2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試卷

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學

考前須知：

1.本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩局部，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準考證號填寫在答題卡上.

2.答復(fù)第一卷時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.答復(fù)第二卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一卷

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題

目要求的.

1.集合M={0,1,2,3,4},N={l,3,5},P=MN,那么P的子集共有

A.2個B.4個C.6個D.8個

A.2—ZB.1—2/C.—2+iD.—1+27

3.以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+oo)單調(diào)遞增的函數(shù)是

A.y=xiB.y=|%∣+1C.y=-x2+1D.y=2-lvl

22

4.橢圓^+?—=1的離心率為（了始）

168

1

-1

A.C3B.一

2/3/

IAT.P=I

n√2

D.——

2

執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6,那么輸出的P是IP=P*

A.120B.720

C.1440D.5040

6.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每

位同學參加各個小組的可能性相同，那么這兩位同學參加同?

一個興趣小組的概率為

/4P/

C≡3

7.角6的頂點與原點重合，始邊與X軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，那么COS29=

8.在一個幾何體的三視圖中，正視圖與俯視圖如右圖所示，那么相應(yīng)的側(cè)

視圖可以為

(*ttβ>

9.直線I過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，I與C交于A,B兩點，IABl=I2,P為C

的準線上一點，那么AABP的面積為

A.18B.24C.36D.48

10.在以下區(qū)間中，函數(shù)/(x)=∕+4x-3的零點所在的區(qū)間為

A.(--,0)B.(0,—)C.(―,-)D-(―,-)

TTTC

11.設(shè)函數(shù)∕*(x)=sin(2x+-)+cos(2x+-),那么

44

JTTT

A.y-=∕(x)在(0,E)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線X=2對稱

4

TTTT

B.y-=∕(x)在(0,5)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線X=!對稱

2

TT其圖象關(guān)于直線X=勺TT對稱

C?W=/*)在(o,5)單調(diào)遞減，

4

TTTT

D.y-=∕(x)在(0,5)單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線X=上對稱

2

12.函數(shù)y=F(X)的周期為2,當xe[—1,1]時/(x)=χ2,那么函數(shù)y=/(χ)的圖象與函數(shù)

y=∣Igxl的圖象的交點共有

A.Io個B.9個C.8個D.1個

第二卷

本卷包括必考題和選考題兩局部.第13題-第21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第

22題-第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每題5分.

13.a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，假設(shè)向量a+b與向量ka-b垂直，那么

k=.

14.假設(shè)變量X,y滿足約束條件∣6∣y[9，那么z=x+2y的最小值是.

15.ΔAβC中，B=120°,AC=7,AB=5,那么ΔA6C的面積為.

16.兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.假設(shè)圓錐底面面積

是這個球面面積的二，那么這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為

16

三、解答題：解容許寫文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題總分值12分）

等比數(shù)列｛4｝中，公比q=；.

（I）S,,為｛α,J的前n項和，證明：5“=匕組

(II)設(shè)勿=log34+log?4++?θg?a,,`求數(shù)列｛〃“｝的通項公式.

18.（本小題總分值12分）

如圖，四棱錐P—ABCO中，底面ABCD為平行四邊形，NZMB=60°,AB=2AD,PDV

底面ABCD.

（I）證明：PA工BD；

（II）設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高.

19.（本小題總分值12分）

某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標越大說明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等

于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件

這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到時下面試驗結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布表

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

頻數(shù)412423210

(I)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

(II)用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為

-2√<94

y=<2,94≤∕<102

4ó102

估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于O的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述IOO件產(chǎn)品平

均一件的利潤.

20.(本小題總分值12分)

在平面直角坐標系XOy中，曲線y=X2-6X+1與坐標軸的交點都在圓C上.

(I)求圓C的方程；

(II)假設(shè)圓C與直線x-y+α=O交于A,B兩點，且。求a的值.

21.(本小題總分值12分)

函數(shù)f(χ)=色吧+2,曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

x+1X

(I)求a,b的值；

]nY

(Il)證明：當x>0,且X≠l時，/(x)>——.

X-I

請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題計分.做答是

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.

22.(本小題總分值10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，D,E分別為AABC的邊AB,AC上的點，且不與AABC的頂點重合.AE的長為m,

AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于X的方程X2—143+〃切=0的兩個根.

(I)證明：C,B,D,E四點共圓；

卜.

(II)假設(shè)NA=90°,且根=4,〃=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

B

D

23?(本小題總分值10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

X=2COSQf

在直角坐標系XOy中，曲線G的參數(shù)方程為《(ɑ為參數(shù))，M為Cl上的動點,

y=2+2sinα

P點滿足OP=2OM,點P的軌跡為曲線C2-

(I)求C2的方程；

TT

(II)在以。為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線。=；與G的異于極點的交

點為A,與G的異于極點的交點為B，求∣AB∣.

24.(本小題總分值10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=∣x-α∣+3x,其中α>0.

(I)當a=l時，求不等式/(x)≥3x+2的解集.

(Il)假設(shè)不等式/(x)≤0的解集為{x∣x≤-1},求a的值.

參考答案

一、選擇題

(1)B(2)C(3)B(4)D(5)B⑹A

(7)B(8)D(9)C(IO)C(11)D(12)A

二、填空題

15√3

(13)1(14)-6(15)(16)—

43

三、解答題

(17)解:

(I)因為%=Lx1

3y

G1

Sn-3-?L^?

142

所以S“-I-%

2

(∏)bn=Iog3ai+log3α2+???+log3<7,,

=-(1+2+…+〃)

〃(〃+1)

2

所以仍“｝的通項公式為a=_"7).

(18)解：

(I)因為ND48=60。,AB=24。，由余弦定理得BO=GA。

從而BD2+AD2=AB2,故801.4。

又PD_L底面ABCD,可得8。_LPD

所以8D_L平面RAD故PA_LBD

(∏)如圖，作DEJ.PB,垂足為E。PD_L底面ABCD,那么PD_1.BC。由(I)知BDi.AD,

又Be〃AD,所以Bel.BD。

故BC_L平面PBD,BClDE,

那么DEJ_平面PBCo

由題設(shè)知,PD=L那么BD=行,PB=2,

√3

根據(jù)BEPB=PD-BD,得DE=—,

2

即棱錐D—PBC的高為YL

2

(19)解

22+X

(I)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為——-=0.3,所以用A配方生產(chǎn)

100

的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。

由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為必士^=0.42,所以用B配方生產(chǎn)

100

的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42

(H)由條件知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0當且僅當其質(zhì)量指標值t≥94,由試驗

結(jié)果知，質(zhì)量指標值t≥94的頻率為0.96,所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率

估計值為0.96.

用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤為

」-x(4x(-2)+54x2+42x4)=2.68(元)

100

(20)解：

(I)曲線y=χ2-6%+1與y軸的交點為(0,1),與X軸的交點為(3+2√2,0),(3-2√2,0).

故可設(shè)C的圓心為(3,t),那么有32+?—1)2=(20)2+產(chǎn)，解得t=l.

那么圓C的半徑為√32+α-l)2=3.

所以圓C的方程為(％—3)2+(y—I)?=9.

(∏)設(shè)A(x,,yl),B(x2,y2),其坐標滿足方程組：

X—y+Q=0,

?(x-3)2+(γ-l)2=9.

消去y,得到方程

2X2+(2a-8)x+a2-2a+l=0.

由可得，判別式A=56—16。-4。2>0.

(8-2a)±J56-16a-Aa2

因此，x=------------'--------------------S從而

l,2z4

。?0—2。+1

x1+x2-4-a,x}x2-----------------①

由于OAJ_OB,可得%%+%%=°，

又必=Xi+a,y2=%+。,所以

2

2xix2+a{xλ+x2)+a=0.②

由①，②得。=一1,滿足△>(),故。=一1.

(21)解：

x+1、

αz(---------I1nX)

X_______b

(I)f?χ)

(X+1)2

由于直線—"，且過點a』），"：；"

b=l,

<a1解得。=1,b=?o

—b=—,

122

(∏)由(I)知f(x)=g+L,所以

x+1X

InYl1X2-1

/(x)=≡?=-τ(21nx÷——)

X-II-XX

X2-I

考慮函數(shù)∕z(x)=2Inx+--------(x>0),那么

X

2__(χT)2

所以當X≠1H寸，h?x)<0,而當1)=0,故

當X∈(0,1)時，力(X)>0,可得一二/z(x)>0;

1-x

當x∈(L+oo)時，Λ(x)<0,可得-----∕z(x)>0;

I-X

從而當X>0,且XW1,∕(Λ)-->0,即/(x)>—

x-l%—1

(22)解：

(I)連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC,

ADAE

即——=——■.又NDAE=NCAB,從而△ADE-AACB

ACAB

因此NADE=NACB

所以C,B,D,E四點共圓。

(∏)m=4,n=6時，方程χ2-14x+mn=0的兩根為Xι=2,x2=12.

故AD=2,AB=12.

取CE的中點G,DB的中點F,分別過G,F作AC,AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接

DH.因為C,B,D,E四點共圓，所以C,B,D,E四點所在圓的圓心為H,半徑為DH.

由于NA=90°,故GHIlAB,HFIIAC.HF=AG=5,DF=?(12-2)=5.

故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5

(23)解:

VY

(I)設(shè)P(x,y),那么由條件知M(一,一).由于M點在Cl上，所以

22

XC

—二2cos0,

2X=4COSa

即<

?=2+2sinoy=4+4Sina

.2

從而。2的參數(shù)方程為

X=4CoSa

(α為參數(shù))

γ=4÷4sin6z

(∏)曲線G的極坐標方程為夕=4sin6,曲線C2的極坐標方程為夕=8sin6°

TTTT

射線O=W與G的交點A的極徑為Pl=4sin1,

TTTT

射線。=；■與C2的交點B的極徑為/?2=8sin§。

所以IAB∣=∣pι-pχ∣=2√3.

(24)解：

(I)當α=l時，/(x)N3x+2可化為

∣x-l∣≥2o

由止匕可得x≥3Wcx≤-lo

故不等式/(x)23x+2的解集為

{x∣x≥3或x≤-1}。

（H）由/（χ）≤o得

|x—α∣+3x≤0

此不等式化為不等式組

x≥ax<a

<或〈

x-tz÷3x≤Oατ+3x≤0

x≥ax<a

spμ≤-或公―0

4I2

因為α>0,所以不等式組的解集為{x∣x≤—2}

由題設(shè)可得一巴=-1,故a=2

2

絕密*啟用前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新課標卷）

文科數(shù)學

注息事項：

1.本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩局部。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。

2.問答第一卷時。選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動.

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效.

3.答復(fù)第二卷時。將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效?

4.考試結(jié)束后.將本試卷和答且卡一并交回。

第一卷

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給同的四個選項中，只有一項為哪一項符合題

目要求的。

1、集合A={x∣χ2-x—2<0},B={x∣—l<x<l},那么

(A)A?B(B)B呈A(C)A=B(D)A∩B=0

—3+i

(2)復(fù)數(shù)Z=3T的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)是

(A)2+i(B)2-i(C)-l+i(D)-?-i

3、在一組樣本數(shù)據(jù)(χι>yι),(X2，力)，???，(χn,yf>)(n≥2,χ1,χ2,…,χ.不全相等〕的散點圖中，

1

假設(shè)所有樣本點(X"%)(/=1,2,…,而都在直線y=∕+l上，那么這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為

1

(A)-1(B)O(C)2(D)1

(4)設(shè)Fi、F2是橢圓E：3+?=l(α>b>O)的左、右焦點，P為直線X=：上一點，AFiPFz是底角

為30。的等腰三角形，那么E的離心率為()

(A)I(B)I(C)I(D)I

5、正三角形ABC的頂點A(l,l),B(l,3),頂點C在第一象限，假設(shè)點(x,y)在AABC內(nèi)部，那么

Z=-x+y的取值范圍是

(A)(l-√3,2)(B)(0,2)(C)(√3-l,2)(D)(0,l+√3)

(6)如果執(zhí)行右邊的程序框圖,輸入正整數(shù)N(N22)和實數(shù)αι,s,???,αN,輸出A,B,那么

(A)A+B為。1,。2,…,0N的和

A+B

(B)—5—為…々N的算術(shù)平均數(shù)

(C)A和B分別是01,α2,-,0N中最大的數(shù)和最小的數(shù)

(D)A和B分別是。1,。2,…QN中最小的數(shù)和最大的數(shù)

(7)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體

積為

(A)6

(B)9

(C)12

(D)18

⑻平面α截球。的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為班,那么此球的體積為

(A)√6π(B)4√3π(C)4√6π(D)6√3π

(9)ω>0,O<φ<∏,直線Xq和X=亨是函數(shù)/(x)=Sin(3x+φ)圖像的兩條相鄰的對稱軸，那么φ=

,、Ti/、N/、??3∏

(A)-(B)E(C)2z(D)—

(IO)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在X軸上，C與拋物線y2=i6x的準線交于A,B兩點,

∣AB∣=4√3,那么C的實軸長為

(A)√2(B)2√2(C)4(D)8

1

x

(Il)當O<X≤Q時，4<logox,那么a的取值范圍是

(A)(0,乎)⑻(*，1)(C)(1,√2)(D)(√2,2)

(12)數(shù)列｛af>｝滿足afl+ι+L1)"a”=2n-l,那么｛aj的前60項和為

(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830

第二卷

本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題-第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-24

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二.填空題：本大題共4小題，每題5分。

(13)曲線y=x(3lnx+l)在點(1,1)處的切線方程為

(14)等比數(shù)列｛afl｝的前n項和為S.,假設(shè)S3+3S2=O,那么公比q=

(15)向量a,b夾角為45。,且Ial=I,∣2a-b∣=√Iδ,那么Ibl=

(16)設(shè)函數(shù)/(X)=卜乎善史的最大值為M,最小值為m,那么M+m=

三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(17)(本小題總分值分分)

a,b,C分別為aABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，C=SaSinC—ccosA

⑴求A

(2)假設(shè)α=2,4ABC的面積為小，求6,c

18.(本小題總分值12分)

某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進假設(shè)干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售。如果當

天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。

(I)假設(shè)花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝,

n∈N)的函數(shù)解析式。

(H)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量〃14151617181920

頻數(shù)10201616151310

(1)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；

(2)假設(shè)花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,

求當天的利潤不少于75元的概率。

(19)(本小題總分值12分)

1

如圖，三棱柱ABC-AIBIel中，側(cè)棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC='AAι,D是棱AAI的中點

(I)證明：平面BDJ_L平面BDC

(H)平面BDCI分此棱柱為兩局部，求這兩局部體積的比。

(20)(本小題總分值12分)

設(shè)拋物線C:χ2=2py(p>0)的焦點為F,準線為/,A為C上一點，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交/

于B,D兩點。

(I)假設(shè)NBFD=90°,Z?48D的面積為4√L求P的值及圓F的方程；

(II)假設(shè)A,B,F三點在同一直線m上，直線”與m平行，且〃與C只有一個公共點，求坐標

原點到m,n距離的比值。

(21)(本小題總分值12分)

設(shè)函數(shù)/M=ex-ax~2

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間

(II)假設(shè)。=1，k為整數(shù)，且當x>0時，(x—k)∕'(x)+x+l>O,求k的最大值

請考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題計分，做

答時請寫清楚題號。

(22)(本小題總分值10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，D,E分別為aABC邊AB,AC的中點，直線DE交^ABC的外接圓于F,G兩點，假設(shè)CF//AB,

證明：

(I)CD=BC;

(Π)?BCD=^?GBD

(23)(本小題總分值10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

x=2cosφ

曲線J的參數(shù)方程是(W為參數(shù))，以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極

iy=3sinφ

坐標系，曲線C2的極坐標方程是p=2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A、B、C、D以逆時針次

序排列，點A的極坐標為(2,第

(1)求點A、B、C、D的直角坐標；

(II)設(shè)P為P上任意一點,求∣PA∣2+IPBp+∣PC∣2+∣PD∕的取值范圍。

(24)(本小題總分值10分)選修4一5：不等式選講

函數(shù)加)=∣x+α∣+?×-2?.

(【)當α=-3時，求不等式/(x)23的解集；

(∏)假設(shè)/(x)W∣χ-4∣的解集包含[1,2],求α的取值范圍。

參考答案

選擇題

(1)B(2)D(3)D(4)C(5)A(6)C

(7)B(8)B(9)A(10)C(11)B(12)D

二.填空題

(13)y=4x-3(14)-2(15)3√2(16)2

=.解答題

(17)解：

(?)由C=TJaSinC-CCoS，及正弦定理得

TisinJsinC-cossinC-sinC=0.

由于SinCH0,所以sin(∕1-')=1.

62

又0v∕<*,故I=1.

(II)a∕BC的面積S=IACSin∕=√5,故?c=4.

2

而α2=?2÷C1-2bcco^A.故b'+c'=8.

解得6=c≈2.

(18)解：

(I)當日需求量時，利潤>=85.

當日需求量“<17時，利潤^=10n-85.

所以,關(guān)于〃的函數(shù)解析式為

1On-85,?<17,

V=(n∈N).

M217,

(H)(i)這IOO天中有IO天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天

的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這IOO天的日利潤的平均數(shù)為

擊(55x10+65x20+75x16+85x54)=76.4.

Cii)利潤不低于75元當且僅當日需求生不少于16枝.故當天的利潤不少于75

元的概率為

p=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

(19)證明：

(I)由題設(shè)知SClCC∣,BClAC,CCl(UC=C,所以SC1平面,4CC∣4.

又。GU平面ACC1A1,所以DGIBC.

由題設(shè)知NXQG=4。C=45。，所以ZCDC1=90°,即DCt1DC.又

DCCiBC=C,所以DC∣_L平面BDC.又DC1U平面BDC,,故平面BDC11平面BDC.

(H)設(shè)棱錐8-D4CG的體積為匕，ZC=L由題意得

“11+21,1

1322

又三棱柱/8C-44G的體積∕=ι,所以5_乂)?=1：1.

故平面8Z>G分此棱柱所得兩部分體積的比為1:1.

(20)解：

(I)由已知可得ABEO為等腰直角三角形，∣8D∣=2p,圓尸的半徑IF=0p.

由拋物線定義可知A到/的距離d=?FA?=y∕2p.

因為的面積為4√I,所以g∣8D∣?d=4√L即;?2p?及p=4√i,

解得p=-2(舍去)，p=2.

所以尸(0,1),圓尸的方程為

/+ατ)2=8.

?36?

(JI)因為4,B,尸三點在同一直線加上，所以為圓尸的直徑，ZJDB=90。.

由拋物線定義知

?AD?=?FA?=^?AB?,

所以480=30。，用的斜率為受■或-3.

33

當小的斜率為巫時，由已知可設(shè)立y^—x+b,代入/=2N得

33

2√3?,.

Xj———px-2pb=0.

由于〃與C只有一個公共點，故A=gp?+8pb=0.解得b=-f.

36

因為用的截距&=K,典=3,所以坐標原點到處〃距高的比值為3

2∣?∣.

當初的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標原點到加，〃距離的比值為3.

(21)解：

(I)/(x)的定義域為(-00,+co),∕,(x)=ejr-0.

若αW0,J5!l∕,(x)>0,所以/(x)在(Yo,+8)單調(diào)遞增.

若α>0,則當XG(-∞,lnα)時，AX)<0；當XW(Ina,+?o)時，/(x)>0,

所以，/(x)在(-8,InG單調(diào)遞減，在(Ina,+co)單調(diào)遞增.

(II)由于。=1,所以(x-Z)∕'(x)+x+l=(x-L)(e“-l)+x+l.

故當X>0時，(x-^)∕,(x)+x+l>0等價于

k<^-+x(x>0).(T)

ex-1

則g,(x)=潟e*(er-x-2)

令g(x)=f+X,

(ex-D2

由(I)知，函數(shù)〃(x)=e*-x-2在(0,g)單調(diào)遞增.而〃⑴<0,〃⑵>0,所以/J(X)

在(0,?κo)存在唯一的零點.故g<x)在(O,M)存在唯一的零點.設(shè)此零點為ɑ,則

ɑ∈(1,2).

當Xe(O,α)時，g,(x)<0：當xe(a,+w)時，g'(x)>O.所以g(x)在(0,+?)的最小

值為g(a).又由g'(a)=0,可得e"=a+2,所以g(a)=a+le(2,3).

由于①式等價于％<g(a),故整數(shù)%的最大值為2.

?37?

(22)證明:

(I)因為，E分別為.48,7IC的中點，所以DE∕∕8C.

又已知C尸〃{B,故四邊形BCFD是平行四邊形，所以

CF=BD=AD,而CF///O,連結(jié)WR所以/DC尸是平行

四邊形，故CD=ZIF.

因為CFIXB,所以BC=4尸，故CD=BC.

(∏)因為FG〃8C,故GB=CF.

由(I)可知BD=CF,所以GB=8D?

而aDGB=NEFC=NDBC,故ABCDSAGBD.

(23)解：

(I)由已知可得

J(2cos-,2sin—),β(2cos(-+—),2sin(-+—)),

333232

C(2cos(-÷π),2sιn(-÷π)),D(2cos(-÷一),2sιn(-+—)),

333232

即J(l,√3),fi(-?l),C(-l,-xz3),D(√3,-l).

(Il)設(shè)P(2coss,3sine),令S=IH+儼8『+|PC『+∣75Z>f,貝IJ

S=16cos2÷36sin2+16

=32÷20sin2^).

因為OWsideWl,所以S的取值范圍是［32,52J.

(24)解：

-2x十5,x≤2,

(I)當o=-3時，/(x)=I,2<X<3,

2x-5,X23.

當xW2時，由/(x)23得一2x+523,解得xWl：

當2<XV3時，/(x)23無解；

當x23時，由/(x)23得2x-523；解得工24；

所以/(x)23的解集為{x∣xWl}U{x∣xN4}.

(II)/(x)≤∣x-4∣o∣x-4∣-jx-2∣≥∣x÷ɑ∣.

當X∈［1,2］時'∣x-4∣-∣x-2∣≥∣x+a∣

o4-X-(2-X)2,+a］

—2—αWxW2-α.

由條件得-2-α≤l且2-α22,即-3WaW0.

故滿足條件的ɑ的取值范圍為［-3,01.

絕密★啟封并使用完畢前

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學

考前須知：

1.本試卷分第一卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩局部。第一卷1至3頁，第

二卷3至5頁。

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。

4.考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回。

第一卷

一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題

目要求的一項。

(1)集合A={1,2,3,4},B={x∣x=∕,“eA},那么AB=()

(A){0}(B){-l,,0}(C){0,1}(D){-1,,0,1}

【答案】A,

【解析】5={1,4,9,16),故，nB={L4}.

【考點定位】本題考查集合的表示以及臬合的基本運蘆，考查學生對念的理解

⑵-----7)

(I-/)2

(B)-1+L(C)l+-i(D)I-L

2222

【衿窕】B

1÷2/1+2/7-2i

I解析】-----------------I

-2/2----2

【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本迂/考查學生沔基本運前能力

(3)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，那么取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(

(A)-(B)-(C)-(D)-

2346

【答案】3,

21

【解析】解法一，P=—r=-I

C；3

解法二,任取兩個數(shù)可能出現(xiàn)的情況為解?、u,2).“久解箝、(2,4)、(3,4),符合條件的恬

況為(1,3)、(2,4),故尸=!

【考點定位】本題考查古典時間的概率運道，考查學生的基本運算能力

⑷雙曲線。：=一與=1(a>O,b>O)的離心率為乂一，那么C的漸近線方程為()

a~b2

(A)y=±L(B)y=±L(C)y=+-x(D)y-±x

432

1咚察1Ci

【解析】e=￡=1+”=止，故"?=L即勺=L故漸近線方程為I=±勺X=±Lx

αV20^4a2a2

［考點定位】本期考查雙曲線的基本性病,考查學生的化歸與轉(zhuǎn)化能力

(5)命題p:VxeR,2x<3Λ；命題∕3x∈R,x3^l-x2,那么以下命題中為真命題的是:

()

(A)p∕?q(B)-ip∕?q(C)Pdr(D)—p/x—q

【答宜】B

【解析，取X=T，可知P錯；令"X)=X'+X：-1,因為/(町圖像連續(xù)，且√^(0)?f(1)<U,

故f(x)有零點，即方程Y+/T=O有解，即Ξcw凡x3=l-/,故3為真.

【考點定位】本題考查全稱命題與特稱命題真假的判定，考查學生的邏輯推理能力.

2

(6)設(shè)首項為1,公比為1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，那么()

(A)S“=2%一1(B)Sn=3an-2(C)Sn=4-3an(D)Sn=3—2all

【答案】D，

1—iW；(2V/2?l5^'，

【解析】解法一：S.=―<-=3-況1=3-2?5，生=G)Z,對照兩式可知選)

解法二：若S,：=3-2a*,當“=i3t∣,4=，，當“二」后，J,；=J-2u,,,Sn,1=3-2a^1,兩式

對漏得fj=3,故選)

一3

r考點定位】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查學生的基本*'能F以及

姍打妣舊吃力.

(7)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的fe[-1,3],那么輸出的

S屬于

(A)[-3,4]

⑻[-5,2]

(C)[-4,3]

(D)[-2,5]

【答案】Al

【解析】若re[Tl),則S=3rw[-3.3),Sre[l,3].S=4z-Γe[3,4∣,綜場述Sw[-3,4]

【考點定位】本題考杳N；3段]香杳學生的丁稅處逑能力

(8)。為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C?y2=4√∑t的焦點，P為C上一點，假設(shè)IP