專題02 數(shù)與式和方程的壓軸真題訓練（解析版）-中考數(shù)學壓軸題

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學選擇、填空壓軸真題匯編專題02數(shù)與式和方程的壓軸真題訓練一．整式的加減（共2小題）1．（2022?重慶）對多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括號后仍然只含減法運算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，給出下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項式之和為0；③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．以上說法中正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合題意；②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反數(shù)為﹣x+y+z+m+n，不論怎么加括號都得不到這個代數(shù)式，故②符合題意；③第1種：結(jié)果與原多項式相等；第2種：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；第3種：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；第4種：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；第5種：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；第6種：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；第7種：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；第8種：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合題意；正確的個數(shù)為3，故選：D．2．（2022?重慶）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結(jié)果．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，與原式相等，故①正確；②∵在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通過加括號改變z，m，n的符號，無法改變x，y的符號，故不存在任何“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；故②正確；③在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通過加括號改變z，m，n的符號，加括號后只有加減兩種運算，∴2×2×2＝8種，所有可能的加括號的方法最多能得到8種不同的結(jié)果．故選：D．二．多項式乘多項式（共1小題）3．（2022?南通）已知實數(shù)m，n滿足m2+n2＝2+mn，則（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值為（）A．24 B． C． D．﹣4【答案】B【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（當m+n＝0時，取等號），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（當m﹣n＝0時，取等號），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值為，故選：B．方法2、設(shè)m+n＝k，則m2+2mn+n2＝k2，∴mn+2+2mn＝k2，∴mn＝k2﹣，∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，故選：B．三．零指數(shù)冪（共1小題）4．（2022?婁底）若10x＝N，則稱x是以10為底N的對數(shù)．記作：x＝lgN．例如：102＝100，則2＝lg100；100＝1，則0＝lg1．對數(shù)運算滿足：當M＞0，N＞0時，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，則（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值為（）A．5 B．2 C．1 D．0【答案】C【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故選：C．四．有理數(shù)的乘方（共1小題）5．（2022?長沙）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2200的理解如下：YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（覺醒年代）：2200的個位數(shù)字是6；QGYW（強國有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估計2200比1060大．其中對2200的理解錯誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【解答】解：（1）∵2200就是200個2相乘，∴YYDS（永遠的神）的說法正確；∵2200就是200個2相乘，2002是2個200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）說法不正確；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾數(shù)2，4，8，6循環(huán)，∵200÷4＝50，∴2200的個位數(shù)字是6，∴JXND（覺醒年代）說法正確；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（強國有我）說法正確；故答案為：DDDD．五．二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）6．（2022?武漢）幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，∴最左下角的數(shù)為：6+20﹣22＝4，∴最中間的數(shù)為：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，最右下角的數(shù)為：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，∴，解得：，∴x+y＝12，故選：D．六．高次方程（共1小題）7．（2022?重慶）特產(chǎn)專賣店銷售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1：3：2，三種特產(chǎn)的總利潤是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為．【答案】4：3【解答】解：設(shè)該店五月份銷售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量分別為x，3x，2x，每包麻花的成本為y元，每包米花糖的成本為a元，則每包桃片的成本是2y元，由題意得：20%?2y?x+30%?a?3x+20%?y?2x＝25%（2xy+3ax+2xy），15a＝20y，∴＝，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為4：3．故答案為：4：3．七．分式方程的解（共2小題）8．（2022?重慶）關(guān)于x的分式方程+＝1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式組得：，∵不等式組的解集為y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為3+4+6＝13，故選：A．9．（2022?德陽）如果關(guān)于x的方程＝1的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：兩邊同時乘（x﹣1）得，2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣1﹣m，又∵方程的解是正數(shù)，且x≠1，∴，即，解得：，∴m的取值范圍為：m＜﹣1且m≠﹣2．故答案為：D．10．（2021?達州）若分式方程﹣4＝的解為整數(shù)，則整數(shù)a＝．【答案】±1【解答】解：方程兩邊同時乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），整理得﹣2ax＝﹣4，整理得ax＝2，∵x，a為整數(shù)，∴a＝±1或a＝±2，∵x＝±1為增根，∴a≠±2，∴a＝±1．故答案為：±1．11．（2020?大慶）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列結(jié)論：①當a＞﹣1時，方程有兩個不相等的實根；②當a＞0時，方程不可能有兩個異號的實根；③當a＞﹣1時，方程的兩個實根不可能都小于1；④當a＞3時，方程的兩個實根一個大于3，另一個小于3．以上4個結(jié)論中，正確的個數(shù)為．【答案】3【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴Δ＝4+4a，∴①當a＞﹣1時，Δ＞0，方程有兩個不相等的實根，故①正確，②當a＞0時，兩根之積＜0，方程的兩根異號，故②錯誤，③方程的根為x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的兩個實根不可能都小于1，故③正確，④當a＞3時，由（3）可知，兩個實根一個大于3，另一個小于3，故④正確，故答案為3．12．（2020?常德）閱讀理解：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解運用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0