高考數(shù)學一輪總復習不等式-第3講 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題習題

第3講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

課時-題組訓練階梯訓練練出高分

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時：40分鐘)

一、填空題

卜+y，2,

1.已知。是坐標原點，點A(—1,D，若點M(x,y)為平面區(qū)域上

的一個動點，則殖?南的取值范圍是.

jx+y22,

解析OA.OM={—\,\y(x,y)=y—x,畫出線性約束條件”,表示

的平面區(qū)域，如圖所示.可以看出當z=y-x過點。(1,1)時有最小值0,過點

C(0,2)時有最大值2,則萬1.加的取值范圍是［0⑵.

答案[0,2]

(yW—*+2,

2.(泰安模擬)不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積為_______

〔后0

解析做出不等式組對應的區(qū)域為△BCO,由題意知XB=1,xc=2.由

y=—%+2,iiii

,得》=5，所以SMCD=5X(XC—XB)X5=1.

y=x—1,zzz4

答案

3.（杭州模擬）在約束條件＜＞25，下，目標函數(shù)z=x+；y的最大值為

、x+yW1

解析由z=x+5,得y=—2x+2z.作出可行域如圖陰影部分，平移直線y

=—2九+2z,當直線經(jīng)過點。時，直線y=—2x+2z在y軸上的截距最大,

此時z最大.

1

y=x,’21小、I1Z02115

由.2解得C點坐標為3'3代入z=x+1.y,得Z=Q+1XW=%.

.x+y=l,

答案I

4.（陜西卷改編）若點（x,y）位于曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x—y

的最小值為

解析如圖，曲線y=|x|與＞=2所圍成的封閉區(qū)域如

圖中陰影部分，令z=2x—y,則y=2x—z,作直線y

=2x,在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動直線y=2x,當經(jīng)過點（一2,2）時，z取得最小值,

此時z=2X（—2）—2=-6.

答案一6

"x+)W8,

2y—xW4,

5.（四川卷改編）若變量羽y滿足約束條件R.、八且z=5y—x的最大

值為a,最小值為b,則a~b的值是.

解析畫出可行域，如圖所示.由圖可知，當目標函數(shù)過A點時有最大值;

x+yz=8,x~~4

c,J9故A(4,4)；對x+y=8,

{2y-x=4[y=4,

令y=0,則x=8,故8(8,0),所以a=5><4—4=16,b=5X0~8=-8,則

a—b=16—(—8)=24.

答案24

x~y^—1,

6.（安徽卷）若非負變量x,y滿足約束條件;則x+y的最大值為

、九十2yW4,

解析根據(jù)題目中的約束條

件畫出可行域，注意到x,y

非負，得可行域為如圖所示的

陰影部分（包括邊界）.作直線

y=-x

y=-x,并向上平移，當直線過點A(4,0)時，x+y取得最大值，最大值為4.

答案4

[2x+3y—6W0,

7.(山東卷)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組/+＞一2,0,所表

示的區(qū)域上一動點，則QM的最小值是

解析如圖所示陰影部分為可行域，數(shù)形

結(jié)合可知，原點。到直線|的最小值，

|-2|I-

??IOM\min=p=.

答案啦

卜一y+520,

8.(淮安質(zhì)檢)若不等式組

表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是.

解析畫出可行域，知當直線y=a在尤-y+5=0與y軸的交點(0,5)和x—y

+5=0與x=2的交點(2,7)之間移動時平面區(qū)域是三角形.故5Wa＜7.

答案[5,7)

二'解答題

卜一y+520,

9.(合肥模擬)畫出不等式組｛x+y，0,表示的平面區(qū)域，并回答下列問題:

(1)指出x,＞的取值范圍;

(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？

解(1)不等式x—y+520表示直線x—y+5=0

上及其右下方的點的集合，x+y^O表示直線x

+y=0上及其右上方的點的集合,xW3表示直線

x=3上及其左方的點的集合.

x=3

"%—y+520,

所以，不等式組｛x+yNO,表示的平面區(qū)域如圖所示.

結(jié)合圖中可行域得xG—|,3,yG[-3,8].

-xWyW尤+5,

（2）由圖形及不等式組知J5）1

一產(chǎn)尤W3,1.XGZ,

當x=3時，一3Wy<8,有12個整點；

當x=2時，-20W7,有10個整點；

當尤=1時，一lWyW6,有8個整點；

當尤=0時，O0W5,有6個整點；

當％=—1時，lWyW4,有4個整點；

當x=—2時，2WyW3,有2個整點；

，平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2+4+6+8+10+12=42（個）.

10.制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧

損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大

盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人

計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過L8萬元，問

投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

解設(shè)投資人分別用x萬元,y萬元投資甲、

乙兩個項目，由題意知

"x+yW10,

I0.3x+0.1yW1.8,

九20,

目標函數(shù)z=x+0.5y.

上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰

影部分（含邊界）即為可行域.

將z=x+Q.5y變形為y=~2x+2z,這是斜率為一2隨z變化的一組平行線,

當直線y=-2時，直線y=-2點是直線x+y=10和0.3尤+0.1y=1.8的交點.

x+y—10,

解方程組得無=4,y=6,

0.3%+0.1y=1.8,

此時z=4+0.5X6=7（萬元）.

?,.當x=4,y=6時，z取得最大值，

所以投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超

過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、填空題

jx20,

1.（昆明模擬）已知光，y滿足條件（卜為常數(shù)），若目標函數(shù)z=x

+3y的最大值為8,則卜=.

y=x,

解析畫出x,y滿足的可行域如圖，聯(lián)立方程，?「八解得

⑵+y+b=0,

5,k即。點坐標為

[y=~y

（一■|,—I）,由目標函數(shù)z=x+3y,得y=—gx

+j,平移直線y=—5+j,可知當直線經(jīng)過C

17

點時，直線的截距最大，此時z最大，把C點代入z=x+3y,得

8=—13X（一解得卜=—6.經(jīng)檢驗，符合題意.

答案-6

2.（臨沂一模）已知實數(shù)尤，y滿足不等式組

（%—y+220,

{x+y—420,若目標函數(shù)z=y~ax

〔2%一y—5<0,

取得最大值時的唯一最優(yōu)解是(1,3),則實數(shù)。的取值范圍是.

解析作出不等式對應的平面區(qū)域BCD,由2=y一以，得y=ax+z,要使目

標函數(shù)y=tu+z僅在點(1,3)處取最大值，則只需直線y=ax+z僅在點8(1,3)

處的截距最大，由圖象可知。>。。，因為LBO=1,所以a>l,即a的取值范

圍是(1,+°°).

答案(1，+°°)

3.(北京卷)已知點A(l,-1),8(3,0),C(2,l).若平面區(qū)域。由所有滿足力=2荏

+〃病(1?2或2,0或〃或1)的點P組成，則D的面積為.

解析加=(2,1),AC=(1,2).設(shè)P{x,y),由仆=2由J+M病，得

’2x-y—3

x—1=22+〃，X3

<故有<

j+l=2+2〃，-x+2y+3

/=3，

又問1,2],〃曰0』],

2x—y—3

1WW2,

(3W2Ly-3W6,

故有<

2),—九+310W2y—x+3<3.

0WW1,

則平面區(qū)域。如圖中陰影部分所示.

由圖可知平面區(qū)域。為平行四邊形，可求出M(4,2),N(6,3),故|MN|=小,

3

又x-2y=0與x—2y—3=0之間的距離為故平面區(qū)域。的面積為S

3

=g/=3

答案3

二、解答題

卜一4y+3W0,

4.變量x,y滿足{3x+5y—25W0,