2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)：核心素養(yǎng)測評十二

核心素養(yǎng)測評十二

函數(shù)模型及其應(yīng)用

鞏固提升練（3。分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.某股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先后經(jīng)歷了n次

漲停（每次上漲10%）,又經(jīng)歷了n次跌停（每次下降10%）,則該股民這只股票的盈

虧情況（不考慮其他費用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.不盈不虧D.無法判斷

【解析】選B.設(shè)這只股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為aXl.L,

再經(jīng)歷n次跌停后的價格為aXl.InXO.9n=0.99na<a.

2.高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水

從洞中流出，若魚缸水深為h時,魚缸內(nèi)水的體積為v,則函數(shù)v=f（h）的大致圖象

是（）

【解析】選B.v=f（h）是增函數(shù)，且曲線的增長速度應(yīng)該是先變慢再快，然后由快

再變慢.

-1-

3.有一組試驗數(shù)據(jù)如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.丫=2*+1一1B.y=X2-l

C.y=2logxD.y=X3

2

【解析】選B.由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的解析式應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)類型、二次函數(shù)類

型、賽函數(shù)類型，選項C不正確.取x=2.01,代入A選項，得y=2x+1-l>7,代入B

選項，得y=X2-1^3,代入D選項，得y=x：A8;取x=3,代入A選項，得y=2*+11=15,

代入B選項，得y=X2-l=8,代入D選項，得y=X3=27.

4.某城市出租車起步價為10元最遠可租乘3km（含3km）,以后每1km增加1.6

元（不足1km按1km計費），則出租車的費用y（元）與行駛的路程x（km）之間的

函數(shù)圖象大致為（）

【解析】選C.出租車起步價為10元（最遠3km的路程），即在（0,3］內(nèi)對應(yīng)y的

值為10,以后每1km增加1.6元（不足1km按1km計費）；C項符合.

5.一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示.

某天。點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示.

-2-

給出以下3個論斷:①0點到3點只進水不出水;②3點到4點不進水只出水;③4

點到6點不進水不出水，則一定正確的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

【解析】選A.由甲、乙兩圖知，進水速度是出水速度的丄,所以0點到3點不出水，3

點到4點可能一個進水口進水，一個出水口出水，但總蓄水量降低,4點到6點也

可能兩個進水口進水，一個出水口出水，一定正確的是①.

【變式備選】

（2020?三明模擬）用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的三,要使存留的污垢

4.

不超過1%,則至少要洗的次數(shù)是（參考數(shù)據(jù)1g2-0.3010）（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】選B.設(shè)要洗x次，則（1-所以x'」一73.322,因此至少洗4

k4/100ljj2

次.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總

存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是

［解析］總費用為4x+%X6=4（%+

二240,當(dāng)且僅當(dāng)x空，即x=30時等號成立.

-3-

答案：30

7.(2020?唐山模擬)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接

矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為m.口

【解析】設(shè)矩形花園中與x相鄰的另一邊長為ym,則土=丄。-],即y=40-x,矩形花

4。110

園的面積S=x(40-x)=-X2+40X=-(X-20)2+400,當(dāng)x=20m時，面積最大.

答案：20

8.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.

在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt

+c(a,b,c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).

根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為分鐘.

n

【解析】由實驗數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p=at2+bt+c的圖象過點

0.7=9。+3。+c,

(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分別代入解析式，得0.8=16n+4b+c,

。5=25a+5方+c,

-4-

[a=4）.2,

解得]6=1.5,

（c=-2.

所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125,所以當(dāng)t=3.75時，可食用率p最

大,即最佳加工時間為3.75分鐘.

答案：3.75

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t,市場價格x（單位:千元）與市場供應(yīng)量p（單位：

萬件）之間近似滿足關(guān)系式:P=2丿&⑹；其中k,b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率

t=75%時,若市場價格為5千元,則市場供應(yīng)量約為1萬件;若市場價格為7千元,

則市場供應(yīng)量約為2萬件.

（1）試確定k,b的值.

（2）市場需求量q（單位:萬件）與市場價格x近似滿足關(guān)系式:q=2、當(dāng)p=q時,市

場價格稱為市場平衡價格,當(dāng)市場平衡價格不超過4千元時，試確定關(guān)稅稅率的

最大值.

【解析】（1）由已知（I—':今

“a75k.宀一解得宀”

尸=i

(2)當(dāng)p=q時,2丿2=2-,,

所以(1-t)(x-5)2=-x=廿1+——---=1+——-----

-5-

而千(x)=X+蘭在(0,4］上單調(diào)遞減，

X

所以當(dāng)x=4時，f(x)有最小值上，

故當(dāng)x=4時，關(guān)稅稅率的最大值為500%.

10.某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的

收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成

正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元、0.5萬元.

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系.

⑵若該家庭有20萬元資金,全部用于理財投資，問:怎樣分配資金能使投資獲得

最大收益,其最大收益是多少萬元？

【解析】(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系分別為f(x)=k/,g(x)=k,q工

由已知得f⑴—k,g⑴」二k,

8122

所以f(x)=lx(x20),g(x)T心(x20).

R7V

⑵設(shè)投資股票類產(chǎn)品為X萬元，則投資債券類產(chǎn)品為(20-X)萬元.依題意得

y=f(20-x)+g(x)="+丄笈=-+4'三+2。(0WxW20).

8?8

所以V9=2,即x=4時，收益最大，y二3萬元.故投資債券類產(chǎn)品16萬元，投資股票

類產(chǎn)品4萬元時獲得最大收益，為3萬元.

綜合運用練(15分鐘35分)

-6-

1.（5分）小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點A出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過點

B跑到點C,共用時30s,他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，

設(shè)小明跑步的時間為t（s）,他與教練間的距離為y（m）,表示y與t的函數(shù)關(guān)系的

圖象大致如圖2所示,則這個固定位置可能是圖1中的（）

A.點MB.點NC.點P

【解析】選D.A.假設(shè)這個位置在點M,則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改

變，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤;B.假設(shè)這個位置在點N,則從A至C這段時

間，A點與C點對應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤;C.假設(shè)這

個位置在點P,教練離小明的距離最后時間段會越來越近不會再由近至遠，而點P

不符合這個條件，故本選項錯誤;D.經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故本選項正確.

【變式備選】

已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛，

甲、乙兩車的速度曲線分別為v和v，如圖所示,那么對于圖中給定的t和t,

甲乙01

下列判斷中一定正確的是（）

A.在t時刻，甲車在乙車前面

1

B.t時刻后，甲車在乙車后面

1

C.在t時亥I」,兩車的位置相同

0

-7-

D.t時刻后，乙車在甲車前面

0

【解析】選A.由圖象可知，曲線v比v在0?t,0?t與t軸所圍成的圖形面

甲乙01

積大，則在t,t時刻，甲車均在乙車前面.

01

2.（5分）（2019?南京模擬）近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提

供了極大的方便,某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)

行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P（單

位:萬元）與投入a（單位:萬元）滿足P=3\/2￡-6,乙城市收益Q（單位:萬元）與投入

A（單位:萬元）滿足Q=-A+2,則投資兩座城市收益的最大值為（）

a

A.26萬元B.44萬元

C.48萬元D.72萬元

【解析】選B.設(shè)在甲城市投資x萬元,在乙城市投資（120-x）萬元，所以總收益

f（x）-3''2X-6+-（120-X）+2=-ix+3;，2y+26,

V44V

由丄題叱意亠知&-40,

（120-x>40,

解得40WxW80.

令夕,則七￡%而4國，

所以y=-￡t2+3,2t+26=-丄（t-6,，2）2+44,當(dāng)t=6y2即x=72時，y取得最大值44,

44.

所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44

萬元.

-8-

3.（5分）已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y（單位:萬件）與月份x之間滿足關(guān)

系y=a-0.5db,現(xiàn)已知該產(chǎn)品1月、2月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.5萬件,則該

產(chǎn)品3月份的產(chǎn)量為萬件.

［解析］由已知得5Q+B=1,

.0.5?Q+b=1.5,

z

解得Q=-2,

=2,

故當(dāng)x=3時y=-2X0.53+2=1.75.

答案：1.75

4.（10分）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提

高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p（x）=」_X2+x+150

600

（萬元）.

⑴若使每臺機器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？

⑵現(xiàn)按⑴中的數(shù)量購買機器人,需要安排m人將郵件放在機器人上,機器人將

郵件送達指定落袋格口完成分揀（如圖），

經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q（m）=G力丿"<"IW30（單

480,m>30

位:件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后,

日平均分揀量達到最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少

百分之幾？

-9-

【解析】(1)由總成本p(x)=J-X2+x+150(萬元)，可得每臺機器人的平均成本

600

y生也//+X+150」￥+剪+1

YYAOCT

,2，型+1=2.

、600X

當(dāng)且僅當(dāng)丄X型，即x=300時，上式等號成立.

6。。r

所以若使每臺機器人的平均成本最低，應(yīng)買300臺.

(2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量

(O

480,m>30,

當(dāng)1WmW30時,300臺機器人的日平均分揀量為160m(60-m)=760iw+9600m,

所以當(dāng)m=30時，

日平均分揀量有最大值144000.

當(dāng)m>30時，

日平均分揀量為480X300=144000.

所以300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件.若傳統(tǒng)人工分揀

144000件，則需要人數(shù)為I,，°°憶120人.

1200

所以日平均分揀量達到最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可

減少竺”X100%=75%.

120

【變式備選】

-10-

某公司制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,

按銷售利潤的15%進行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元則額外獎

勵210g（A+1）萬元.記獎金為y（單位:萬元），銷售利潤為x（單位:萬元）.

5

（1）寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型.

（2）如果業(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元？

【解析】（1）由題意得，該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型為

_f0.15>，0<x<10,

1.5+210g$&7九x>10.

⑵由（1）知，當(dāng)xe[0,10]時,0W0.15xW1.5,

因為業(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬元的獎金，

即y=3.5,所以x>10,因此1.5+21og（x-9）=3.5,解得x=14.

5

所以業(yè)務(wù)員小李的銷售利潤是14萬元.

5.（10分）某公司為了實現(xiàn)年銷售利潤1000萬元的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售

人員的獎勵方案:從銷售利潤達到10萬元開始,按銷售利潤進行獎勵,且獎金數(shù)

額y（單位:萬元）隨銷售利潤x（單位:萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5

萬元，同時獎金數(shù)額不超過銷售利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型:y=0.025x,y=

1.003x,y=llnx+1,問其中是否有模型能完全符合公司的要求?請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：1.003538P5,e=2.71828…，esQ2981）

【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當(dāng)x￡[10,1000]時,①函數(shù)

為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③yWx?25%.

⑴對于y=0.025x,易知滿足①，但當(dāng)x>200時，y>5,不滿足公司的要求.

（2）對于y=1.003x,易知滿足①，但當(dāng)x>538時，y>5,不滿足公司的要求.

-11-

(3)對于y亠Inx+1,易知滿足①.

2

當(dāng)x￡[10,1000]時，yWLn1000+1.

下面證明丄In1000+1^5.

因為丄In1000+1-5=1In1000-4

二丄(In1000-8)=1(In1000-In2981)<0,滿足②.

再證明土Inx+1Wx?25%,

即21rlx+4-xW0.

設(shè)F(x)=21nx+4-x,則F'(x)丄7=歸<0,xG[10,1000],

TT

所以F(x)在]0,1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)=F(10)=2ln10+4-10=2In10-6=2(In

max

10-3)<0,滿足③.

綜上，獎勵模型y=￡lnx+1能完全符合公司的要求.

2

【拓廣探索練】

L某商店計劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲或乙兩種商品.已知經(jīng)銷甲、乙商品所獲

得的利潤分別為P(萬元)和Q(萬元)，且它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系

是:P(,Qq6(a>0).若不管資金如何投入,經(jīng)銷這兩種商品或其中的一種商品

所獲得的純利潤總不少于5萬元,則a的最小值應(yīng)為()

A.'虧B.5C.42D.2

-12-

【解析】選A.設(shè)投入x萬元經(jīng)銷甲商品，則經(jīng)銷乙商品投入(20-x)萬元，總利潤

y=P+Q—+-?：20-年令y25,則士+U?；20-汗、5對0WxW20恒成立.所以

&7q4?q

a：20-X?1°一三，所以a2