2023年中考數(shù)學(xué)考前第24講：函數(shù)中相似形存在問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第24講：函數(shù)中相似形存在問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

存在性問題是根據(jù)已知的條件，探索制定適合某個問題的結(jié)論的數(shù)值、點、直線或其圖

形是否存在的題目，對于相似三角形存在問題.在中考中函數(shù)圖象中點的存在問題是重點，

其解題思路是：先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由肯定假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行正確的

計算、推理，若導(dǎo)出矛盾，則否定先前假設(shè)，若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確，由此得

出問題的結(jié)論.它主要考查考生的觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，由于這類

題目的綜合性極強.因此中考常以壓軸題出現(xiàn).

相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件,

因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等.

判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程,

解方程并檢驗.

應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等.

應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）.

【例題1】如圖所示，在平面直角坐標系中，OC經(jīng)過坐標原點。，且與X軸，y軸分別相

交于M（4,0）,N（0,3）兩點.已知拋物線開口向上，與。C交于N,H,P三點，P為

拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直X軸于點D.

（1）求線段CD的長及頂點P的坐標；

（2）求拋物線的函數(shù)表達式；

（3）設(shè)拋物線交X軸于A,B兩點，在拋物線上是否存在點Q,使得SmWOPMN=8SaQAB,且

△QABSAOBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

第1頁共30頁

【例題2】如圖，在平面直角坐標系xθy中，拋物線y=-L<2+bx+c過點A(0,4)和C(8,

0),P(t,0)是X軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋

轉(zhuǎn)90。得線段PB.過點B作X軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D.

⑴求b,c的值；

(2)當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上；

(3)是否存在t,使得以A,B,D為頂點的三角形與aAOP相似？若存在，求此時t的值；

若不存在，請說明理由.

第2頁共30頁

1.如圖1,拋物線y=αχ2+bχ-3與X軸交于41,0)、8(3,0)兩點，與y軸交于點D,頂點為

C.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在X軸下方的拋物線上是否存在點A4,過M作MNJ_x軸于點N,使以A、M、N為頂

點的三角形與48C0相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

2.如圖，拋物線y=-,χ2+三x+2與X軸交于點A,B,與y軸交于點C.

(1)試求A,B,C的坐標;

(2)將aABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180。，得到^BAD.

①求點D的坐標；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由：

(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使ABMP與aBAD相似？若存在，請直接寫出所

有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由.

第3頁共30頁

3.如圖1-1,拋物線I=Lr+4與X軸交于A、8兩點（A點在8點左側(cè)），與y軸交于

82

點C?動直線EF（￡F〃x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分

別交y軸、線段BC于￡、F兩點,動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的

速度向原點。運動.是否存在3使得48PF與AABC相似.若存在，試求出t的值；若不

存在，請說明理由.

圖1

4.如圖所示，拋物線y=χ2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為（-1,0）、（0,

-3）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式：

（2）點E為拋物線的頂點,點C為拋物線與X軸的另一交點，點D為y軸上一點,且DC=DE,

求出點D的坐標：

（3）在第二問的條件下，在直線DE上存在點P,使得以C、D、P為頂點的三角形與ADOC

相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.

第4頁共30頁

5.如圖,已知A(-2,O),B(4,0),拋物線y=aχ2+bx-1過A、B兩點,并與過A點的直

線y=-?Lχ-1交于點C.

2

(1)求拋物線解析式及對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPo的周長最??？若存在，求出點P

的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N.

問：是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與AAOC相似，若存在，求出

點N的坐標，若不存在，請說明理由.

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6.如圖，已知直線y=-2x+4分別交X軸、y軸于點A、B,拋物線過A,B兩點，點P是線

段AB上一動點，過點P作PC,X軸于點C,交拋物線于點D.

2

（1）若拋物線的解析式為V=-2X+2X+4,設(shè)其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與

△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

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7.如圖1,在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線y=αχ2+bx(α>0)經(jīng)過點A和X軸

正半軸上的點B,AO=BO=2,/408=120。.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)連結(jié)。/M,求NAoM的大??；

(3)如果點C在X軸上，且AABC與AAOM相似，求點C的坐標.

圖1

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8.在平面直角坐標系Xoy中，拋物線y=--χ2+bx+c經(jīng)過點A(-2,0),B(8,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點C是拋物線與y軸的交點，連接BC,設(shè)點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點，PDlBC,

垂足為點D.

①是否存在點P,使線段PD的長度最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由；

②當(dāng)APDC與ACOA相似時，求點P的坐標.

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第24講：函數(shù)中相似形存在問題

答案解析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

存在性問題是根據(jù)已知的條件，探索制定適合某個問題的結(jié)論的數(shù)值、點、直線或其圖

形是否存在的題目，對于相似三角形存在問題.在中考中函數(shù)圖象中點的存在問題是重點，

其解題思路是：先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由肯定假設(shè)出發(fā)，結(jié)合己知條件進行正確的

計算、推理，若導(dǎo)出矛盾，則否定先前假設(shè)，若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確，由此得

出問題的結(jié)論.它主要考查考生的觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，由于這類

題目的綜合性極強.因此中考常以壓軸題出現(xiàn).

相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，

因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等.

判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程,

解方程并檢驗.

應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等.

應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程(組).

【例題1】如圖所示，在平面直角坐標系中，OC經(jīng)過坐標原點。，且與X軸，y軸分別相

交于M(4,0),N(0,3)兩點.已知拋物線開口向上，與。C交于N,H,P三點，P為

拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直X軸于點D.

(1)求線段CD的長及頂點P的坐標；

(2)求拋物線的函數(shù)表達式：

(3)設(shè)拋物線交X軸于A,B兩點，在拋物線上是否存在點Q,使得SmMPMN=8SZIQAB,且

△QABS^OBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

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【分析】（I）連接。C,由勾股定理可求得MN的長，則可求得。C的長，由垂徑定理可求

得OD的長，在RtAOCD中，可求得CD的長，則可求得PD的長，可求得P點坐標；

（2）可設(shè)拋物線的解析式為頂點式，再把N點坐標代入可求得拋物線解析式；

（3）由拋物線解析式可求得A、B的坐標，由SmSJBOPMN=8SZSQAB可求得點Q到X軸的距離，

且點Q只能在X軸的下方，則可求得Q點的坐標，再證明AQABS∕?OBN即可.

【解答】解：

（1）如圖，連接。C,

VM(4,O),N(0,3),

.?.0M=4,ON=3,

ΛMN=5,

.?.0C=5MN=?∣?,

VCD為拋物線對稱軸，

Λ0D=MD=2,

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在Rt?0CD中，由勾股定理可得CD=JoC2-OD2=J(?∣?)2-2Z?∣,

53

ΛPD=PC-CD=-=1,

22

,P(2,-1)；

(2)：拋物線的頂點為P(2,-1),

.?.設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x-2)2-1,

:拋物線過N(0,3),

Λ3=a(0-2)2-1,解得a=l,

.?.拋物線的函數(shù)表達式為y=Cx-2)2-l,即y=×2-4X+3；

(3)在y=χ2-4x+3中，令y=0可得C)=X2-4x+3,解得X=I或x=3,

ΛA(1,0),B(3,0),

ΛAB=3-1=2,

VON=3,OM=4,PD=I,

?*?S四邊形OPMN=SaθMp+SzxoMN==OM?PD+-^OM?ON='x4xl+之X4X3=8=8S,AQAB,

??SΔQAB=1>

設(shè)Q點縱坐標為y,則XlyI=1,解得y=l或y=-l,

當(dāng)y=l時，則4QAB為鈍角三角形，而aOBN為直角三角形，不合題意，舍去,

當(dāng)y=-1時.，可知P點即為所求的Q點,

tD為AB的中點，

,AD=BD=QD,

Λ?QAB為等腰直角三角形,

?.,0N=0B=3,

ΛΔOBN為等腰直角三角形,

Λ?QAB^?OBN,

綜上可知存在滿足條件的點Q,其坐標為(2,-1).

【例題2】如圖，在平面直角坐標系xθy中，拋物線y=-1χ2+bx+c過點A(0,4)和C(8,

6

0),P(t,0)是X軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋

轉(zhuǎn)90。得線段PB.過點B作X軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D.

⑴求b,c的值；

第11頁共30頁

(2)當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上；

(3)是否存在3使得以A,B,D為頂點的三角形與aAOP相似？若存在，求此時t的值:

解：(1)?.?A(O,4),C(8,0)在拋物線上,

a=4,Ib=',

二'θ=-1χ82+8b+c,解得.6

6L=4；

(2)VNAOP=NPEB=90。，

ZOAP=90。一NAPO=NEPB,

ACAP

Λ?AOP∞?PEB,：.-=—,

PEPB

VAO=4,AP=2MP=2PB,

ΛPE=2,0E=0P+PE=t+2,

又YDE=OA=4,

點D的坐標為(t+2,4),

當(dāng)點D落在拋物線上時，

?-?+2)2+?+2)+4=4,

66

解得t=3或t=-2,

Vt>O,

Λt=3,故當(dāng)t為3時，點D落在拋物線上;

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(3)存在t,能夠使得以A,B,D為頂點的三角形與aAOP相似.

理由如下：①當(dāng)Oet<8時，若APOAS∕?ADB,

則坨=A。，即不整理，得t2+i6=0,

ADBDt+24-4

2

?t無解;

若aPOAs∕?BDA,

同理，解得t=-2±2#(負值舍去)：

②當(dāng)t>8時，若^P0AsZ?ADB,則強=皿,

ADBD

t4

即丁一=，

t+24—1?t

2

解得t=8±4√^(負值舍去)；

??POA∞?BDA,同理，解得t無解.

綜上所述，當(dāng)t=-2+24或8+43時,

以A,B,D為頂點的三角形與AAOP相似.

1.如圖1,拋物線y=αχ2+bχ-3與X軸交于41,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點D,頂點為

C.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)在X軸下方的拋物線上是否存在點M,過M作MN_Lx軸于點N,使以A、M、N為頂

點的三角形與aBCO相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

【解析】AAMN是直角三角形，因此必須先證明a8CD是直角三角形.一般情況下，根據(jù)

直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況列方程.

(1)拋物線的解析式為y=-χ2+4χ-3.

(2)由y=-χ2+4χ-3=-(χ-2)2+l,得Do-3),C(2,1).

第13頁共30頁

o

如圖32,由8(3,0)、D(0z-3)>C(2,1),可知NCBo=45。，ZDBO=AS.

所以NCB0=9(Γ,且一--.

BD3√23

y/?NrχIrχ

ΓAABr;;__L

FYy。廠\

圖2圖3圖4

設(shè)點M、N的橫坐標為X,那么MM=-VM,而NA的長要分N在A的右邊或左邊兩種情況,

因此列方程要"兩次分類"：

當(dāng)Λ/在A右側(cè)時?，NA=X-I,分兩種情況列方程：

①端嘿.3時，解得若?此時/WJ。)(如圖3).

39

②當(dāng)必="=L時，_LJ—=1.解得x=6.此時M(6,-15)(如圖5).

AWBD3(X-∣XJΓ-3)3

當(dāng)N在A左側(cè)時，NA=l-χ,也要分兩種情況列方程

Φ?-=—3時，-=3.解得x=°＞：L,不符合題意(如圖4).

NMBC(X-IMr-J)3

②當(dāng)生="時，解得

=L_I2X_=1.χ=o,此時Mo-■3)(如圖6).

AMBD3(x-IXx-3)3

圖5圖6

2.如圖，拋物線y=-Wχ2+=x+2與X軸交于點A,B,與y軸交于點C.

22

(1)試求A,B,C的坐標；

(2)將aABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180。，得到^BAD.

①求點D的坐標；

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②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；

(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使ABMP與aBAD相似？若存在，請直接寫出所

有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)直接利用y=0,X=O分別得出A,B.C的坐標；

(2)①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長得出D點坐標；

②利用平行四邊形的判定方法結(jié)合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀;

(3)直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長進而得出答案.

【解答】解：(1)當(dāng)y=o時,o=--z-χ2?+2,

22

解得：×ι=-1,×2=4,

貝∣JA(-1,0),B(4,0),

當(dāng)X=O時，y=2,故C(0,2)；

(2)①過點D作DE±×軸于點E,

：將aABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到^BAD,

.?.DE=2,AO=BE=I,OM=ME=1.5,

ΛD(3,-2)；

②二將AABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)i80o,得到ABAD,

ΛAC=BD,AD=BC,

.??四邊形ADBC是平行四邊形，

*?'AC=712+22=V5>BC=V22+42=2V5>

AB=5,ΛAC2+BC2=AB2,

,△ACB是直角三角形，.?.NACB=9(Γ,...四邊形ADBC是矩形；

(3)由題意可得：BD=√5,AD=2√5,

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則股=工，

AD2

當(dāng)^BMPsaADB時,

PHBD1

Bi^AD^^2,

可得：BM=2.5,

則PM=I.25,

故P(1.5,1.25),

當(dāng)時，

^BMPιS^ABDPt(1.5,-1.25),

當(dāng)時，可得：

aBMP2s∕?BDAP2(1.5,5),

當(dāng)時，可得：

aBMP3S^BDAP3(1.5,-5),

綜上所述：點P的坐標為：(1.5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5),(1.5,-5).

3.如圖1-1,拋物線I=3工t+4與X軸交于A、8兩點（A點在8點左側(cè)），與y軸交于

X2

點C?動直線EF（EF〃x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分

別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的

速度向原點。運動.是否存在3使得48PF與AABC相似.若存在，試求出t的值；若不

存在，請說明理由.

圖1

【解析】48PF與4A8C有公共角NB,那么我們梳理兩個三角形中夾N8的兩條邊.

△A8C是確定的.由?v+4，可得44,0）、8（8,0）、C（0,4）.

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于是得到BA=4,BC=*g.還可得到‘￡("1.

EFOB2

△BPF中，BP=2t,那么BF的長用含t的式子表示出來，問題就解決了.

在RtZXEFC中，CE=t,EF=2t,所以C尸=G.

因此8廣4石-丙=√5(4/).

于是根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程：

①當(dāng)期="時，4=2z解得(如圖1一2).

BcBF4√5√5(4-/)3

②當(dāng)期=竺時，_4_=√sμ2n解得/U(?ιs1-3).

BCBPAElt1

4.如圖所示，拋物線y=χ2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為(-1,0)、(0,

-3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式：

(2)點E為拋物線的頂點,點C為拋物線與X軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC=DE,

求出點D的坐標；

(3)在第二問的條件下，在直線DE上存在點P,使得以C、D、P為頂點的三角形與aDOC

相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.

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【分析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組求出b、C的值，即可得解；

（2）令y=0,利用拋物線解析式求出點C的坐標，設(shè)點D的坐標為（0,m）,作EFLy軸

于點F,利用勾股定理列式表示出DC?與DE?,然后解方程求出m的值，即可得到點D的

坐標；

（3）根據(jù)點C、D、E的坐標判定aCOD和ADFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZEDF=ZDCO,然后求出CD_LDE,再利用勾股定理求出CD的長度，然后①分OC與CD

是對應(yīng)邊；②Oe與DP是對應(yīng)邊；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DP的長度，過

點P作PGLy軸于點G,再分點P在點D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長

度，結(jié)合平面直角坐標系即可寫出點P的坐標.

【解答】解：（1）：拋物線y=χ2+bx+c經(jīng)過A（-1,0）、B（0,-3）,

.rl-b+c=O

C=-3

故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2-2χ-3;

（2）令x?-2x-3=0,

解得Xi=-1,X2=3,

則點C的坐標為（3,0）,

?.?y=χ2-2x-3=（x-1）2-4,

，點E坐標為（1,-4）,

設(shè)點D的坐標為（O,m）,作EFLy軸于點F,

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VDC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+l2,

VDC=DE,

Λm2+9=m2+8m+16+l,

解得m=-1,

，點D的坐標為(0,-1)；

(3)：點C(3,0),D(0,-1),E(1,-4),

ΛCO=DF=3,DO=EF=L

根據(jù)勾股定理，CD=^Q02+θp2=^2^∕JQ,

在aCOD和aDFE中，

，C0=DF

V-Z∞D(zhuǎn)=ZDFE=90*-

DO=EF

Λ?COD^?DFE(SAS),

ΛZEDF=ZDCO,

又?.?NDCO+NCDO=90°,

二NEDF+/CDo=90。，

ΛZCDE=180o-90o=90o,

ΛCDIDE,

①分OC與CD是對應(yīng)邊時，

V?DOC<^?PDC,

.OCJ∣D

"DC=DP

3

過點P作PGJ_y軸于點G,

噂魯1

VlO

第19頁共30頁

解得DG=I,PG,，

3

當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG-DO=I-1=0,

所以點P（-L,0）,

3

當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=DO+DG=1+1=2,

所以，點P（-?-?-2）；

②OC與DP是對應(yīng)邊時，

V?DOC^?CDP,

?

I0c_OD

DP3^DIC

即F

DP^

過點P作PGLy軸于點G,

#噎

貝DG

DF<

艮D(zhuǎn)G

3pɑl-

解得DG=9,PG=3,

當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG-0D=9-1=8,

所以，點P的坐標是（-3,8）,

當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=C）D+DG=1+9=10,

所以，點P的坐標是（3,-10）,

綜上所述，滿足條件的點P共有4個，其坐標分別為（二，0）、（！，-2）、（-3,8）、

33

（3,-10）.

第20頁共30頁

y

0),拋物線y=aχ2+bx-1過A、B兩點，并與過A點的直

(1)求拋物線解析式及對稱軸:

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點P

的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N.

問：是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與aAOC相似，若存在，求出

點N的坐標，若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=aχ2+bχ-1,得

(0=4a-2b-l

lθ=16a+4b-l

(1

azT

'b」

解得14

12,

拋物線解析式為：y=8*4x

第21頁共30頁

二二一?m

2a2×??

.?.拋物線對稱軸為直線χ=-8

(2)存在

使四邊形ACPo的周長最小，只需PC+P0最小

，取點C(0,-I)關(guān)于直線X=I的對稱點C(2,-1),連CO與直線X=I的交點即為P

點.

設(shè)過點C、。直線解析式為：y=kx

/.k=-?

?

則P點坐標為CL,1)

(3)當(dāng)AAOCSA1MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D,過點N作NEJ_y軸于點E

?.?ZACO=ZNCD,/AOC=NCND=90°

ΛZCDN=ZCAO

由相似，ZCAO=ZCMN

.?.ZCDN=ZCMN

VMNlAC

；.M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點

設(shè)點N坐標為(a,-—3-1)

第22頁共30頁

由^EDNS40AC

.?.ED=2a

點D坐標為(0,--U-D

VN為DM中點

，點M坐標為(2a,--1)

2

把M代入y=?v'-?r-h解得

84

a=4

則N點坐標為（4,-3）

??AOC^?CNM?,ZCAO=ZNCM

；.CM〃AB則點C關(guān)于直線×=1的對稱點U即為點N

由（2）N（2,-1）

,N點坐標為（4,-3）或（2,-1）

6.如圖，已知直線y=-2x+4分別交X軸、y軸于點A、B,拋物線過A,B兩點，點P是線

段AB上一動點，過點P作PC,X軸于點C,交拋物線于點D.

（1）若拋物線的解析式為y=-2X2+2×+4,設(shè)其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與

△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）①如圖1,

第23頁共30頁

Vy=-2×2+2x+4=-2(x--)2+一,

22

I9

???頂點為M的坐標為(L,一)，

22

當(dāng)X=，時，y=-2χ1+4=3,則點N坐標為(1,3)；

222

②不存在.

理由如下：

93

MN=--3=一,

22

設(shè)P點坐標為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),

ΛPD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,

VPD//MN,

當(dāng)PD=MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即-2m2+4m=^,解得m???(舍去),3

m2=一，

?

此時P點坐標為(▲,1),

2

?l?ɑ"Z~~ιG

VPN=I?JraI)二、’5,

1X/

ΛPN≠MN,

平行四邊形MNPD不為菱形，

.?.不存在點P,使四邊形MNPD為菱形；

(2)存在.

如圖2,0B=4,0A=2,則AB=√T+i=2及，

當(dāng)X=I時，y=-2x+4=2,則P(1,2),

,PB="+(27。=、5，

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4,

把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,

拋物線的解析式為y=aχ2-2(a+l)x+4,

第24頁共30頁

當(dāng)X=I時，y=a×2-2(a+l)×+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a),

.*.PD=2-a-2=-a,

VDC/7OB,

ΛZDPB=ZOBA,

.?.當(dāng)8。=劃時，?PDB^?BOA,即4=2有，,解得a=-2,此時拋物線解析式為y=

-2X2+2X÷4:

PDPBαyβ

當(dāng)8/=3。時，△PDBSABAO,即2/=4,解得a=-此時拋物線解析式為y=

--×2+3x+4;

?

綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為V=-2X2+2X+4或y=-：×2+3×+4.

7.如圖1,在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線y=αχ2+bχ(α>o)經(jīng)過點A和X軸

正半軸上的點B,AO=BO=I,/408=120。.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)連結(jié)OA4,求NAoM的大??；

(3)如果點C在X軸上，且AABC與AAOM相似，求點C的坐標.

圖1

第25頁共30頁

【解析】AABC與AAOM中相等的一組角在哪里呢？

本題由簡到難，層層深入.第(1)題求出拋物線的解析式，得到頂點/M的坐標，為第(2)

題求NA。/W的大小作鋪墊；求得了NAoM的大小，第(3)題暗示了要在aABC中尋找與

NAoM相等的角.

(1)如圖2-2,過點A作Ly軸，垂足為H.容易得到A(-∣.53).

再由A(7,√3),8(2,0)兩點，可求得拋物線的解析式為'、；I

⑵由門色、、2X■皂(XIf包.，得頂點M<1.'..

33333

Jy

所以lan∕國八/.所以NBO∕W=30?所以/A。/W=I50。.

3

(3)由A(-1.j5)?6(2,0),可得/48。=30。.

因此當(dāng)點C在點B右側(cè)時，∕A8C=∕AOM=15(Γ.

所以AABC與aAOM相似，存在兩種情況：

①當(dāng)"，Ol、行時，Be/"2.此時C(4,0)(如圖3).

fi(OM√3√3

②當(dāng)---：/=時,BC=^J3BΛ=V5x2?VJ=6?此時C(8,0)(如圖4).

圖3圖4

8.在平面直角坐標系XOy中，拋物線y=-'χ2+bx+c經(jīng)過點A(-2,O),B(8,0).

第26頁共30頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)點C是拋物線與y軸的交點，連接BC,設(shè)點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點，PDlBC,

垂足為點D.

①是否存在點P，使線段PD的長度最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由；

②當(dāng)APDC與ACOA相似時，求點P的坐標.

【分析】(1)直接把點A(-2,0),B(8,0)代入拋物線的解析式中列二元一次方程組,

解出可得結(jié)論：

(2)先得直線BC的解析式為：V=×+4,

則當(dāng)

①如圖1,作輔助線，先說明RtZSPDE中，PD=PE?sin/PED=PE?sin∕OCB='3PE,

5

線段PE最長時，PD的長最大，設(shè)P(t,+三/+4),則E(t,-1∕÷4),表示PE的

422

長，配方后可得PE的最大值，從而得PD的最大值；

②先根據(jù)勾股定理的逆定理可得∕ACB=90。，則ACOASZSBOC,

所以當(dāng)APDC與ACOA相似時，就有APDC與ABOC相似，分兩種情況：

(I)若NPCD=NCBo時，BPRt?PDC^RtΔCOB,

(II)若NPCD=NBCe)時,BPRtΔPDC<^>Rt?BOC,

分別求得P的坐標即可.

【解答】解：(I)把A(-2,0),B(8,0)代入拋物線y=-'χ2+bx+c,

4

I-1-2b÷c~0[Λ——

得：：，解得：！2，

+=U[>=4

第2