2023學(xué)年成都高新校區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2023學(xué)年成都高新校區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

2023.10

總分：150分時間：120分鐘

一、選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.

1,

V=—X+1

1.直線-2的一個方向向量是（）

A.（IfB.（NRC.（L2）D.（2J）

2.利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不

合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”,

則下列結(jié)果錯誤的是（）

779

AP（3=而B*8）=0c*Bec）/網(wǎng)入平正

3.一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別

為（）

A.14,14B.12,14C.14,15.5D.12,15.5

4.{"'"'4為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（）

A.d,a+b,a—bgb,a+b9a—bQd,a+bfa—bQa+2b,a+b,a—b

5.如圖，在棱長為a的正方體ABCC-AMGR中，p為AR的中點，Q為上任意一點，E,F為CD

上兩個動點，且E尸的長為定值，則點Q到平面尸防的距離（）

在a旦

A.等于丁“B.和EF的長度有關(guān)C.等于丁“D.和點Q的位置有關(guān)

6.設(shè)直線1的方程為6x-6ycos夕+13=（）,則直線1的傾斜角a的范圍是（）

兀兀兀兀［（兀3兀）兀3兀

A.刎B.日用C-5力D."

7.投擲一枚均勻的骰子，記事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，則下列說法正確

的是（）

A.事件A與事件B互斥B.事件A與事件B對立

1

P（A+B）=-

C.事件A與事件B相互獨立D.6

八PE=-PBPF=-PC-

8.在正四棱錐中，若3,3，平面AE尸與棱交于點G,則四棱錐P-AEFG

與四棱錐尸一A5c。的體積比為（）

2__8_J7.±

A.46B.45c.45D.45

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合要

求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.［多選題］下列命題是真命題的是（）.

A.若A,B,C,D在一條直線上，則A8與CD是共線向量

B.若A,B,C,D不在一條直線上，則AB與CD不是共線向量

C.若向量AB與CC是共線向量，則A,B,C,D四點必在一條直線上

D.若向量A8與AC是共線向量，則A,B,C三點必在一條直線上

10.已知正方體ABCD-AAGA的棱長為1,點E、O分別是AB|、AG的中點，P在正方體內(nèi)部且滿

皿a1仇皿2

足依7他+/。+3"

,則下列說法正確的是（)

A.點A到直線BE的距離是丁B.點O到平面A8GR的距離為4

635

C.平面ABC與平面BCQ間的距離為牙D.點P到直線AB的距離為正

7C

ZDAB=一

11.在四棱錐P一鉆8中，底面ABCD為平行四邊形，3,AB=2AD=2PD,尸。，底面ABCD,

A.PAA.BD

兀

B.PB與平面ABCD所成角為7

2x/5

C.異面直線AB與PC所成角的余弦值為虧

2

叵

D.平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為7

12.如圖，在正四面體ABCD中，M,N分別是線段AB,CD（不含端點）上的動點，則下列說法正確

的是（）

A.對任意點M,N,都有MN與AD異面

B.存在點M,N,使得MN與BC垂直

C.對任意點M,存在點N,使得加N與A。，BC共面

D.對任意點M,存在點N,使得MN與AD,BC所成的角相等

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.點HL-2,5）到*0），平面的距離

14.己知過點人（-2""）和點8（加，4）的直線為￡y=-2x+l,4：）J〃，若

則機+”的值為

15.在正方體.8-43'。'。'中，點/＞是44，上的動點，Q是平面BB'C'C內(nèi)的一點，且滿足

則二面角P-BO-Q余弦值的取值范圍是

16.已知四棱錐尸一他8的各個頂點都在球O的表面上，PA,平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,

AD//BC,AB^AD=CD=3,3,PA=2V2,M是線段AB上一點，且過點M

作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為2乃，則.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在四棱錐中，「。_1底面488,8〃4員4。=。。=€7?=1,48=2,。尸=6

(1)證明：BD^PA.

3

(2)求PD與平面所成的角的正弦值.

18.(1)己知43,3),B(-4,2),C(0,-2),若點D在線段AB(包括端點)上移動時，求直線的斜

率4的取值范圍；

sin。

y=

(2)求函數(shù).cos0+2,的值域.

19.如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCO-AMG2,其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6,

且它們彼此的夾角都是60°.

⑵求BQ與AC所成角的余弦值.

20.甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的

概率；

(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.

21.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“3+1+2”模式.“3”指語文、數(shù)

學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分數(shù)計入高考成績；"1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科,

以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級分

計入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A,B,C,

D,E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

等級ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為

Y2-YT2-T

y-XT-T',其中X,X分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，工，4分別表示等級賦分區(qū)間的最

低分和最高分，Y表示考生的原始分，「表示考生的等級分，規(guī)定原始分為X時，等級分為工，計算結(jié)

果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方

圖如下：

4

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求此次化學(xué)考試成績的平均值；

(2)按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學(xué)成績A等級的原始分區(qū)間；

(3)用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成線的原始分為90,試計算其等級分.

22.如圖，尸。是三棱錐「一ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是尸8的中點.

⑴求證：OE平面PAC；

（2）若ZAfiO=NCBO=30°,PO=3,PA=5

①求二面角C-M-B所成平面角的正弦值;

②在線段C￡上是否存在一點M,使得直線與平面3cp所成角為30。？

1.B

【分析】直接根據(jù)方向向量的定義解答即可.

【詳解】直線"一=一-5L'+"十i的斜率_1為則選項中(2，-1)是直線的一個方向向量，即B正確.

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的定義，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：由題意可知，A,B,C為互斥事件，

P(AB)=0,P(BcC)=0,故B正確，C錯誤,

抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品,

P(A)=—=-—=—

則1005,''10010,故A正確，

17Q

P(AuB}=P(A)+P(B}-P(AB}=-+——0=—

''~—'51()10,故D正確.

故選：C.

3.A

【分析】把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列，再結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解作答.

【詳解】把這組數(shù)據(jù)按由小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,

所以其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.

5

故選：A

4.C

a=，1(4+人)+(4-川/?=—F+a+2b=—(a+b\-—[a-b\

【分析】確定2KJ〃，2口八〃，2、>2</排除ABD,得

到答案.

a=—\(a+b\+(a-b\\

【詳解】對選項A：2L\''〃，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

/?=—r(〃+6)-(〃-川

對選項B：2壯''〃，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

對選項C：假設(shè)c=X("+小〃("叫，即。=(九+〃)4+(幾-〃)〃，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)

成基底，正確；

a+2b=-(a+b\--(a-b\

對選項D：2、,2、>,向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；

故選：C

5.A

【分析】取8￡的中點G,連接PG,CG,OP,利用線面平行判斷出選項B,D錯誤；建立空間直角坐標系,

利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點到面的距離，從而得出結(jié)論.

【詳解】取4G的中點G,連接PG,CG,3P,則PG〃C￡>,所以點Q到平面PE尸的距離即點Q到平面

PGCO的距離，與E尸的長度無關(guān)，B錯.又44〃平面PG8,所以點A到平面PGCO的距離即點Q到

平面PGC3的距離，即點Q到平面PEF"的距離，與點Q的位置無關(guān)，D錯.

C(0,a,0),D(0,0,0),A(?,0,a),PI—,0,a|

如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則12人...℃=(0,4,0),

圖=(〃0,叱〃=即可，

—x+az=0,

HDP=0,

*2

則由［〃，得

設(shè)〃=(乂y,z)是平面PGCO的法向量,RC=°ay=0,

令z=l,則x=-2,y=0,所以”=(-2,0,1)是平面PGCO的一個法向量.

d

設(shè)點Q到平面PEF的距離為d,則,A對,C錯.

故選：A.

6

【點睛】本題主要考查點到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.

6.D

兀「1

a--k=-----=tana

【分析】當cos4=°時，可得傾斜角2,當8s4工°時，由直線方程可得斜率cos/,然

后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解.

a——兀

【詳解】當cos/?二°時，方程為6x+13=°,直線的傾斜角2,

,1

k=____=tana

當cos4,°時，由直線方程可得斜率cos/7,

COS^G[—1,1]且cos尸工()，

.(-oo,-l]I[1,+co),即tanaw(TO,-1][1,+co),

又aw[0#,?ae\——)(—2,—4JI,

.—]

綜上，傾斜角a的范圍是4'4

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念結(jié)合事件A與事件B的基本事件可判斷A,B；根據(jù)獨立事

件的概率公式可判斷C；求出事件A+8的概率可判斷D.

【詳解】對于A,B,事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，

這兩個事件都包含有事件：“朝上的點數(shù)為4”，故事件A與事件B不互斥，也不對立，A,B錯誤；

對于C,投擲一枚均勻的骰子，共有基本事件6個，

P(A)=!

事件A：“朝上的點數(shù)大于3”包含的基本事件個數(shù)有3個，其概率為2,

P(B)=g

B：“朝上的點數(shù)為2或4”，包含的基本事件個數(shù)有2個，其概率為3,

P(AB)=-

事件AB包含的基本事件個數(shù)有1個，其概率為6,

由于尸58)=「(4"(8),故事件人與事件B相互獨立，C正確；

7

對于D,事件A+3包含的基本事件個數(shù)有朝上的點數(shù)為2,4,5,6共4個,

41

P(A+B]=-=-

故I,63,D錯誤,

故選：C

8.B

Vp-AEFVp-AGF

【分析】利用A、E、F、G四點共面，=由錐體體積公式，求出匕「的”和％…8的值，即

可得的值.

【詳解】如圖所示，

設(shè)PG=4PD,由A、E、F、G四點共面,

^-AF=xAE+yAG,則AP+PF=x(AP+PE)+y(AP+PG)

AP+-(AB+AD-AP)=xAP+—(AB-AP')+yAP+y^AD-AAP)

即33

|-y-|+2y=0

3=0

33

%=0

2=2PG=-PD

又AP,AB,40不共面，則,解得:5,即5

%_PF

設(shè)九，區(qū)分別是點尸到平面的和點C到平面的距離，則為PC,

一語V-S"%S噸PFPAPE竺=空PF=2

所以jcSw也SMBPCPAPBPCPBPC9,

V=_Lyk-△

yP-ABCcP-AHCDVQ

Z,VP-ARCD7,

jcPAPGPF=PGPF=2」VP.AGF=1

同理，心皿匕用。PAPDPCPDPC15,%-皿VP_ABCD15；

Vp-AEFG_Vp-AGF+Vp-W=_!■+-!_=-

Vp-ABCD^P-ABCD91545

8

8

則四棱錐P~AEFG與四棱錐P-ABCD的體積比為芯.

故選：B

【點睛】方法點睛：

點共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題；求幾何體的體積，要注意分割與補形；利用錐體體積公式，棱錐的

體積比最終轉(zhuǎn)化為棱長之比.

9.AD

【分析】向量平行與共線是同一個概念，對四個命題依次判斷即可.

【詳解】A項為真命題，A,B,C,D在一條直線上，

則向量AB,CZ)的方向相同或相反，因此A3與CD是共線向量；

B項為假命題，A,B,C,D不在一條直線上，

則AB,C。的方向不確定，不能判斷4B與C。是否共線；

C項為假命題，因為AB,CO兩個向量所在的直線可能沒有公共點，

所以A,B,C,D四點不一定在一條直線上；

D項為真命題，因為A3,AC兩個向量所在的直線有公共點A,

且AB與AC是共線向量，所以A,B,C三點共線.

故選：AD.

10.BC

【分析】建立空間直角坐標系，用向量法直接求解可得.

【詳解】如圖，以A為原點，AB/。,但所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系：

小?！籎),Ng)

則40,0,o）,B（1Q,。）,D（（）,I,O）,A（oA?,G（1/J）

UU

所以=（-1,0,0）

故A不正確；

易知5GA_(c，。)，又7=(O,T,I),AB=(1,0,0),AC]=(1,1,1)^所以,筋=。，。4必百=0

9

I

d_DAlClO_2=V2

uiiu2IcI4

則平面A8CQ的一個法向量為D4,=(0,-1,1),則點°到平面A8CQ的距離|V，故

B正確；

<

uuuuuuUUUU

AS=(l,0,-l))A?=(0,l,-l),A,Dt=(0,1,0)設(shè)平面ABC的法向量為〃=(x+y+z),則mAC=°,所以

(x-z=0

1y—z=o,令z=i,得y=i,x=\,所以,所以點A到平面ABD的距離

.A.D.n1\/3

4==

I同\~~力~r=—3.因為平面48。//平面BCQ,所以平面ABC與平面4c〃間的距離等于點R到

B

平面&BO的距離，即為3,故c正確；

UL01ULU1

uun31Ali121X11r312AP-AB3

~

AP=_AB+_ADH—AA.A,P—(_,―,_)An_(\八八、~—~7

因為423所以423,A8=(l,0,0),則\AB\4,所以點尸到AB的距離

?11,故D不正確.

故選：BC.

11.ABC

【分析】由線面垂直的判定定理及異面直線所成角的求法，結(jié)合空間向量的應(yīng)用逐一判斷即可得解.

C兀

ZDAB=-

【詳解】對于選項A,因為3,AB=2AD,由余弦定理可得

BD=.AD2+4AD2-2ADx2ADx-=y/3AD

v2,從而即2+仞2=A32,即

由P￡)J?底面A8CD,8Du底面ABC￡>,可得BO_LPZ),又A0cPD=￡>,A￡>,PDu面尸4),即

面PA，

又小u面R4D,即上4J.M,故選項A正確；

對于選項B,因為PDL底面ABCD,所以NPBD就是依與平面ABCD所成的角，又

tanZPBD=—=—ZPBD=-

8。3,即6,故選項B正確;

cosZPCD=—=—

對于選項C,顯然一尸CD為異面直線AB與PC所成的角，易得PC5，故選項C正確;

對于選項D,建立如圖所示的空間直角坐標系，

10

設(shè)AT>=1,則。（°,o,°）,41,0,0）,8（0,G,。），C（T,G,0）,P（O,0,1）,

n-AB=0-x,+拒y、=0

設(shè)平面皿的一個法向量為"=（和為4）,則［〃P8=0,即1回廠產(chǎn)。，令％=1,則苔=馬=6,

即〃=（后1,百）,

m-PB=01島2-=0

設(shè)平面PBC的一個法向量為機=（々，%，4）,貝/~8c=0,則1-2=0,令％=1,則占=0,

z?=6,即加=（0,1,〉）,

cos（w,n）=j—rr-|=2a

則網(wǎng)間7,即平面的與平面PBC夾角的余弦值為7,故選項D不正確.

故選：ABC.

12.ACD

【分析】A選項，首先MN不可能與AD相交，其次證明AD與MN不可能平行，故A正確；

B選項，證明出BCL平面ADF,因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A,D,但M,N與A,

D不會重合，故B錯誤；

C選項，作出輔助線，得到存在力H0,使得MN='4）+（1-2）BC,由空間向量性質(zhì)可知c正確；

D選項，作出輔助線，對于任意點M,找到點N,得到MN與AD,BC所成的角，利用相似和余弦定理

得到MN與AD,BC所成的角相等.

【詳解】A選項，M,N分別是線段AB,CD（不含端點）上的動點，故MN不可能與AD相交，過點

M作ME〃AD交BD于點E,MN與ME相交，故AD與MN不可能平行，綜上：對任意點M,N,都

有MN與AD異面，A正確；

B選項，取BC中點F,連接AF,DF,

11

因為四面體ABCD為正四面體，

所以AF_LBC,DF1BC,

因為AFcO/=尸，所以BCL平面ADF,

因為直線AB與CD分別與平面ADF的交點為A,D,但M,N與A,D不會重合,

故BC不可能與MN垂直，B錯誤；

C選項，對于任意點M,作ME〃AD交BD于點E,過點E作EN〃BC交CD于點N,連接MN,此時

W=ME+￡W,故存在/IHO,使得=

所以對任意點M,存在點N,使得與A。，BC共面，c正確；

D選項，對任意的點M,在CD上取點N,使得CN=AM,則8M=DV,

過點M作ME〃AD交BD于點E,過點N作NF〃BC交BD于點F,則^ME為MN與AD形成的角,

NMNF為MN與BC形成的角，且FN=EM,DE=BF,

由BM=DN,ZABD=ZCDB=60°,DE=BF得：△BMF^ADNE,所以MF=EN,

八…MN2+NF2-MF2-MN2+ME2-EN2

cosZ.MNF=----------------cosZ.NME=----------------

由余弦定理得：2MN-NF,2MN-ME,

由于三邊對應(yīng)相等，故/MNF=/NMF,

對任意點M,存在點N,使得MN與AD,BC所成的角相等，D正確.

故選：ACD

【點睛】立體幾何中動點問題，在點運動過程中求解垂直或平行關(guān)系或角度或長度的最值等，需要把點

運動到特殊位置或抓住運動過程中的不動量作為解題的突破口.

13.5

12

【分析】根據(jù)空間點的坐標的含義，即可得答案.

【詳解】點21，一2,5）在平面X。）上的射影是尸（L-2,0）,則點打1，-2,5）在平面xOy距離為仍尸'|=5.

故答案為：5

14.-1。

【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系求解即可.

k=j=_2

【詳解】因為4〃￡所以鉆機+2，解得利=-8,

（__1）x（_2）=_1

又C?,所以，7,解得〃=-2,所以，〃+〃=—10.故答案為：-10.

［如L

3’3

15.L」

［分析］連接AC、BD、AD、A'D,設(shè)ACBD=O,連接℃'、OP,證明出A,O,平面A8CD,

可知點°的軌跡為線段BC,由二面角的定義可知二面角80-0的平面角為NPOC',求出cosNPOC

的最小值和最大值，即可得解.

【詳解】連接AC、BD、47、A'D,設(shè)ACBD=O,連接℃'、OP,如下圖所示：

因為AB〃C'D且AB=C'D',則四邊形ABCD'為平行四邊形，

因為四邊形AA'D'D為正方形，則AD^A。，

因為AB_Z,平面AA'D'D,AOU平面AA'D'D,則A'DIAB,

因為?!Bc4y=A,AB、A。'U平面A8c￡X,所以，A'￡>_L平面ABC。，

因為BC'u平面A8CO,所以，BC'rA'D,

因為°是平面88'CC內(nèi)的一點，且滿足A'O'BQ,所以，點。的軌跡為線段SC,

設(shè)正方體ABCD-A'B'C'iy的棱長為2,則BC'=BD=C'D=2近,

因為四邊形ABC。為正方形，ACiBD=Ot則。為8。的中點，且

由勾股定理可得PB=\IPA2+AB2=JPA?+AD'=PD,則J_BO,

13

所以，二面角尸-BO-Q的平面角為NPOC,

由圖可知，當點P與點A重合時，NPOC'最大，

OC=BCsin60=2>/2x—=76OC=-AC=-x2>/2=72

222

因為CC'_L平面ABC。，ACu平面ABC。，則CC_LAC,

OC

cosZ.POC=cos(7i-NCOC')=-cosZ.COC-a_G

此時，

當尸與點A'重合時，NPO。'最小,

cosNPOC'=cos(兀一2/COC')=-cos2ZCOC=1-2cos2ZCOCr=l-2x

此時,

n1

--<cosZPOC'<-

又因為函數(shù)y=cosx在［0,可上單調(diào)遞減，所以,33

因此，二面角P-BO-Q的余弦值的取值范圍133」.故答案為：L33_,

【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：

(1)幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：

①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；

(2)空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但

要注意結(jié)合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.

12

16.§或3

【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解

作答.

【詳解】在等腰梯形ABCO中，連接AC,如圖，

八AABC=-ZBAD=ZADC=—ACAD=-

因為AD//BC,AB=A￡>=C3=3,3,貝ij3,6,

于是取BC中點°、連接則QA=qB=qc,得。明民COQ均為正三角形,

14

即有aA=QB=0,C=O,D,即O,是梯形ABC。外接圓圓心，

而O為四棱錐P-ABC。的外接球球心，因此平面ABC。，又PA,平面ABCD,

則GO/"%,而融為球O的弦，則過點O垂直于抬的平面必過小的中點E,連接°￡，°4,

于是而。人叫即有QA//OE,四邊形。小石。為矩形，°。""-/一巴

因此球O的半徑^二。4=Ja*+002=舊,過點M的球0的最小截面圓所在平面必垂直于。知,

而此截面圓半徑為3,則OM=JR2-5￥=3,連接°幽，在R3QQM中，

22

OtM=ylOM-OtO=V7

7T

ZBAO222

在AMOt\=yAM+OtA-2AMO^cosZBAO^O.M

即有4〃2+9-34朋=7,解得AA/=1或AA7=2,

,1,2

X=-A=—

所以3或3.

[2

故答案為：§或與

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓

性質(zhì)求解.

更

17.（1）證明見解析；（2）5.

【分析】（1）作。￡二四于E,b/AB于尸，利用勾股定理證明4）28。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可

得PDLBD,從而可得3。1平面尸4）,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證：

（2）以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）證明：在四邊形ABC。中，作于E,CFJ.AB于F,

因為C￡）//AB,AO=8=C8=1,A3=2,

八AE=BF=-

所以四邊形A8C。為等腰梯形，所以2,

所=近（_________

22

故2BD=^DE+BE=y/3t

所以AD?+37）2=432,所以45工班）,

因為PDJL平面ABC。，BDu平面ABC￡）,

所以PDLBD,

15

又PDcAD^D,

所以平面PAO,

又因為R4u平面尸4),

所以8OLR4；

(2)解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

BD=6,

則A（l,0,0）,8（0,6,0）,P（0,0,石）

則"=（-1,0,6）,8P=（0,-6,6）,DP=（0,0,6）

設(shè)平面以8的法向量〃=a，y，z）,

n-AP--x+0z=0

則有n?BP=S+6z=0,可取"=（G/」）,

5L正在

k}—a'a

18.【小問1】Z?T或3【小問2】L

【分析】(1)求出直線AC,BC的斜率，數(shù)形結(jié)合可得答案;

16

（2）利用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

-2-3=工聯(lián)=-2-2=_]

【詳解】（1）直線AC的斜率""

0-33,直線BC的斜率0-(-4)

如圖所示，點D在線段AB（包括端點）上移動時，k2或k4kAe

故直線。的斜率的取值范圍是：心T或后?

y-------

(2)由'cosO+2,得2y+ycos(9=sin(9,

1.y

COS(p=—f==,sin。=R=

所以2y=sin°_ycose=Jl+VsinQ—e),其中+yJ審

4-4

19.（1）證明見解析（2）6

【分析】⑴根據(jù)向量的線性運算和數(shù)量積的運算性質(zhì)，得到AC「8D=°,即可得證;

（2）求出I8RI,|AC|,即AC,再利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】（1）以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是6?！?

o

.-.A4lAfi=A4iA￡>=ADAB=6x6xcos60=18

/.AG-BD=(A41+^5,4-5,C1)-(AD-AB)=(A41+AB+AD)(AD-AB)

17

=AAj-AD—AA1-AB+AB-AD—AB4-AD-AD-AB=18—18-364-36=0

ACj±BD.

BD

(2)\=AD+DDt-AB=AD+AA,-ABAC=AB+EC=AB+AD,

2

:.\BDt|=^(AD+A^-AB)=JA/X+AA：++2AD-朋-2ADAB-2AA,■AB

=J36+36+36+36-36-36=6夜，

|AC|=?AB+AD『=\/AB2+AD2+2ABAD=J36+36+36=6G,

BD,■AC={AD+AA.-AB)-(AB+AD)

.22

=AD-AB+AVA8+A4,40=36-36+18+18=36

BD「AC1屈

:.cos^BD,AC^

t\BD.\-\AC\~s/2x43~6

則異面直線8Q與AC所成角的余弦值為6,

42

20.(1)9(2))

【詳解】甲校的男教師用A、B表示，女教師用C表示，乙校的男教師用D表示，女教師用E、F表示,

(1)根據(jù)題意，從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，

有(AD),(AE),(AF),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),共9種；

其中性別相同的有(AD)(BD)(CE)(CF)四種；

4

則選出的2名教師性別相同的概率為P=Q

(2)若從報名的6名教師中任選2名，

有(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)

(EF)共15種；

其中選出的教師來自同一個學(xué)校的有6種；

則選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為P=元而.

21.⑴73⑵陽,98]⑶力分

【分析】(1)利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出。，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的概念求解

平均數(shù)；

(2)求出等級A的原始分區(qū)間的最低分，又最高分為98,即可得解；

(3)利用給定轉(zhuǎn)換公式求出等級分作答.

【詳解】⑴由1°(“+°°2+°.03+0.04+")=1,可得a=0.005

18

此次化學(xué)考試成績的平均值為55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73分.

(2)由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間KO』0