河北省衡水中學(xué)2023屆高三年級下學(xué)期高考信息卷五數(shù)學(xué)試題

河北省衡水中學(xué)2023屆高三下學(xué)期高考信息卷（5）數(shù)學(xué)（理）試題

一、選擇題

??

1.復(fù)數(shù)Z=為虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)Z的共血復(fù)數(shù)為()

-I-Z

A.1+zB.—1÷zC.1—iD.-1—i

2.設(shè)U=R,A={x∣x>0},8={x∣χ2>ι},那么AC(CUB)=()

A.{%IO≤%<1}B.{xIO<?≤1}C.{x∣x<θ}D.{x∣x>l}

3.2023年全國有24個省份提高了最低工資標準,為了了解城市居民的消費水平,某社會研

究所對全國十大城市進行職工工資水平X（千元）與居民人均消費水平y(tǒng)（千元）統(tǒng)計調(diào)

查，y與X具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程J=0.66%+1.562.某城市居民人均消費水平為

7.675（千元），估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為（

A.83%B.72%C.67%D.66%

2Q（°<<一）6

.數(shù)列滿足∣,假設(shè)那么《）

4{4}α,,+=l""2q=9,8=（

24,,TJ一.，、7

5.命題P：函數(shù)f（x）=2ax1-x-1（?≠O）?（0,1）內(nèi)恰有一個零點;命題q:函數(shù)y=/-。

在（0,+8）上是減函數(shù),假設(shè)〃且r為真命題,那么實數(shù)”的取值范圍是（）

A.a>1B.a≤2C.?<a≤2D.a≤l或α>2

.鈍角。的終邊過點（Sin2asin49）,且COSe=L,那么tana的值為（）

6

2

ICI

A.—1IB.----C?—D.I

22

Sin（X-馬

7.函數(shù)/（x）=20∣sinx?cosx∣?^------------是（）

sinx-cosx

IT

A.周期為一的偶函數(shù)B.周期為萬的非奇非偶函數(shù)

2

π

C.周期為乃的偶函數(shù)D.周期為一的非奇非偶函數(shù)

2

2

8.假設(shè)二項式（3/一―尸）"（〃wN*）展開式中含有常數(shù)項，那么〃的最小取值是（）

VX

A.5B.6C.7D.8

9.假設(shè)直線/被圓Y+丁=4所截得的弦長為2百，/與曲線二+:/=1的公共點個數(shù)為

3'

()

A.1個B.2個C.1個或2個D.1個或O個

10.函數(shù)/(x)的圖象在定義域R上連續(xù)，假設(shè)4'(x)<O,那么以下表達式正確的為

()

A./(-1)+/(1)=0B./(-l)+∕(l)<∕(0)

C./(-l)-∕(l)<∕(O)D./(-1)+/(1)<2/(0)

[2'v-l(x≤0)

11.函數(shù)/(x)=4:二，把方程/(x)=X的根據(jù)按從小到大的順序排列成一

[/(x-l)+l(x>0)

個數(shù)列,那么該數(shù)列的通項公式為()

π(n-l),?、,C

A.an=——-——B.an~n(n-1)C.an=n-?D.all=2-2

12.平面向量的集合A到A的映射/由/(x)=x-2(x?α)α確定,其中。為常向量.假設(shè)映

射/滿足f(x)?∕(y)=x?y對x,y∈A恒成立,那么α的坐標不可能是()

A.(0,0)B.凈凈C.苧爭D.(-?■

二、填空題

13.某學(xué)校組織乒乓球比賽，甲班有5名男同學(xué),3名女同學(xué)報名；乙班有6名男同學(xué),2名女

同學(xué)報名.假設(shè)從甲、乙兩班中各選出2名同學(xué),那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不

同選法共有種.

2

14.拋物線y=4rpx{p>0),弦AB過焦點/，設(shè)IABl=〃?，三角形AQB的面積為S,那

公號=(用含有m,p的式子表示).

15.點M(—3,0),N(3,O),圓C:(九一1)2+日一。)2=。2(。>()),過^^與圓。相切的兩

直線相交于點P,那么點P的軌跡方程為.

16.空間一條直線∕∣與一個正四棱柱的各個面所成的角都為α,那么另一條直線右與這個正

四棱柱的各條棱所成的角都為夕，那么以下說法正確的選項是.

①此四棱柱必為正方體;②4與四棱柱的各邊所成的角也相等;③假設(shè)四棱標語為正四

棱柱，I1與這個正四棱柱的各條棱所成的角都為?，那么Sin2。+si1√/=L

三、解答題

17.在AABC中，角A,8,C所對的邊分別為4,",c.sinA+sinC=PSin3(PeR),且

ac=-b1.

4

(1)當p=*,A=l時,求α,c的值；

4

(2)假設(shè)角B為銳角，求P的取值范圍.

18.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn,且S“=(X+1)-?(Λ≠0,-1).

(1)求｛%｝的通項公式:(2)假設(shè)Iim5”的值存在,求4的取值范圍.

19.某地工商局對本地流通的某品牌牛奶進行質(zhì)量監(jiān)督抽查,結(jié)果顯示,剛剛銷售的一批牛奶

合格率為80%.

(1)假設(shè)甲從超市購得2瓶,恰都為合格品的概率；

(2)假設(shè)甲每天喝2瓶牛奶,求三天中喝到不合格牛奶的天數(shù)的期望.

20.如圖，在直四棱柱ABCD-AfBlCiDi中，底面ABCD為等腰梯形，

AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA,=2,瓦片,尸分別為棱AD,A4∣,AB的中點。

⑴證明:直線EEJ/平面/CG;

(2)求二面角B-EQ-C■的余弦值。

21.圓C的圓心為C(W,0)0”<3),半徑為石，圓C與橢圓E:=+與=l(α>b>0)

a~b~

有一個公共點A(3』)，"、B分別是橢圓的左、右焦點.

(I)求圓C的標準方程；

(II)假設(shè)點P的坐標為(4,4),試探究斜率為左的直線PG與圓C能否相切,假設(shè)能,求

出橢圓E和直線尸居的方程,假設(shè)不能,請說明理由.

1771*

22.函數(shù)=(九/CR)在X=I處取得極值2。

(I)求/(x)的解析式;

(II)設(shè)A是曲線y=∕(x)上除原點。外的任意一點，過Q4的中點且垂直于X軸的

直線交曲線于點8,試問：是否存在這樣的點A,使得曲線在點B處的切線與Q4平

行？假設(shè)存在，求出點A的坐標；假設(shè)不存在，說明理由；

(III)設(shè)函數(shù)g(x)=χ2-2儀+α,假設(shè)對于任意XeR的，總存在工2?-1』，使

得g(w)≤∕(xj,求實數(shù)”的取值范圍。

2023年春季期河北衡水高考信息卷(金考卷系列)理數(shù)(5)參考答案

一、選擇題

1.B2.B3.A4.C5.C6.A

TT

7.B提示：/(x)=∣sin2x∣,x≠-+人"，二定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)/(x)既不是奇

4

π

函數(shù)又不是偶函數(shù)，又函數(shù)y=Isin2x∣的周期為彳，去掉的點的周期為7，所以函數(shù)

/(X)的周期為乃，應(yīng)選B.

8.C9.C10.D11.C

12.B提示：令y=X,那么

/(x)?f(x)=x?x=[x-2(X?a)af=X-4(X?a)2+4[(x?a)af

即4[(x?a)af一4(x?α)2=O,.?(x?a)2(a-1)=0,/.Q=O或I=1,應(yīng)選B

二、填空題

13.345

14.mp3

2

15.%-^=l(x≠±l)

8

16.②③

三、解答題

17.解：(I),：p=—,：.sinA+sinC=?sinB,即α+c=°∕?.....................2分

444

Q=I1

1,51

又?.,人=1且。C=—人"，由α+c=-且QC=—得<1或<”45

444C=4IC=I

分

17

(II)SinA+sinC=PSinB=>α+c=p力且。C=Wb...................6分

CL-VC2a+。？—b-+6oc13

=P=-7==>D"=---------------------=_cosB+-8分

2?[ac4ac22

?.?角B為銳角，.?0<cosB<1,...............................................9分

.?.p2∈[∣?'2∣,而p>0,Λp∈f^-,V2.................................................]0分

18.解：由S〃=(丸+1)—λan=>SI=(4+1)—Aan_}≥2)

???(1+4)α,,=λan^,A≠0,-1

ttn-?1+λ

:.{an}是以1為首項，」一為公比的等比數(shù)列,故α,=(3)"T

1÷Λ1+4

1-(——)〃j

(2)S,=-邛一=(1+田口一(1，)"］

141+Z

1^ιZI

假設(shè)IimS的值存在,那么［刈<|1+/11

w→∞n

Λ>—且?ΛwO.

2

19.解：(1)恰都為合格品的概率為PP=0.82=0.64

(2)甲每天喝2瓶牛奶,喝到不合格牛奶的概率為0.36,三天看作三次獨立重復(fù)試驗,設(shè)

又因為E、El分別是棱AD、AA］的中點,所以EE//AR

所以CF,∕∕EE,,又因為EElZ平面FCC1,CFtU平面FCC1,

所以直線EEI〃平面FCCI.

(2)因為AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,aBCF為正三角形,取CF

的中點0,那么OBLCF,又因為直四棱柱ABCD-AIBlgDl中,CG，平面ABCD,所以CG，BO,

所以O(shè)BL平面CC1F,過0在平面CC1F內(nèi)作OPJ_CE垂足為P,連接BP,那么NOPB為二面

角B-FC1-C的一個平面角，在aBCF為正三角形中，OB=C,在RtΔCClF中，

△…△趾...普岸,。P=&x2咚

OP2_S

在RtAOPF中，BP=yjOP2+OB2COSNoPB=J

BP√?^^

所以二面角B-FCl-C的余弦值為也.

7

解法二：(1)因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,

所以BF=BC=CF,Z?BCF為正三角形，因為ABCD為

等腰梯形,所以∕BAC=NABC=60°,取AF的中點M,

連接DM,那么DMlAB,所以DMlCD,

以DM為X軸,DC為y軸,DD∣為Z軸建立空間直角坐標系,

,那么D(0,0,O),A(√3,-1,O),F(√3,1,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),E(-----,----,0),E∣(y/3,-1,1),所以

22

EEl=(y-,-∣,l),CF=(√3,-l,0),CC1=(0,0,2)RG=(—6,1,2)設(shè)平面CC1F

n-CF=0'二°取〃=(1,6,0),那么

的法向量為〃=(X,>,z)那么所以

0

n?CCt-0

EEl=等xl—；X6+1x0=0,所以〃，Eg,所以直線EEl〃平面FCCL

n?

%.FB=O

'所以

⑵FB=(0,2,0),設(shè)平面BFa的法向量為n1=(xl,χ,z∣),那么

zz1?FC1=0

r，一°,取n1=(2,0,6),那么n-nλ=2×l-√3×0+0×√3=2,

√3x1+γl+2z,=0

|〃|=Jl+(6)2=2,∣4b√22+0+(√3)2=√7,

所以cos〈〃,n,〉=—==且，由圖可知二面角B-FC1-C為銳角，所以二面

InIIn1I2×√77

角B-FC1-C的余弦值為也

7

21.解：(I)由可設(shè)圓C的方程為(x-W)?+y=5(m<3)

將點A的坐標代入圓C的方程,得(3-根)2+1=5

即(3-⑼2=4,解得〃2=1,或加=5

?ITLV3??YtT=1

.?.圓C的方程為(x—1)2+V=5

(∏)直線尸耳與圓C相切

依題意設(shè)直線PK的方程為y=左(X—4)+4,即0c—y-4女+4=O

女一0—4Z+4∣

假設(shè)直線PK與圓C相切,那么J—jI=√r5

√Jt2+l

.?.4左2—24^+11=0,解得Z=??,或％=工

22

當A=T時,直線PFl與X軸的交點橫坐標為胃，不合題意,舍去

當左=；時,直線PK與X軸的交點橫坐標為一4,

.?.c=4,F1(-4,0),8(4,0)

.?.由橢圓的定義知：

2222

2a=IA周+∣A6∣=Λ∕(3+4)+1+√(3-4)+l=5√2+√2=6√2

a=3-?∕2,即a?=18,b~—a2-C2-2

故直線尸片與圓C相切，直線產(chǎn)入的方程為x—2y+4=0,橢圓E的方程為

22.(I)〃力=4

xλ-n

/77(X2+π)-mx?2xj,_2

.?.f'(χ)=-s------?——=tιrH2分

)(2

J\(X2+〃?)(/JT?+")

又/(x)在X=I處取得極值2

MD=0

?=o即a+〃)2解彳導(dǎo)『=4或F=0(舍去)

J(I)=2m=2n=1-1

」十〃

Λ..............4分

?'?∕()=?X7+1.....

4—4X*2

(H)由⑴得/'(X)=---------τ

■+1)

假設(shè)存在滿足條件的點A,且A/，手J那么小白7…

2

7分

242ι~

.xθwO,..xθ—~9Xo~±~*V5

所以存在滿足條件的點A,此時點A是坐標為竽,學(xué))或(-竽，-警?……8

分

an)r(χ)J(χ+i)(i),令/,(χ)=o,得χ=τ嵌=1

(八1)-

當X變化時，/'(X),/(X)的變化情況如下表：

X、-00,T)-11(L+∞)

r(?)-O+O-

單調(diào)遞單調(diào)遞

/(?)單調(diào)遞減極小值極大值

增減

.?./(x)在X=T處取得極小值/(T)=-2,在X=I處取得極大值〃1)=2

又?X0時,/(x)0,.?.∕(x)的最小值為-2...............................10分

對于任意的％∈R,總存在WG使得g(Λ2)≤∕(XJ

??.當x∈[-l,l]時?，g(x)最小值不大于-2

又g(x^-x2-2ax+a-^x-ay+a-a2

當α≤T時，g(x)的最小值為g(-l)=l+34,由l+3α≤-2

得α<-l....................................................11分

當α≥l時,g(x