冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換

第三講冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換第三講冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換重點難點重點：①冪函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)．②函數(shù)圖象三種基本變換規(guī)則．難點：①冪函數(shù)圖象的位置和形狀變化與指數(shù)的關系．②利用基本變換規(guī)則作函數(shù)圖象重點難點知識歸納一、冪函數(shù)的定義和圖象1．定義：形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)(α為常數(shù))要重點掌握α＝1,2,3，，－1,0，－，－2時的冪函數(shù)2．圖象：(只作出第一象限圖象)冪函數(shù)在其它象限的圖象，可由冪函數(shù)的奇偶性根據(jù)對稱性作出．知識歸納冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象如下表：α＝α<00<α<1α>1p、q都是奇數(shù)p為奇數(shù)，q為偶數(shù)p為偶數(shù)，q為奇數(shù)冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象如下表：α＝α<00<α<1α3.性質(zhì)：(1)當α>0時，冪函數(shù)圖象都過

點和

點；且在第一象限都是

函數(shù)；當0<α<1時曲線上凸；當α>1時，曲線下凸；α＝1時，為過(0,0)點和(1,1)點的

．(2)當α<0時，冪函數(shù)圖象總經(jīng)過

點，且在第一象限為

函數(shù)．(3)α＝0時y＝x0，表示過(1,1)點平行于x軸的直線(除去(0,1)點)．(0,0)(1,1)增直線(1,1)減3.性質(zhì)：(0,0)(1,1)增直線(1,1)減二、函數(shù)的圖象與圖象變換1．畫圖描點法①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、值域)；其次列表(尤其注意特殊點，如最大值、最小值、與坐標軸的交點)，最后描點，連線．二、函數(shù)的圖象與圖象變換圖象變換法(1)平移變換①左右平移：y＝f(x－a)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個單位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位而得到．圖象變換法(2)對稱變換①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關于y軸對稱．②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關于x軸對稱．③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱．④y＝f－1(x)與y＝f(x)的圖象關于直線y＝x對稱．⑤y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分不變．⑥y＝f(|x|)的圖象可將y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關于y軸的對稱性，作出x＜0的圖象．(2)對稱變換(3)伸縮變換①y＝Af(x)(A＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標不變而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變而得到．(3)伸縮變換2．識圖繪圖、識圖是學習函數(shù)、應用函數(shù)的一項重要基本功．識圖要首先把握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性或圖象的對稱特征、周期性、與坐標軸的交點，另外有無漸近線，正、負值區(qū)間等都是識圖的重要方面，要注意函數(shù)解析式中含參數(shù)時．怎樣由圖象提供信息來確定這些參數(shù)．2．識圖3．用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數(shù)形結合解題的思想方法．4．圖象對稱性的證明(1)證明函數(shù)圖象的對稱性，即證明其圖象上的任意一點關于對稱中心(或對稱軸)的對稱點仍在圖象上．(2)證明曲線C1與C2的對稱性，即要證明C1上任一點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點在C2上，反之亦然．5．有關結論若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱圖形；3．用圖誤區(qū)警示1．對于函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)一定要區(qū)分開來，前者將y＝f(x)位于x軸下方的圖象翻折到x軸上方，后者將y＝f(x)圖象在y軸左側圖象去掉作右側關于y軸的對稱圖，后者是偶函數(shù)而前者y≥0.比如y＝|sinx|與y＝sin|x|.2．由函數(shù)y＝f(x)的圖象變換成y＝g(x)的圖象，變換順序為①→②時，由y＝g(x)的圖象變換成y＝f(x)的圖象則是相反的變換且順序也相反，即②→①.3．在研究冪函數(shù)y＝xα的圖象、性質(zhì)時，應考慮α的三種情況：α>0，α＝0和α<0.誤區(qū)警示一、數(shù)形結合的思想函數(shù)的圖象可以形象地反映函數(shù)的性質(zhì)．通過觀察圖形可以確定圖象的變化趨勢、對稱性、分布情況等．數(shù)形結合借助于圖象與函數(shù)的對應關系研究函數(shù)的性質(zhì)，應用函數(shù)的性質(zhì)．其本質(zhì)是：函數(shù)圖象的性質(zhì)反映了函數(shù)關系；函數(shù)關系決定了函數(shù)圖象的性質(zhì)．一、數(shù)形結合的思想二、圖形變換方法作圖是學習和研究函數(shù)的基本功之一．變換法作圖是應用基本函數(shù)的圖象，通過平移、伸縮、對稱等變換，作出相關函數(shù)的圖象．應用變換法作圖，要求我們熟記基本函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，準確把握基本函數(shù)的圖象特征．二、圖形變換方法[例1](1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的范圍．(2)比較大小：0.80.7與0.70.8.解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴0.71.3<1.30.7考察冪函數(shù)y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m知y＝xm為(0，＋∞)上的增函數(shù)，∴m>0.(2)指數(shù)函數(shù)y＝0.8x是減函數(shù)，∴0.80.7>0.80.8又冪函數(shù)y＝x0.8在第一象限為增函數(shù)∴0.80.8>0.70.8，∴0.80.7>0.70.8.[例1](1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，若(a＋1)－<(3－2a)－，則a的取值范圍是______．解析：冪函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上為減函數(shù)，函數(shù)值y>0；在(－∞，0)上也是減函數(shù)，函數(shù)值y<0.答案：()∪(－∞，－1)若(a＋1)－<(3－2a)－，則a的取值范圍是[例2]設x∈(0,1)時，函數(shù)y＝xp的圖象在直線y＝x的上方，則p的取值范圍是________．解析：(1)當p>0時，根據(jù)題意p<1，∴0<p<1.(2)p＝0時，函數(shù)為y＝1(x≠0)，符合題意．(3)p<0時，在(0，＋∞)上過(1,1)點，函數(shù)為減函數(shù)，符合題意．綜上所述，p的取值范圍(－∞，1).[例2]設x∈(0,1)時，函數(shù)y＝xp的圖象在直線y＝x冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換解析：由冪函數(shù)圖象特點，C1、C2對應n>0，C3、C4對應n<0∴曲線C1、C2、C3、C4對應n為2，，－，－2.∴選B.解析：由冪函數(shù)圖象特點，冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如右圖所示，則m的值為 ()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如右圖所示，則m的解析：∵y＝xm2－2m－3在第一象限為減函數(shù)∴m2－2m－3<0即－1<m<3又m∈Z∴m的可能值為0,1,2.代入函數(shù)解析式知，當m＝1時，為偶函數(shù)，∴選C.答案：C解析：∵y＝xm2－2m－3在第一象限為減函數(shù)[例4]已知冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范圍．分析：先根據(jù)條件確定m的值，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求a的范圍．圖象關于y軸對稱說明此冪函數(shù)為偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明指數(shù)為負，故應從指數(shù)小于0入手求解．[例4]已知冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的圖象關解析：∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又函數(shù)圖象關于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數(shù)．而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，∴m＝1.解析：∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換解析：(1)首先化簡解析式，y＝利用二次函數(shù)的圖象作出其圖象，如下圖(1)．解析：(1)首先化簡解析式，y＝(2)因y＝1＋，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位，即得y＝的圖象，如圖(2)．(3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖(3)．(4)先作出y＝2x的圖象，保留x≥0部分，再關于y軸對稱得到y(tǒng)＝2|x|圖象，然后右移一個單位，即得y＝2|x－1|的圖象．

(2)因y＝1＋，先作出y＝的已知P為圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(原點O除外)，直線OP的傾斜角為θ弧度，記d＝|OP|.在圖中的坐標系中，畫出以(θ，d)為坐標的點的軌跡大致圖形．已知P為圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(原點O除外)，直解析：依題意，設圓與y軸的另一交點為D，則D(0,2)．從而|OP|＝|OD|·sinθ，∴d＝2sinθ(θ∈(0，π))．其圖象為正弦曲線一段．故作簡圖如右圖．解析：依題意，設圓與y軸的另一交點為D，則D(0,2)．從而[例6]如果函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y＝f(2x)的圖象的一條對稱軸是直線 ()A．x＝－1 B．x＝1C．x＝－ D．x＝[例6]如果函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y＝f(2x解析：∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴將f(x＋1)的圖象向右平移1個單位得到f(x)的圖象，∴f(x)的對稱軸為x＝1，∴f(2x)對稱軸為x＝.故選D.解析：∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴將f(x＋1)的圖象向右平移若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象分別如圖，則f(x)·g(x)的圖象可能是 ()若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象分別如圖，則f(x)·解析：由f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，可知f(x)·g(x)為奇函數(shù)，x∈(－3,0)時，f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(x)>0，故選C.答案：C解析：由f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，可知f(x)·g[例7]已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，當x∈(－1，1)時，均有f(x)<，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2] D．(0，]∪[4，＋∞)解析：x2－ax<，即x2<ax＋恒成立，由數(shù)形結合可知選C.[例7]已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，當x∈(若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________．解析：由圖可知，ⅰ)當a>1時，2a>2，不成立．ⅱ)當0<a<1時，0<2a<1?0<a<.綜上所述，a的取值范圍是0<a<.答案：若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的圖冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換解析：函數(shù)y＝2x的圖象與函數(shù)y＝log2x的圖象關于直線y＝x對稱；函數(shù)y＝＝－log2x的圖象與函數(shù)y＝log2x的圖象關于x軸對稱；函數(shù)y＝＋1＝－log2x＋1的圖象向下平移1個單位就得函數(shù)y＝的圖象，再沿x軸翻折就得到y(tǒng)＝log2x的圖象．∴選C.解析：函數(shù)y＝2x的圖象與函數(shù)y＝log2x的圖象關于直線y一、選擇題1．已知a、b、c、d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于 ()A．3B．2C．1D．－2[答案]

B[解析]曲線y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴頂點為(1,2)．∵a、b、c、d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝1×2＝2.故選B.一、選擇題2．(文)(09·山東)給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是()A．3B．2C．1D．0[答案]

C[解析]原命題正確，故其逆否命題正確，逆命題是假命題，故否命題也為假．所以真命題個數(shù)為1.2．(文)(09·山東)給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)(理)函數(shù)y＝(n∈N且n>9)的圖象可能是 ()[答案]

C(理)函數(shù)y＝(n∈N且n>9)的圖象可能3．(文)設函數(shù)f(x)＝x2

x∈[0,1]，則f(x)與f－1(x)的大小關系為 ()A．f(x)<f－1(x) B．f(x)>f－1(x)C．f(x)≤f－1(x) D．f(x)≥f－1(x)[答案]

C[解析]由對稱性作出兩函數(shù)圖象再判斷．3．(文)設函數(shù)f(x)＝x2x∈[0,1]，則f(x)與(理)若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝bx的圖象 ()A．關于直線y＝x對稱 B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱 D．關于原點對稱[答案]

C[解析]∵lga＋lgb＝lg(ab)＝0，∴ab＝1，∴可令a＝2，b＝，則f(x)＝2x，g(x)＝2－x，其圖象關于y軸對稱．(理)若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，則函數(shù)f(4．(文)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]時，f(x)＝|x|.則函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log4|x|的圖象的交點個數(shù)為 ()A．3B．4C．6D．8[答案]

C4．(文)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f([解析]本題考查周期函數(shù)圖象與偶函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象．在同一直角坐標系中于y軸右側作出函數(shù)y＝f(x)與y＝log4|x|的圖象，如圖所示，得3個交點；再由兩個函數(shù)都是偶函數(shù)可知在y軸左側也有3個交點，故兩個函數(shù)的圖象共有6個交點，所以選C.[解析]本題考查周期函數(shù)圖象與偶函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象．在同一(理)已知