(教案)等式性質與不等式性質

等式性質與不等式性質【教材分析】本節(jié)內容是《普通高中課程標準實驗教科書》（人民教育出版社A版教材）高中數學必修一第二章第一節(jié)的內容，主要講解不等關系及不等式的性質及其運用；現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，數學中，我們用不等式來表示不等關系。不等式的性質是解決不等式問題的基本依據，凡是不等式的變形、運算都要嚴格按照不等式的性質進行。因此，不等式的性質是學習本章后續(xù)內容的重要保障；本節(jié)通過類比等式的性質，猜想并證明不等式的性質，并用不等式的性質證明簡單的不等式，是體會化歸與轉化，類比等數學思想，和培養(yǎng)學生數學運算能力，邏輯推理能力的良好素材。在高中數學中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數學幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，尤其與函數、方程等聯(lián)系緊密，因此，不等式才成為高考中經久不衰的熱點、重點，有時也是難點?！窘虒W目標】課程目標學科素養(yǎng)A.通過具體情景，讓學生感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在的不等關系，理解和掌握列不等式的步驟；B.能靈活用作差法比較兩個數與式的大小，提高數學運算能力；C.培養(yǎng)學生觀察、類比、辨析、運用的綜合思維能力，體會化歸與轉化、類比等數學思想，提高學生數學運算和邏輯推理能力；.數學抽象：在實際問題中發(fā)現(xiàn)不等關系，并表示出不等關系；.邏輯推理：作差法的原理；.數學運算：用作差法比較大?。?直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；.數學建模：能夠在實際問題中構建不等關系，解決問題；

【教學重難點】.將不等關系用不等式表示出來，用作差法比較兩個式子大小;.在實際情景中建立不等式（組），準確用作差法比較大?。弧窘虒W準備】多媒體【教學過程】教學設計通過生活中熟悉的情景，引導學生發(fā)現(xiàn)不等關系，并學會運用不等式（組）表示不等關系；培養(yǎng)學生數學建模的核心素養(yǎng)；第一課時教學設計通過生活中熟悉的情景，引導學生發(fā)現(xiàn)不等關系，并學會運用不等式（組）表示不等關系；培養(yǎng)學生數學建模的核心素養(yǎng)；一、情景引入，溫故知新（一）情境導學.購買火車票有一項規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過1.1m（含1.1m）而不超過1.5m的兒童，享受半價客票、加快票和空調票（簡稱兒童票），超1.5m時應買全價票。每一成人旅客可免費攜帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時，超過的人數應買兒童票。從數學的角度，應如何理解和表示“不超過”“超過”呢？2.展示新聞報道：明天白天廣州的最低溫度為，白天最高溫度為0℃。師：明天白天廣州的溫度滿足怎樣的不等關系？生：t大于或等于18小于或等于30老師引出課題板書不等關系與不等式師：常見的不等號有？生：大于（＞）,小于（＜）,大于或等于（＞）,小于或等于（＜）,不等于（中）。老師總結板書：不等式的定義：用不等號（＜,＞,＞,＜,彳）表示不等關系的式子叫做不等式。.師：你能用數學表達式表示情景中的不等關系嗎？.師：兩個指示標志分別表示什么意思？

生：速度大于或等于80,高度小于或等于4.5.師：在這兩則報道中，同學們都準確的描述出蘊含的不等關系。師：你能舉出生活中含有不等關系的例子嗎？生：@@師：不等關系用什么表示？生：不等式（二）探索新知探究一用不等式表示不等關系例1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。試寫出滿足上述所有不等關系的不等式。教師引導學生共同：［分析］應先設出相應變量，找出其中的不等關系，即①兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；②截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；③兩種鋼管的數量都不能為負。于是可列不等式組表示上述不等關系。［解析］設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管,505+60勿<4000y根，依題意，可得不等式組：|3x:V ,即x川>>05x+6y<40<3x>yx>0 。ly>0歸納總結；用不等式（組）表示實際問題中不等關系的由典型問題的分析解決，體會建立不等式（組）的一般方法和難點所在；培養(yǎng)和提升學生運用數學眼光分析表達問題的能力，發(fā)展數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)用數學語言表示不等關系。通過練習鞏固分析表達不等關系，教會學生解決和研究問題，提升數學抽象能力。步驟:

由典型問題的分析解決，體會建立不等式（組）的一般方法和難點所在；培養(yǎng)和提升學生運用數學眼光分析表達問題的能力，發(fā)展數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng)用數學語言表示不等關系。通過練習鞏固分析表達不等關系，教會學生解決和研究問題，提升數學抽象能力。①審題。通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量。找出體現(xiàn)不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等。②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示。跟蹤訓練：1.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本，若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不彳低于20萬元？2.某工廠在招標會上，購得甲材料xt,乙材料yt,若維持工廠正常生產，甲、乙兩種材料總量至少需要120t,則x、y應滿足的不等關系是( )A.x+y>120 B.x+y<120C.x+y>120 D.x+y<120［解析］提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為(8-10干x0.2)x萬元，那么不等關系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8-x-0-15x0.2)x>20.［解析］由題意可得x+y>120,故選C.探究二比較數或式子的大小我們學習了關于實數大小比較的一個基本事實：(1)數軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數 。根據這個公理，我們可用什么方法來比較實數的大小？步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步學生回答：a-b>00a>b；a-b=00a=b；a-b<00a<b。生：作差比較法生：作差，變形，判號，定論。指出：作差比較法是證明不等式的重要方法，它將比較芋復習作差比較法，代數式大小的方法，理解作差法的原理，通過練習達到靈活運用；

實數的大小轉化為判斷差的符號例2.已知X<y<0,比較(X2+y2)(x—y)與(X2—y2)(x+y)的大小。［解析］Vx<y<0,xy>0,x—y<0,.，.(x2+y2)(x—y)—(x2—y2)(x+y)=2xy(x—y)>0,，(x2+y2)(x—y)>(x2—y2)(x+y)。師生共同歸納總結：比較兩個實數(或代數式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形(因式分解、通分、配方等)；(3)判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；(4)作出結論。這種比較大小的方法通常稱為作差比較法。其思維過程：作差一變形-判斷符號一結論，其中變形是判斷符號的前提。跟蹤訓練1.設M=x2,N=—x—1,則M與N的大小關系是()A.M>N B.M=NC.M<N D.與x有關一一一 .. 1 3 一［解析］M—N=x2+x+1=(x+2)2+4>0,??.M>N，故選A..比較x2+y2+1與2(x+y—1)的大?。?設a￡R且aM,比較a與a的大小。解析］2.x2+y2+1—2(x+y—1)=x2—2x+1+y2—2y+2=(x—1)2+(y—1)2+1>0,?'.x2+y2+1>2(x+y—1)。1(a—1)(a+1)3.由a—=a a當a=±1時，a=a；當一1<a<0或a>1時，a>1；當a<—1或0<a<1芋通過練習鞏固作差法，發(fā)展學生數學運算素養(yǎng)，提供運算的準確性、靈活性和速度。

時，a<一。a■■黛驚心京寧：等三一越商中數手三、達標檢測1.完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預算20000元，設木工x(x三0)人，瓦工y(y三0)人，則關于工資x,y滿足的不等關系是( )A.5x+4y<200 B.5x+4y三200C5x+4y=200 D.5x+4y<200【答案】D2.若A=1-+3與B=1+2,則A與B的大小關系是X2 X( )A.A>B B.A<BC.A>B D.不確定【解析】由于A-B=1-+3-(1+2)=(1—1)2+32X2 、X XXx27 4>0,所以A>B，故選A.【答案】A3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表：通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。食物甲乙維生素A(單位/kg)600700維生素B/單位/kg)800400設用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B.試用不等式組表示x,y所滿足的不等關系?！窘馕觥坑深}意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位，含有維生素B800x單位，ykg的乙種食物中含有維生素A700y單位，含有維生素B400y單位，則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x+700y)單位，含有維生素B(800x+400y)單位，則600%+700y>56000, 6%+7yz560,800%+400y>63I000日口4%+2y>315,I有 即，%>0， %>0,y>0, y>0..將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構成一個鈍角三角形，試用不等式(組)表示x應滿足的不等關系。【解析】各邊都縮短x后，長度仍然為正數，只要最短邊大于零即可，因此5-x>0.而要構成三角形，還要滿足(5-x)+(12-x)>13-x。當三角形是鈍角三角形時，應使最大角是鈍角，此時只需最長邊所對的角是鈍角即可，因此(5-x22+(12-x22<(13-x22,故x應滿足的不等關系為|5-%>0,?(5-%2+(12-%2>13-%,(5-%22+(12-%22<(13-%22。.比較下列各組中的兩個實數或代數式的大?。?122x2+3與x+2,x￡R；(22a+2與—,a￡R，且a#1.1-a【解析】(12因為(2x2+32-(x+22=2x2-x+1=2%-1)2+7>7>0,所以2x2+3>x+2.4 8 8(22(a+22_—=(a+22(1-a2-3=-a2-a-1=a2+a+1。1-a 1-a 1-a a-1由于a2+a+1=(a+i)2+3>3>0,所以當a>1時，\ 2， 44a2+a+1>0,即a+2>3-；a-1 1-a當a<1時，02+0+1<0,即a+2<2。a-1 1-a故當a>1時，a+2>工；當a<1時，a+2<上。1-a 1-a四、小結1.不等式與不等關系(12不等式的定義所含的兩個要點。生學生根據課堂學習，自主總結知識要點，及運用的思想方法。注意總結自己在學習

①不等符號>,<,2,S或W。②所表示的關系是不等關系。(2)不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換。2.比較兩個實數A、B大小的依據輯恒心止若-每」一堆鳴卡引手中的易錯點；鞏固今天所學內容題培養(yǎng)學生的自學能自力，也為下一節(jié)學習不等式性質做準備文字語言符號表示如果a>b,那么a一b是 ；如果a<b,那么a一b是 ；如果a=b，那么a—b ,反之亦然a>b□ a<b□ a=b□ 五、作業(yè)1.習題2.12.預習下節(jié)課內容第二課時 教學設計(一)溫故知新你能回憶起等式的基本性質嗎？性質1若a=b，則b=a；性質2若a=b,b=c,則Ua=c；性質3若a=b,則a±c=b±c；性質4若a=b,則Uac=bc；性質5若a=b,c關0，則a=b；cc通過學生熟悉的等式性質出發(fā)，設問，引導學生類比發(fā)現(xiàn)不等的性質，培養(yǎng)學生數學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；類比等式的性質，你能猜想出不等式的性質，并加以證明嗎？(二)探索新知不等式的性質(1)對稱性文字語言不等式兩邊互換后，再將不等號改變方向，所得不等式與原不等式等價符號語言a>b口b<a作用寫出與原不等式等價且異向的不等式證明：?:a>b,:?a-b>0.用數學語言表示不等式的性質。由正數的相反數是負數，得(a-b)<0.用數學語言表示不等式的性質。即b-a<0,:?b<a.同理可證，如果b<a，那么a>b.跟蹤訓練。1.與m>(n-2)2等價的是( )。A.m<(n-2)2B.(n-2)2>mC.(n-2)2<mD.(n-2)2Vm答案：C(2)傳遞性文字如果第一個量大于第二個量，第二個量大于第語言三個量，那么第一個量大于第三個量符號a>b,符號a>b,b>c口a>c9/15語言由不等式七個性質的分變形a>b,b>c口a>c； a<b,b<c口a<c；b<c口a<ca<b,作用比較大小或證明不等式析與證明，體會證明不等式的'基本方法；培養(yǎng)和發(fā)展數學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)你能證明嗎？(3)加法法則文字語言不等式的兩邊都加上同一個實數，所得的不等式與原不等式同向符號語言a>b口a+c>b+c變形a<b口a+c<b+ca<b口a+c<b+ca>b口a+c>b+c作用不等式的移項，等價變形證明：:(a+c)-(b+c)=a-b>0,??a+c>b+c.(4)乘法法則文字語言不等式的兩邊都乘同一個正數時，不等號的方向不變;都乘同一個負數時，不等號的方向一定要改變。符號語言a>b,c>0口ac>bca>b,c<0口ac<bc變形a>b,c>0口ac>bc；a>b,c<0口ac<bca<b,c>0口ac<bc；a<b,c<0口ac>bca<b,c>0口ac<bc；a<b,c<0口ac>bc作用不等式的同解變形證明：ac-bc=(a-b)c.Va>b，:?a-b>0.根據同號相乘得正，異號相乘得負，得當c>0時，(a-b)c>0,即ac>bc；當c<0時，(a-b)c<0,即ac<bc.歸納總結：1.該性質不能逆推，如ac>bca>b..ac>bc口a>b,c>0或a<b,c<0..不等式兩邊僅能同乘(或除以)一個符號確定的非零實數。

文字語言兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向。符號語言a>b,c>d口文字語言兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向。符號語言a>b,c>d口a+c>b+d變形a<b,c<d口a+c<b+da>b,c>d口a+c>b+da<b,c<d口a+c<b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式(5)加法單調性證明：。>丁”。>?+，)口a+Ob+d.:c>dnb+c>b+dJ.兩個同向不等式只能兩邊同時分別相加，而不能兩邊同時分別相減。及時歸納總結，引導學生準確理解和運用不等式的性質，培養(yǎng)思維的嚴謹性；.該性質不能逆推，如a+c>b+d->b,c>d及時歸納總結，引導學生準確理解和運用不等式的性質，培養(yǎng)思維的嚴謹性；(6)乘法單調性文字語言兩邊都是正數的兩個同向不等式相乘，所得的不等式與原不等式同向符號語言a>b>0,c>d>0口ac>bd作用兩個不等式相乘的變形證明：":a>b>0,c>0,:，ac>bc.?：c>d>0,b>0,:?bc>bd.：?ac>bd.歸納總結：1.這一性質可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，這就是說，兩個或更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。.a>b>0,c<d<0口ac<bd；a<b<0,c<d<0口ac>bd..該性質不能逆推，如ac>bda>b,c>d.通過練習鞏固不等式的性質，發(fā)展學生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。(7)正值不等式可乘方通過練習鞏固不等式的性質，發(fā)展學生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。文字語言當不等式的兩邊都是正數時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式與原不等式同向。符號語言a>b>00an>bn（n￡N，且n>1）作用不等式兩邊的乘方變形性質(7)可看作性質(6)的推廣：當n是正奇數時，由a>b可得an>bn。跟蹤訓練：1.給出下列結論：①若ac>bc，貝Ua>b[②若a<b，貝Uac2<bc2；③若a<b<0,則a>b:④若a>b,c>d，則a一c>b一d；⑤若a>b,c>d，則ac>bd.其中正確結論的序號是③。解析①當c>0時，由ac>bc口a>b,當c<0時，由ac>bcDa<b，故①錯。②當c#0時，由a<b口ac2<bc2,當c=0時，由a<b0ac2<bc2,故②錯。?V1<1<0,，a<0,b<0,ab，ab>0,?,.a,ab<^-ab，即b<a，.二a>b，故③正確。通過典型例題的解析和跟蹤練習，讓學生明確問題模型，發(fā)展數學建模核心素養(yǎng)。@Vc>d,A—c<—d,又a>b,兩不等式不等號的方向不同，不能相加，Aa—c>b—d錯誤。通過典型例題的解析和跟蹤練習，讓學生明確問題模型，發(fā)展數學建模核心素養(yǎng)。…a>b>01 0>a>b] ,a>b>0'⑤ 人口口ac>bd,八 S□ac<bd,但八J0c>d>0J 0>c>dJ 0>c>d0>a>bac>bd, 八八;□ac>bd.c>d>0反思利用不等式性質判斷不等式是否成立的方法：(1)運用不等式的性質判斷。要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想象捏造性質。(2)特殊值法。取特殊值時，要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算。典例解析：用不等式的性質證明不等式

例1已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證： >入)。a—cb—d解析,:c<d<0,.J—c>—d>0,又,:a>b>0,Aa+(一c)>b+(——d)>0,即a—c>b——d>0,??0<ac<bd'又Ve<0,?—>1e-］。a—cb—d跟蹤訓練：1.若bc—ad>0,bd>0,求證："b<3d。解析：Vbc—ad>0,Aad<bc,Aad+bd<bc+bd,Vbd>0,.1 .ad+bdbc+bd.a+bc+dAbd>0,Abd<bd,??b<d°歸納總結：利用不等式的性質證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用。(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則。典例解析：利用不等式的性質求取值范圍例2已知2<a<B<2,求2, 2的范圍。乙 乙 乙 乙aril..兀一八一兀.nan nBn解析?2<a<B<2,?,4<2<4,4<2<4°兩式相力口,/口兀a+B兀 兀B兀 兀B兀 兀a—B兀得2<2<2°V4<2<4,A4<—I*'2<^-<2°又Va<B,A?a2~<0.?—?<^^<0.規(guī)律總結：求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性質，是否使范圍擴大或縮小。跟蹤訓練1.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范圍：(1)2a+b；(2)a—b；(3)%°解析(1)V1<a<2,A2<2a<4,V3<b<4,A5<2a+b<8；(2)V3<b<4,A—4<—b<—3,又V1<a<2,A—3<a看日一―-

一b〈一1；/、?? ?111巾 .1a2(3).3<b<4,??4<b<3，又1<a<2，??4<b<3°看日一―-三、