專題03 第三章 圓錐曲線的方程 高頻考題實(shí)戰(zhàn)（練透核心考點(diǎn)）（解析版）

專題03第三章圓錐曲線的方程高頻考題實(shí)戰(zhàn)（練透核心考點(diǎn)）目錄TOC\o"1-2"\h\u高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線的定義及符合條件 1高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 5高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問題 9高頻考點(diǎn)四：離心率問題 11高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的最值問題 15高頻考點(diǎn)六：弦長問題 21高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問題 26高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問題 31高頻考點(diǎn)九：面積問題 34高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 41高頻考點(diǎn)十一：圓錐曲線中的定直線問題 48高頻考點(diǎn)十二：圓錐曲線中的向量問題 53高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線的定義及符合條件1．（2023秋·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谀┤绻麢E圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（

）．A．4 B．14 C．12 D．8【答案】B【詳解】橢圓中，所以由橢圓的定義可得，又，所以.即點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是.故選：B.2．（2023秋·高二單元測試）已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線C．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A：曲線表示雙曲線時(shí)，則，解得或，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，解得，所以曲線表示兩條直線，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，即，可得，曲線：表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對于選項(xiàng)D：若曲線為等軸雙曲線，且方程可整理為，可得，則，無解，所以不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤；故選：C.3．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的左支于，兩點(diǎn)，若直線為雙曲線的一條漸近線，，則的值為（

）A．11 B．12 C．14 D．16【答案】C【詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得,由直線為雙曲線的一條漸近線，得,解得,得.由雙曲線的定義可得①，②，①②可得,因?yàn)檫^雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于,兩點(diǎn),所以,得.故選：C.

4．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A5．（多選）（2023·全國·高二課堂例題）已知曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是圓，其半徑為C．若，則C是雙曲線D．若，，則C是兩條直線【答案】ACD【詳解】對于選項(xiàng)A，∵，∴，方程可變形為，∴該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對于選項(xiàng)B，∵，∴方程可變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，∵，∴該方程表示雙曲線，故C正確；對于選項(xiàng)D，∵，，∴方程變形為，該方程表示兩條直線，故D正確.故選：ACD.6．（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程(其中為參數(shù))表示曲線，下列說法正確的是（

）A．若，則曲線表示圓B．若，則曲線表示橢圓C．若，則曲線表示雙曲線D．若，，則曲線表示四條直線【答案】ACD【詳解】若，則，表示圓，故A正確；若，滿足，方程無解，故不表示任何曲線，故B錯(cuò)誤；若，則表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的雙曲線，故C正確；若，，則或，則或，表示四條直線，故D正確.故選：ACD.7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如果雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離是．【答案】22【詳解】由題意得，又，所以.故答案為：228．（2023秋·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)M，且，則．【答案】4【詳解】把代入拋物線方程（），得，得，根據(jù)拋物線的定義有，解得，故答案為：49．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的橢圓上，若，求的值．【答案】【詳解】

由橢圓方程知：，，，，，由橢圓定義知：，，解得：.高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長為18，離心率為；(2)經(jīng)過點(diǎn)，，焦點(diǎn)在x軸上.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則，，所以，.于是.橢圓的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，因此，所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）設(shè)橢圓方程為，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得①，②，將，看作未知數(shù)，則上述兩個(gè)式子組成二元一次方程組，②×4-①得，即，，即，因此，所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.3．（2023·全國·高二課堂例題）分別求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值等于8；(2)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得5，．因此，且．又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且，所以另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對值為，因此，從而．因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)；(2)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)，．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，又，解得，，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知，，且焦點(diǎn)在x軸上，所以，故所求雙曲線方程為：（3）設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)，，則，解得，所以所求雙曲線方程為.5．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以，解得.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.6．（2023·全國·高二課堂例題）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點(diǎn)是.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，而且，因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，而且因此，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，準(zhǔn)線方程為.高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問題1．（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為，故選：B2．（2023·全國·高二課堂例題）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長等于.【答案】22【詳解】由題意知，，又，∴，，故的周長為，故答案為：223．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長等于，．【答案】22【詳解】在雙曲線中，實(shí)半軸長，半焦距，則，顯然，又，解得，所以的周長等于，.故答案為：22；4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求；(2)若的面積為9，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1）設(shè)，設(shè)，由，則，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因?yàn)?，所以，因此，?5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為此雙曲線上一點(diǎn)，，求證：．【答案】證明見解析【詳解】在雙曲線中，，所以，由題意得，又，所以，所以．高頻考點(diǎn)四：離心率問題1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

2．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最大值為，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，又，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，所以，，，，設(shè),，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，

由題意可得，所以離心率.故選：A3．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接，由題意知，設(shè)，由雙曲線的定義可得．又由題可得，所以，即．在中，，由，得，由雙曲線的定義可得．因?yàn)?，所以，所以，在中，，又由余弦定理可得，即，所以．又因?yàn)?，所以，所以，故，所以雙曲線的離心率．

故選：A.4．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)P是橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C的上頂點(diǎn)．當(dāng)P為下頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，則橢圓C的離心率的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意，，設(shè)，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，所以，可得，即.故答案為：.5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求雙曲線的離心率e的取值范圍．【答案】【詳解】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，，，，故雙曲線的離心率e的取值范圍為：.

.6．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，分別延長，交橢圓于點(diǎn)，且，則線段的長為，橢圓的離心率為.【答案】/【詳解】根據(jù)，以及橢圓定義，得，設(shè)，則，根據(jù)，由勾股定理，得；在中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，在中，由勾股定理，得.，在中，由余弦定理，得，所以，離心率.故答案為：；

高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的最值問題1．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓，得，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)是射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故選：C..2．（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的最大值是．【答案】21【詳解】由橢圓得，則橢圓右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，如圖所示，則故答案為：21．3．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【詳解】由題意知，.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由是雙曲線右支上的點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.又，則.所以，的最小值為.故答案為：.

4．（2023·全國·高二課堂例題）P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】5【詳解】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別為兩圓的圓心，

兩圓的半徑分別為，，易知，，故的最大值為.故答案為：55．（2023春·廣東廣州·高二仲元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小值為.【答案】【詳解】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，由拋物線的定義可知點(diǎn)到軸的距離即為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)到軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線（、在之間）時(shí)取等號(hào).

故答案為：.6．（2023秋·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為拋物線上一點(diǎn)，其中，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，直線l方程為，，H為垂足，則．【答案】5【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可知，又因?yàn)橹本€l方程為，所以故答案為：5.

7．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖所示：

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．故答案為：8．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是圓和上的點(diǎn)，求的最大值．【答案】【詳解】，，，則，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，，也分別是兩個(gè)圓的圓心，兩圓的半徑分別為，所以，，則，即的最大值為．

9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試求的最小值．

【答案】的最小值為．【詳解】根據(jù)題意可知，圓心，其半徑；不妨設(shè)，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值等價(jià)于，當(dāng)取到最小值時(shí)，的值最??；，當(dāng)時(shí)，取最小值為；此時(shí)的最小值為.10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則，若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，可得，即，拋物線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作直線的垂線，垂足為，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為（即到準(zhǔn)線的距離）.故答案為：；

高頻考點(diǎn)六：弦長問題1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記，則直線的方程可表示為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，，由已知可得，則，可得，所以，.故選：C.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的弦的長是．【答案】/【詳解】設(shè)點(diǎn)、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.3．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)?？计谥校┻^拋物線的焦點(diǎn)作直線，交于、兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則．【答案】8【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，，，，則，，，，則．故答案為：8．

4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓且圓的切線l與C交于點(diǎn)A，B，求的最大值．【答案】【詳解】若切線l的斜率不存在時(shí)，可得．當(dāng)時(shí)，可得，，則．當(dāng)時(shí)，同理可得．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)．因?yàn)閘與圓相切，所以圓心到l的距離為，即．聯(lián)立得．設(shè)，，則，．．令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以；因?yàn)?，所以的最大值為?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交左支于一點(diǎn)，且的斜率是，求長．【答案】【詳解】解：由題意可得直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立可得，解得或，則，因此，.6．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長為．(1)求雙曲線方程；(2)過雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為的直線交曲線于、，求的長．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以,雙曲線的上焦點(diǎn)為，在中令得，所以，∴,∴雙曲線方程為;（2）過雙曲線的下焦點(diǎn)且傾角為的直線斜率為，直線方程為,代入雙曲線方程可得，，設(shè)，故，故的長為6.7．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，，可得，設(shè),，,，，，因?yàn)?，所以，可得，可得，所以直線的方程為：．即．（2）直線的方程設(shè)為，

令，可得，所以，所以,，,，因?yàn)?，所以?,，所以，，，，，化簡可得，，，可得，，，．高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【詳解】設(shè)，，則有與，兩式相減得：，即，又因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，得到，即直線AB的斜率為6.故選：D.3．（2023春·黑龍江大慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)在圓上，則的值是.【答案】【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，，，線段的中點(diǎn)，，由，得（判別式△，，，，點(diǎn)，在圓上，則，故.故答案為：4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為．【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，所以易得拋物線的方程為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.

5．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.【答案】【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，又，所以是的中點(diǎn).設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：

6．（2023春·廣西貴港·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（0，-2）和F2（0，2），長軸長為2，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及|AB|.【答案】(1)(2)中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為和，長軸長為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，.所以.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，AB線段的中點(diǎn)為，由得，所以，

所以，，所以弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，由直線與其相交于、兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得的中點(diǎn)為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．8．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線－y2＝1，求過點(diǎn)A(3，－1)且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程.【答案】3x＋4y－5＝0.【詳解】解法一由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴.∵A(3，－1)為MN的中點(diǎn)，∴，即，解得.當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意，∴所求直線MN的方程為，即3x＋4y－5＝0.解法二設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M(jìn)，N均在雙曲線上，∴兩式相減，得，∴.∵點(diǎn)A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴.經(jīng)驗(yàn)證，該直線MN存在．∴所求直線MN的方程為y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問題1．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為.

【答案】【詳解】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，.由正弦定理，得，，（R為的外接圓半徑）.

∵，∴，即.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點(diǎn)）.由題意，設(shè)所求軌跡方程為，∵，，∴.故所求軌跡方程為.故答案為：2．（2023·全國·高二課堂例題）已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，，且的周長等于18．求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程．【答案】【詳解】以過B，C兩點(diǎn)的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．

由，可知點(diǎn)．由的周長等于18．得，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，但點(diǎn)A不在x軸上．設(shè)橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為，則這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和，，得，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知的周長為18，且，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【詳解】如圖，以所在直線為軸，以線段的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

其中，，設(shè)，，由題意可知，，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中三點(diǎn)不共線，其中，，則，，，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為4．（2023·全國·高二課堂例題）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和M到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．【答案】點(diǎn)M軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓．【詳解】設(shè)d是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是集合，則，

將上式兩邊平方，并化簡，得，即．所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓．5．（2023·全國·高二課堂例題）已知，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知，一定在1，2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支上，則，這就是說，點(diǎn)P的坐標(biāo)一定滿足．另一方面，由可知，因此P的橫坐標(biāo)要大于零，從而可知P的軌跡方程為．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線l垂直平分FN，交于點(diǎn)M.求點(diǎn)M的軌跡方程；【答案】【詳解】由題意得，即動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡方程為；高頻考點(diǎn)九：面積問題1．（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，如圖所示，不妨設(shè)的傾斜角為銳角，過分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，，過作于，則，所以，所以的傾斜角為，由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，可得，所以.故選：C.

2．（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與及準(zhǔn)線依次相交于，，三點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），若，，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，過作于，過作于，連接

拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則由拋物線定義可得，所以，則，故，又有，由拋物線定義得，所以為正三角形，則，所以，則，所以，故故，所以，則，所以，則，不妨由圖取，又，所以，則，不妨由圖取，所以.故選：D.3．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P使得，求的面積．【答案】(1)(2)1【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C經(jīng)過，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點(diǎn)P使得．∴．4．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，已知橢圓的離心率，．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由可得：，，，又，，，橢圓方程為：.（2）

由（1）知：，設(shè)直線，由得：，則，，即，，即，；在直線的方程中，令可得，，，則直線，令可得：，，，即，整理可得：，解得：，直線或．5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程：(2)若三角形的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，解得故橢圓的方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，，聯(lián)立消去，整理得，則，，且，即或.所以的面積為，

令，得，解得或，從而或.故直線的方程為，或，即，或.6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線.其焦點(diǎn)為F.(1)求以為中點(diǎn)的拋物線的弦所在的直線方程；(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)2x－y－1＝0(2)32【詳解】（1）由題意知，焦點(diǎn)弦所在的直線斜率存在.設(shè)所求直線交拋物線于,則,又,所求直線方程為,即.（2）

依題意知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得，消去,整理得,設(shè)其兩根為,則.由拋物線的定義可知，,同理可得,四邊形的面積.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)所求四邊形面積的最小值為32.7．（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求：①直線的方程；②的面積．【答案】(1)(2)①；②【詳解】（1）由題意知，又，則，解得由在橢圓上及得，解得橢圓的方程為（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為據(jù)題意設(shè)直線的方程為則于是由得，化簡得（*）①由消去整理得由根與系數(shù)的關(guān)系得：．代入（*）式得：，解得直線l的方程為②方法一由①可知：由求根公式與弦長公式得：．設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為，則．．方法二由題意可知由①知，直線l的方程為代入消去得∴．高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓過點(diǎn)，且上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，軸上是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)【詳解】（1）橢圓上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為，；又橢圓過點(diǎn)，；兩式聯(lián)立可解得：，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為，，由得：，則，解得：或，，，假設(shè)存在點(diǎn)使得，即存在點(diǎn)使得，

設(shè)點(diǎn)，則，，，又，，解得：，；當(dāng)直線與軸重合時(shí)，分別為橢圓左右頂點(diǎn)，若，此時(shí)顯然成立；綜上所述：軸上存在點(diǎn)滿足題意．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【答案】證明見解析【詳解】證明：由題意可得，解得，故橢圓方程為，由題意可設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，則，兩式相減得，即，即，又M為線段AB的中點(diǎn)，即有,即，即直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.3．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【詳解】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，恒過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)符合題意，綜上所述，直線過定點(diǎn).

4．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得，∴拋物線方程為．（2）證明：顯然直線斜率不為0，故可設(shè)：，將的方程與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以，，同理：，由題意：，∴，∴，即，代入直線得，故直線恒過定點(diǎn)．

5．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，．(1)求；(2)過點(diǎn)作直線，與交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理出．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，因?yàn)?，所以由焦半徑公式得②，由①②解得（?fù)值舍去），所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，由消去得，，則，所以，，所以，則直線的方程為，即，即，即，令，可得，所以直線恒過定點(diǎn).

6．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓：與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），過點(diǎn)作圓的切線，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設(shè)，由題可得，，，，，，，因?yàn)?，所以有，，，，即，，，即，所以．?）設(shè)直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，設(shè)，，，，聯(lián)立，恒成立，，，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以橫坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，設(shè)的垂直平分線為，則斜率為，，即，則，，所以，為定值．

高頻考點(diǎn)十一：圓錐曲線中的定直線問題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線PO與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)(2)證明見解析，定直線為【詳解】（1）設(shè)，，所以，即，由題意知，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，得，所以，則，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，設(shè)，由P，S，三點(diǎn)共線，得，由P，N，三點(diǎn)共線，得，則．所以直線OP的斜率為，則直線OP的方程為，聯(lián)立直線OP與直線的方程，可得，解得，所以點(diǎn)在一條定直線上，該定直線的方程為．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程，消去得．設(shè)，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯(lián)立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上．3．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見解析.【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，由，可得，則，，設(shè)，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線上.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線C：的焦點(diǎn)F，過x軸上一點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于A，B和C，D，設(shè)和所在直線交于點(diǎn)P．設(shè)M為拋物線上一點(diǎn)，滿足以下的其中兩個(gè)條件：①M(fèi)點(diǎn)坐標(biāo)可以為；②軸時(shí)，；③比M到y(tǒng)軸距離大1．（1）拋物線C同時(shí)滿足的條件是哪兩個(gè)？并求拋物線方程；（2）判斷并證明點(diǎn)P是否在某條定直線上，如果是，請求出該直線；如果不是，請說明理由．【答案】（1）①③，；（2）點(diǎn)P在定直線上；證明見解析；定直線．【詳解】（1）若有①，則，，此時(shí)②不能滿足，，③能滿足，若有②，則，①③都不能滿足．故能同時(shí)滿足①③，拋物線