豎直面內(nèi)的圓周運動-2022-2023學年高一物理講義（人教2019必修第二冊）

第六章圓周運動

專題6豎直面內(nèi)的圓周運動

S目標導航

課程標準核心素養(yǎng)

1.掌握豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩模型的分

1、物理觀念：輕繩模型、輕桿模型。

析方法..

2、科學思維：能在豎直平面內(nèi)做完整圓周運動的條件。

2.掌握豎直面內(nèi)圓周運動的輕桿模型的分

3、科學探究：探究不同情況的最高點的臨界情況。

析方法.

4、科學態(tài)度與責任：用所學的豎直平面內(nèi)的知識解決生

3.豎直平面內(nèi)內(nèi)軌道、外軌道和雙軌道問題

活生產(chǎn)中的問題。

敢知識精講

上'知識點Ol豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩（過山車）模型

【導學探究】

如圖所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內(nèi)做圓周運

動，小球在繩、軌道的限制下不能遠離圓心且在最高點無支撐，我們稱這類運動為“輕繩模型”.

1.小球在豎直平面內(nèi)的運動是勻速圓周運動嗎？

答案不是

2.小球運動到最高點時向心力由什么力來提供？繩上拉力（或軌道的彈力）與速度有何關系？

答案由重力和繩的拉力（或軌道的彈力）的合力提供

最后J點：F+mg=nrγ

所以F=nrγ-nιg

3.試分析小球通過最高點的最小速度.

答案由于繩（軌道）不可能對球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力（彈力），由F+"7g="7可知，當F

=0時，。最小，最小速度為u=?√跡.

4.分析小球通過最高點時繩上拉力與速度的關系.

2

答案（I）O=亞時，"Ig="*,即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力（或軌道的壓力）

為零.

7,2

(2)o<技時，m8>mγ,即重力大于小球所需要的向心力，小球脫離圓軌道，不能到達最高點.

(3)o>√還時，即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力(或軌道的支持力)，重

,d

力和拉力(或軌道的支持力)的合力充當向心力，mg+F-m-.

【即學即練D長為L的細繩，一端系一質(zhì)量為根的小球，另一端固定于某點。當繩豎直時小球靜止，

再給小球一水平初速度%,使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。關于小球的運動下列說法正確的是

()

O

L

A.小球過最高點時的最小速度為零

B.小球過最高點時最小速度為2eE

C.小球開始運動時繩對小球的拉力為,“軍

L

D.小球運動到與圓心等高處時向心力由細繩的拉力提供

【答案】D

【解析】AB.根據(jù)

V2

mg=tn—

得小球通過最高點的最小速度

V=M

故AB錯誤；

C.在最低點，根據(jù)牛頓第二定律得

T-mg=m^-

解得繩子對小球的拉力

T=mg+m^-

故C錯誤；

D.在與圓心等高處，重力豎直向下，小球做圓周運動的向心力指向圓心，由繩子拉力提供，故D正確。

故選D。

02/17

叁,知識點02豎直面內(nèi)圓周運動的輕桿（管）模型

【導學探究】

如圖所示，細桿上固定的小球和在光滑管形軌道內(nèi)運動的小球在重力和桿（管道）的彈力作用下在豎直平面

內(nèi)做圓周運動，這類運動稱為“輕桿模型”.

「I桿

tf

\\//

---------J

1.試分析小球通過最高點的最小速度.

答案由于桿（或管道）在最高點處能對小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達最高點的最小速度。=0,

此時小球受到的支持力FN=mg.

2.分析小球在最高點時桿上的力（或管道的彈力）隨速度的變化.

2

答案（1）。=病時，mg=〃隹，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿（或圓管）與小球間無作用力.

22

（2）,時，fng>%,即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力R"火一尸=7，BPF=

mg—nrγ,U越大，F(xiàn)越小.

2

（3）o>√，時，mg<n^,即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力（或壓力）F.重力和拉力

（或壓力）的合力充當向心力，mg+F=行，即尸=〃7—"吆，。越大，尸越大.

【即學即練2］如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為

r,重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.小球在水平線而以上的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力

B.小球通過最高點時的最小速度%hl=Jg（R+'

C.小球在水平線外以下的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定無作用力

D.小球通過最高點時的最小速度％“=Jg（R+r）

【答案】A

【解析】BD.在最高點，由于外管或內(nèi)管都可以對小球產(chǎn)生彈力作用，當小球的速度等于。時，內(nèi)管對

小球產(chǎn)生彈力，大小為，咫，故最小速度為0,故BD錯誤；

C.小球在水平線"以下的管道中運動時，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側(cè)

管壁對小球一定有作用力，而內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力，故C錯誤；

A?小球在水平線外以上的管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，當速度非常大

時，內(nèi)側(cè)管壁沒有作用力，此時外側(cè)管壁有作用力，當速度比較小時，內(nèi)側(cè)管壁對小球有作用力，故A

正確。

故選Ao

Q能力拓展

1.兩類模型對比

輕繩模型(最高點無支撐)輕桿模型(最高點有支撐)

球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運動的

實例球與桿連接、球在光滑管道中運動等

“過山車”等

舜?

桿

圖示(M

小

，—(卜―、

受力一■、、、

4'F共

mg

mgmgmg

示意mg

OOOOO

圖

尸彈句下或等］F零尸彈向下、等于零或向上

力學V2V2

mg+F彈=m示mg±F彈=〃斥

方程

尸彈=0

V=O

臨界

Omin一

mg=nτ~^-即尸向=O

特征

F辨=mg

即vmin^-?[gR

⑴當。=0時，/彈=mg,F彈背離圓心

2

2v

v(2)當時，mg-F^=mγ尸彈背

(1)最高點，若F^i+mg=nr^,

討論離圓心并隨。的增大而減小

繩或軌道對球產(chǎn)生彈力尸彈

分析(3)當。=也天時，/彈=0

(2)若o＜痂，則不能到達最高點，即到

v2

達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(4)當。＞W(wǎng)時，mg+F彈="仄，尸彈指向

圓心并隨。的增大而增大

2.解題技巧

(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程;

04/17

（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩處速度關系；

（3）注意：求對軌道的壓力時，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力.

考法Ol豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩（過山車）模型

【典例1】如圖所示，質(zhì)量為，"的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動。圓環(huán)半徑為R,小球半

徑不計，小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時下列表述不正確的是（重力加

A.小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于∕ng

B.重力充當小球做圓周運動所需的向心力

C.小球的線速度大小等于歷

D.小球的向心加速度大小等于g

【答案】A

【解析1A.因為小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，故在最高點時小球?qū)A環(huán)的壓力為零，A

錯誤，符合題意：

BCD.小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時，只受重力作用，即重力，咫充當小球做圓周運動所需的向心力，則有

V2

mg=m—=ma

R

即

a=g

BCD正確,不符合題意。

故選Ao

考法02豎直面內(nèi)圓周運動的輕桿（管）模型

【典例2】如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的彎管處于豎直平面內(nèi)，其中管道半徑為R?，F(xiàn)有一個半徑略小于彎

管橫截面半徑的光滑小球在彎管內(nèi)運動，小球通過最高點時的速率為如重力加速度為g,則下列說法中

正確的是（）

/R

o

A.若VO=質(zhì),則小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力

B.若%>M，則小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力

C.若0<%<胸，則小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力

D.不論如多大，小球?qū)軆?nèi)下壁都有壓力

【答案】C

【解析】A.在最高點，只有重力提供向心力時，有

Vo

mg=mT

解得

VO=廝

此時小球?qū)軆?nèi)壁無壓力，故A錯誤；

B.若

%>麻

則有

?Vo

樞+冬=m~^

K

此時小球受向下的壓力，這表明小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力，故B錯誤；

CD.若

0<vo<yfgR

則有

mg-F=m—

NK

此時小球受向上的支持力，表明小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力，故C正確，D錯誤。

故選Co

高分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖所示，長為乙的輕繩一端系一質(zhì)量為〃?的小球A,另一端固定于O點，當繩豎直時小球靜止?，F(xiàn)

06/17

給小球一水平初速度VO,使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，且剛好能過最高點，重力加速度為g,則

()

TO

'^^?6J

A

A.小球過最高點時，速度可能為零

B.小球過最高點時，繩的拉力為∕*g

C.開始運動時，繩的拉力為阻破

L

D.小球過最高點時，速度大小為康

【答案】D

【解析】ABD.小球剛好越過最高點，可知FT=0,根據(jù)牛頓第二定律得

2

ιng=ιnV-

解得

V=原

故AB錯誤，D正確；

C.開始運動時，根據(jù)牛頓第二定律得

F?τ-mg=r∏VQ:

解得

,Vθ

卜p丁二,ng+mj?

故C錯誤。

故選Do

2.如圖所示，半徑為心的圓管軌道（圓管內(nèi)徑遠小于軌道半徑）豎直放置，管內(nèi)壁光滑，管內(nèi)有一個小

球（小球直徑略小于管內(nèi)徑）可沿管轉(zhuǎn)動，已知重力加速度為g,設小球經(jīng)過最高點P時的速度為V,則

A.V的最小值為

B.v若增大，球所需的向心力也增大

C.當丫由瘋逐漸減小時?，軌道對球的彈力也減小

D.當U由病逐漸增大時，軌道對球的彈力也減小

【答案】B

【解析】A.由于小球在圓管中運動，在最高點速度可以是零，A錯誤;

B.根據(jù)向心力公式有

F11=m-

L

U若增大，小球所需的向心力一定增大，B正確；

C.小球經(jīng)過最高點時，因為圓管既可提供向上的支持力也可提供向下的壓力，當

V=而

時，軌道對小球的彈力是零，因此V由病逐漸減小時，即興瘋，小球的重力大于所需向心力，軌道

時小球有向上的彈力，由牛頓第二定律可得

F=mg-m—>O

隨v的減小，軌道對小球的彈力增大，C錯誤；

D.□由逐漸增大時，即v＞癡，重力小于小球所需向心力，此時軌道對小球有向下的彈力，由牛頓

第二定律可得

F=m--mg>O

隨V的增大，軌道對小球的彈力也增大，D錯誤。

故選Bo

3.如圖所示，某輕桿一端固定一質(zhì)量為根的小球，以另一端。為圓心，使小球在豎直平面內(nèi)做半徑為

R的圓周運動，重力加速度為g,以下說法中正確的是（）

08/17

Q-、、

A.小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零

B.小球過最高點時，最小速度為^

C.小球過最低點時，桿對球的作用力不一定與小球所受重力方向相反

D.小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等于桿對球的作

用力

【答案】D

【解析】A.小球在最高點時，如果速度恰好為屈，則此時恰好只有重力提供向心力，桿和球之間沒有

作用力，桿所受彈力是零，A錯誤；

B.小球過最高點時，由于輕桿可以支持小球，因此最小速度可以是零，B錯誤

C.小球過最低點時，桿對球的作用力方向豎直向上，與重力方向一定相反，C錯誤。

D.小球過最高點時，如果速度小于胸，則重力大于所需要的向心力，桿就要對小球有支持力，方向

與重力的方向相反，由牛頓第二定律可得

∕ng—F=in—

R

桿的作用力

F=me-m—

R

此時重力一定大于或等于桿對球的作用力，D正確.

故選Do

4.如圖所示，摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動。座艙的質(zhì)量為加，運動半徑為R,角速

度大小為⑶重力加速度為g,則座艙（）

座艙

A.運動周期為B.在最低點受摩天輪的作用力為加。2R

ω

C.受摩天輪作用力的大小始終為〃際D.所受合力的大小始終為極/R

【答案】D

【解析】A.根據(jù)角速度的定義式。=絲可知，3=空,所以T=空，A錯誤；

BC.勻速圓周運動的向心力始終指向圓心，座艙在最低點時，向心力豎直向上，座艙所受摩天輪的作用

力為

FNi=mg+mω2R

而座艙在最高點時，向心力豎直向下，座艙所受摩天輪的作用力為

FN2=mg?ma）2R

BC錯誤；

D.做勻速圓周運動的物體所受合力提供向心力，即座艙所受合力大小始終為

F,,=mω2R

D正確。

故選D?

5.如圖示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的半圓形軌道，最高點為P點。現(xiàn)讓一小滑塊（可視為質(zhì)點）從

水平地面上向半圓形軌道運動，重力加速度為g,小滑塊通過尸點時的速度為下列關于小滑塊運動

情況的分析正確的是（）

A.若小滑塊恰能通過P點，則離開P點后做自由落體運動

B.若vP>0,則小滑塊能通過尸點，且離開P點后做平拋運動

C.若VP=質(zhì),則小滑塊恰能到達P點，且離開P點后做自由落體運動

D.若VP=廊,則小滑塊恰能到達P點，且離開尸點后做平拋運動

【答案】D

【解析】滑塊恰好通過最高點P時，由重力完全提供向心力，有

V；

mg=m—

解得

10/17

VP=y∕gR

所以若vP>O,則小滑塊不一定能通過P點：小滑塊恰能到達P點，則離開尸點后做平拋運動。

故選D。

6.（多選）如圖所示，輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸。上，另一端固定一個小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓

周運動，當小球運動至最高點時，輕桿對小球的作用力（）

A.方向一定豎直向上

B.方向可能豎直向下

C.大小可能為0

D.大小不可能為0

【答案】

BC

【解析】

設桿長為凡當重力剛好提供小球做圓周運動的向心力時，桿對小球無作用力，此時有=解得

v=y∣gR,當時，桿對小球提供拉力，當。<我時，桿對小球提供支持力，故B、C正確，A、D錯

、口

慶.

題組B能力提升練

7.如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為〃，的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動（不計一切阻力），小球

運動到最高點時繩對小球的拉力為FT,小球在最高點的速度大小為V,其f>v2圖像如圖乙所示，則

（）

A.數(shù)據(jù)。與小球的質(zhì)量無關

B.當?shù)氐闹亓铀俣葹槎?/p>

a

C.當V2=C時，輕質(zhì)繩的拉力大小為F+a

b

D.當v2=26時，小球受到的拉力與重力大小相等

【答案】D

【解析】AB.設繩長為R,由牛頓第二定律知小球在最高點滿足

2

Er+mg=m—

即

Er

=吟Tng

由題圖乙知α=mg,b=gR

所以

a

g=—

tn

R=此

a

故AB錯誤;

CD.當v2=c時?有

耳I+Wg=

K

將g和R的值代入得

Lac

ErI=-----a

τ'b

故C錯誤;

D.當v2=2b時，由

L2b

F?r2+mgf

可得

Fτ2=a=mg

即拉力與重力大小相等，故D正確。

故選D,,

8.（多選）如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動.當小球運動到圓形管道的最高點時，

管道對小球的彈力與過最高點時小球的速度平方的關系如圖乙所示（取豎直向下為正方向）?MN為通過圓

心的一條水平線.不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g.則下列說法中正確的是（）

12/17

乙

?

-

A

g

￡

質(zhì)量為

小球的

B?

O

用力

能有作

小球可

管壁對

，內(nèi)側(cè)

運動時

管道中

以下的

MN

球在

C.小

力

有作用

球一定

壁對小

外側(cè)管

動時，

道中運

上的管

N以

在M

小球

D.

B

】A

【答案

】

【解析

h

/

=

以〃?

a所

，mg=

o時

當"=

確；

A正

%,故

得R=

^解

=nr

，mg

=O時

/7N

。2=b,

，當

乙可知

由題圖

f

f

要提

壁必然

，則管

向圓心

向要指

力的方