預(yù)習(xí)07余弦定理（五大考點(diǎn)）

預(yù)習(xí)07余弦定理一、余弦定理1.余弦定理的語(yǔ)言（1）文字語(yǔ)言:三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.（2）符號(hào)語(yǔ)言:在中,，2.余弦定理的推論在中,.3.解三角形一般地,三角形的三個(gè)角和它們的對(duì)邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.考點(diǎn)01已知兩邊及夾角解三角形【方法點(diǎn)撥】直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角.【例1】在中，已知.(1)求的長(zhǎng)(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理求得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與倍角公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?所以.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，則.【例2】在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則最大邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形三邊關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭氢g角三角形，，且是最大邊，由余弦定理可得，于是可得，且，解得，又，所以邊的取值范圍是.故選：D【變式11】在中，已知，，，求c和．【答案】c＝2，【分析】首先代入余弦定理求，再根據(jù)三邊，求，即可求解.【詳解】由余弦定理得＝4，所以．再由余弦定理可得．因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以．【變式12】記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則.【答案】/【分析】利用余弦定理得到，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，由余弦定理，所以，所以，所?故答案為：【變式13】在中，，，則AB＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用倍角余弦公式求得，再由余弦定理求對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)，又，所以.故選：C考點(diǎn)02已知兩邊及一對(duì)角解三角形【方法點(diǎn)撥】可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.【例3】（多選）在中，，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能等于（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由余弦定理先求出，注意檢驗(yàn)是否滿足三角形三邊關(guān)系，由此即可得解.【詳解】由題意，由余弦定理有，即，化簡(jiǎn)得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或均滿足三角形三邊關(guān)系，所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能為或.故選：AB.【例4】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理求得，進(jìn)而求得.【詳解】由余弦定理，，因?yàn)?，所以，即，解得（舍），所以?故選：D【變式21】在中，已知，，.求、及.【答案】，，或，，【分析】根據(jù)余弦定理求出，再由余弦定理求角即可得解.【詳解】由余弦定理，得，即，所以或.①當(dāng)時(shí)，，所以，從而；②當(dāng)時(shí)，，所以，從而.【變式22】在中，已知，且，則的值為.【答案】4或8/8或4【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由，得，利用余弦定理可得，即，解得或；故答案為：4或8.【變式23】已知中，，，若為鈍角三角形，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，推得，再結(jié)合余弦定理，即可求解．【詳解】在中，，，則，即，，，，則角為鈍角或角為鈍角，若角是鈍角，則，即，故，若角是鈍角，則，即，解得．綜上所述，的取值范圍是．故答案為：．考點(diǎn)03已知三邊解三角形【方法點(diǎn)撥】先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.注意:若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.【例5】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理求角，即可得答案.【詳解】在中，，由余弦定理得,而A為三角形內(nèi)角，故，故選：D【例6】的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，則．【答案】//【分析】運(yùn)用余弦定理解三角形即可.【詳解】在中，由余弦定理知，又，所以，又，所以.故答案為：.【變式31】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則邊上的中線AD的長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理得出.進(jìn)而在中，利用余弦定理，即可得出答案.【詳解】由余弦定理可得，.在中，有，，由余弦定理可得，所以，.故答案為：.【變式32】在平面四邊形中，，證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，在和中，分別應(yīng)用余弦定理，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以所以．【變式33】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形【分析】由可知只需即可求得a的值，進(jìn)而檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意，知，要使為鈍角三角形，需，得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或．當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，，，滿足題意．綜上，存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形．考點(diǎn)04判斷三角形的形狀【方法點(diǎn)撥】利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑（1）化邊的關(guān)系:將條件中的角的關(guān)系,利用余弦定理化為邊的關(guān)系,再變形進(jìn)行判斷.（2）化角的關(guān)系:將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過(guò)三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷.【例7】在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，則的值（

）A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．與的形狀有關(guān)【答案】A【分析】利用余弦定理化角為邊，運(yùn)算即得解【詳解】由題意，根據(jù)余弦定理故選：A【例8】在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A【變式41】在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理可得，所以得，令，代入前面的式子可求出，然后根據(jù)三邊的關(guān)系可判斷三角形的形狀.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，得，得，所以，所以為直角三角形，故選：A【變式42】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】首先利用降冪公式化簡(jiǎn),再利用余弦定理化簡(jiǎn)即可.【詳解】由再由余弦定理得：故三角形為直角三角形故選：A【變式43】已知中，，試判斷此三角形的形狀．【答案】等腰三角形【分析】由余弦定理角化邊整理可得.【詳解】整理得：，即所以為等腰三角形.考點(diǎn)05邊角互化的其他應(yīng)用【例9】若鈍角的內(nèi)角，，滿足，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角形內(nèi)角和結(jié)合條件求得，然后利用余弦定理及鈍角三角形得，即可求解.【詳解】設(shè)三角形的三邊從小到大依次為，，，因?yàn)?，則，故可得，根據(jù)余弦定理得：，于是，因?yàn)闉殁g角三角形，故，于是，即，則，即.故選：B.【例10】在銳角三角形分別為內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】對(duì)已知等式利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)可得，然后同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，即，所以故選：B【變式51】在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角B的最大值為.【答案】【分析】利用余弦定理和基本不等式求解.【詳解】由余弦定理，代入，得，整理得：，則，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取“”，由因?yàn)?，所以，所以角B的最大值為.故答案為：.【變式52】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求A；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用余弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理和，可求出角；（2）由結(jié)合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由結(jié)合余弦定理得，兩式結(jié)合化簡(jiǎn)可證得結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，得，因?yàn)椋?，得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以；?）證明：因?yàn)?，所以，化?jiǎn)整理得，，解得或（舍去），所以由余弦定理得，所以，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，整理得，所以，所以，得，所?【變式53】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，是的中點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)，求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)有，再平方后利用向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)余弦定理可得，，即，，所以；（2）由（1）可知，，所以，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn),所以,所以.一、單選題1．在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，，則等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理解三角形.【詳解】由余弦定理，將，，，代入得，則有，且，解得.故選：B.2．在中，若，則角的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?故選：C.3．已知鈍角的角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，又有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：C4．已知一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、，則此三角形中的最大角為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得，為最大邊，利用余弦定理求得最大角的余弦值，從而求得最大角．【詳解】一個(gè)三角形的三邊分別是、、，為最大邊．設(shè)最大角為，由余弦定理可得，，因?yàn)椋蚀巳切沃械淖畲蠼菫?，故選：B．5．在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化邊，然后因式分解可得.【詳解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D6．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式、商數(shù)關(guān)系式可得，再根據(jù)余弦定理與角度轉(zhuǎn)化可得，由基本不等式即可得最大值.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，則，所以，且均為銳角，故，由余弦定理得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：B.二、多選題7．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】AB【分析】由余弦定理解三角形.【詳解】，，，由余弦定理，有，得，即，解得或.故選：AB8．由下列條件解，其中只有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【分析】根據(jù)三角形全等結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，則，且，根據(jù)三角形全等（角角邊）可知存在且唯一的，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，，根?jù)三角形全等（邊角邊）可知存在且唯一的，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由余弦定理可得：，即，整理得，解得或，所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由余弦定理可得：，即，整理得，且，無(wú)解，所以此時(shí)三角形不存在，故D錯(cuò)誤；故選：AB.9．在中，角的對(duì)邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則一定是銳角三角形B．若，則為等腰或直角三角形C．若，則是銳角三角形D．若為銳角三角形，則【答案】BD【分析】根據(jù)二倍角公式，化簡(jiǎn)整理可得出，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)余弦定理角化邊，整理即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)數(shù)量積的定義，可推得為銳角，結(jié)合銳角三角形的概念，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)已知可推得.然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于項(xiàng)，因?yàn)?，知，由可得，，化?jiǎn)得，故一定為直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，根?jù)余弦定理可得，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，故正確；對(duì)于項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以為銳角，但無(wú)法確定是否為銳角，故錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即：，故D項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題10．已知4根細(xì)鋼絲的長(zhǎng)度分別為2，3，4，6，用其中的3根細(xì)鋼絲圍成一個(gè)三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值可以是.【答案】或【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)三角形的性質(zhì)，只能用長(zhǎng)度分別為2，3，4或3，4，6的3根細(xì)鋼絲圍成三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值為或.故答案為：或11．如圖所示，點(diǎn)A是等邊外一點(diǎn)，且，，，則的周長(zhǎng)為．【答案】/【分析】在中，由余弦定理求得，然后結(jié)合等腰三角形、直角三角形求得結(jié)論．【詳解】在中，由余弦定理可知，整理可得，解得，所以，又是等邊三角形，所以，，由勾股定理可得，，所以的周長(zhǎng)為．故答案為：.12．已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，可得，且，所以.故答案為：.四、解答題13．的三邊之比為．求這個(gè)三角形的最大角．【答案】【分析】設(shè)出三邊，由余弦定理求出最大