別是線段和的中點，則異面直線與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，求出直線與的方向向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角，由此可得異面直線與所成的角.【詳解】因為，以點為原點，以為的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，，所以，設異面直線與所成的角為，則，又，所以，所以異面直線與所成的角是.故選：B.3．（2023上·北京·高二人大附中校考期末）如圖，已知正方形所在平面與正方形所在平面構成的二面角，則異面直線與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題目條件可知，即為平面與平面構成二面角的平面角，將異面直線與所成角的余弦值轉化成直線方向向量夾角余弦值的絕對值即可.【詳解】根據題意可知，即為平面與平面構成二面角的平面角，所以，設正方形邊長為1，異面直線與所成的角為，，，,所以即所以；即，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.4．（2023上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知異面直線和的方向向量分別為，則異面直線和所成角的余弦值為．【答案】【分析】根據異面直線夾角求余弦值的坐標公式，可得答案.【詳解】設異面直線和所成角為，則.故答案為：.5．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，現將沿折成一個四面體，則當四面體的外接球表面積最小時，異面直線與所成角的余弦值是.【答案】【分析】由外接球的性質及外接球表面積最小確定球心在AD中點上，則可由半徑確定C的位置，最后建系由向量法求線線角的余弦值.【詳解】設AD的中點為E，BD的中點為F，∴.∵，∴，，，.四面體的外接球心在過E且垂直于面ABD的直線上，又四面體的外接球表面積最小，即外接球的半徑最小，則當球心為E時，半徑最小.∵，∴，由平面ABD，∴平面ABD，則可建立空間直角坐標系如圖所示，則，，∴異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.6．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）在四棱柱中，底面為平行四邊形，且，.(1)用表示，并求的長；(2)若為中點，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據向量的線性運算法則求解；（2）用表示，計算，由向量法求異面直線所成的角．【詳解】（1），，，，即，解得；（2）由（1）知設異面直線與所成角為，則.直線與平面所成的角7．（2023上·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖所示的多面體，底面為長方形，平面，，則與平面所成角正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】適當建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，并利用，求出點F坐標，最后利用線面角公式求出答案.【詳解】因為平面平面，所以，又為長方形，所以，所以兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系因為，則，，設平面的一個法向量為，由，得，令，即，設，則，又，故.故.設與平面所成角為，于是，.故選：B.8．（2023上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，且，所以以B為原點、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，所以，故．設為平面的一個法向量，則，令，得．設直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．9．（2023上·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據線面角的向量法求解即可.【詳解】因為平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.10．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學?？计谀╅喿x材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意求平面的法向量與直線l的方向向量，利用空間向量求線面夾角.【詳解】因為平面的方程為，所以平面的法向量可取，同理平面的法向量可取，平面的法向量可取，設直線的方向向量，則，令，則，則直線l與平面所成角的正弦值為.故選：A11．（2023上·福建三明·高二三明市第二中學?？计谀┤鐖D所示，在棱長為1的正方體中，P，Q分別是線段，上的點，滿足平面，則與平面所成角的范圍是．【答案】【分析】以為原點，為軸、軸、為軸建立空間直角坐標系，設，且，其中，求得向量和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，求得的范圍，即可求解.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，易得不重合，設，其中，且，所以，所以，，因為平面，所以，可得，所以，，因為平面，所以的一個法向量為，設與平面所成的角為，則，當，可得，因為，所以當，可得，因為，所以，所以與平面所成的角的范圍是為.故答案為：12．（2023上·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿足.

(1)用表示，并求出；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用正四面體幾何性質用表示，進而求得；（2）先求得直線與直線所成角的余弦值，進而得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接并延長交于，則為中點，則，，則

（2）根據題意，平面，因此，直線與平面所成角的正弦值即為直線與直線所成角的余弦值的絕對值.，且故.則直線與平面所成角的正弦值為.面面夾角13．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得，結合空間向量的數量積的定義及運算律可求得，即可得結果.【詳解】設平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.14．（2023上·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合圖形，利用空間向量的坐標運算表示面面夾角的余弦值，即可確定點位置，即可求解.【詳解】以為坐標原點，建系如圖，因為二面角的平面角大小為，所以的軌跡是過點的一條直線，又因為Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），所以的軌跡是過點的一條線段，設以的軌跡與軸的交點坐標為，由題意可得,所以,因為平面，所以平面的一個法向量為,設平面的法向量為，所以令則所以，因為二面角的平面角大小為，所以，解得，所以當在線段BC上時，面積最大，最大值為，所以面積的取值范圍是，故選:D.15．（2023上·廣西欽州·高二浦北中學統(tǒng)考期末）已知向量，分別為平面和平面的法向量，則平面與平面的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據坐標可求出，根據夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量之間的關系即可求出答案.【詳解】解：由已知可得，，，所以.設為平面與平面的夾角，則，又，所以.故選：C.16．（2023上·廣東深圳·高二校考期末）如圖，已知菱形中，邊長為，沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為.【答案】【分析】根據題意建立空間直角坐標系，根據二面角余弦值的空間向量求解方法進行計算即可.【詳解】設菱形的邊長為2，取的中點，連接，，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.如圖，建立空間直角坐標系，則，，，所以，．設平面的一個法向量為，則，令，則，易知，平面的一個法向量為，所以，設二面角為，由圖可知二面角為銳角，即，所以，所以二面角的余弦值為．故答案為：17．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┮阎匦蜛BCD，，沿對角線AC將折起，若二面角的余弦值為，則B與D之間距離為．【答案】【分析】過和分別作，由題意可得、，由二面角的余弦值為，得，再利用可求得結果.【詳解】過和分別作，由，則，由等面積法知：，故，則，即，二面角的余弦值為，即，，，則，即與之間距離為.故答案為：18．（2023上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，且二面角為為45°.(1)求棱AC的長；(2)若D為棱的中點，求平面與平面夾角的正切值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圖及題意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的長；（2）建立以C為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）因平面ABC，平面ABC，則.又，，平面，平面，則平面.又平面，則，故是二面角的平面角，則.又，則.（2）以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.可得，，，.設平面的法向量為，則，取，得.設平面的法向量為，則，取，得由，得平面與平面的夾角為60°，故平面與平面的夾角的正切值為.點到直線的距離19．（2023上·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，則點到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，得到各點坐標，再根據向量公式計算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系.則，，，，，，點到直線BE的距離為.故選：C.20．（2023上·天津·高二校聯考期末）已知空間內三點，，，則點A到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據空間向量數量積的坐標表示求出，利用同角三角函數的關系求出，結合計算即可求解.【詳解】空間內三點，，，所以，，，，由，所以，所以點A到直線的距離.故選：A.21．（2023上·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）直線的方向向量為，且過點，則點到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據直線的方向向量為，取直線的一個單位方向向量為，計算代入空間中點到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因為直線的方向向量為，所以取直線的一個單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.22．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為1，E為PC的中點，則線段PA上的動點M到直線BE的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：建立空間直角坐標系，求向量在上的投影的大小，再求點M到直線BE的距離，由此可求其最小值.方法二：證明為異面直線的公垂線段，由此可求動點M到直線BE的距離的最小值.【詳解】連接，記直線的交點為，由已知平面，，以點為原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，由已知，所以，則，所以，，，設，則，所以在上的投影向量的模為，又，所以動點M到直線BE的距離，所以，所以當時，動點M到直線BE的距離最小，最小值為，故選：D.方法二：因為為等邊三角形，為的中點，所以，由已知，所以，所以，所以為異面直線，的公垂線段，所以的長為動點M到直線BE的距離最小值，所以動點M到直線BE的距離最小值為，故選：D.23.（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則的重心到直線BN的距離為.【答案】/【分析】以為軸建立空間直角坐標系，由重心坐標公式求得的重心的坐標，用空間向量法求點到直線的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，設的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線的距離為．故答案為：．24．（2023上·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，是棱上一點，且.(1)求點到直線的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)2(2).【分析】（1）利用面面垂直得出線面垂直，建立坐標系，利用空間向量求解點到直線的距離；（2）分別求解平面與平面的法向量，利用法向量求解兩平面的夾角.【詳解】（1）取的中點，連接，并過點作的平行線，交于，則.因為，所以.因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以.以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，直線的一個單位方向向量為，點到直線的距離.（2），設平面的法向量為，則令，設平面的法向量為，則令，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.點面距25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，因為是的中點，，所以，所以，．設是平面的法向量，

則，令，得．故點到平面的距離為．故選：B26．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┮阎獮槠矫娴囊粋€法向量，為內的一點，則點到平面的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用空間向量點到平面的距離公式計算作答.【詳解】依題意，，所以點到平面的距離.故選：B27．（2023上·安徽亳州·高二安徽省渦陽第一中學?？计谀┰诶忾L為2的正方體中，分別取棱，的中點E，F，點G為EF上一個動點，則點到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】將點到平面的距離轉化為點到平面的距離，建立空間直角坐標系求解.【詳解】如圖所示，因為點E，F分別是，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，點到平面的距離即為點或到平面的距離.設到平面的距離為，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，設平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，所以.故選：D.28．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）如圖，長方體中，若，則到平面的距離為．【答案】/【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距離.【詳解】因為，所以，，設平面的法向量為，由，可得，取，則，即到平面的距離為.故答案為：29．（2023上·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓O的直徑AB長為8，點C是圓上一點，，點D是劣弧AC上的一點，平面平面，且．(1)證明：．(2)當三棱錐的體積為時，求點O到平面PCD的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由及線面平行的判定定理可得平面PCD，根據線面平行的性質可得.根據可得，由線面垂直的性質可得，故根據線面垂直的判斷定理可得平面POD，從而可證明；（2）根據三棱錐的體積可求，以為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出及平面PCD的一個法向量，根據即可求解.【詳解】（1）因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.因為平面ABCD，且平面平面，所以.因為，所以，所以，即.因為平面ABCD，平面ABCD，所以.因為，平面POD，所以平面POD,因為平面POD，所以.（2）因為，所以.如圖，以為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面PCD的法向量為，則，令，得.因為點O到平面PCD的距離，所以點O到平面PCD的距離.30．（2023上·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點．(1)證明：BC⊥C1E．(2)設=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標系，用向量法證明直線垂直；（2）用空間向量法求點面距，根據條件列方程求出參數值．【詳解】（1）以A為坐標原點，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）因為=，=，所以=+=+λ=，設平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因為=，所以C1到平面BB1M的距離，解得．31．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求出面的法向量，再求直線與面所成角的正弦值.【詳解】

因為平面，面，底面為矩形，所以兩兩垂直，設，以分別為軸建立空間直角坐標系如圖，則所以，設平面的法向量為，所以，令，則，所以取，直線與面所成角的正弦值為.故選：A32．（2023上·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）襄陽一橋全稱“襄陽江漢大橋”，于1970年正式通車，在和襄陽城長達53年的相處里，于襄陽人來說一橋早已無可替代.江漢大橋由主橋架?上下水平縱向聯結系?橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構成.其中AB=BH，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以E為坐標原點，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，設直線AH與直線IG所成角為，則，故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.

故選：D.33．（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、、，，，則，所以，，因為平面，平面，平面，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線到平面的距離為.故選：A.34．（2023上·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點，則下列結論不正確的是（

）A．平面PABB．平面平面ABCDC．點E到平面PAB的距離為D．二面角的正弦值為【答案】B【分析】利用線面平行的判定定理即可判斷A；幾何法找二面角的平面角，確定角度大小即可判斷B；建立空間直角坐標系，根據空間向量計算點到平面的距離，即可判斷C；根據空間向量計算二面角的余弦值，進而求正弦值，從而判斷D；【詳解】對于A：取的中點為，連接，因為為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：取為，連接所以，且，又因為是等腰直角三角形，所以，且平面，且，所以平面，所以為平面與平面的夾角，又因為，所以平面，且平面，所以，，而，所以，故B錯誤；對于C：以為原點，所在直線為軸，在平面內，作平面，建立如圖所示空間直角坐標系，則因為所以，所以，所以設平面的法向量為，則有即，令則，所以，所以點到平面的距離為，故C正確；對于D：設平面的法向量為，則有即，令則，所以，設二面角的大小為，則，所以.故D正確.故選：B35．（2023上·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谀┤鐖D，是棱長為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿足，則P到AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用平面的法向量求出點，再計算點到直線的距離.【詳解】如圖，以點A為原點，分別為軸建立空間