2020高考數(shù)學(xué)新課改省份專用講義第二章第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)突破點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．根式(1)根式的概念若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)a的n次方根的表示xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時(shí)，,x＝±\r(n,a)當(dāng)n為偶數(shù)且n>1時(shí).))2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_0_，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)eq\r(4,－a4)＝－a.()(2)(－a)＝(－a)＝eq\r(－a).()(3)(eq\r(n,a))n＝a.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空題1．計(jì)算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))＝________.答案：eq\f(11,8)2．設(shè)a>0，將eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是________．解析：eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝eq\f(a2,\r(a·a))＝eq\f(a2,\r(a))＝eq\f(a2,a)＝a2·a＝a＝a.答案：a3．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：eq\r(2a－12)＝|2a－1|，eq\r(3,1－2a3)＝1－2a.因?yàn)閨2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答．[典例](1)eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1 B．a(chǎn)C．a(chǎn) D．a(chǎn)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5＝________.[解析](1)eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq\f(a3,a·a)＝a＝a.故選D.(2)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[答案](1)D(2)eq\f(16,15)[方法技巧]化簡(jiǎn)指數(shù)冪常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))m，a＝(a)n(式子有意義)；(3)1的代換，如1＝a－1a,1＝aa等；(4)乘法公式的常見變形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a?ab＋b)＝a±b.[針對(duì)訓(xùn)練]1．化簡(jiǎn)eq\f(a·b－1·a·b,\r(6,a·b5))(a>0，b>0)的結(jié)果是()A．a(chǎn) B．a(chǎn)bC．a(chǎn)2b D.eq\f(1,a)解析：選D原式＝eq\f(abab,ab)＝a·b＝eq\f(1,a).2．(2019·江西百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知14a＝7b＝4c＝2，則eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.解析：由題設(shè)可得2＝14,2＝7,2＝4，則2＝eq\f(14,7)＝2，∴2＝2×4＝23，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝3.答案：33．若x>0，則(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)＝________.解析：因?yàn)閤>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])1．指數(shù)函數(shù)的圖象函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升2.畫指數(shù)函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．()(2)y＝ax＋1的圖象恒過定點(diǎn)(－1,1)．()(3)要得到y(tǒng)＝3x＋2的圖象只需將y＝3x的圖象向左平移2個(gè)單位即可．()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空題1．函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)________．解析：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時(shí)y＝1＋3＝4，即函數(shù)y＝ax－3＋3的圖象過定點(diǎn)(3,4)．答案：(3,4)2．函數(shù)y＝2x＋1的圖象是________(填序號(hào))．解析：由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位可得y＝2x＋1的圖象．答案：①3．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))x的圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：由兩函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知eq\f(1,2a－4)與a互為倒數(shù)，即eq\f(a,2a－4)＝1，解得a＝4.答案：4eq\a\vs4\al([全析考法])考法一與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象辨析[例1](2019·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)y＝e－|x－1|的大致圖象是()[解析]因?yàn)椋瓅x－1|≤0，所以0<e－|x－1|≤e0，即0<y＝e－|x－1|≤1，故選B.[答案]B考法二指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用一些指數(shù)方程、不等式問題，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合求解．[例2](2019·西安八校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))則滿足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范圍是________．[解析]畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，易知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．又x>x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范圍是(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)eq\a\vs4\al([方法技巧])有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()解析：選A由f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域?yàn)?－∞，0]，排除C.2.eq\a\vs4\al([考法二])函數(shù)y＝ax－b(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．無法確定解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax－b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b單調(diào)遞減且其圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,1－b<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,b>1，))故ab∈(0,1)，故選C.3.eq\a\vs4\al([考法二])若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．解析：曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖可知：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用eq\a\vs4\al([基本知識(shí)])指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1[提醒]應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意分a>1與0<a<1兩種情況來研究．(2)對(duì)可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指數(shù)方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的取值范圍．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)，當(dāng)x>0時(shí)，y>1.()(2)若指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值為2，則a為eq\r(2).()(3)若am>an(a>0，且a≠1)，則m>n.()答案：(1)×(2)√(3)×二、填空題1．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關(guān)系是________．解析：因?yàn)椋?<x<0，所以由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因?yàn)?.5x<0.2x，所以b<a<c.答案：b<a<c3．函數(shù)y＝3x2－2x的值域?yàn)開_______．解析：設(shè)u＝x2－2x，則y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq\f(1,3)，所以函數(shù)y＝3x2－2x的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))eq\a\vs4\al([全析考法])考法一比較指數(shù)式大小或解不等式[例1](1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))，c＝log2eq\f(7,9)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()A．f(b)<f(a)<f(c) B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(c)<f(a)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析](1)易知f(x)＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，又a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＝b>0，c＝log2eq\f(7,9)<0，則a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a)．(2)當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，因?yàn)?<eq\f(1,2)<1，所以a>－3，此時(shí)－3<a<0；當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)<1可化為eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故a的取值范圍是(－3,1)．[答案](1)B(2)C[方法技巧]有關(guān)指數(shù)不等關(guān)系的常見題型及求解思路(1)比較大小問題：?；癁橥谆蛲福弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性，圖象或1,0等中間量進(jìn)行比較．(2)簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問題：解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論．考法二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值問題[例2](2019·昆明第一中學(xué)月考)已知集合A＝{x|(2－x)(2＋x)>0}，則函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值為()A．4 B．2C．－2 D．－4[解析]由題知集合A＝{x|－2<x<2}．又f(x)＝(2x)2－2×2x－3，設(shè)2x＝t，則eq\f(1,4)<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，且函數(shù)g(t)的對(duì)稱軸為直線t＝1，所以最小值為g(1)＝－4.故選D.[答案]D[方法技巧]形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函數(shù)最值問題多用換元法，即令t＝ax轉(zhuǎn)化為y＝t2＋bt＋c的最值問題，注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)求t的范圍．考法三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題[例3](1)若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2](2)若函數(shù)f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C．(1，eq\r(3)] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析](1)由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減，故選B.(2)令t＝ax(t>0)，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝t2－(3a2＋1)t，其圖象的對(duì)稱軸為直線t＝eq\f(3a2＋1,2).若a>1，則t＝ax≥1，由于原函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則eq\f(3a2＋1,2)≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤a≤eq\f(\r(3),3)，與a>1矛盾；若0<a<1，則0<t≤1，由于原函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則eq\f(3a2＋1,2)≥1，解得a≥eq\f(\r(3),3)或a≤－eq\f(\r(3),3)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).故選B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：選Da＝0.80.7>0.80.9＝b，a＝0.80.7<0.80＝1，∴b<a<1，而c＝1.20.8>1.20＝1，∴c>a>b