矩陣論標(biāo)準(zhǔn)形

關(guān)于矩陣論標(biāo)準(zhǔn)形機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.3Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

一、

-

矩陣二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)單應(yīng)用目標(biāo)：發(fā)展一個(gè)所有方陣都能與之相似的矩陣結(jié)構(gòu)----Jordan矩陣。第2頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.定義設(shè)

P

是一個(gè)數(shù)域，

是一個(gè)文字，作多項(xiàng)式環(huán)P[

].一個(gè)矩陣，如果它的元素是

的多項(xiàng)式，即P[

]的元素,就稱為

-矩陣.討論

-

矩陣的一些性質(zhì)，并用這些性質(zhì)來(lái)證明上關(guān)于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主要定理.因?yàn)閿?shù)域

P

中的數(shù)也是

P[

]的元素，所以在

-矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣.一、

-

矩陣第3頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩陣稱為數(shù)字矩陣.以下用

A(

)，B(

)，…等表示

-矩陣.我們知道，

P[

]中的元素可以作加、減、乘三種運(yùn)算,并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律.而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法與乘法，因此，我們可以同樣定義

-矩陣的加法與乘法,它們與數(shù)字矩陣的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律.把以數(shù)域

P

中的數(shù)為元素的第4頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法,因此,同樣可以定義一個(gè)

n

n

的

-矩陣的行列式.一般地，

-矩陣的行列式是

的一個(gè)多項(xiàng)式,它與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì).例如,對(duì)于

-矩陣的行列式，矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積，這一結(jié)論，顯然是對(duì)的.既然有行列式，也就有

-矩陣的子式的概念.利用這個(gè)概念，我們有秩和可逆矩陣等。第5頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天秩

如果

-矩陣

A(

)中有一個(gè)

r(r

1)級(jí)子式不為零，而所有

r+1級(jí)子式(如果有的話)全為零，則稱

A(

)的秩為

r.零矩陣的秩規(guī)定為零。可逆矩陣

一個(gè)

n

n的

-矩陣

A(

)稱為可逆的，如果有一個(gè)

n

n的

-矩陣使A(

)B(

)=B(

)A(

)=E,(1)這里

E是

n

級(jí)單位矩陣.適合

(1)的矩陣

B(

)(它是唯一的)稱為

A(

)的逆矩陣，記為

A-1(

).第6頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1

一個(gè)

n

n的

-矩陣

A(

)是可逆的

充分必要條件是行列式

|A(

)|是一個(gè)非零數(shù).證明先證充分性.設(shè)d=|A(

)|

是一個(gè)非零的數(shù).A*(

)是

A(

)的伴隨矩陣，它也是一個(gè)

-矩陣

，而因此，

A(

)可逆.第7頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天再證必要性.設(shè)

A(

)可逆，則有A(

)B(

)=B(

)A(

)=E,上式兩邊取行列式，得|A(

)||B(

)|=|E|=1.因?yàn)?/p>

|A(

)|與

|B(

)|都是

的多項(xiàng)式，所以由它們的乘積是

1可以推知，它們都是零次多項(xiàng)式，也就是非零的數(shù).證畢第8頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

求下列

-矩陣的秩秩為3秩為2第9頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

下列

-矩陣中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩陣.第10頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天初等變換的定義定義下面的三種變換叫做

-矩陣的初等變換：(1)矩陣的兩行(列)互換位置；(2)矩陣的某一行(列)乘以非零常數(shù)

c

；(3)

矩陣的某一行(列)加另一行(列)的

(

)倍，

(

)是一個(gè)多項(xiàng)式.和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進(jìn)初等矩陣.2.-矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形第11頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)初等矩陣

i

行

j

行

i

列

j

列第12頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天

i

行

j

行

i

列

j

列第13頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天

i

行

i

列第14頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天同樣地，對(duì)一個(gè)s

n

的

-矩陣A(

)作一次初等行變換就相當(dāng)于在A(

)的左邊乘上相應(yīng)的s

s

初等矩陣；對(duì)A(

)作一次初等列變換就相當(dāng)于在A(

)的右邊乘上相應(yīng)的n

n

的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1

)),P(i,j(

))-1=P(i,j(-

)).第15頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此得出初等變換具有可逆性：設(shè)

-矩陣A(

)用初等變換變成B(

)，這相當(dāng)于對(duì)A(

)左乘或右乘一個(gè)初等矩陣.再用此初等矩陣的逆矩陣來(lái)乘B(

)就變回A(

)，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由B(

)可用初等變換變回A(

).我們還可以看出在第二種初等變換中，規(guī)定只能乘以一個(gè)非零常數(shù)，這也是為了使P(i(c))

可逆的緣故.第16頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天

-矩陣的等價(jià)定義

-矩陣

A(

)稱為與

B(

)等價(jià)，可以經(jīng)過(guò)一系列初等變換將

A(

)化為

B(

).等價(jià)的性質(zhì):

等價(jià)是

-矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系。如果

-

矩陣等價(jià)的條件：矩陣

A(

)與

B(

)等價(jià)的充分必要條件是有一系列初等矩陣

P1,P2,…,Pl,Q1,Q2,…,Qs

使A(

)=P1

P2…Pl

B(

)Q1Q2…Qs.第17頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天

-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形本段主要是證明任意一個(gè)

-矩陣可以經(jīng)過(guò)初等變換化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形.引理設(shè)

-矩陣A(

)的左上角元素

a11(

)0，并且

A(

)中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個(gè)與

A(

)等價(jià)的矩陣

B(

)，它的左上角元素也不為零,但是次數(shù)比

a11(

)的次數(shù)低.

第18頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明根據(jù)A(

)中不能被a11(

)除盡的元素所在的位置，分三種情況來(lái)討論：1)

若A(

)的第一列中有一個(gè)元素ai1(

)不能被a11(

)除盡，則有ai1(

)=a11(

)q(

)+r(

),其中余式r(

)0，且次數(shù)比a11(

)的次數(shù)低.對(duì)A(

)作初等行變換.把A(

)的第i

行減去第1行的q(

)倍，得：第19頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天再將此矩陣的第1行與第i

行互換，得：B(

)左上角元素r(

)符合引理的要求，故B(

)即為所求的矩陣.第20頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天2)

在A(

)的第一行中有一個(gè)元素a1i

(

)不能被a11(

)除盡，這種情況的證明與1)類似，但是對(duì)A(

)進(jìn)行的是初等列變換.3)

A(

)的第一行與第一列中的元素都可以被a11(

)除盡，但A(

)中有另一個(gè)元素aij

(

)(i>1,j>1)不能被a11(

)除盡.設(shè)ai1

(

)=a11(

)

(

).對(duì)A(

)作下述初等行變換：第21頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天=A1(

).矩陣A1(

)的第一行中，有一個(gè)元素ai

j(

)+(1-

(

))a1j(

)不能被左上角元素a11(

)除盡，這就化為已經(jīng)證明了的情況2).證畢第23頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2

任意一個(gè)非零的

s

n

的

-矩陣A(

)都等價(jià)于下列形式的矩陣其中

r

1,di(

)(i=1,2,…,r-1)是首項(xiàng)系數(shù)為

1的多項(xiàng)式，且di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,r-1).第24頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明經(jīng)過(guò)行列調(diào)動(dòng)之后，可以使得A(

)的左上角元素a11(

)0，如果a11(

)不能除盡A(

)的全部元素，由可以找到與A(

)等價(jià)的B1(

)，它的左上角元素b1(

)0，并且次數(shù)比a11(

)低.如果b1(

)還不能除盡B1(

)的全部元素,由引理，又可以找到與B1(

)等價(jià)的B2(

)，它的左上角元素b2(

)0，并且次數(shù)比b1(

)低.如此下去，將得到一系列彼此等價(jià)的

-矩陣A(

),B1(

),B2(

),….它們的左上角元素皆不為零，而第25頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天且次數(shù)越來(lái)越低.但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)，不可能無(wú)止境地降低.因此在有限步以后，我們將終止于一個(gè)

-矩陣Bs(

)，它的左上角元素bs(

)0，而且可以除盡Bs(

)的全部元素bij(

)，bij(

)=bs(

)qij(

)，對(duì)Bs(

)作初等變換：即第26頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天在右下角的

-矩陣A1

(

)中，全部元素都是可以被bs(

)除盡的,因?yàn)樗鼈兌际荁s(

)中元素的組合.如果A1(

)O，則對(duì)于A1(

)可以重復(fù)上述過(guò)程，進(jìn)而把矩陣化成第27頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中d1(

)

與d2(

)都是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式(d1(

)與bs(

)只差一個(gè)常數(shù)倍數(shù))，而且d1(

)|d2(

)，d2(

)能除盡A2(

)的全部元素.如此下去，A(

)最后就化成了所要求的形式.證畢最后化成的這個(gè)矩陣稱為A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形.第28頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

用初等變換把下列

-矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形.第29頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天行列式因子在上一段，我們討論了

-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其主要結(jié)論是：任何

-矩陣都能化成標(biāo)準(zhǔn)形.但是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是否唯一呢？答案是肯定的.為了證明唯一性，要引入矩陣的行列式因子的概念.3.行列式因子與不變因子不變因子第30頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)

-矩陣

A(

)的秩為

r

，對(duì)于正整數(shù)k，1

k

r

，A(

)中必有非零的

k

級(jí)子式.A(

)中全部

k

級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為

1的最大公因式Dk(

)稱為A(

)的

k

級(jí)行列式因子.由定義可知，對(duì)于秩為

r

的

-矩陣，行列式因子一共有

r

個(gè).行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的.行列式因子第31頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)定理3

等價(jià)的

-矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)行列式因子.證明我們只要證明，

-矩陣經(jīng)過(guò)一次初等行變換，秩與行列式因子是不變的.設(shè)

-矩陣A(

)經(jīng)過(guò)一次初等行變換變成B(

),f(

)與g(

)分別是A(

)與B(

)的k

級(jí)行列式因子.我們證明f(

)=g(

).下面分三種情形討論.第32頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天1)

A(

)

經(jīng)初等行變換(1)變成B(

).這時(shí)B(

)的每個(gè)k

級(jí)子式或者等于A(

)的某個(gè)k

級(jí)子式,者與A(

)的某一個(gè)k

級(jí)子式反號(hào),因此f(

)是B(

)的k

級(jí)子式的公因式，從而f(

)|g(

).2)

A(

)

經(jīng)初等行變換(2)變成B(

).

這時(shí)B(

)的每個(gè)k

級(jí)子式或者等于A(

)的某個(gè)k

級(jí)子式,者等于A(

)的某一個(gè)k

級(jí)子的c

倍,因此f(

)是B(

)的k

級(jí)子式的公因式，從而f(

)|g(

).或或第33頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天3)

A(

)

經(jīng)初等行變換(3)變成B(

).這時(shí)B(

)中那些包含i

行與j

行的k

級(jí)子式和那些不包含i

行的k

級(jí)子式都等于A(

)

中對(duì)應(yīng)的k

級(jí)子式；B(

)中那些包含i

行但不包含j

行的k

級(jí)子式，按i

行分成兩部分，而等于A(

)

的一個(gè)

k

級(jí)子式與另一個(gè)k

級(jí)子式的

(

)倍的和，也就是A(

)

的兩個(gè)k級(jí)子式的組合.因此f(

)是B(

)的k

級(jí)子式的公因式，從而f(

)|g(

).第34頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于列變換，可以完全一樣地討論.總之，如果A(

)

經(jīng)一次初等變換變成B(

)，那么f(

)|g(

).但由于初等變換是可逆的，B(

)也可以經(jīng)一次初等變換變成A(

).由上討論，同樣應(yīng)有g(shù)(

)|f(

).于是f(

)=g(

).當(dāng)A(

)

的全部k

級(jí)子式為零時(shí)，B(

)的全部k

級(jí)子式也就為零；反之亦然.因此，A(

)與B(

)既有相同的各級(jí)行列式因子，又有相同的秩.證畢第35頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性標(biāo)準(zhǔn)形的行列式因子設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為其中

d1(

),d2(

),…,dr(

)是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且

di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,r-1).不難證明,第36頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天在這種形式的矩陣中，如果一個(gè)

k

級(jí)子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同，那么這個(gè)

k

級(jí)子式一定為零.因此，為了計(jì)算

k

級(jí)行列式因子，只要看由i1,i2,…,ik

行與

i1,i2,…,ik列

(1

i1

i2

…

ik

r)組成的

k級(jí)子式就行了，而這個(gè)k

級(jí)子式等于顯然，這種

k級(jí)子式的最大公因式就是第37頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4

-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.證明設(shè)(1)是

A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形.由于A(

)與

(1)等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此，A(

)的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素的個(gè)數(shù)

r;A(

)的

k

級(jí)行列式因子就是第38頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是(3)這說(shuō)明

A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形

(1)的主對(duì)角線上的元素是被A(

)的行列式因子所唯一確定的，所以

A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.證畢第39頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天不變因子定義

標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素d1(

),d2(

),…,dr(

)稱為

-矩陣

A(

)的不變因子.性質(zhì)定理5

兩個(gè)

-矩陣等價(jià)的充分必要條件是

它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.第40頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明等式（2）與（3）給出了

-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系.這個(gè)關(guān)系式說(shuō)明行列式因子與不變因子是相互確定的.因此，說(shuō)兩個(gè)矩陣有相同的各級(jí)行列式因子，就等于說(shuō)它們有相同的各級(jí)不變因子.必要性已由定理3證明。充分性是很明顯的.因?yàn)槿?/p>

-矩陣A(

)與B(

)有相同的不變因子，則

A(

)與

B(

)和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，因而它們也等價(jià).證畢第41頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

試求下列矩陣的不變因子:第42頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天第43頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義現(xiàn)在我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域C.上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量.為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入初等因子。把矩陣

A

(或線性變換A)的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)稱為矩陣

A(或線性變換

A)的初等因子.4.初等因子第44頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如設(shè)12級(jí)矩陣的不變因子是(

-1)2(

+1)(

2+1)2.1,1,…,1,(

-1)2,(

-1)2(

+1),9個(gè)按定義，它的初等因子有

7個(gè)，即(

-1)2,(

-1)2,(

-1)2,(

+1),(

+1),(

-i)2,(

+i)2.其中

(

-1)2

出現(xiàn)三次，

+1出現(xiàn)二次.第45頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天不變因子與初等因子的關(guān)系首先，假設(shè)

n

級(jí)矩陣

A

的不變因子d1(

),d2(

),…,dn(

)為已知.將

di(

)(i=1,2,…,n)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：第46頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天則其中對(duì)應(yīng)于

kij

1的那些方冪就是

A

的全部初等因子.我們注意到不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即

di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,n-1),從而第47頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此在

d1(

),d2(

),…,dn(

)的分解式中，屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即k1j

k2j

…knj

(j=1,2,…,r).這說(shuō)明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中方次最高的必定出現(xiàn)在

dn(

)的分解式中，方次次高的必定出現(xiàn)在

dn-1(

)的分解式中.如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第48頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法.設(shè)一個(gè)

n

級(jí)矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個(gè)一次因式

(-j)(j=1,2,…,r)的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足

n

時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使得湊成

n

個(gè).設(shè)所得排列為第49頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是令則

d1(

),d2(

),…,dn(

)就是

A的不變因子.這也說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似.反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子.第50頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天綜上所述，即得：定理8

兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條是它們有相同的初等因子.初等因子的求法初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些.第51頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天在介紹直接求初等因子的方法之前，先來(lái)說(shuō)明關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)：如果多項(xiàng)式

f1(

)，f2(

)都與

g1(

)，g2(

)互素，則(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=(f1(

),f2(

))

(g1(

),g2(

)).事實(shí)上，令(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=d(

),(f1(

),f2(

))=d1(

),(g1(

),g2(

))=d2(

).顯然，d1(

)|d(

),d2(

)|d(

).由于

(f1(

),g1(

))=1,故(d1(

),d2(

))=1，因而d1(

)d2(

)|d(

).第52頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天另一方面，由于d(

)|f1(

)g1(

),可令d(

)=f(

)g(

),其中

f(

)|f1(

),g(

)|g1(

).由于(f1(

),g2(

))=1,故

(f

(

),g2(

))=1.由

f(

)|f2(

)g2(

)又得

f(

)|f2(

)，因而f(

)|d1(

).同理

g(

)|d2(

).所以d(

)|d1(

)d2(

).于是d(

)=d1(

)d2(

).證畢第53頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天引理設(shè)如果多項(xiàng)式

f1(

)，f2(

)都與

g1(

)，g2(

)互素，則A(

)和

B(

)等價(jià).第54頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子.定理9

首先用初等變換化特征矩陣

E-A

為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)就是

A

的全部初等因子.則所有這些一次因第55頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明設(shè)

E-A

已用初等變換化為對(duì)角形其中每個(gè)

hi(

)的最高項(xiàng)系數(shù)都為

1.將

hi(

)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：第56頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪在

D(

)的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的新對(duì)角矩陣

D

(

)與

D(

)等價(jià).此時(shí)

D

(

)就是

E-A的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為1的就是

A

的全部初等因子.第57頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天為方便起見(jiàn)，先對(duì)

-

1

的方冪進(jìn)行討論.令于是而且每個(gè)都與

gj(

)(j=1,2,…,n)互素.如果有相鄰的一對(duì)指數(shù)

ki1>ki+1,1,則在

D(

)中將與對(duì)調(diào)位置，而其余因式保持不動(dòng).根據(jù)第58頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天與等價(jià).從而

D(

)與對(duì)角矩陣第59頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天等價(jià).然后對(duì)

D1(

)作如上的討論.如此繼續(xù)進(jìn)行直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含

-

1的方冪是按遞升冪次排列為止.依次對(duì)

-

2,…,

-

r作同樣處理，最后便得到與

D(

)等價(jià)的對(duì)角矩陣D

(

)，它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪，都是按遞升冪次排列的.證明第60頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5

已知

-矩陣

A(

)的初等因子，秩

r

與階數(shù)

n

，求

A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形.第61頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)解把

A(

)的初等因子令第62頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則

d1(

),d2(

),d3(

),d4(

)是

A(

)的不變因子.

以

A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形為第63頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)解把

A(

)的初等因子按降冪排成如下兩行，每行3個(gè)因子(因

A(

)的秩令等于

3):第64頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則

d1(

),d2(

),d3(

)是

A(

)的不變因子.

所以A(

)的標(biāo)準(zhǔn)形為第65頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6

求下列矩陣的不變因子，行列式因子與初等因子第66頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)解把

E-A

化為標(biāo)準(zhǔn)形初等變換所以不變因子為行列式因子為初等因子為第67頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)解把

E-B

化為標(biāo)準(zhǔn)形初等變換所以不變因子為行列式因子為初等因子為第68頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在定理任何方陣A均可通過(guò)某一相似變換化為如下Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：其中

稱為Jordan塊矩陣。為A的特征值，可以是多重的。

第69頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：（1）

2階以上Jordan塊矩陣一定不能對(duì)角化；中的特征值全為，但是對(duì)于不同的i和j有可能，即多重特征值可能對(duì)應(yīng)多個(gè)Jordan塊矩陣。

（4）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，這種唯一性是指：各Jordan塊矩陣的階數(shù)和對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的，但是各Jordan塊矩陣的位置可以變化。

（3）對(duì)于特征值的階數(shù)整除它的代數(shù)重?cái)?shù)。（5）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中各Jordan塊矩陣的階數(shù)均為1時(shí)，即為對(duì)角形矩陣。第70頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Jordan矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。惟一性：Jordan子塊的集合惟一。A相似于B

JA相似于JB元素的結(jié)構(gòu)Jordan矩陣是上三角矩陣對(duì)角矩陣是Jordan矩陣第71頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法方法一特征向量法P9-10注：1.屬于某一個(gè)特征值的若當(dāng)塊個(gè)數(shù)由它的幾何維數(shù)確定。2.該方法只適用于階數(shù)較低的矩陣第72頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7

求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。1的幾何維數(shù)是1，故它對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。2的幾何維數(shù)是2，故它對(duì)應(yīng)兩個(gè)若當(dāng)塊。第73頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法二初等因子法（1）求出特征多項(xiàng)式的初等因子組，設(shè)為（2）寫(xiě)出各Jordan塊矩陣（一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)Jordan塊矩陣）

（3）合成Jordan矩陣：第74頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8

求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。由例6A初等因子為：B初等因子為：第75頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法三行列式因子法（1）求λE-A的各階行列式因子

（2）求λE-A的各階不變因子

（3）求λE-A的初等因子，確定Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

第76頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9

求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。第77頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1-4行與第1、2、4、5列交叉的元素形成的四階子式為第78頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1、2、3、5行與1、3、4、5列交叉的元素形成的四階子式為第79頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束這兩個(gè)子式的公因式為1，故第80頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1-5行與第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五階子式為第81頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1、2、3、5、6行與第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五階子式為第82頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其它五階子式均含因式，故

特征值行列式為，從而有初等因子組為第83頁(yè),共98頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束相應(yīng)的Jordan塊為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為第84頁(yè),共98頁(yè)