新教材高中數學人教B版學案3-1-1第2課時函數的表示方法

第2課時函數的表示方法[課程目標]1.掌握函數的三種表示方法——解析法、圖像法、列表法；2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當方法表示函數．知識點函數的表示方法[填一填](1)列表法：用列表的形式給出了函數的對應關系，這種表示函數的方法稱為列表法．(2)圖像法：用函數的圖像表示函數的方法稱為圖像法．(3)解析法：如果在函數y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代數式(或解析式)來表示的，這種表示函數的方法稱為解析法．[答一答]某同學計劃買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆．每支鉛筆的價格為0.5元，共需y元．于是y與x間建立起了一個函數關系．(1)該函數的定義域是什么？(2)y與x滿足的關系式是什么？(3)試用表格表示鉛筆數x與錢數y之間的關系．(4)試用圖像表示x與y之間的關系．提示：(1)定義域為x∈{1,2,3,4,5}．(2)y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．(3)表格如下.鉛筆數x/支12345錢數y/元0.511.522.5(4)如圖．類型一函數的表示方法[例1]某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元，試用三種表示法表示函數y＝f(x)．[解]這個函數的定義域是{1,2,3,4,5}．用解析法可將函數y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可將函數y＝f(x)表示為：筆記本數x/個12345錢數y/元510152025用圖像法可將函數y＝f(x)表示為如下圖所示：函數三種表示方法的適用范圍1列表法適用于定義域是有限集的情形.2圖像法適用于任何函數，函數的圖像可以是連續(xù)不間斷的曲線，也可以是間斷的不連續(xù)的曲線或相應的點.3解析法適用于對應法則可以用一個數學式子表示的情形.4對于一個給定的函數其可以有幾種不同的表示，比如fx＝1x∈R，也可以用圖像來表示，此時圖像是一條直線.[變式訓練1]某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試分別用列表法、圖像法、解析法表示售出臺數x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})與收款總額y(元)之間的函數關系．解：(1)該函數關系用列表法表示為：x/臺12345y/元3000600090001200015000x/臺678910y/元1800021000240002700030000(2)該函數關系用圖像法表示，如圖所示．(3)該函數關系用解析法表示為y＝3000x，x∈{1,2，3，…，10}．類型二作函數的圖像[例2]作出下列函數的圖像，并求出其值域：(1)y＝eq\f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.[解](1)用列表法可將函數y＝eq\f(x,2)＋1，x∈[1,5]，x∈Z表示為：x12345yeq\f(3,2)2eq\f(5,2)3eq\f(7,2)圖像如圖．值域為{eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)}．(2)∵0≤x<3，∴這個函數的圖像是拋物線y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之間的一段弧(如圖所示)．值域為[－5,3)．1.作函數圖像主要有三步：列表、描點、連線.作圖像時一般應先確定函數的定義域，再在定義域內化簡函數解析式，再列表畫出圖像.2.函數的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關鍵點，如圖像與坐標軸的交點、區(qū)間端點、二次函數的頂點等等，特別要分清區(qū)間端點是實心點還是空心點.[變式訓練2]作出下列函數的圖像：(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝x2－2x－3(x∈R)；(3)y＝eq\f(x2－x,x－1).解：(1)函數y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)的定義域為{－2，－1,0,1,2}，圖像為五個點，這些點在直線y＝1－x上．列表：x－2－1012y3210－1所畫函數圖像如圖1.(2)函數y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4且當x＝－1,3時，y＝0；當x＝1時，y＝－4；當x＝0時，y＝－3.所畫函數圖像如圖2.(3)函數y＝eq\f(x2－x,x－1)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)．則y＝eq\f(x2－x,x－1)＝x，函數圖像如圖3.類型三函數表示法在實際問題中的應用[例3]下列圖像中，哪幾個圖像與下述三事件分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖像寫出一件事．(1)我離開家不久，發(fā)現自己把作業(yè)本忘在家里了，停車思考一番，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學；(2)我騎著車一路勻速行駛，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽擱了一些時間；(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速．[解](1)分析可知離開家的距離先逐漸增大；后來發(fā)現作業(yè)本忘家里了，返回家的過程中離開家的距離又逐漸減小；找到作業(yè)本后離開家的距離又逐漸增大，故(1)對應D.(2)分析可知離開家的距離先逐漸增大；后因為交通堵塞，在一段時間內沒有前進，因此離開家的距離未變化；交通通暢后繼續(xù)前進，離開家的距離又逐漸增大，故(2)對應A.(3)剛開始緩緩前進，所以離開家的距離緩緩增加；加速后離開家的距離急劇增加，故(3)對應B.剩下的圖像C為：我出發(fā)后越走越累，所以速度越來越慢．函數表示在實際問題中的解題策略1提取信息：仔細閱讀題目條件、認真觀察分析圖像或數表中的信息，不輕易放棄對提供的條件、圖像、圖形和數據的利用，在解答過程中要盡可能地利用題目所提供的數據和信息.2合理選擇：根據實際問題的特征選擇合適的方法表示函數，比如自變量有限函數值確定則可以選擇列表法也可以用圖像法，如果自變量的取值為區(qū)間的形式則一般選擇解析法.[變式訓練3]某企業(yè)生產某種產品時的能耗y與產品件數x之間適合關系式：y＝ax＋eq\f(b,x).且當x＝2時，y＝100；當x＝7時，y＝35.且此產品生產件數不超過20件．(1)寫出函數y關于x的解析式．(2)用列表法表示此函數．解：(1)把x＝2，y＝100；x＝7，y＝35分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,7a＋\f(b,7)＝35，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196，))∴函數解析式為y＝x＋eq\f(196,x)(x∈N*,0<x≤20)．(2)當x∈{1,2,3,4,5，…，20}時，列表：x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8類型四待定系數法求函數解析式[例4]求滿足下列條件的二次函數的解析式．(1)已知二次函數的圖像經過A(3,0)，B(0，－3)，C(－2，5)三點；(2)已知頂點坐標為(4,2)，點(2,0)在函數圖像上；(3)已知y＝x2－4x＋h的頂點A在直線y＝－4x－1上．[解](1)設所求函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定．根據已知條件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，,4a－2b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))因此所求函數為y＝x2－2x－3.(2)設所求函數為y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根據已知條件得：a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，因此所求函數為y＝－eq\f(1,2)(x－4)2＋2＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6.(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，∴頂點A(2，h－4)，由已知得：(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，因此所求函數為y＝x2－4x－5.用待定系數法求函數解析式的具體做法是先根據題目中給出的函數類型設出解析式的一般形式，再由已知條件列方程或方程組，然后解出待定系數即可.注意設待定系數本著“寧少勿多”的原則進行，要根據條件選取適當的形式.[變式訓練4]二次函數f(x)與g(x)的圖像開口大小相同，開口方向也相同．已知函數g(x)的解析式和f(x)圖像的頂點，寫出函數f(x)的解析式．(1)函數g(x)＝x2，f(x)圖像的頂點是(4，－7)；(2)函數g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)圖像的頂點是(－3,2)．解：如果二次函數的圖像與y＝ax2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，可知二次項系數相同，若頂點坐標為(h，k)，則其解析式為y＝a(x－h(huán))2＋k.(1)因為f(x)與g(x)＝x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，f(x)的圖像的頂點是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.(2)因為f(x)與g(x)＝－2(x＋1)2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，且g(x)＝－2(x＋1)2與y＝－2x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，又因為f(x)圖像的頂點是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.1．已知函數f(x)的定義域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的圖形中，能表示f(x)的圖像的只可能是(D)解析：作一條垂直于x軸的直線，此直線與圖像有唯一交點的圖像可能為函數f(x)圖像，從而選項A、C不正確，再結合定義域、值域可得只有選項D正確．故選D.2．購買某種飲料x聽，所需錢數為y元，若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數為(D)A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2,3,4}，故選D.3．已知某二次函數的圖像與函數y＝2x2的圖像形狀一樣，