專(zhuān)題02 空間角與距離的計(jì)算-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類(lèi)匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題02空間角與距離的計(jì)算異面直線(xiàn)所成的角1．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，取的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的向量求法直接求解即可.【詳解】由題意知：，，，，，，，即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：C.2．（2023上·陜西西安·高二?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方體中，，，，E、F分別是線(xiàn)段和的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)與的方向向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾角，由此可得異面直線(xiàn)與所成的角.【詳解】因?yàn)?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，又，所以，所以異面直線(xiàn)與所成的角是.故選：B.3．（2023上·北京·高二人大附中校考期末）如圖，已知正方形所在平面與正方形所在平面構(gòu)成的二面角，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可知，即為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，將異面直線(xiàn)與所成角的余弦值轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)方向向量夾角余弦值的絕對(duì)值即可.【詳解】根據(jù)題意可知，即為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，所以，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，異面直線(xiàn)與所成的角為，，，,所以即所以；即，所以，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：A.4．（2023上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知異面直線(xiàn)和的方向向量分別為，則異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為．【答案】【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角求余弦值的坐標(biāo)公式，可得答案.【詳解】設(shè)異面直線(xiàn)和所成角為，則.故答案為：.5．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，現(xiàn)將沿折成一個(gè)四面體，則當(dāng)四面體的外接球表面積最小時(shí)，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是.【答案】【分析】由外接球的性質(zhì)及外接球表面積最小確定球心在A(yíng)D中點(diǎn)上，則可由半徑確定C的位置，最后建系由向量法求線(xiàn)線(xiàn)角的余弦值.【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為F，∴.∵，∴，，，.四面體的外接球心在過(guò)E且垂直于面ABD的直線(xiàn)上，又四面體的外接球表面積最小，即外接球的半徑最小，則當(dāng)球心為E時(shí)，半徑最小.∵，∴，由平面ABD，∴平面ABD，則可建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，∴異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故答案為：.6．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）在四棱柱中，底面為平行四邊形，且，.(1)用表示，并求的長(zhǎng)；(2)若為中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則求解；（2）用表示，計(jì)算，由向量法求異面直線(xiàn)所成的角．【詳解】（1），，，，即，解得；（2）由（1）知設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.直線(xiàn)與平面所成的角7．（2023上·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖所示的多面體，底面為長(zhǎng)方形，平面，，則與平面所成角正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，并利用，求出點(diǎn)F坐標(biāo)，最后利用線(xiàn)面角公式求出答案.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又為長(zhǎng)方形，所以，所以?xún)蓛纱怪保詾樵c(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，即，設(shè)，則，又，故.故.設(shè)與平面所成角為，于是，.故選：B.8．（2023上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，，，則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線(xiàn)面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線(xiàn)為x軸、BC所在直線(xiàn)為y軸、所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線(xiàn)與平面，所成的角為，則，則．故選：D．9．（2023上·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知平面的一個(gè)法向量為，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)面角的向量法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：A.10．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考期末）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線(xiàn)是兩平面與的交線(xiàn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求平面的法向量與直線(xiàn)l的方向向量，利用空間向量求線(xiàn)面夾角.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的法向量可取，同理平面的法向量可取，平面的法向量可取，設(shè)直線(xiàn)的方向向量，則，令，則，則直線(xiàn)l與平面所成角的正弦值為.故選：A11．（2023上·福建三明·高二三明市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是線(xiàn)段，上的點(diǎn)，滿(mǎn)足平面，則與平面所成角的范圍是．【答案】【分析】以為原點(diǎn)，為軸、軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，其中，求得向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得的范圍，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，易得不重合，設(shè)，其中，且，所以，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，，因?yàn)槠矫妫缘囊粋€(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)，可得，因?yàn)椋援?dāng)，可得，因?yàn)?，所以，所以與平面所成的角的范圍是為.故答案為：12．（2023上·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿(mǎn)足.

(1)用表示，并求出；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用正四面體幾何性質(zhì)用表示，進(jìn)而求得；（2）先求得直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值，進(jìn)而得到直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接并延長(zhǎng)交于，則為中點(diǎn)，則，，則

（2）根據(jù)題意，平面，因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值的絕對(duì)值.，且故.則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.面面夾角13．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可求得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.14．（2023上·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示面面夾角的余弦值，即可確定點(diǎn)位置，即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮?，所以的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)，又因?yàn)镼是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），所以的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條線(xiàn)段，設(shè)以的軌跡與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得,所以,因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為,設(shè)平面的法向量為，所以令則所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮?，所以，解得，所以?dāng)在線(xiàn)段BC上時(shí)，面積最大，最大值為，所以面積的取值范圍是，故選:D.15．（2023上·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知向量，分別為平面和平面的法向量，則平面與平面的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)坐標(biāo)可求出，根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向量之間的關(guān)系即可求出答案.【詳解】解：由已知可得，，，所以.設(shè)為平面與平面的夾角，則，又，所以.故選：C.16．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┤鐖D，已知菱形中，邊長(zhǎng)為，沿對(duì)角線(xiàn)折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角余弦值的空間向量求解方法進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，易知，平面的一個(gè)法向量為，所以，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為銳角，即，所以，所以二面角的余弦值為．故答案為：17．（2023上·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┮阎匦蜛BCD，，沿對(duì)角線(xiàn)AC將折起，若二面角的余弦值為，則B與D之間距離為．【答案】【分析】過(guò)和分別作，由題意可得、，由二面角的余弦值為，得，再利用可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)和分別作，由，則，由等面積法知：，故，則，即，二面角的余弦值為，即，，，則，即與之間距離為.故答案為：18．（2023上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，且二面角為為45°.(1)求棱AC的長(zhǎng)；(2)若D為棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正切值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由圖及題意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的長(zhǎng)；（2）建立以C為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）因平面ABC，平面ABC，則.又，，平面，平面，則平面.又平面，則，故是二面角的平面角，則.又，則.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.可得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得由，得平面與平面的夾角為60°，故平面與平面的夾角的正切值為.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離19．（2023上·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)BE的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量公式計(jì)算得到距離.【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點(diǎn)到直線(xiàn)BE的距離為.故選：C.20．（2023上·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】空間內(nèi)三點(diǎn)，，，所以，，，，由，所以，所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離.故選：A.21．（2023上·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）直線(xiàn)的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線(xiàn)的方向向量為，取直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算代入空間中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，所以取直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.22．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，E為PC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段PA上的動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求向量在上的投影的大小，再求點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離，由此可求其最小值.方法二：證明為異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，由此可求動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離的最小值.【詳解】連接，記直線(xiàn)的交點(diǎn)為，由已知平面，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，所以，則，所以，，，設(shè)，則，所以在上的投影向量的模為，又，所以動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離最小，最小值為，故選：D.方法二：因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，由已知，所以，所以，所以為異面直線(xiàn)，的公垂線(xiàn)段，所以的長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離最小值，所以動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BE的距離最小值為，故選：D.23.（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則的重心到直線(xiàn)BN的距離為.【答案】/【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由重心坐標(biāo)公式求得的重心的坐標(biāo)，用空間向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線(xiàn)的距離為．故答案為：．24．（2023上·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，是棱上一點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)2(2).【分析】（1）利用面面垂直得出線(xiàn)面垂直，建立坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）分別求解平面與平面的法向量，利用法向量求解兩平面的夾角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，并過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，交于，則.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（2），設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.點(diǎn)面距25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，所以，．設(shè)是平面的法向量，

則，令，得．故點(diǎn)到平面的距離為．故選：B26．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎獮槠矫娴囊粋€(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B27．（2023上·安徽亳州·高二安徽省渦陽(yáng)第一中學(xué)?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)或到平面的距離.設(shè)到平面的距離為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，可求得平面的法向量為，，所以.故選：D.28．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方體中，若，則到平面的距離為．【答案】/【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，則，即到平面的距離為.故答案為：29．（2023上·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓O的直徑AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)D是劣弧AC上的一點(diǎn)，平面平面，且．(1)證明：．(2)當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，求點(diǎn)O到平面PCD的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由及線(xiàn)面平行的判定定理可得平面PCD，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得.根據(jù)可得，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，故根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷定理可得平面POD，從而可證明；（2）根據(jù)三棱錐的體積可求，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面PCD的一個(gè)法向量，根據(jù)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD.因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面平面，所以.因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)椋矫鍼OD，所以平面POD,因?yàn)槠矫鍼OD，所以.（2）因?yàn)?，所?如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，得.因?yàn)辄c(diǎn)O到平面PCD的距離，所以點(diǎn)O到平面PCD的距離.30．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明：BC⊥C1E．(2)設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明直線(xiàn)垂直；（2）用空間向量法求點(diǎn)面距，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)值．【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；（2）因?yàn)?，=，所以=+=+λ=，設(shè)平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因?yàn)?，所以C1到平面BB1M的距離，解得．31．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽(yáng)馬”中，平面，，則直線(xiàn)與面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，再求直線(xiàn)與面所成角的正弦值.【詳解】

因?yàn)槠矫?，面，底面為矩形，所以?xún)蓛纱怪保O(shè)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，所以取，直線(xiàn)與面所成角的正弦值為.故選：A32．（2023上·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）襄陽(yáng)一橋全稱(chēng)“襄陽(yáng)江漢大橋”，于1970年正式通車(chē)，在和襄陽(yáng)城長(zhǎng)達(dá)53年的相處里，于襄陽(yáng)人來(lái)說(shuō)一橋早已無(wú)可替代.江漢大橋由主橋架?上下水平縱向聯(lián)結(jié)系?橋門(mén)架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中AB=BH，那么直線(xiàn)AH與直線(xiàn)IG所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線(xiàn)的夾角余弦值.【詳解】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EI所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)直線(xiàn)AH與直線(xiàn)IG所成角為，則，故直線(xiàn)AH與直線(xiàn)IG所成角的余弦值為.

故選：D.33．（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線(xiàn)到平面的距離.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、、，，，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線(xiàn)到平面的距離為.故選：A.34．（2023上·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平面PABB．平面平面ABCDC．點(diǎn)E到平面PAB的距離為D．二面角的正弦值為【答案】B【分析】利用線(xiàn)面平行的判定定理即可判斷A；幾何法找二面角的平面角，確定角度大小即可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離，即可判斷C；根據(jù)空間向量計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求正弦值，從而判斷D；【詳解】對(duì)于A(yíng)：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：取為，連接所以，且，又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，且平面，且，所以平面，所以為平面與平面的夾角，又因?yàn)?，所以平面，且平面，所以，，而，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，在平面內(nèi)，作平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)樗裕?，所以設(shè)平面的法向量為，則有即，令則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)平面的法向量為，則有即，令則，所以，設(shè)二面角的大小為，則，所以.故D正確.故選：B35．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？计谀┤鐖D，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿(mǎn)足，則P到AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用平面的法向量求出點(diǎn)，再計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【詳解】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間