函數(shù)幾種特性與初等

1函數(shù)的幾種特性初等函數(shù)小結(jié)思考題作業(yè)第三節(jié)函數(shù)的幾種特性與初等函數(shù)第一章函數(shù)21.有界性

(bounded)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,則說f(x)在區(qū)間I上有上界.(下)使得對所有若存在常數(shù)A都有函數(shù)的幾種特性與初等函數(shù)(B),一.函數(shù)的幾種特性3

若存在常數(shù)使得對所有則稱f(x)在I上有界.在I上無界;映射與函數(shù)都有

若這樣的M不存在,則稱f(x)即為對于任何總存在使則稱f(x)在I上無界.有界無界4在定義域上有界的函數(shù)叫做例是有界函數(shù);是無界函數(shù),但它在區(qū)間上在區(qū)間上

注

一定要把區(qū)間明確出來!即，函數(shù)的有界性與定義域有關(guān)不是有界函數(shù),就是無界函數(shù).顯然,映射與函數(shù)(boundedfunction)有界函數(shù).有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.5六個常見的有界函數(shù)映射與函數(shù)62.單調(diào)性(monotonicity)是嚴(yán)格單調(diào)增加;映射與函數(shù)如果對恒有

monotoneincreasing7

注

應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間,否則會產(chǎn)生錯誤.是嚴(yán)格單調(diào)減少.映射與函數(shù)如果對恒有monotonedecreasing即，函數(shù)的單調(diào)性與定義域有關(guān)83.奇偶性偶函數(shù)的圖形稱f(x)為偶函數(shù)(evenfunction);映射與函數(shù)9奇函數(shù)的圖形稱f(x)為奇函數(shù)(oddfunction).

映射與函數(shù)10(1)不要把奇偶函數(shù)當(dāng)作兩個完全相反的(2)奇偶性是對稱區(qū)間而言的,否則無從談奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)奇(偶)函數(shù)的代數(shù)和仍為奇(偶)函數(shù);(2)偶數(shù)個奇(偶)函數(shù)之積為偶函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù).(3)一奇一偶的乘積為奇函數(shù).注映射與函數(shù)概念.奇、偶.11練習(xí)判別給定函數(shù)的奇偶性,[解題提示]奇函數(shù)的有效方法.判別下列函數(shù)的奇偶性:奇函數(shù)偶函數(shù)有時也用其運算性質(zhì).映射與函數(shù)主要是根據(jù)奇偶性的定義,12結(jié)論：定義于對稱區(qū)間上的任意函數(shù)f(x)總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。于是映射與函數(shù)134.周期性(periodicity)的周期.周期函數(shù)(periodfunction).映射與函數(shù)如果存在一個正數(shù)且總有稱為f(x)通常稱周期函數(shù)的周期是指最小正周期.周期為的周期函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,則稱f(x)是14映射與函數(shù)例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(當(dāng)x是有理函數(shù)時)(當(dāng)x是無理函數(shù)時)這是一個周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因為不存在最小的正有理數(shù),所以沒有最小正周期.15周期函數(shù)的運算性質(zhì):映射與函數(shù)函數(shù),為周期的的最小公倍數(shù)為周期的函數(shù).[解題提示]判別給定函數(shù)是否為周期函數(shù),主要是根據(jù)周期的定義,有時也用其運算性質(zhì).16映射與函數(shù)5.函數(shù)的運算設(shè)函數(shù)的定義域分別為則可定義這兩個函數(shù)的下列運算:和(差)積商且線性組合為實數(shù),171)

冪函數(shù)(powerfunction)

定義域與的取值有關(guān).二.初等函數(shù)(elementaryfunction)(basicelementaryfunction)映射與函數(shù)(1)基本初等函數(shù)182)指數(shù)函數(shù)(exponentialfunction)定義域為值域為映射與函數(shù)193)對數(shù)函數(shù)(logarithmfunction)定義域為值域為映射與函數(shù)204)三角函數(shù)(trigonometricfunction)正弦函數(shù)定義域為值域為映射與函數(shù)21余弦函數(shù)定義域為值域為映射與函數(shù)22正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域映射與函數(shù)235)反三角函數(shù)(inversetrigonometricfunction)定義域值域

主值映射與函數(shù)反正弦函數(shù)24定義域值域

主值映射與函數(shù)反余弦函數(shù)25

主值定義域值域映射與函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)

主值定義域值域

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).26(2)初等函數(shù)(elementaryfunction)初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù).映射與函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為27注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),想一想

可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)?答:故又可看作是初等函數(shù).是!由于映射與函數(shù)不是用一個式子表達(dá)出來的.因為它28奇函數(shù).偶函數(shù).1)雙曲函數(shù)

疊加法映射與函數(shù)(3)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲余弦29奇函數(shù),有界函數(shù),映射與函數(shù)雙曲正切30雙曲函數(shù)常用公式映射與函數(shù)312)反雙曲函數(shù)奇函數(shù),可得映射與函數(shù)

反雙曲正弦的反函數(shù),單調(diào)增加.32映射與函數(shù)

反雙曲余弦單調(diào)增加.33奇函數(shù),映射與函數(shù)

反雙曲正切單調(diào)增加.34三、小結(jié)初等函數(shù).映射與函數(shù)函數(shù)的幾種特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.35思考題映射與函數(shù)及其定義域.