易錯(cuò)點(diǎn)14 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例-2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（教師版含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)14統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

易錯(cuò)題［oil利用隨機(jī)數(shù)表確定樣本忘記去掉重復(fù)數(shù)字

抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，但是抽簽法適合在總體和樣本都較少，容易

攪拌均勻時(shí)使用，而隨機(jī)數(shù)表法除了適合總體和樣本都較少的情況外，還適用于總體較多但

是需要的樣本較少的情況，這時(shí)利用隨機(jī)數(shù)表法能夠快速地完成抽樣.在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，

如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)

單位，自左向右選取，有超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去.

易錯(cuò)題［02］對(duì)頻率分步直方圖理解不準(zhǔn)確致誤

1.解決頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)要抓住3個(gè)要點(diǎn)

(1)直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.

(2)直方圖中縱軸表示磊，故每組樣本的頻率為組距x磊,即矩形的面積.

(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率x總體數(shù).

2.用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法

(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)；

(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和。

易錯(cuò)題【03】求回歸直線方程計(jì)算錯(cuò)誤

1.回歸直線方程

(1)通過(guò)求Q=*(y-。一4七)2的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到

1=\

回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.該式取最小值時(shí)的a,夕的值即分

別為，，b.

(2)兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(石，,)，(々，%)，…，(Z，券)，其回歸方

￡(毛一君(方一刃

"b=-------------------=---------------

程為正法+a,則￡(%-守2x”應(yīng)2

1=11=1

a=y-bx

2.求回歸直線方程運(yùn)算量一般比較大，求解時(shí)運(yùn)算要格外細(xì)心，防止運(yùn)算失分，此外還要注

意題中有無(wú)參考數(shù)據(jù)，防止重復(fù)運(yùn)算。

易錯(cuò)題【04】求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題對(duì)K?的值理解不準(zhǔn)確

（1）像下表所示列出兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量x和丫，它

們的可能取值分別為（％,々）和（,，火），其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為

yiy2總計(jì)

芍aba+b

X2cdc+d

總計(jì)a+cb+da+h+c+d

（2）對(duì)2X2列聯(lián)表的說(shuō)明

在2X2列聯(lián)表中,如果兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad-bcY）,因此|ad-bc|越小,關(guān)系越

弱;|ad-bc|越大，關(guān)系越強(qiáng).

（3）構(gòu)造一■個(gè)隨機(jī)變量K?-----「"（"IJ，）------,其中”=a+8+c+d為樣本

［a+b）（c+d）［a+c）［b+d）

容量.如果K2的觀測(cè)值左./0，就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系“；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)

變量之間沒(méi)有關(guān)系我們稱這樣的幻為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值.按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)

分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤地判斷為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”的概率不超過(guò)

2

P（K..kn）.上面這種利用隨機(jī)變量K?來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢

驗(yàn).

易錯(cuò)題01

某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00,01,…38,39.現(xiàn)要從中選出5個(gè),利用下

面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列開(kāi)始，由左至右依次讀取，選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是（）

064743738636964736614698637162332616804560111410

957774246762428114572042533237322707360751245179

A.36B.16C.11D.14

【警示】前面有2個(gè)36,忽略去掉重復(fù)數(shù)字，誤選B

【答案】C

【問(wèn)診】從第一行第3列開(kāi)始，由左至由一次讀取，即47開(kāi)始讀取,在編號(hào)范圍內(nèi)的提取出來(lái),

可得36,33,26,16,11.則選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是11.故選C.

【叮囑】在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，要注意把超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去.

支式練習(xí)）〉

1.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每三天下雨的情況不完全相同，每一天下雨的概率均為

40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：用1,2,3,4表示

下雨，從下列隨機(jī)數(shù)表的第1行第2列開(kāi)始讀取直到末尾從而獲得N個(gè)數(shù)據(jù).據(jù)此估計(jì)，

這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）

19079661919252719328124585691916

83431257393027556488730113537989

A.—B.-C.—D.不確定

2373

【答案】B

【解析】每3個(gè)數(shù)為-組讀取，則有：907,966,191,925,271,932,812,458,569,

191,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989共21組數(shù)據(jù)，其中滿足

條件的有191,271,932,812,191,393共有6組，.?.這三天中恰有兩天下南的概率近似

2

為,?故選B

2.（2021屆江西省贛州市高三二模）某口罩生產(chǎn)工廠為了了解口罩的質(zhì)量，現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)

生產(chǎn)的50只口罩進(jìn)行抽樣檢測(cè)，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)為01,02,03,50,從中抽

取10個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第2行到第4行，若從表中第3行第4列開(kāi)始向右讀取

數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是.

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421553313457860136253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

【答案】28.

【解析】從表中第3行第4列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，依次為：21,33,13,45,28,所以得到的第

5個(gè)樣本編號(hào)是28

易錯(cuò)題02

（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）（12分）淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的

產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直

方圖如下：

付率/出即

ks03540455055M>6570Ri*

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)

殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率;

(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量至0kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

0.0500.0100.001

n(ad-be)2

k3.8416.63510.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【警示】本題出錯(cuò)主要原因是把高看作頻率，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤

【問(wèn)診】(I)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為

0.012x5+0.014x5+0.024x5+0.034x5+0.040x5=0.62,由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相

互獨(dú)立，

于是P(A)=0.62x0.66=0.4092

(H)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有100x0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養(yǎng)殖法

的箱產(chǎn)量不低于50kg的有100x0.66=66箱，低于50kg的有34箱,得到2x2列聯(lián)表如下:

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量N50kg合計(jì)

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

合計(jì)96104200

一一“2200x(62x66-34x38)21225

所以K-=--------------------------------—=-------?15.705

96x104x100x10078

K2>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。

(HI)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為

0.038x5+0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.66>0.50,不低于55kg的頻率為

0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.32<0.50,于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到

55kg之間，設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為x,則有

（55-x）x0.068+0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.50

解得x=52.3529因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35。

【叮囑】頻率分別直方圖中矩形的高是整，矩形的面積表示頻率

組距

支式練習(xí)〉）

1.（2022屆江蘇省南京市高三上學(xué)期期中）從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)

現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.在這些用戶中，用電量落在區(qū)

間［150,250）內(nèi)的戶數(shù)為（）

D.70

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得

（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）x50=1,

解得x=0.0044,

所以用電量落在區(qū)間［150,250）內(nèi)的頻率為（0.0060+0.（X）44）x50=0.52,

用電量落在區(qū)間［150,250）內(nèi)的戶數(shù)為100x0.52=52戶.故選C.

2.（2022屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）2021年9月以來(lái)，多地限電的話題備受

關(guān)注，廣東省能源局和廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司聯(lián)合發(fā)布《致全省電力用戶有序用電、節(jié)約用

電倡議書(shū)》，目的在于引導(dǎo)大家如何有序節(jié)約用電.某市電力公司為了讓居民節(jié)約用電，采用

“階梯電價(jià)''的方法計(jì)算電價(jià)，每戶居民每月用電量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用電量口千瓦時(shí)）時(shí)，按平價(jià)

計(jì)費(fèi)，每月用電量超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)電量千瓦時(shí)）時(shí)，超過(guò)部分按議價(jià)計(jì)費(fèi).隨機(jī)抽取了100戶居民

月均用電量情況，已知每戶居民月均用電量均不超過(guò)450度，將數(shù)據(jù)按照[0,50),[50,100),…

[400,450]分成9組，制成了頻率分布直方圖(如圖所示).

(1)求直方圖中機(jī)的值；

(2)如果該市電力公司希望使85%的居民每月均能享受平價(jià)電費(fèi)，請(qǐng)估計(jì)每月的用電量標(biāo)準(zhǔn)x

(千瓦時(shí))的值；

(3)在用電量不小于350(千瓦時(shí))的居民樣本中隨機(jī)抽取4戶，若其中不小于400(千瓦時(shí))的有

X戶居民，求X的分布列.

【解析】(1)由題得50x(0.0008+0.0016+0.0040+0.0052+0.0012+0.0008+0.0004+2⑼=1

解得加=().(X)3().所以直方圖中機(jī)的值為〃?=().(X)30.

(2)由頻率分布直方圖得月均用電量小于250(千瓦時(shí))的居民家庭所占百分比為：

50x(0.0008+0.0016+0.0030+0.0040+0.0052)=0.73,

同理，88%的居民用電量小于300(千瓦時(shí))

所以250Vx<300,

所以0.73+(x-250)x0.0030=0.85,解得x=290(千瓦時(shí)).

所以若使85%的居民每月均能享受平價(jià)電費(fèi)，請(qǐng)估計(jì)每月的用電量標(biāo)準(zhǔn)290(千瓦時(shí))的值

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，樣本中用電量不小于350(千瓦時(shí))的居民共有

(0.0008+0.0004)x50x100=6(戶)，

不小于400(千瓦時(shí))的有X戶居民0.0004x50x100=2(戶)，

所以隨機(jī)變量X的可能取值為01,2,

P—。)系心尸=等小=管士|,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X012

182

p

1515I

易錯(cuò)題03

（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物

數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這

些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（如y）（i=l,2,

20）,其中X,和y,?分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,

20202020

并計(jì)算得?>,=60,Z“=1200,￡(七一君2=80,Z(K—刃2=9000,

i=li=li=li=l

20

Z(七一元)(y,—歹)=800.

i=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物

數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本⑶，2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地

區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

f（玉-?。ǎ?9）

附：相關(guān)系數(shù)片不^.414.

叵（毛―元茂方

V/-=!/=1

【警示】求解本題失分的一個(gè)主要原因是運(yùn)算失誤，二是沒(méi)有注意題中提供數(shù)據(jù)，重復(fù)計(jì)數(shù),

導(dǎo)致時(shí)間不夠用

1201

【答案】⑴樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為/\＞，=而＞1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200x60=12000

（2）樣本（七,乂）《=1,2,20）的相關(guān)系數(shù)為

20

Z(x,-幻(y-刃,8。。=迪=0.94

==20'

780x90003

￡(X,.-X)2￡(J,.-7)2

V/=1i=\

(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

【叮囑】求解回歸分析問(wèn)題一般方法容易尋找，基本是代入公式求解，故一定要注意運(yùn)算的

準(zhǔn)確性。

變式練習(xí)

1.某品牌汽車(chē)4s店對(duì)2021年該市前幾個(gè)月的汽車(chē)成交量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，用》表示2021年第x月

份該店汽車(chē)成交量，得到統(tǒng)計(jì)表格如表：

1234567

必28323545495260

(1)求出y關(guān)于X的線性回歸方程?=寶+右，并預(yù)測(cè)該店8月份的成交量；(&,。精確到整

數(shù))

(2)該店為增加業(yè)績(jī)，決定針對(duì)汽車(chē)成交客戶開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)“一等獎(jiǎng)”、“二等獎(jiǎng)''和"祝

您平安”三種，若抽中“一等獎(jiǎng)'’獲5千元獎(jiǎng)金；抽中“二等獎(jiǎng)”獲2千元獎(jiǎng)金；抽中“祝您平安”

則沒(méi)有獎(jiǎng)金.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為g,沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率為現(xiàn)

有甲、乙兩個(gè)客戶參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲獎(jiǎng)金總額X(千

元)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

7￡(若一工)(y-沙

參考數(shù)據(jù)及公式：Z(X,-T)(Y-5)=150,3=^F----------------,a=y-bx.

I之(一)2

i=l

■An&L■,ctH+_1+2+3+4+5+6+7

【解析】(1)由題意可得，-v=---------------------------=4,

_28+32+35+45+49+52+60C

y=---------------------------------------=43,

^'一')150人-150

/.b=-----------------=—?5,a=y-bx=43-------x4。21.57*22,

2828

i=l

故線性回歸方程為9=5X+22,

當(dāng)x=8時(shí)，夕=5x8+22=62,

故預(yù)計(jì)8月份的成交量為62輛.

⑵獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為1-=：，

326

X的所有可能取值為0,2,4,5,7,10,

P(X=0)=—x—=P(X=2)=—x—+—x—=—,

22432233

p(X=4)=-x-=-,P(X=5)=LWLL

33926626

P(X=7)=—x—+—x—=—,P(X=10)=—x—=—,

633696636

故X的分布列為:

X0245710

j_1111

p

4396936

故E(X)=0x；+2xg+4xg+5x\+7x]10x*3.

2.（2022屆陜西省商洛市高三上學(xué)期聯(lián)考）一機(jī)器按不同的速率運(yùn)轉(zhuǎn)，其生產(chǎn)的產(chǎn)品中均可

能出現(xiàn)次品，每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中含有的次品數(shù)（單位：件）隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速率的變化而變化,

用x表示轉(zhuǎn)速（單位：轉(zhuǎn)/秒），用y表示每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中含有的次品數(shù)，現(xiàn)得到關(guān)于（x,y）

的四組數(shù)據(jù)如下表:

X46810

y2356

⑴求每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中含有的次品數(shù)y關(guān)于機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)速率x的回歸方程￥=匹+機(jī)

（2）若實(shí)際生產(chǎn)中所容許的每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中含有的次品數(shù)不超過(guò)11件，則機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速

率不得超過(guò)多少轉(zhuǎn)/秒？

〃__

參考公式：線性回歸方程是學(xué)=院+機(jī)其中八月-----—,%=》-荻.

Yxf-nx

i=l

-1-1

【解析】⑴由表中數(shù)據(jù)可得X=W(4+6+8+10)=7,y=*(2+3+5+6)=4,

4_

=4x2+6x3+8x5+10x6-4x7x4=14,

/=1

4

=42+62+82+102-4x72=20,

劃

所以人與--------=—=0.1,

Zf20

三I

所以a=i-江=4-0.7x7=-0.9.

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為§=0.7X-0.9.

(2)由y=0.7x-0.9Wll,得xW牛，即E7,

即機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速率不得超過(guò)17轉(zhuǎn)/秒.

易錯(cuò)題04

(2021年高考全國(guó)甲卷理科)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)

品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況

統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【警示】根據(jù)K2>6.635,得出沒(méi)有有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有

差異，是本題失分主要原因

【問(wèn)診】對(duì)岸理解不準(zhǔn)確，導(dǎo)致判斷失誤，

【答案】（I）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為受=75%,

200

120

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為——=60%.

200

⑵4009gx8匕1吵5嘰理〉心6635.

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

【叮囑】在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率

出錯(cuò).在利用2x2列聯(lián)表計(jì)算K?的值之前，先假設(shè)兩個(gè)分類(lèi)變量是無(wú)關(guān)的，最后再利用心的

值的大小對(duì)二者關(guān)系進(jìn)行含概率的判斷

變式練習(xí)

1.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)

量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,6001

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2(良)51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或

4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判

斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K*)0.0500.0100.001

k38416.63510.828

【解析】(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為"3士”=0.43,

100

等級(jí)為2的概率為5+10+12=O.27,等級(jí)為3的概率為9+7+8=0.21,等級(jí)為4的概

100100

率為需=°。9；

(2)由頻數(shù)分布表uj■知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為

100x20+300x35+500x45…

---------------------------=350

100

(3)2x2列聯(lián)表如下:

人次4400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

K?_100x(33x8-37x22/

?5.820>3.841-

55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

2.(2022屆廣西玉林市、貴港市高三12月模擬)2021年8月份，義務(wù)教育階段“雙減”政策出

臺(tái)，某小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)開(kāi)設(shè)音樂(lè)、科技、體育等特色課程，為進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情

況，隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查問(wèn)卷，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：

喜歡體育不喜歡體育

已選體育課（A組）7525

未選體育課（8組）4555

（1）若從樣本內(nèi)喜歡體育的120人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取16人，問(wèn)應(yīng)在A組、B組各抽

取多少人？

（2）能否有99.5%的把握認(rèn)為選報(bào)體育延時(shí)課與喜歡體育有關(guān)？

附：

P（K2>k）0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

K2二n（ad-bcf

（。+b）（c+d）（。+c）（b+d）

【解析】（1）依題意，分層抽樣的抽樣比為首=2,則有75x2=10,45x2=6,

所以在A組中抽取10人，在B組中抽取6人.

（2）依題意,2x2列聯(lián)表為:

喜歡體育不喜歡體育合計(jì)

已選體育課（A組）7525100

未選體育課（B組）4555100

合計(jì)12080200

于是得六的觀測(cè)值：小詈蒜—*.75>7.879,

所以有99.5%的把握認(rèn)為選報(bào)體育延時(shí)課與喜歡體育有關(guān).

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2022屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三高考適應(yīng)性月考）某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900

支乙肝疫苗進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將疫苗按000,001,899進(jìn)行編號(hào)，從中抽取90個(gè)樣本，

若選定從第4行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根

據(jù)下圖，讀出的第5個(gè)數(shù)的編號(hào)是（）

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269696682731050372931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

A.827B.310C.503D.729

【答案】C

【解析】從表中第4行第4列開(kāi)始向右讀取分別為

685,992（舍），696,966（舍），827,310,503,第5個(gè)數(shù)為503,

故選C.

2.（2022屆天津市第一零二中學(xué)高三上學(xué)期期中）某高校調(diào)查了400名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間

（單位：小時(shí)），制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本

數(shù)據(jù)分組為[17.5,20],（20,22.5],（22.5,25],（25,27.5],（27.5,30].根據(jù)直方圖這400名

學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)的人數(shù)是（）

A.90B.130C.250D.60

【答案】A

【解析】求出每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)所占的頻率/=（0.02+0.07）x2.5=0.225,人數(shù)

M=400x0.225=90,故選A.

3.某校為了解學(xué)生體能素質(zhì)，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，進(jìn)行體能測(cè)試.并將這50名學(xué)生成績(jī)

整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖.下列結(jié)論中不正確的是（）

A.這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的人數(shù)占比為20%

B.這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的人數(shù)有26人

C.這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為70

D.這50名學(xué)生的平均成績(jī)［=68.2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表)

【答案】C

【解析】根據(jù)此頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的頻率為(0.008+0.012)x10=0.20,所

以A正確；這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的人數(shù)為(0.032+0.020)x10x50=26,所以B正

確；根據(jù)此頻率分布直方圖，(0.008+0.02)x10=0.28<0.5,

(0.008+0.02+0.032)x10=0.6>0.5,可得這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)?60,70),所以C錯(cuò)誤

；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得：

1=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2，所以D正確.

故選C.

4.隨著國(guó)家二孩政策的全面放開(kāi)，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)

構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.

非一線一線總計(jì)

愿生452065

不愿生132235

總計(jì)5842100

計(jì)算得，K1?9.616.

參照下表，

川片4)0.0500.0100.001

島3.8416.63510.828

下列結(jié)論正確的是()

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

C.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

【答案】C

【解析】因?yàn)?.616>6.635,所以有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”,

故選項(xiàng)A、B、D不正確，故選C.

5.某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過(guò)抽樣調(diào)查（樣本容量”=1000）,利用2x2列聯(lián)表和K?統(tǒng)計(jì)量研究患肺病是

否與吸煙有關(guān).計(jì)算得六=4.453,經(jīng)查對(duì)臨界值表知產(chǎn)（KL3.841）=0.05,現(xiàn)給出四個(gè)結(jié)論,

其中正確的是（）

A.在100個(gè)吸煙的人中約有95個(gè)人患肺病

B.若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病

C.有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

D.只有5%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

【答案】C

【解析】計(jì)算得K2=4.453,經(jīng)查對(duì)臨界值表知K2..3.841）?0.05,

.,.有1-0.05=95%的把握說(shuō)患肺病與吸煙有關(guān)，故選C.

6.（2022屆廣東省江門(mén)市高三上學(xué)期10月月考）在樣本頻率分布直方圖中，共有5個(gè)小矩形，

已知落在最中間這組的頻數(shù)是20,且最中間位置的小矩形的面積是其余小矩形面積之和的

7,則這個(gè)樣本容量是___________

4

【答案】100

【解析】設(shè)最中間位置的小矩形的面積為5,則S=!（l-S）,得S=:，即最中間這組的頻

45

20_

率為：頻數(shù)是20,...樣本容量是T=10°

5?

7.2020年12月31日，國(guó)務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布，國(guó)藥集團(tuán)中國(guó)生物的新型冠狀病毒滅活

疫苗已獲國(guó)家藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市.在新型冠狀病毒疫苗研發(fā)過(guò)程中，需要利用基因編輯

小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)某種新型冠狀病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得

到如下2x2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：

被新型冠狀病毒感染未被新型冠狀病毒感染合計(jì)

注射疫苗1050

未注射疫苗3050

合計(jì)30100

計(jì)算可知，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過(guò)的前提下，可認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種

疫苗能起到預(yù)防新型冠狀病毒感染的效果”.

富f八八2n(ad-bc)2

參考公式：X=/.,n-a+b+c+d.

(a+b)v(c+d)(a+c)(b+d)

pQ%)0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.4815.0246.6357.87910.828

【答案】0.05%

【解析】完善2x2列聯(lián)表如下：

被新型冠狀病毒感染未被新型冠狀病毒感染合計(jì)

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

合計(jì)3070100

百位,n(ad-bc)2100x(10x30-40x20)2--修-

因?yàn)榱?=-----------1---------乙--------=----------------------L工4.762,3.841<4.762<5.024所

(〃+h)(c+d)(a+c)(h+d)30x70x50x50

以在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過(guò)0.05的前提下，可認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到

預(yù)防新型冠狀病毒感染的效果

8.為保障食品安全，某地食品監(jiān)管部門(mén)對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，分別從這兩

家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類(lèi)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值

為檢測(cè)依據(jù).已知該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下：

L15,[25,[35,

質(zhì)量指標(biāo)值[20,25)[30,35)[40,45]

20)30)40)

等級(jí)次品二等品一等品二等品三等品次品

根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組，統(tǒng)計(jì)得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布

表（如下面表，其中。＞0）.

質(zhì)量指標(biāo)

頻數(shù)

值

[15,20)2

[20,25)18

[25,30)48

[30,35)14

[35,40)16

[40,45]2

合計(jì)100

(1)現(xiàn)從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，試估計(jì)該件產(chǎn)品為次品的概率；

(2)為守法經(jīng)營(yíng)、提高利潤(rùn)，乙企業(yè)將所有次品銷(xiāo)毀，并將一、二、三等品的售價(jià)分別定為120

元、90元、60元.一名顧客隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)了乙企業(yè)銷(xiāo)售的2件該食品，記其支付費(fèi)用為X元，用頻

率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請(qǐng)自定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩企業(yè)食品質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較.

【解析】(1)^(?+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)x5=1,

解得a=0.008,

所以甲企業(yè)的樣本中次品的頻率為(K0.020)x5=0.14,

即從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，該件產(chǎn)品為次品的概率是0.14；

(2)由圖表知，乙企業(yè)在100件樣本中合格品有96件，則一等品的概率為2=:，

962

二等品的概率為竺署=1三等品的概率為￡

963966

由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為：120,150,180,210,240；

且尸(X=120)=，x[=上，P(X=150)=C>lxl=lP(X=180)=C^xlxl+lxl=A>

6636369263318

P(X=210)=C1X-!-X-=1,P(X=240)=-xl=l,

233224

??.隨機(jī)變量X的分布列為:

X120150180210240

15J_

P

3691834

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=120W+150X\+180X[+210X1+240：=200；

369lo34

(3)答案不唯一，參考如下：

①以產(chǎn)品的合格率(非次品的占有率)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的食品質(zhì)量進(jìn)行比較，

由圖表可知，甲企業(yè)產(chǎn)品的合格率約為0.86,乙企業(yè)產(chǎn)品的合格率約為0.96,即乙企業(yè)產(chǎn)品

的合格率高于甲企業(yè)產(chǎn)品的合格率，

所以認(rèn)為乙企業(yè)的食品生產(chǎn)質(zhì)量更高.

②以產(chǎn)品次品率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的食品質(zhì)量進(jìn)行比較也可得出結(jié)論.

③以產(chǎn)品中一等品的概率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)的食品質(zhì)量進(jìn)行比較，根據(jù)圖表可知，

甲企業(yè)產(chǎn)品中一等品的概率約為0.4,

乙企業(yè)產(chǎn)品中一等品的概率約為0.48,即一企業(yè)產(chǎn)品中一等品的概率高于甲企業(yè)產(chǎn)品中一等

品的概率，

所以乙企業(yè)的食品生產(chǎn)質(zhì)量更高.

④根據(jù)第(2)問(wèn)的定價(jià)，計(jì)算購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，從而比較甲、乙兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)品的

優(yōu)劣.

9.(2022屆陜西省西安市高三上學(xué)期模擬)某高校數(shù)學(xué)系為了控制大一學(xué)生上課使用手機(jī)，

針對(duì)上課使用手機(jī)情況，進(jìn)行量化比，若發(fā)現(xiàn)上課使用手機(jī)則扣除其對(duì)應(yīng)的積分，根據(jù)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)每次被扣分?jǐn)?shù)與本系一大學(xué)生每周上課使用手機(jī)人數(shù)的關(guān)系如下表所示：

每次被扣分?jǐn)?shù)M單位：分)025810

每周上課使用手機(jī)人數(shù)M單位：次)5025201510

(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸直線方程(結(jié)果保留一位小數(shù))；

參考公式：線性回歸方程§=%+當(dāng)中，bT-------,a=3-bx.

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