河北省部分學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)期中調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期中調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合{1,2,3,4,5},M={1,2},N={2,3},則d(MUN)=()

A.{4,5}B.{152}

C.{2,3}D.{1,3,4,5}

^i=()

l-2i

3.已知單位向量滿足卜+2萬>,一在）=一|，則（）

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為8〃,q+〃3+。5=1，&+。4+。6=2,則^口一艮二（

A.18B.54C.128D.192

22

5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，4民尸分別是橢圓c：=+A=l（a>6>0）的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和

ab

右焦點(diǎn)點(diǎn)尸在橢圓C上，且尸尸，。尸，若ABUOP,則橢圓C的離心率為（）

D.顯

A.1B.1c.V2

2

、門兀兀C

6.設(shè)a￡—出￡，且sina+cosa=V2cos/?,貝!I()

4242

c兀

A.cr+/?=—B.”號(hào)

兀

C.a+尸二,

7.把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是毋C,空氣的溫度是嵋C,則ftnin

后該物體的溫度e℃可由公式e=q+（q_%）e1求得.若將溫度分別為ioo°c和6（rc

的兩塊物體放入溫度是2（rc的空氣中冷卻，要使得這兩塊物體的溫度之差不超過i（rc,

至少要經(jīng)過（）（?。簂n2=0.69）

A.2.76minB.4.14minC.5.52minD.6.9min

9i_型

8.已知Q=ln'/=—,c=e9,貝！|（）

89

試卷第1頁，共4頁

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

二、多選題

9.如圖，在三棱臺(tái)/8C-/'8'C'中，上底面是邊長(zhǎng)為血的等邊三角形，下底面是邊長(zhǎng)

為2行的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都為1，則（）

A.CC1AA'

B.CC±AB

C.直線CC'與平面A8C所成角的余弦值為逅

4

D.三棱臺(tái)4BC-48'C'的高為"

3

10.若函數(shù)＞=忖標(biāo)|一在（0,+/）上的零點(diǎn)從小到大排列后構(gòu)成等差數(shù)列，貝ip的取值可

以為（）

D.正

A.0B.1C1

2

11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且5+l）/（x）=#（y+l）,則（）

A./（0）=0B./（1）=0

C.7（x）是奇函數(shù)D./（x）沒有極值

12.如圖，有一組圓Ck（左eN+）都內(nèi)切于點(diǎn)尸（一2,0）,圓G：（X+3）2+3-1）2=2,設(shè)直

線x+〉+2=o與圓C/在第二象限的交點(diǎn)為次,若|44+I|=也，則下列結(jié)論正確的是

A.圓Gt的圓心都在直線尤+y+2=。上

B.圓。99的方程為（X+52）2+3-50）2=5000

試卷第2頁，共4頁

C.若圓G與y軸有交點(diǎn)，則后28

D.設(shè)直線》=-2與圓G在第二象限的交點(diǎn)為紇，則回紇M=1

三、填空題

13.函數(shù)y=sinx+l的圖象可由函數(shù)〉=5也(尤-二］+1的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

得到.

14.已知函數(shù)/(x)=14'X"°'則滿足/(》-1)<〃2》)的工的取值范圍是________.

0,x<0,

15.已知拋物線C:y=f與直線交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線C上，且△/助為

直角三角形，則△48。面積的最小值為.

16.如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由兩個(gè)完全相同的正六棱柱垂直

貫穿構(gòu)成，若該正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為8,則該幾何體的體積為.

四、解答題

17.在中，。為3c上一點(diǎn)，CD=0BD=4幣,且/氏4。=90。.

(1)右AD=2A/3,求AC；

AR

⑵若NC1D=30。，求方.

AC

五、證明題

18.如圖，在四棱錐P-/3CD中，尸。，平面48CD,底面/BCD為直角梯形,

PD=CD=AD=2AB,AB〃CD,ADICD.

(1)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,使得/E〃平面PBC?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置并證明;

試卷第3頁，共4頁

若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑵求平面PBC與平面PAB的夾角的大小.

19.在數(shù)列｛%｝中，％=1,20+|-%=〃+2.

(1)證明：數(shù)列｛。用-4-1｝為常數(shù)列.

⑵若“=含，求數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和小

六、解答題

20.已知函數(shù)/'(x)=x2-辦一2?+6,曲線了=/(x)在點(diǎn)(4J(4))處的切線斜率為葭.

(1)求。的值；

(2)當(dāng)xe[0,b](b>0)時(shí)，“X)的值域?yàn)閇0,句，求b的值.

七、證明題

21.已知雙曲線寧磊=3°/>°)的右焦點(diǎn)為尸(⑺刀)，漸近線方程為y=±等x.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)已知雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為48,直線>=h+加與雙曲線C的左、右支分別交于

點(diǎn)、M,N(異于點(diǎn)43),設(shè)直線的斜率分別為3月，若點(diǎn)⑺,耳)在雙曲線C

上，證明勺色為定值，并求出該定值.

22.已知函數(shù)[(x)=asinx-(〃+l)x.

⑴當(dāng)“=-；時(shí)，證明：“X)只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)若xe(O,兀)J(x)+尤cosx>0,求a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合間的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，易得MUN={1,2,3},故電（MDN）={4,5}.

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.

2

［詳解】二2(l+2i)-6+8i68.

==1--1

1-21(l-2i)(l+2i)------5---------55

故選：D.

3.C

【分析】利用單位向量的定義、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【詳解】因?yàn)椋?+2石）.（3-3）=32-2廬+3石=1-2+限在=-：,

一1

所以］小二不

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{4}的公比為9,貝1」（4+。3+。5）夕=。2+。4+。6，解得夕=2.

S12—$6=%+Q8H+Q]2=(4+出+,,,+〃6)X2‘=3x2，=192.

故選：D.

5.D

【分析】表示出尸坐標(biāo)，由Z5//0P,可得左”二左00，求解即可.

【詳解】令C:二+E=l（a>b>0）中x=c,則y=

aba

ajaac

因?yàn)?3//OP,所以左婚=自尸，則2=生，

aac

即Z?=C,Q="2+02=y［2c，

答案第1頁，共14頁

6.B

【分析】利用三角恒等變換可得答案.

【詳解】因?yàn)閟ina+cosa=A/5sin[a+：]=,所以sin[a+；]=cos/?=sin[^~/?

,、r兀兀八7T7T1廣.7C兀3兀7T八?7C

因?yàn)閍s4f2平￡~4'2'所以。+彳晝2,~4~，丁0晝'

所以a+巴+百一月=兀，則a—尸=工.

424

故選：B.

7.C

【分析】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，通過數(shù)學(xué)建模列不等式求解.

【詳解】100℃的物塊經(jīng)過Zmin后的溫度a=20+80eW60℃的物塊經(jīng)過皿足后的溫度

02=20+40e7?

_t_

要使得這兩塊物體的溫度之差不超過10°C,即須使20+80ek20+40}<10,

解得d8山2=5.52,即至少要經(jīng)過5.52min.

故選：C.

8.A

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，代入數(shù)值，可得答案.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（xbinx+lT/?！倍?

因?yàn)閤e（0,l）上/''（尤）＜0,尤e（l,+co）上尸（尤）〉0,

所以“X）在（0,1）上單調(diào)遞減，在。,+⑹上單調(diào)遞增,

答案第2頁，共14頁

則/(無)2/⑴=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.

991

令工=一,則In—>一.

889

設(shè)函數(shù)g(x)=lnv-?,g'(x)=，

因?yàn)閤e(O,e)上g[x)>0,XG(e,+8)上gz(x)<0,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+⑹上單調(diào)遞減，

3310121_型

則g(x)Wg(e)=0,所以g⑶=ln3上<0,即/3<1<上,所以3<爐」“丁.

ee99

綜上可得：a>b>c.

故選：A.

9.ABD

【分析】延長(zhǎng)三棱臺(tái)的側(cè)棱，可證得幾何體為正三棱錐，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及三角形

三邊關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)A,B,D；由線面角的幾何法可判斷選項(xiàng)C.

【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，設(shè)45,4。的中點(diǎn)分別為。,石，連接C。，族并交于

點(diǎn)。，

C'A'PC

連接尸O.在△HC中，CA1IICA,所以號(hào)=靠，可得PC=1,PC=2.

同理可得尸N=P8=2,所以三棱錐尸-48C為正三棱錐.

XPC2+PA2=AC2,所以尸CLP”,即CCU44',A正確；

易得431平面尸OC,所以CC'，4B,B正確；

因?yàn)槭９て矫?8C,所以ZPC。為直線CC'與平面4BC所成的角.易知

CD=46,CO^—,PO=—,COSZPCO^—=—,C^；

33PC3

因?yàn)镃'為尸。的中點(diǎn)，所以三棱臺(tái)/8C-49。的高為!尸。=也，D正確；

23

故選：ABD.

P

A

答案第3頁，共14頁

10.ABD

【分析】函數(shù)了=同詞一有零點(diǎn)，即函數(shù)y=卜加|與、=，的圖象有交點(diǎn)，畫出函數(shù)〉=回回

與＞=，的圖象，結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)了=同時(shí)-/有零點(diǎn)，所以fe[0,l].

畫出函數(shù)〉=同1^|與y=f的圖象，如圖所示.

■K

‘、TT?：

0xi必"彷x

當(dāng)，=0或1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.

當(dāng)，￡(0,1)時(shí)，由題意可得工2—西=%3-x2.

因?yàn)椋?+再=兀,％2+%3=2兀，所以石=3/~，t.

一一1424342

故選：ABD.

11.ACD

【分析】利用賦值法，可判斷A；令函數(shù)8卜)=與1,計(jì)算得g(x)為常函數(shù)，可依次判斷

B,C,D.

【詳解】令x=y=0,則/(0)=0,A正確；

當(dāng)xwO且yw-1時(shí)，由(y+l)/(x)=獷(了+1),得,

令函數(shù)g(x)=〃^,則g(y+i)=,

所以g(x)=g(y+i),所以g(x)為常函數(shù)，

令g(x)=左，則/(x)=H,所以/(x)是奇函數(shù)，C正確;

當(dāng)左/0時(shí)，/(1)=上片0,B錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

所以沒有極值，D正確.

故選：ACD.

12.ABD

答案第4頁，共14頁

【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓C*的方程判斷B；求出圓加的圓心到y(tǒng)

軸的距離，結(jié)合直線與圓相交判斷C；求出點(diǎn)紇的縱坐標(biāo)判斷D.

【詳解】圓。的圓心G（-3,l）,直線PC1的方程為卜=!小-（x+2）,即x+y+2=0,

由兩圓內(nèi)切連心線必過切點(diǎn)，得圓「的圓心都在直線尸。上，即圓G的圓心都在直線

x+y+2=0上，A正確;

卜*+然=-2

顯然|”=百斤+1）,設(shè)點(diǎn)4(4,%),［正+『上+2=6（左+1）'而/<一2,

解得乙=-"3,"=左+1,因此圓Ck的圓心就（-",，），半徑為四=1（后+1）,

2222

圓Q的方程為（X+彳）2+（J-f）2=攵*，則圓C?9的方程為

(X+52)2+3-50)2=5000,B正確;

圓G的圓心到了軸距離為彳，若圓c”軸有交點(diǎn)，則容v—，

解得上24忘+3之8.6，而左eN+，因此左29,C錯(cuò)誤;

在（》+—）2+（了-A±l彳=四空中，令x=-2,得點(diǎn)％的縱坐標(biāo)為人+1,因此|BkBk+l|=1,

D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線I：y=kx+b上兩點(diǎn)A（xt,yi）,B（x2,y2）間的距離|AS|=Jl+P|x,-x2|;

直線/：產(chǎn)叼+f上兩點(diǎn)/（再,弘）,3（工2，%）間的距離/-及|.

13.生

6

【分析】由三角函數(shù)的平移變換即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榇?sinx+1=sin［6一己］一7^2左兀+￡Z,

所以函數(shù)了=$1說+1的圖象可由函數(shù)了=311，-言）+1的圖象至少向右平移野個(gè)單位長(zhǎng)度

得至九

11兀

故答案為：——.

O

答案第5頁，共14頁

14.（0,+8）

2%>0

【分析】畫出/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合得到C/求出工的取值范圍.

2x>x-l

【詳解】畫出的/、圖象,數(shù)形結(jié)合可得2出x>>0、7解得X>。.

故答案為：(0,+“)

15.I

【分析】根據(jù)已知設(shè)4-七辦網(wǎng)后,。),。3,/),由垂直關(guān)系有而.而=0，可得

加2=°-1求。的范圍且a-〃/=1,即可求三角形面積最小值.

【詳解】設(shè)/卜右,。),8(后,。),。(根,叫，

因?yàn)闉橹苯侨切危?/p>

所以AdZ)=(〃7+6)(〃?一人)+(——a)=0,BPm2-a+^m2-a)2=0.

因?yàn)榧?-。A0，所以機(jī)。=。―iz0=>a21.

所以S“BD=!"m川加出“.

故答案為：1

,,2326

10.----------

3

【分析】根據(jù)題意，利用割補(bǔ)法結(jié)合相關(guān)提交公式運(yùn)算求解.

答案第6頁，共14頁

【詳解】過直線和直線P。分別作平面a,平面廣，平面a和平面尸都平行于豎直的正

六棱柱的底面，

則該豎直的正六棱柱夾在平面&和平面。之間的部分的體積為把X2?X4=246.

2

如圖將多面體43CDW分成三部分，其中VABFM^VDCEN=-x-xlxV3xl=1,

A—DrMD-LtLNre，，

32o

三棱柱BFM-CEN的體積為，xlx君x2=6,

2

所以多面體48ayw的體積為立、2+百=逑.

63

兩個(gè)正六棱柱重合部分的體積為246-4x羊=用.

一個(gè)正六棱柱的體積為X8X22X8=48VL

2

故該幾何體的體積為2x48后-也5=空".

33

故答案為：空述.

3

17.⑴/C=5；

(2)2.

【分析】(1)由題設(shè)求得/3=10,cosB=等,再應(yīng)用余弦定理求ZC；

(2)由正弦定理可得/C=2J7sin/4JDC=2S_sin/4JDB,再由48=4J7sin,即可

得結(jié)果.

【詳解】(1)在RtZUAD中，AB=」BD。-AD?=1Q,COSB=%=迎.

BD14

在AA8C中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=25,解得/C=5.

答案第7頁，共14頁

(2)在A/CD中，.，：一=.,所以/C=2近sinZ4OC=2"sinZ4O8.

smZADCsmZCAD

在/\ABD中，ZBAD=90°,sinZADB=,所以AB=4A/7sinZADB.

BD

,,AB44sin/ADB°

故一=-V-------------=2.

AC2J7sinZADB

18.(1)存在；E為尸。的中點(diǎn)，證明見解析

【分析】(1)先構(gòu)造平行四邊形證明線線平行；再利用直線和平面平行的判定定理即可證明.

(2)先建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸BC與平面尸48的法向量；再利用空間夾角的向量

求法即可得出答案.

【詳解】(1)當(dāng)E為PD的中點(diǎn)時(shí)，月E〃平面尸8c.

理由如下：

設(shè)尸為尸C的中點(diǎn)，連接EF,FB,AE.

則在APCD中，EFIICD,EF=-CD.

2

因?yàn)镃D=248,48〃CO,

所以EF〃&B,EF=AB,

所以四邊形EFBA為平行四邊形，

所以4EIIBF.

因?yàn)?/u平面尸BC,AE<zPBC

所以ZE〃平面尸3C.

答案第8頁，共14頁

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。。,。尸所在直線分別為陽八2軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

^PD=CD=AD=2AB=2,則尸（0,0,2）,C（0,2,0）,8（2,1,0）,Z（2,0,0）,

PB=（2,1-2）,PC=（0,2,-2）,AB=（0,1,0）.

設(shè)平面PBC的法向量為m=（x,y,z）,

m?PB=0,[2x+y-2z=0

則1_即＜

m-PC=0,[2y-2z=0

令y=2,則成=（1,2,2）.

設(shè)平面PAB的法向量為w=(x”i,zj,

n-PB=0,2xj+%一2Z1=0

則—即

n-AB=0,7=0

令X]=l,則”=（1,0,1）.

設(shè)平面PBC與平面PAB的夾角為。,

m-n交

cos0-cos（m,n

Hlnl2

ITTT

所以八“即平面與平面尸的夾角的大小為丁

19.(1)證明見解析

⑵一3〃+4

9?4〃T

【分析】(1)化簡(jiǎn)得2(。用““-1)=0“-％即可證明；

(2)應(yīng)用錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】(1)令〃=1,得2%-％=1+2,則4=2.

因?yàn)?%+1-%=〃+2①，所以24-0“_]=?+1(M>2)@.

①-②得2。用一/一(2%-%-)=1,即2-%T)=%-%T.

因?yàn)?-%-1=0,所以數(shù)列｛。角-?！?1｝為常數(shù)列.

答案第9頁，共14頁

(2)由(1)可得.用-%-1=0,所以｛%｝是公差為1的等差數(shù)列,

所以a.=〃.

ri]23n

因?yàn)?，二后，所?=下+干+不■+…+不工③

10123n

-T=-^+-^+—+…+——④.

4n442434〃

/3Tli111n

③-④倚1北=0+“+7+/+…+kF

43〃+4

4〃33?4〃

所以北若3〃+4

9?4"T

20.⑴”1

(2)2

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分0<641、6>1兩種情況討論，求

出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】(1)因?yàn)?@)=/-辦一2?+6,所以/"(%)=2丫一”(.

113

依題意/'(4)=8-叱5=不，解得a=l.

(2)由(1)可得/(x)=--x-2《+6,則廣(無)=2x、yT.

yjx

令函數(shù)g(x)=2x?—?—l,貝lg'(x)=3?_￡^=.

當(dāng)時(shí)，g'(x)>。；當(dāng)0<x<)時(shí)，g'(x)<0.

66

所以g(x)在/,力上單調(diào)遞減，在1，+：)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間⑼=T，g(l)=0,所以當(dāng)尤>1時(shí)，g(無)>0,即〃(x)〉0；

當(dāng)0cx<1時(shí),g(x)<0,即/1x)<0.

所以“X)在。,+⑹上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

答案第10頁，共14頁

當(dāng)0<6Vl時(shí)，〃x)在［0回上的最小值為［伍)=從_6_26+6=0,解得修：〉〃舍去?

當(dāng)。>1時(shí)，“X)在［0回上的最小值為了⑴=-2+6=0,解得6=2,

止匕時(shí)/(x)=x2_x_26+2,/(O)=2,/(2)=4-2A/2<2,

即當(dāng)尤e［0,2］時(shí)/■(x)e［0,2］,符合題意.

綜上，6的值為2.

21.(1)—-^=1

?43

(2)證明見解析，定值為」5+3同

【分析】(1)利用漸近線的定義得到6=再利用A。的關(guān)系即可得解；

2

(2)由題意得到蘇-4公=4,再聯(lián)立方程得到王+乙戶也，進(jìn)而得到乃％,馬-國(guó)，從而利

用斜率公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)闈u近線方程為/=±@x,所以2=3,即6=也.,

2a22

7

所以。2=/+〃=7,貝Iq=2,6=6，

故C的方程為=

(2)依題意，知/(一2,0),3(2,0),

因?yàn)辄c(diǎn)(外限)在雙曲線C上，

答案第11頁，共14頁

貝A=48（冽2一4-+3）=336>o,

-4m2-12

設(shè)W（X|,yJ,N（X2，%）,則Z>尤一再+/=叱2戶/=232

3—443—4左

2T?〃+”+/

所以必%=kXxX2+癡（玉+X2）+加2

3—4左23-4k2

3（〃z2-4左2）|2

3—442—3—4左2

/8km12+4（4加2+]2）

皿3-4/）+3-4/~

4A/3OT2-12Z:2+9_4?

|3-43一14日

_42_17所以馬一玉="

因?yàn)閤x=---m---<0,所以3—4k2>0，

r123—4左2

12

故上他=人-4=——產(chǎn)=_3^

再+2x?-2再入2+2（工2—再）—4—4加一12+84214

3—4/3-4F-

___________121215+3收

-4%2-12+8萬-12+16左2—16—24+8收8

故《也為定值，定值為」5+3?.

8

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(占,%),(%,%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或丁)的一元二次方程，注意A的判斷;

(3)列出韋達(dá)定理;

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國(guó)+9、網(wǎng)工2(或%+力、必%)的形式;

(5)代入韋達(dá)定理求解.

22.(1)證明見解析

（2）