2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)版理） 第1章 集合

第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)

集合

【考試要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解

集合間的包含和相等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、

集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

【知識(shí)梳理】

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)且或生表示.

⑶集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法

非負(fù)整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號(hào)NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素,

就稱(chēng)集合A為集合8的子集，記作4U2(或22A).

(2)真子集：如果集合但存在元素xGB,且金A，就稱(chēng)集合A是集合8的真子集，記

作A8(或BA).

(3)相等：若AU8,且8GA,則A=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

\表示

文字語(yǔ)言集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法

運(yùn)

并集所有屬于集合A或?qū)儆诩?/p>

合B的元素組成的集合

所有屬于集合A旦屬于集

交集且％￡5}

合B的元素組成的集合

全集U中不屬于集合A的

補(bǔ)集且x建A}

所有元素組成的集合

【常用結(jié)論】

1.若集合A有〃(〃21)個(gè)元素，則集合A有2"個(gè)子集，2"—1個(gè)真子集.

2.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)集合{xGN*=x},用列舉法表示為{-1,0,1}.(X)

(2){x[y=f+l}={y|y=jv2+l}={(x,y)|y=f+l}.(X)

(3)若ie{f,x},則x=-l或x=l.(X)

(4)對(duì)任意集合A,B,都有(ACB)=(AU8).(V)

【教材改編題】

1.若集合A={xGN|2x+10>3尤},則下列結(jié)論正確的是()

A.B.8GA

C.{4}￡AD.{0}UA

答案D

2.已知集合知={,+1,-2),N—{b,2],若M=N,則a+b=.

答案T

1=2,

解析\'M=N,：.]

b=-2,

〃=1,

?—1.

一g=-2,

3.已知全集。=&集合A={x|lWxW3},2=國(guó)弱\4},則ACB=,

答案{x|2WxW3){x|-2<xW3}

解析：全集U=R,集合A={尤|1WXW3},2={尤度24}={彳以忘一2或x22},

.*?[uB={x\—2<x<2},

.?.ACB={x|2WxW3},AU([uB)={x|—2<xW3}.

題型一集合的含義與表示

例1(1)(2020?全國(guó)III)已知集合A={(尤，y)\x,y^N*,尤},B={(x,y)|尤+y=8},則ACB

中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析AQB={(x,y)|尤+y=8,x,"N*,y〉x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4個(gè)元素.

(2)若集合A={a—3,2a—1,a-4},且一3GA,則實(shí)數(shù)。=.

答案?；?

解析①當(dāng)a—3=-3時(shí)，?=0,

此時(shí)4={-3,-1,-4),

②當(dāng)2a—1——3時(shí)，a——1,

此時(shí)A={—4,-3,一3}舍去，

③當(dāng)層—4——3時(shí)，a—±l,由②可知”=—1舍去，則當(dāng)a=l時(shí)，A={—2,1,—3),

綜上，a—0或1.

【教師備選】

若集合A={x\kx1+x+1=0}中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合是.

答案，o,

依Wo,

解析依題意知，方程近2+彳+1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，.?#=()或

3=1—4左=0,

.,.上=0或左=；,

的取值集合為，0,

思維升華解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限

制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿(mǎn)足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知集合A=]x￡N±￡Z則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

答案C

4

解析—'GZ,

x~2

.,.尤一2的取值有-4,—2,—1,1,2.4,

尤的值分別為一2,0,1,3,4,6,

又xGN,故尤的值為0,1,3,46

故集合A中有5個(gè)元素.

⑵已知a,6GR,集合{1,a+b,a}=，0,與，則。2023+62023=.

答案o

解析{1,a+b9〃}=，，力且aWO,

.,.cz+b=O,.'.a——b,

.?.{1,0,-b}=[Q,-1,b},

.,.b=l,a=~l,

...々2023+62023=0.

題型二集合間的基本關(guān)系

例2(1)設(shè)集合尸={y|y=/+l},M={x\y=^+1},則集合M與集合尸的關(guān)系是()

A.M=PB.PGM

C.MPD.PM

答案D

解析因?yàn)镻={y|y=f+l}={y|y》l},M=[x\y=x1+1}=R,因此尸M.

(2)已知集合4=3一3?]忘4},B={x|2m-l^^m+l),且3GA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

答案[—1，+°°)

解析

①當(dāng)6=0時(shí)，2機(jī)一1>m+1,解得加>2；

2m—l^m+1,

②當(dāng)3W0時(shí)，(2加一12—3,

“+1W4,

解得一1&m&2.

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［—1,+8).

延伸探究在本例(2)中，若把5GA改為BA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

答案［—1，+°°)

解析①當(dāng)5=0時(shí)，2m—l>m+1,m>2；

②當(dāng)5W0時(shí),

2m—l^m+1,2m—l^m+1

<2根一12—3,或《2加一1>—3,

m~\~1<4、機(jī)+1W4.

解得一1

綜上，實(shí)數(shù)小的取值范圍是［-1,+8).

【教師備選】

已知M,N均為R的子集，若NU(［R〃)=N,則()

A.MUNB.NJM

C.D.［RNUM

答案D

解析由題意知，［RMUN,其Venn圖如圖所示，

,只有［RNUM正確.

思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則

易造成漏解.

(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)

化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類(lèi)問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知集合4=國(guó)/一3%+2=0},2={彳6凹/-6無(wú)＜0},則滿(mǎn)足ACUB的集

合C的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6

C.7D.8

答案C

解析VA={1,2},8={1,2,3,4,5},

且ACM8,

二集合C的所有可能為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5),

共7個(gè).

(2)已知集合/=**=1},N={x|ax—l=O},若MCN=N,則實(shí)數(shù)。的值為.

答案0,±1

解析VM={-1,1},且MCN=N,

:.NUM.

若N=0,則a=0；

若NW0,則N=，5},

?,1=1或5=T'

.\a=±l

綜上有a=±l或〃=0.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例3(1)(2021?全國(guó)乙卷)已知集合5={，卜=2〃+1,wGZ},T={t\t=4n+1,n^Z},貝!JSAT

等于()

A.0B.SC.TD.Z

答案c

解析方法一在集合T中，令"=A/ez),貝(If=4"+l=2(2左)+1(左GZ),而集合S中，s

=2n+l(?ez),所以必有TGS,

所以TnS=T.

方法二S={…,-3,-1,1,3,5,-},T={…，-3,1,5,-?-),觀察可知，TJS,所以TAS

=T.

(2)集合A={尤層-3x—4\0},B={x|l<x<5},則集合([RA)UB等于()

A.[-1,5)B.(-1,5)

C.(1,4]D.(1,4)

答案B

解析因?yàn)榧螦={x|/-3尤一4'0}={無(wú)仇?-1或x24},

又8={x[l<x<5},

所以[RA=(—1,4),

則集合([RA)UB=(—1,5).

命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)

例4(1)(2022?廈門(mén)模擬)已知集合4={1,a],B={x|log2x<l},且AAB有2個(gè)子集，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

A.(―00,0]

B.(0,1)U(1,2]

C.[2,+8)

D.(—8,0]U[2,+8)

答案D

解析由題意得，

B={x|log2X<l}={x|0<x<2},

AB有2個(gè)子集，

AAAB中的元素個(gè)數(shù)為1；

Vie(AAB),

a^(A0B),即a住3,...“WO或〃N2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,0]U[2,+8).

(2)已知集合4={%|3，一2x—IWO},3={x|2〃<x<〃+3},若AG8=0,則實(shí)數(shù)4的取值范圍

是()

A1°T1

A.〃〈一行或a>2

c-10-

B.與■或2

C.。<一工或〃>2

D.〃W一/或

答案B

解析4={彳|3/一2x—lWO}={x|-gwxWl

①8=0,2a2a+3=a》3,符合題意；

a<3,

。<3,

②8W0,(—1或

。+3W-§2心1,

解得￥或3?〃<3.

?.a的取值范圍是aW—9或42m.

【教師備選】

（2022?銅陵模擬）已知A={4rW0或x23},5={RxW〃一1或x2〃+l},若AA（［R5）W0,則

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.1W〃W2B.l<a<2

C.或D.或〃>2

答案D

解析A={RxW0或x23},3={MxWa—1或x2〃+l},

所以［RB={x|tz—1］；

又AG（［R3）W0,

所以a—1<0或a~\~1>3,

解得a<\或a>2,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是〃<1或a>2.

思維升華對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?全國(guó)甲卷）設(shè)集合〃=30<尤<4}用"忙《51，則MHN等于（）

A.lx10<x<|jB,lx||<x<4I

C.{x|4W尤<5}D.{x［0<xW5}

答案B

解析因?yàn)锳f={尤［0<x<4},N=（x及WxW5k

所以AfCNixIMcxaj.

（2）（2022?南通模擬）設(shè)集合A={1,a+6,a1},B={2a+l,a+b],若AC8={4},貝!]a=

,b=.

答案22

解析由題意知，4￡A,所以a+6=4或a2=4,

當(dāng)a+6=4時(shí)，則。=一2,得4={1,4,4},

故應(yīng)舍去；

當(dāng)，=4時(shí)，則a=2或a=—2（舍去），

當(dāng)a=2時(shí)，A={1,4,8},B={5,2+b],

又4GB,所以2+b=4,得6=2.

所以a=2,b=2.

題型四集合的新定義問(wèn)題

例5（1）已知集合4=*6n成一2x—3W0},2={1,3},定義集合A,B之間的運(yùn)算“*”：

A*B={X|X=XI+%2,尤PA，X2^B},則中的所有元素?cái)?shù)字之和為（）

A.15B.16C.20D.21

答案D

解析由f—2x—3W0,得（x+l）（龍一3）W0,得4={0,1,2,3}.因?yàn)锳*B={x|x=xi+x2,不GA,

X2^B],所以A*8中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3（舍去），2+3=5,

3+1=4（舍去）,3+3=6,所以4*8={1,2,3,4,5,6},所以A*8中的所有元素?cái)?shù)字之和為21.

（2）非空數(shù)集A如果滿(mǎn)足：①0住4②若VxdA,有:GA,則稱(chēng)A是“互倒集”.給出以下數(shù)

集：①{xeR|f+or+l=0}；②{xk2—6x+lW0}；③[xG[l,4]j,其中是“互倒

集”的序號(hào)是.

答案②③

解析①中，{X^為/+"+1=0},二次方程判別式/=“2—4,故一2<a<2時(shí)，方程無(wú)根，

該數(shù)集是空集，不符合題意；

②中，{4?一6尤+1W0},即{尤|3—2加WxW3+2小},

顯然044

T1J-1

又充至『三死

即3-2吸W*3+2/，

故：也在集合中，符合題意；

③中，x￡[l,4]j,

易得卜|吳戶(hù)21,O^A,

又;故"也在集合A中，符合題意.

【教師備選】

對(duì)于任意兩集合A,B,定義A—8={x|xdA且遇用，A*B=(A-B)U(B-A),記4={尤以20},

B={x|-3WxW3},則A*B=.

答案{x|-3Wx<0或無(wú)>3}

解析：A={4x20},2={尤|-3WxW3},

：.A~B={x\x>3],B-A={x\~3^x<0}.

.,.A*B={x|—3W尤<0或無(wú)>3}.

思維升華解決集合新定義問(wèn)題的關(guān)鍵

解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義

和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

跟蹤訓(xùn)練4若集合Ai，4滿(mǎn)足4UA2=A，則稱(chēng)(AI，&2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)

且僅當(dāng)4=4時(shí)，(4,4)與(4,Ai)是集合A的同一種分拆.若集合A有三個(gè)元素，則集

合A的不同分拆種數(shù)是.

答案27

解析不妨令A(yù)={1,2,3},：AILM2=A,

當(dāng)4=0時(shí),A2={1,2,3),

當(dāng)4={1}時(shí)，4可為{2,3},{1,2,3}共2種,

同理Ai={2},{3}時(shí)，4各有2種，

當(dāng)4={1,2}時(shí)，4可為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4種,

同理4={1,3},{2,3}時(shí),4各有4種,

當(dāng)4={1,2,3}時(shí)，4可為4的子集，共8種，

故共有1+2義3+4義3+8=27(種)不同的分拆.

課時(shí)精練

1.（2021?全國(guó)乙卷）已知全集U={1,2,345},集合M={1,2},集合N={3,4},則［《MU助

等于（）

A.{5}B.{1,2}

C.{3,4}D.{1,2,3,4）

答案A

解析方法一(先求并再求補(bǔ))因?yàn)榧稀?{1,2},N={3,4},所以MUN={1,2,3,4}.

又全集U={1,2,3,4,5},

所以CMMUN)={5}.

方法二(先轉(zhuǎn)化再求解)因?yàn)閇i/(MUN)=([uM)C([uN)，1的={3,4,5},[小={1,2,5},所以

Cu(MUAD={3,4,5}n{l,2,5}={5}.

2.已知集合。=&集合A={x|p三>2},B={y\y=^+2],則An。/)等于()

A.RB.(1,2]

C.(1,2)D.[2,+8)

答案C

解析4={尤|5+3>2}=(1,+°°),

B={yly=f+2}=[2,+8),

[/=(—8,2),

??.AC([/)=(1,2).

3.已知集合/={1,2,3},雙={(彳,創(chuàng)匹知,后知,彳+產(chǎn)必，則集合N中的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.8D.9

答案B

解析由題意知，集合N={(1,1),(1,2),(2,1)},所以集合N的元素個(gè)數(shù)為3.

4.(2022?青島模擬)已知集合&={.,a2,俏}的所有非空真子集的元素之和等于9,則的十

痣+俏等于()

A.1B.2C.3D.6

答案C

解析集合4={的,a2,俏}的所有非空真子集為{的},{?2},{的},[ai,避},{ai,的},{。2,

的},

則所有非空真子集的兀素之和為41+42+03+01+02+41+43+42+43=3(41+42+43)=9,

所以41+。2+。3=3.

5.已知集合p={8y)|x+y=l},Q={(x,y)\jc+y1=1},則下列說(shuō)法正確的是()

①PUQ=R；

②PCQ={(1,O),(0,1)}；

③尸門(mén)。={(無(wú)，丫)|尤=0或1,y=0或1}；

④PCQ的真子集有3個(gè).

A.①②④B.②③④

C.②④D.③④

答案C

|x+y=l,

解析聯(lián)立2「，

(x1+y—l,

\x=\,[x=0,

解得.或

[y=01y=l,

?50={(1,0),(0,1)),

故②正確，③錯(cuò)誤；

又尸，。為點(diǎn)集，，①錯(cuò)誤；

又尸C。有兩個(gè)元素，有3個(gè)真子集，

???④正確.

6.已知集合4=5|爐一4W0},8={x|2x+aW0},若AUB=8,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a<—2B.aW—2

C.a>—4D.aW—4

答案D

解析集合A={x|-2WxW2},

j,由AU3=B可得AM,作出數(shù)軸如圖.

可知一1三2,即aW—4.

7.(2022?重慶模擬)已知全集U={尤GN|log2X<3},A={1,2,3)，Ct/(AnB)={1,2,4,5,6,7),則集

合B不可能為()

A.{3,6}B.{3,4,5}

C.[2,3,6}D.{3,5,6}

答案C

解析由log2%<3得0<x<23,即0<x<8,

于是得全集U={123,4,5,6,7},

因?yàn)镃tKAnB)={1,2,4,5,6,7},

則有An8={3},3G8；

對(duì)于A選項(xiàng)，若2={3,6},

則ACB={3},[u(ACB)={1,2,4,5,6,7},A可能；

對(duì)于B選項(xiàng)，若2={3,4,5},

則AC2={3},[u(ACB)={124,5,6,7},B可能；

對(duì)于C選項(xiàng)，若8={2,3,6},則AC3={2,3},

所以[MAAB)={1,4,5,6,7},矛盾，故C不可能；

對(duì)于D選項(xiàng)，若8={3,5,6},

則AA8={3},[u(AC8)={1,2,45,6,7},D可能.

8.已知全集。的兩個(gè)非空真子集A,2滿(mǎn)足則下列關(guān)系一定正確的個(gè)數(shù)是()

①ACB=0；?ADB=Bi

③AUB=U；④((uB)UA=A.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},

滿(mǎn)足([UA)UB=8,

但AC8W0,AHB^B,故①②均不正確；

由((必)U8=B,知(C必)UB,

.?.U=AU")￡(AUB),：.AiJB=U,

由([必)=8,知([uB)￡A,

.\(Ci/B)UA=A,故③④均正確.

9.設(shè)〃={0』,2,3},+mx=0},若]以={1,2},則實(shí)數(shù)機(jī)=.

答案一3

解析由題意可知，

A={xe[7|/+妙=0}={0,3},

即0,3為方程/+必=0的兩個(gè)根，

所以77?=—3.

10.(2022?寧夏模擬)已知全集U=R,集合M={xGZ||x—1|<3},N={—4,—2,0,1,5},則下

列Venn圖中陰影部分的集合為.

答案{-1,2,3)

解析集合M={x￡Z||x-l|<3}={x￡Z|-3<x-1<3}={xez|-2<x<4}={—1,0,1,2,3},

Venn圖中陰影部分表示的集合是MH([RN)={—1,2,3}.

11.已知集合4={序，—2},B—{m,m-3],若ACB={-2},則AUB=.

答案{-5,-2,4)

解析VAnJB={-2},

若機(jī)=—2,則4={4,-2},B={-2,-5),

：.AC\B={-2},AUB={-5,-2,4)；

若m一3=—2,則機(jī)=1,

??-A={1,—2},B={1,-2},

：.AnB={l,—2}(舍去),

綜上，有AU8={-5,-2,4).

12.已知集合A={x|y=lg(a—x)},B={x|l<x<2},且([RB)UA=R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

答案[2,+°°)

解析由已知可得A=(—8,a),

[RB=(—8,1]U[2,+°0),

V(CRB)UA=R,???〃22.

13.若尤GA,則就稱(chēng)A是“伙伴關(guān)系”集合，集合M=,—1,0,I，I，1,2,3,41

的所有非空子集中，