工程力學課件-第4章-運動學

第四章運動學工程力學第一部分理論力學運動學是從幾何觀點研究物體的位置隨時間變化的規(guī)律，包括運動軌跡、速度、加速度、運動方程及它們相互間的關系，它是研究物體運動幾何性質(zhì)的科學。在運動學中，我們將研究的物體抽象化為點和剛體兩種力學模型，因此，本章主要介紹點的運動和剛體的運動。1第四章運動學工程力學第一部分理論力學運動學是從幾何觀點研1.1.1電路的組成方程設有動點M相對坐標系Oxyz做空間曲線運動，在某一瞬時t，動點為M，如圖所示。由坐標原點O向動點M做矢量r，稱r為點M相對于原點O的矢徑。動點M在坐標系中的位置由矢徑r唯一地確定。當動點M運動時，矢徑r隨時間的變化而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即第一節(jié)點的運動一、點的運動2工程力學1.1.1電路的組成方程設有動點M相對坐標系Oxyz做空間1.1.1電路的組成1.點的速度設在瞬時t動點的位置M，矢徑為r。經(jīng)過Δt時間后，動點運動到M'處，其矢徑為r（t＋Δt），如圖所示。動點在Δt時間內(nèi)的位移為二、點的速度和加速度3工程力學1.1.1電路的組成1.點的速度二、點的速度和加速度3工程1.1.1電路的組成由此可得動點在Δt時間內(nèi)的平均速度當Δt趨近于零時，平均速度的極限即為動點在瞬時t的速度（簡稱速度）即動點的速度等于其矢徑對時間的一階導數(shù)。當Δt趨近于零時，Δr的極限位置就是軌跡在點M的切線位置。所以動點的速度沿著該點的切線，方向與動點的方向一致。速度的單位為m/s。4工程力學1.1.1電路的組成由此可得動點在Δt時間內(nèi)的平均速度4工1.1.1電路的組成2.點的加速度設在瞬時t動點的位置M，速度為v。經(jīng)過Δt時間后，動點運動到M'處，其速度為v'，如圖所示。動點在△t時間內(nèi)速度的改變量為比值稱為動點在時間間隔Δt內(nèi)的平均加速度，記為a*。當Δt趨近于零時，平均加速度的極限即為動點在瞬時t的加速度，記為a，有5工程力學1.1.1電路的組成2.點的加速度5工程力學1.1.1電路的組成1.點的直角坐標運動方程由圖可知，動點M在任意瞬時的空間位置也可以用它的三個直角坐標x，y，z表示，由于矢徑的原點和直角坐標系的原點重合，故矢徑r可表示為三、點的運動的直角坐標法6工程力學1.1.1電路的組成1.點的直角坐標運動方程三、點的運動的1.1.1電路的組成2.用直角坐標法求點的速度點的直角坐標運動方程式將點的空間曲線運動分解為沿x、y、z三軸向的直線運動。因r＝xi＋yj＋zk，將此式對時間求一階導數(shù)，并注意到i、j、k為大小、方向都不變的常矢量，則設動點M的速度矢v在直角坐標軸上的投影為vx、vy、vz，則比較上面2式，得到三、點的運動的直角坐標法7工程力學1.1.1電路的組成2.用直角坐標法求點的速度三、點的運動1.1.1電路的組成即速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對應坐標對時間的一階導數(shù)。求得vx、vy、vz，后，速度v的大小和方向就可由它的三個投影完全確定。速度的大小為速度的方向可由其余弦表示3.用直角坐標法求點的加速度同理，點沿x、y、z軸的加速度分量（加速度投影）分別為8工程力學1.1.1電路的組成即速度在各坐標軸上的投影等于動點的各對1.1.1電路的組成即加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各速度的投影對時間的一階導數(shù)，或各對應坐標對時間的二階導數(shù)。加速度a的大小和方向亦可由它的三個投影完全確定。加速度的大小為加速度的方向可由其余弦表示9工程力學1.1.1電路的組成即加速度在各坐標軸上的投影等于動點的各1.1.1電路的組成剛體運動時，若其上任一直線始終保持與它的初始位置平行，則稱剛體做平行移動，簡稱為平動或移動。剛體平動時，其上各點的軌跡如為直線，則稱為直線平動；如為曲線，則稱為曲線平動。設在做平動的剛體內(nèi)任取兩點A和B，令兩點的矢徑分別為rA和rB，并作矢量BA，如圖所示。則兩條矢端曲線就是兩點的軌跡。由圖可知：第二節(jié)剛體的基本運動一、剛體的平行移動10工程力學1.1.1電路的組成剛體運動時，若其上任一直線始終保持與它1.1.1電路的組成把上式兩邊對時間t求一階導數(shù)，由于常矢量BA的導數(shù)等于零，于是得將上式兩邊對時間求一階導數(shù)，得表明，在任一瞬時，A、B兩點的速度相同，加速度也相同。綜上所述，對于平動剛體，只要知道其上任一點的運動就知道了整個剛體的運動。所以，研究剛體的平動，可以歸結為研究剛體內(nèi)任一點（例如機構的連接點、質(zhì)心等）的運動，也就是歸結為上一節(jié)所研究過的點的運動學問題。11工程力學1.1.1電路的組成把上式兩邊對時間t求一階導數(shù)，由于常矢1.1.1電路的組成1.剛體的轉動方程設有一剛體繞固定軸z轉動，如圖所示。定軸轉動剛體具有一個自由度，取轉角φ為廣義坐標。當剛體轉動時，隨時間t的變化而變化，是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即該方程稱為剛體定軸轉動的轉動方程，簡稱為剛體的轉動方程，它反映了剛體整體的轉動規(guī)律。二、剛體繞固定軸的轉動12工程力學1.1.1電路的組成1.剛體的轉動方程二、剛體繞固定軸的轉1.1.1電路的組成2.角速度和角加速度角速度表征剛體轉動的快慢及轉動方向，用字母ω表示，它等于轉角φ對時間的一階導數(shù)，即單位為rad/s(弧度/秒)。角速度ω是代數(shù)量，正負表示剛體的轉動方向。若為正值，則其轉向與轉角φ的增大轉向一致；若為負值，則相反。工程中常用轉速n（每分鐘內(nèi)的轉數(shù)，以r/min為單位）來表示轉動的快慢。角速度與轉速之間的關系是角加速度表征剛體角速度變化的快慢，用字母α表示，它等于角速度ω對時間的一階導數(shù)，或等于轉角φ對時間的二階導數(shù)，即單位為rad/s2(弧度/秒2)。角加速度是代數(shù)量。如果ω與α同號（即轉向相同），則剛體做加速轉動；如果ω與α異號，則剛體做減速轉動。13工程力學1.1.1電路的組成2.角速度和角加速度13工程力學1.1.1電路的組成在工程實際中，不僅要求知道定軸轉動剛體的角速度和角加速度，而且還經(jīng)常需要知道剛體內(nèi)某些點的速度和加速度。剛體繞定軸轉動時，轉軸上各點都固定不動，其他各點都在通過該點并垂直于轉軸的平面內(nèi)做圓周運動，圓心在轉軸上，圓周的半徑R稱為該點的轉動半徑，它等于該點到轉軸的垂直距離。下面用自然法研究轉動剛體上任一點的運動量（速度、加速度）與轉動剛體本身的運動量（角速度、角加速度）之間的關系。用自然法確定的運動方程為點M的速度為三、定軸轉動剛體內(nèi)各點的速度、加速度14工程力學1.1.1電路的組成在工程實際中，不僅要求知道定軸轉動剛體1.1.1電路的組成用θ表示a與轉動半徑OM（即an）之間的夾角，則由上述分析可以看出，剛體繞定軸轉動時，其上各點的速度、加速度有如下分布規(guī)律：（1）轉動剛體內(nèi)各點速度、加速度的大小，都與該點的轉動半徑成正比。（2）轉動剛體內(nèi)各點速度的方向，垂直于轉動半徑，并指向剛體轉動的一方。（3）同一瞬時，轉動剛體內(nèi)各點的全加速度與其轉動半徑具有相同的夾角θ，并偏向角加速度α轉向的一方。15工程力學1.1.1電路的組成用θ表示a與轉動半徑OM（即an）之間1.1.1電路的組成在不同的參考體中研究同一個物體的運動，看到的運動情況是不同的。在研究與運動相對性有關的點的運動時，將研究的點看成是動點，動點相對于兩個坐標系運動，其中固結在地球表面上的坐標系稱為定參考坐標系（簡稱定系），固結在運動參考體上的坐標系稱為動參考坐標系（簡稱動系）。動點相對于定系運動可以看成是動點相對于動系的運動和動系相對定系的運動的合成。因此，這類運動就稱為點的合成運動或復合運動。第三節(jié)點的合成運動一、點的合成運動的概念16工程力學1.1.1電路的組成在不同的參考體中研究同一個物體的運動，1.1.1電路的組成研究點的合成運動必須要選定兩個參考坐標系，清楚以下三種運動：（1）動點相對于定參考坐標系運動，稱為動點的絕對運動。（2）動點相對于動參考坐標系運動，稱為動點的相對運動。（3）動系相對于定系的運動，稱為動點的牽連運動。一般來講，絕對運動看成是運動的合成，相對運動和牽連運動看成是運動的分解，合成與分解是研究點的合成運動的兩個方面，切不可孤立看待，必須用聯(lián)系的觀點去學習。動點的絕對運動、相對運

動和牽連運動之間的關系可以

通過動點在定參考坐標系和動

參考坐標系中的坐標變換得到。

以平面運動為例，設oxy為定

系，o′x′y′為動系，M為動

點，如圖所示。M17工程力學1.1.1電路的組成研究點的合成運動必須要選定兩個參考坐標1.1.1電路的組成M點絕對運動方程為M點相對運動方程為牽連運動是動系o′x′y′相對于定系oxy的運動，其運動方程為由圖得坐標變換18工程力學1.1.1電路的組成M點絕對運動方程為18工程力學1.1.1電路的組成如圖所示，設oxy為定系，o′x′y′為動系，M為動點。動系的坐標原點O′在定系中的矢徑為ro′，動點M在定系上的矢徑為rM，動點M在動系上的矢徑為r′，動系坐標的三個單位矢量為i′，j′，k′，牽連點為M′（動系上與動點重合的點）在定系上的矢徑為rM′，有如下關系：二、點的速度合成定理19工程力學1.1.1電路的組成如圖所示，設oxy為定系，o′x′y′1.1.1電路的組成動點M的絕對速度為動點M的相對速度為牽連運動是動系o′x′y′相對于定系oxy的運動，得牽連速度從而得相對速度、牽連速度的絕對速度三者之間的關系：點的速度合成定理：在任一瞬時，動點的絕對速度等于在同一瞬時相對速度和牽連速度的矢量和。點的相對速度、牽連速度、絕對速度三者之間滿足平行四邊形合成法則，即絕對速度由相對速度和牽連速度所構成的平行四邊形的對角線所確定。20工程力學1.1.1電路的組成動點M的絕對速度為20工程力學1.1.1電路的組成應當注意：（1）三種速度有三個大小和三個方向共六個要素，必須已知其中四個要素，才能求出剩余的兩個要素。因此只要正確地畫出上面三種速度的平行四邊形，即可求出剩余的兩個要素。（2）動點和動系的選擇是關鍵，一般不能將動點和動系選在同一個參考體上。（3）動系的運動是任意的運動，可以是平移、轉動或者是較為復雜的運動。21工程力學1.1.1電路的組成應當注意：21工程力學1.1.1電路的組成機械結構中很多構件的運動，例如行星齒輪機構中動齒輪B的運動，如圖（a）所示；曲柄連桿機構中連桿AB的運動，如圖（b）所示；以及沿直線軌道滾動的輪子，如圖4（c）所示，它們運動的共同特點是即不沿同一方向平移，又不繞某固定點做定軸轉動，而是在其自身平面內(nèi)的運動。即剛體運動過程中，其上任意一點與某一固定平面的距離始終保持不變。剛體的這種運動形式稱為平面運動。平面圖形上各點的運動可以代表剛體內(nèi)所有各點的運動，即剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。第四節(jié)剛體的平面運動一、剛體平面運動的基本概念22工程力學1.1.1電路的組成機械結構中很多構件的運動，例如行星齒輪如圖（a）所示，在平面圖形S內(nèi)建立平面直角坐標系xoy，來確定平面圖形S的位置。為確定平面圖形S的位置只需確定其上任意直線段AB的位置，線段AB的位置可由點A的坐標和線段AB與x軸或者與y軸的夾角來確定。二、平面圖形的運動方程和平面圖形運動的分解23工程力學如圖（a）所示，在平面圖形S內(nèi)建立平面直角坐標系xoy，來確1.1.1電路的組成即有（1）若基點A不動，基點A坐標xA、yA均為常數(shù)，則平面圖形S繞基點A做定軸轉動；（2）若φ為常數(shù)，平面圖形S無轉動，則平面圖形S以方位不變的φ角做平移。由此可見當兩者都變化時，平面圖形S運動可以看成是隨著基點的平移和繞基點的轉動的合成。即平面圖形的運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉動。其中“隨基點的平動”是牽連運動，“繞基點的轉動”是相對運動。基點的選擇是任意的。因為一般情況下平面圖形上各點的運動各不相同，所以選取不同的點作為基點時，平面圖形運動分解后的平動部分與基點的選擇