湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

九上

第一章反比例函數(shù)

（-）反比例函數(shù)

1.■-x（CrO）可以寫成》一耳“（上，0）的形式，注意自變量X的指數(shù)為-1,在解決有關(guān)自

變

量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)/二0這一限制條件；

2.'-x也可以寫成*丫=1;的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而

得到反比例函數(shù)的解析式；

（二）反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

_k

1.函數(shù)解析式：,XgwD）

2.自變量的取值范圍：XrO

3.圖象：反比例函數(shù)的圖象：在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,

且x應(yīng)對稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對稱）.

（1）圖象的形狀：雙曲線上越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.卜1越小，圖象的彎曲度越大.

（2）圖象的位置和性質(zhì)：自變量XHO,函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn)，兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近

線.

當(dāng)尢>0時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而減小;

當(dāng)*<0時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

（3）對稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若（a,b）在雙曲線的一支上，（-4,在雙曲線的另一支

上.

圖象關(guān)于直線y一“X對稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（立，口）和（-A,-4）在

雙曲線的另一支上.

k

?=-

4.k的幾何意義：如圖1,設(shè)點(diǎn)P（a,b）是雙曲線,X上任意一點(diǎn)，作PAJ_x軸于A點(diǎn)，PB±y

軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是式（三角形PAO和三角形PBO的面積都是二）.

如圖2,由雙曲線的對稱性可知，P關(guān)式厚點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QCLPA的延長線于C,則

有三角形PQC的面積為二?.1.

圖1圖2

5.說明：

（1）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概

而論.（2）直線了二*F與雙曲線'-'7的關(guān)系：當(dāng)與<40時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)解馬>”時(shí),

兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.

（三）反比例函數(shù)的應(yīng)用

1、求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法：（2）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.

2、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.

3、充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

第二章一元二次方程

（一）一元二次方程

1、只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程（分母不含未知數(shù)），且都可以化為“2+bx+c=0（a、b、c為常

數(shù)，

aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

2、把依2+6X+C=0（a、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一元二次方程的一般式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一

次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)（包括符號(hào)）。

（二）一元二次方程的解法

1、直接開平方法：如果方程化成承制贏冠窗的形式，那么可得x二十、0

如果方程能化版**曰信（pwo）的形式，那么匾5第喙進(jìn)而得出方程的根。

/b\2b2-4ac

牛+石

2、配方法：配方式

基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1;③把常數(shù)項(xiàng)移到方程

的右邊；④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；⑤把方程轉(zhuǎn)化成左邊為一個(gè)完全平方式,

右邊化為一個(gè)常數(shù)；兩邊開方求其根。

3、公式法戶上尹（注意在找心…時(shí)須先把方程化為一般形式）

4、分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因

式”

和“十字相乘”）

（3）一元二次方程根的判別式

判別式/=b2-4ac與根的關(guān)系：

當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4acN0時(shí)，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac〈0時(shí)，則方程無實(shí)數(shù)根

（,上述結(jié)論反之也成立，但注意都同時(shí)要滿足二次項(xiàng)系數(shù)aWO）

（四）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

1、根與系數(shù)關(guān)系：如果一元二次方程ax2+/,x+c=0的兩根分別為X1、X2，則有：

bc

%+%=——，X=—.（韋達(dá)定理）

aa

2、一元二次方程的兩根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根X1、X2的對稱代數(shù)式的值，特別注意以下公式：

①=（玉+々）2-2中，②,+=③（X|-/）2=（%+9）2-4西工2

玉x2XjX2

2

④|苞-%1=+%『一4陽》2⑤（|X|1+1%1）2=（X|+X2）-2X,X2+21x,x21

⑥X：+%2=（再+*2）3-3玉*2（玉+X2）⑦其他能用占+X2或X/?表達(dá)的代數(shù)式。

2

（3）己知方程的兩根Xi、X2，可以構(gòu)造一元二次方程：x-（x,+x2）x+x,x2=0,

a（x-X!）（x-x2）=O

（4）已知兩數(shù)X1、X2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程/-（乂+々口+占9=0

的兩根。

（五）一元二次方程的應(yīng)用

1、配方法作用：一元二次方程配方可以解該方程：ax2+bx+c=°（a^O）（兩邊同時(shí)除以a得）

2

/b\2_b-4ac

x2+-x+-=0（一次項(xiàng)系數(shù)2除以2并寫成完全平方式得）石）4fl2（可作為公式記

aaa

憶）

oooooo

2、二次代數(shù)式配方可以求最值（應(yīng)用題?？迹憾未鷶?shù)式ax2+bx+c

提取二次項(xiàng)系數(shù)a得=a（x2+-x）+c（不能同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a）

a

合并常數(shù)項(xiàng)得=a（x+2『+%二Q（作為公式記憶，一步化到位）

2a4a

此時(shí)可知當(dāng)x=—2時(shí)，ax:+bx+c有最大值（a<0）最大值為處二Q

2a4a

當(dāng)工=-2時(shí)，潑+樂+c有最小值（">0）最小值為4。。一，）

2a4a

3、平均增長率問題：（設(shè)月增長率為x）

①一月產(chǎn)量為。，二、三月平均增長率為X,三月產(chǎn)量為6,則有a（l+x）2=b

②一月產(chǎn)量為。，二、三月平均增長率為X,第一季度產(chǎn)量為則有。+4（1+切+。（1+》）2=6

4、翻幾番增長率問題：（設(shè)年增長率為x）

①兩年翻一番，則“（l+x）2=2a,解得x=V2-1?41.4%

（次數(shù)2是指兩年翻了兩次，翻一番指起初數(shù)量a變成2a）

②兩年翻兩番，則a（l+x）2=4a,解得x=100%

（次數(shù)2是指兩年翻了兩次，翻一番指起初數(shù)量a變成2a,再翻一番就變成了4a）

5、互相握手、互相送禮問題：

①互相握手：握手次數(shù)（〃是指人數(shù)）

②互相送禮：〃（〃-1）=禮物總數(shù)（”是指人數(shù)）

6、漲價(jià)總利潤問題：（設(shè)漲價(jià)%元）

總利潤=（定價(jià)+上漲價(jià)格無一進(jìn)價(jià)）（原銷量一一一02八g強(qiáng)上漲的價(jià)格相應(yīng)減少的銷量）

每上漲的價(jià)格

7、降價(jià)總利潤問題：（設(shè)降價(jià)1元）

總利潤=（定價(jià)一降價(jià)價(jià)格1一進(jìn)價(jià)）（原銷量+一一改;A,人“典下降的價(jià)格相應(yīng)增加的銷量）

每下降的價(jià)格

第三章圖形的相似

（一）比例線段

1、比例線段的相關(guān)概念

。m如果選日同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比

—=一是，或?qū)懗蒩：b=m：n

b〃在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例

線

段，簡稱比例線段

若四條a,b,c,d滿足或a：b==c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a,d叫

做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a,b,c的第四比例項(xiàng)。

baj

如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即@=巳或a：b=b：c,那么線段b叫做線段

hc

a,c

的比例中項(xiàng)。

2、比例的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)①a：b=c：d=ad=bc②a：b=b：c<=>62=ac

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）

r-=-（交換內(nèi)項(xiàng)）

cd

@=-=-（交換外項(xiàng)）

bdba

-=-（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）

ca

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：-=-

bdac

,、人aca±bc±d

（4）合比性質(zhì)：一=一=>-----=-----

bdhd

,、依rebQce,m.,..八、Q+C+C+L+〃2a

（5）等比性質(zhì)：一二—=—=L=—（zb+d+，+L+〃。0）=----------------=—

hdfnb+d+f+Lb

3^黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB

黃

金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)值得關(guān)注的近似數(shù)：假設(shè)AB=1則AO0.618

BC二ADHO.382）

ACB

…ACCBVT萬c…

定乂：==-----x0.618

ABAC2最長較長2

（二）平行線分線段成比例

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。如圖：如圖，因?yàn)锳D〃BE〃CF,

所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。

推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行

于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。

（三）相似圖形

1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)圖形就叫相似圖形。

2、相似多邊形：（1）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形

做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）

（2）相似多邊形的性質(zhì)：①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比

③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比

④相似多邊形面積的比等于相似比的平方

（四）相似三角形的判定和性質(zhì)

1、相似三角形的概念

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“S”來表示，相似三角形對

應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。

2、相似三角形的基本定理

(1)反身性：對于任一ZkABC,都有△ABCS/\ABC；

(2)對稱性：若△ABCSAA'KC',則△A，B'C，s/\ABC

(3)傳遞性:若△ABCS^.A'B'C',并且△A‘B'C'SZ\A"B''C'',則△ABCS/!\A''B''C''。

3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似

②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三

角形相似

③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這

兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相

似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成

比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。

4、相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

（2）相似三角形周長的比等于相似比

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形的應(yīng)用

測量高度：如測量旗桿的高度：利用同一時(shí)刻下陽光的影子A物高：B物高=A影長：B影長

（6）位似圖形

1、位似圖形:

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)

過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做

位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比。

2、性質(zhì)：（1）位似圖形對應(yīng)線段的比等于位似比。

（2）位似圖形的對應(yīng)角都相等。

（3）位似圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心。

（4）位似圖形面積的比等于位似比的平方.

（5）位似圖形高、周長的比都等于位似比。

（6）位似圖形對應(yīng)邊互相平行或在同一直線上

第4章銳角三角函數(shù)

（1）正弦、余弦、正切

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。|?2+h2=c2

2、如下圖，在RtaABC中，NC為直角，則NA的銳角三角函數(shù)為（/A可換成NB）：

\

定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系

正“4的對邊.’a0<sinJ<1

sinJ=—sin4=cos8

弦斜邊（為銳角）

cZAcosJ=sin5

余44的鄰邊b0<cosA<12

cosA=----------cosJA=—sin4+cos2A=1

弦斜邊c（NA為銳角）

正,NN的對邊tan>0

311tanA=—

切一NA的鄰邊h（NA為銳角）

、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

3B

sinA=cosB由44+/8=90°、sinA=cos（90°-A）1

cos4=sin8得/B=90。-NA>cosA=sin（90°-A）斜M

A——l

g

4、0°、30°,45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）c

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

]_V2V3

sina01

22

V2

cosa1正0

222

V3

tana01雨-

3

5、正弦、余弦的增減性：

當(dāng)0°WaW90°時(shí)，sina隨a的增大而增大，cose隨a的增大而減小。

6、正切的增減性：

當(dāng)0°<?<90°時(shí)，tana隨a的增大而增大

（2）解直角三角形：

1、定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）f所有未知的邊和角。

2、依據(jù)：①邊的關(guān)系：?2+b2=c2.②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義

（3）解直角三角形的應(yīng)用：

1、仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

2、坡面的鉛直高度〃和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i=坡度一般寫成

1:m

的形式，如i=1:5等。把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=4

tana。

3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、0C的方

向

角分別是：45°、135°、225°

4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖

4,OA、OB、OC、

OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

第五章用樣本推斷總體

（-）平均數(shù)的計(jì)算方法

-1

（1）定義法：一般地，如果有n個(gè)數(shù)X”X2，L，與，數(shù)據(jù)比較分散，那么，x=-（x,+x+L+貓）叫

n2

做

這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，［讀作“x拔”。

（2）加權(quán)平均數(shù)法：如果所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)，即n個(gè)數(shù)中，M出現(xiàn)/；次，￡出現(xiàn)人次，…，4出現(xiàn)

A

次（這里/；+力+L/*=〃）那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為

-=,這樣求得的平均數(shù)嚏叫做加權(quán)平均數(shù)，其中,九八上，/.叫做權(quán)。

（3）新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡化公式：1=F

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，（x\=X1—a,x\^x2-a,

x'“=x"一a。P=-（%',+X'2+L+￡“）是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把x”X2，L叫做原數(shù)據(jù)，

M

H，x’2，L,￡“，叫做新數(shù)據(jù)）。

（二）、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)基本概念

1、總體：所有考察對象的全體叫做總體。

2、個(gè)體：總體中每一個(gè)考察對象叫做個(gè)體。

3、樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。

4、樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

7,中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

（三）總體平均數(shù)和方差的估計(jì)

1、總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)；統(tǒng)計(jì)中，通常用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均

數(shù)。

2、方差：在一組數(shù)據(jù)x”X2，L,x“，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)工的差的平