固體物理-晶體對(duì)稱性

12晶體具有自限性，外形上的晶面呈現(xiàn)出對(duì)稱分布。晶體外形上的這種對(duì)稱性，是晶體內(nèi)在結(jié)構(gòu)規(guī)律性的體現(xiàn)。如何描述和找出晶體的對(duì)稱性？人們發(fā)現(xiàn)，采用象轉(zhuǎn)動(dòng)這樣的變換來(lái)研究晶體的對(duì)稱性是有效的。對(duì)稱操作定義：一個(gè)晶體在某一變換后，晶格在空間的分布保持不變，這一變換稱為對(duì)稱操作。由此提出了“群”概念。變換時(shí)一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，稱為“點(diǎn)群”。有32個(gè)點(diǎn)群。如果包括平移、螺旋等，則有230種對(duì)稱類型，稱“空間群”。晶體中對(duì)稱操作的數(shù)目越多，晶體的對(duì)稱性就越高。3對(duì)稱群：一個(gè)確定的物體所有不同的對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱群的一組元素，即：

G(g1,g2,??????)

Group(元素1,元素2,??????)

元素滿足四個(gè)條件才能成為群：

(1)封閉性

(2)結(jié)合率

(3)存在一個(gè)恒等元素e

(4)存在逆元素4在研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，人們視晶體為剛體，在對(duì)稱操作變換中，晶體兩點(diǎn)間距離保持不變。在數(shù)學(xué)上稱這種變換為正交變換。在研究晶體對(duì)稱性中主要有三種正交變換：鏡象（鏡面、反映面）、對(duì)稱心（中心反演）和轉(zhuǎn)動(dòng)。下面分別介紹。5一、鏡象（鏡面、反映面，m，對(duì)稱素為面）6二、對(duì)稱心（中心反演，i，對(duì)稱素為點(diǎn)）7三、轉(zhuǎn)動(dòng)(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，Cn,對(duì)稱素為線)

晶體的旋轉(zhuǎn)軸僅限于n=1,2,3,4,6.不可能出現(xiàn)5及大于6的軸次,這是晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)所決定的.

在晶格周期性的限制下，晶體到底有哪些允許的轉(zhuǎn)動(dòng)操作？891011四、旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱121314151617181920正四面體，Td群，24種對(duì)稱操作；六方晶系，24種對(duì)稱操作可見(jiàn)，對(duì)稱性最高的是立方晶系。21晶體的對(duì)稱性在確定晶體物理常數(shù)的獨(dú)立個(gè)數(shù)上有重要意義，它可以簡(jiǎn)化物理常數(shù)的測(cè)量。在確定物理常數(shù)獨(dú)立個(gè)數(shù)時(shí)，通常不是讓晶格旋轉(zhuǎn)，而是讓坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。很多計(jì)算模擬軟件，輸入點(diǎn)群后，自動(dòng)簡(jiǎn)化獨(dú)立變量個(gè)數(shù)。22舉例：

立方對(duì)稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明？23首先介紹一下矩陣基本知識(shí)對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣：，那么在線性代數(shù)中，該矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為：。嚴(yán)格說(shuō)：。但在正交矩陣中：。24立方對(duì)稱晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明對(duì)于晶體，晶體中的電位移和電場(chǎng)的關(guān)系為：其中介電常數(shù)矩陣為：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后對(duì)稱操作，則各物理量在新舊坐標(biāo)中的關(guān)系為：(1.21)25下面我們具體求：立方晶系獨(dú)立的介電常數(shù)。聯(lián)合：繞x(a)軸旋轉(zhuǎn)90o是一個(gè)對(duì)稱操作，為：(1.21)繞y(b)軸旋轉(zhuǎn)90o是一個(gè)對(duì)稱操作，為：26得到：由此可知，立方晶系晶體的獨(dú)立介電常