2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)（全國通用）：考點(diǎn)22 菱形及其綜合（解析版）

考點(diǎn)22菱形及其綜合

g命題趨勢

菱形作為特殊平行四邊形中的一個，在中考數(shù)學(xué)中的重要性不用多說，而且因?yàn)槠湫?/p>

質(zhì)的特殊性，菱形也常和其他幾何考點(diǎn)結(jié)合出題。菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、

填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，綜合題中也常單獨(dú)或者結(jié)合出題等方式以壓軸題出現(xiàn)，難

度也較大。所以考生在這塊知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)上，除了熟悉菱形的常見性質(zhì)和判定外，還需特

別注意其應(yīng)用以及牽涉到的思想方法。

在知”導(dǎo)圖

四條邊都相等，對邊平行

對角相等，鄰角互補(bǔ)

對角線互相平分且互相垂直

一條對角線平分一組對角

菱形從平行四邊形證明（3種）

判定

從普通四邊形證明（2種）

菱形可轉(zhuǎn)化為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形解決問題

思想方法菱形的面積的2種方法以及延伸

菱形是特殊的平行四邊形，所以自帶平行，常和"知2得1"模型結(jié)合

t

0重基考向

一、菱形的性質(zhì)

二、菱形的判定

三、菱形與其他幾何圖形的結(jié)合

考向一：菱形的性質(zhì)

菱形的四條邊都相等

菱形的對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角

菱形的菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

性質(zhì)菱形的面積等于對角線乘積的一半

共例引點(diǎn)

----▲

1.如圖，菱形A8C。的對角線交于原點(diǎn)0,若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,機(jī)），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃，2）,則小+〃的

值為（）

A.2B.-2C.6D.-6

【分析】根據(jù)題意可知，原點(diǎn)為對角線8。的中點(diǎn)，然后即可求得切、〃的值，從而可以求得，"+〃的值.

【解答】解：???菱形A8C。的對角線交于原點(diǎn)0,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,機(jī)），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃，2）,

.?皿=0,迎=0,

22

解得”=-4,in=-2,

.,.m+n=-2+（-4）=-6,

故選：D.

2.如圖，四邊形A8CQ是菱形，對角線4C、80相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,連接0”，ACAD

=20°,則/QH。的度數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=OB,AB//CD,BDLAC,則利用得至UDHLCD,ZDHB

=90°,所以。，為RtADHB的斜邊DB上的中線，得到OH=OD=OH,利用等腰三角形的性質(zhì)得N1

=ZDHO,然后利用等角的余角相等即可求出NQ//O的度數(shù)

【解答】解：：四邊形43CO是菱形，

AOD=OB,AB//CD,BDLAC,

'：DHLAB,

：.DH±CD,ZDHB=90°,

OH為Rt/XDHB的斜邊QB上的中線,

：.OH=OD=OB,

：.N\=NDHO,

,：DH1CD,

.,.Zl+Z2=90°,

\"BDLAC,

.*./2+/DCO=90°,

/.Z1=ZDCO,

：.ZDHO=ZDCA,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.DA=DC,

：.ZCAD^ZDCA=200,

：.ZDHO=20°,

故選：A.

3.如圖，菱形ABC。中，E是邊AB的中點(diǎn)，尸是邊AO上一點(diǎn)，連接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,

則CE的值為（）

A.4B.5C.6D.空

4

【分析】延長尸E交C8的延長線丁點(diǎn)M,結(jié)合菱形的性質(zhì)，證明出△AEFN4BEM,再根據(jù)條件中線段

與線段之間的關(guān)系求出，RC=AB=2AE=6,MC=8,得到』殳』旦，再證明出即可求

MEMC

解.

【解答】解：延長FE交C5的延長線于點(diǎn)M,

?.?四邊形A8C。是菱形，

：.AD//BC,AB=BC,

：.NAFE=NM,

：.ZA=ZEBM,

是A8的中點(diǎn),

：.AE=BE,

在△AEF與中，

"ZA=ZEBM

，ZAEF=ZBEM?

AE=BE

:.AAEF冬ABEM(A4S),

：.ME=EF,MB=AF,

'：AE=3,EF=2AF=4,

；.ME=4,MB=2,BE=3,

：.BC=AB=2AE=6,

；.MC=8,

?MBM=IJL

"ME"7"7"而節(jié)節(jié)

?MB_ME

"ME"MC'

又；NEMB=NCME,

：.AMEBsAMCE,

-BE_MB,1

'?而/w

又,：BE=3,

:.EC=6,

故選：C.

4.如圖，在菱形A8C￡＞中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,BD=16,AC=12,￡是8c的中點(diǎn)，連接OE,

則OE的長為5

D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出4O=OC=」YC=6,BO=DO^1BD=8,ACLBD,根據(jù)勾股定理求出

22

BC,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出0E即可.

【解答】解：?..四邊形ABGD是菱形，AC=12,80=16,

：.AO=OC=1AC=6,B0=D0=工BD=8,AC±BD,

22

/.ZCOB=90°,

由勾股定理得：BC=Vc02+B02=^62+82=101

為BC的中點(diǎn),

：.OE=^BC^5,

2

故答案為：5.

5.如圖，在由相同的菱形組成的網(wǎng)格中，NABC=60°,小菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知點(diǎn)A,B,C,D,E

都在格點(diǎn)上，連接BD,BE,tanZEBD的值為_返_.

【分析】連接AC,設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為。，則A8=8C=3“，證明△A8C為等邊三角形，△A8C為等邊

三角形，得出AC=3a,求出E0=A0-AEh^a，根據(jù)勾股定理求出BOWAB2-AO21a，求出

1

E0_2a正即可.

tanZEBD

"B0-3-73-9

22

【解答】解：連接AC,如圖所示:

設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為“，則AB=BC=3a,

..?此圖為相同的菱形組成的網(wǎng)格，

二四邊形為菱形，E在AC上，

AO=yAC'

"：AB=BC,NA8c=60°,

...△A8c為等邊三角形，

.,.AC=3a,

.13

,?AO^-AC=ya'

VZABC=60°,

/.ZAFE=6Oa,

'：AF=EF,

.?.△AEF為等邊三角形，

.".AE=AF—a,

EO=AO-AE=^a,

根據(jù)勾股定理得：B0=VAB2-A02=^a-

1

.EQ~2aV3

..tan/EBDR臼1

-9

n-a

故答案為：近.

9

6.如圖，在菱形A8CO中，對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交BA所在直

線于點(diǎn)M、N,分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于』的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P,連接。P交BA

2

延長線于點(diǎn)E,連接OE,若AB=?),OE=娓,則OE的長為匝

-3―

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC_L8O,OB=OD,AB=AD=?由作圖過程可知：DEA.BE,根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得8。=2遙，然后利用勾股定理列出方程求出AE,進(jìn)而可以

解決問題.

【解答】解：在菱形ABC。中，AC1BD,OB=OD,AB=AD=遍,

由作圖過程可知：DEA.BE,

OE=OB=OD=Q

:.BD=2疾,

在RtAADE和Rt/XBDE中，根據(jù)勾股定理得：

DE1=Ab1-AEr,DE^^BD2-BE1,

：.(V6)2-A￡；2=(25/5)2-(a+AE)2,

：.AE=^B-

3

."￡2=&,

3

.'.DE^^AD1-AE2=6-&=12,

33

.\DE=^^-.

3

故答案為：畫.

3

7.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。交于點(diǎn)O,AB=\0,AC=12.

(1)求8。的長；

(2)求sin/ABC的值.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得ACJ_8￡>,0A=LC=6,BD=20B,再由勾股定理得08=8,即可得出

2

結(jié)論；

（2）過點(diǎn)A作4ELBC于點(diǎn)E,由菱形的面積求出AE=壁，再由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論.

5

【解答】解：（1）I?四邊形A8C力是菱形，AC=12,

J.ACLBD,0A=LC=6,80=203,

2

在RtZXAOB中，由勾股定理得：OB={AB2_0A2={]O2_62=8,

.?.8/)=208=16；

(2)如圖，過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E,

:四邊形4BC。是菱形，AC=12,BD^16,

：./iC=AB=10,ACVBD,

：.S^ABCD=BC*AE=1AC-BD^1X12X\(>=96,

22

."“的=型，

105

48

在RtZ\ABE中，sin/A8C=±^=_i_=2i.

AB1025

8.如圖，在菱形ABC。中，BE_LCO于點(diǎn)E,DFJLBC于點(diǎn)、F.

(1)求證：BF=DE；

(2)分別延長BE、AO交于點(diǎn)G,若NA=45°,AB=1O,求線段OG的長.

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可知OC=BC,再根據(jù)N8EC=NDFC=90°,ZC=ZC,可證得△BEC

絲△￡>"?,則有EC=FC,問題得解；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及/A=45°可證得△A8G是等腰直角三角形,再由勾股定理可求出AG=1SV歷，

從而可求出答案.

【解答】(1)證明：?.?四邊形A8CD是菱形，

：.CB=CD.

'：BE±CD于點(diǎn)E,DFLBC于點(diǎn)F,

：.ZBEC=ZDFC=90a.

在△BEC與△OR7中，

，ZBEC=ZDFC

■ZC=ZC，

BC=CD

:.ABEC絲叢DFCCAAS),

：.EC=FC,

：.BC-€F=CD-€C,BPBF=DEx

(2)解：?.?四邊形ABC。是菱形,

J.AB//CD,A￡>=AB=10,

；.NABG=NBEC=90°.

VZA=45°,

.../G=NA=45°,

：.AB=BG^IO,

...△A8G是等腰直角三角形，

/.AG=V2AB=1OV2.

.?.OG=AG7￡>=10V2-10.

考向二：菱形的判定

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

菱形的對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

判定四條邊相等的四邊形是菱形

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

1.下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）

A.對角線垂直B.兩對角線相等

C.兩對線互相平分D.兩對角線互相垂直平分

【分析】由菱形的判定和平行四邊形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、：對角線垂直的四邊形不一定是菱形，

選項(xiàng)A不符合題意；

B、?.?兩條對角線相等的四邊形不是菱形，

選項(xiàng)8不符合題意；

C、：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

二選項(xiàng)C不符合題意；

?兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

2.如圖，在口ABC3中，。為AC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)。的直線交于E交BC于F,連接AF、CE,下列選

項(xiàng)可以使四邊形AFCE是菱形的為（）

A.OE=OFB.AE=CFC.EFA.ACD.EF=AC

【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及矩形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、為AC的中點(diǎn)，

.'.OA=OC,

'：OE=OF,

四邊形AFCE是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、四邊形A8CD是平行四邊形，

J.AD//BC,

'：AE=CF,

四邊形AFCE是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO,

為AC的中點(diǎn)，

：.OA=OC,

在△AOE和△CO尸中,

，ZAEO=ZCFO

<ZAOE=ZCOF-

OA=OC口

：.AAOE^ACOF(AAS),.一///

：.OE=OF,

(7)

四邊形AFCE是平行四邊形，

"：EF1AC,

二平行四邊形A尸CE是菱形，故選項(xiàng)C符合題意；

D、'：EF=AC,

二平行四邊形AFCE是矩形，故選項(xiàng)O不符合題意；

故選：C.

3.如圖由12根完全相同的小棒拼接而成(圖中所有的銳角與鈍角互補(bǔ))，請你再添4根與前面完全相同的

小棒，使拼接后的圖形恰好有5個菱形，不同的添法共有()

A.5種B.6種C.7種D.8種

【分析】由題意畫出圖形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：將各種情況畫出的圖形如下：

4.如圖，在RtZ\4BF中，ZBAF=90Q,/3=30°,將RtZ\A8F沿著BE方向平移到RtZ\OEC的位置,

此時點(diǎn)E恰為邊BF的中點(diǎn)，若AE=2,則四邊形AEFD的面積為，代

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，AD//BE,AD=BE,再利用線段中點(diǎn)可得BE=EF,從而可得AO=EF,進(jìn)而

可得四邊形AEFD是平行四邊形，然后利用宜角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AE=EF,從而可得四邊

形AEF。是菱形，進(jìn)而可得四邊形的面積=2Z\AEF的面積，最后利用含30度角的直角三角形的

性質(zhì)可得f=2,43=百AF=2我，從而求出△A8F的面積，即可解答.

2

【解答】解：由平移得：

AD//BE,AD=BE,

:點(diǎn)E為邊8F的中點(diǎn)，

:.BE=EF,

：.AD=EF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

,：ZBAF=90°,

：.AE=EF=kBF,

2

四邊形是菱形，

二四邊形AEFD的面積=2Z\4EF的面積，

'：AE=2,

：.BF=2AE=4,

VZB=30°,

：.AF=^BF=2,AB=MAF=2M，

2

.?.△ABF的面積禽*2=2禽，

22

■:/\ABF的面積=24AE尸的面積，

...四邊形AEFD的面=的面積=2e；

故答案為：2百.

5.如圖，平行四邊形ABCQ中，對角線AC,8。交于點(diǎn)。，BD=2AD,E,F,G分別是OC,OD,AB的

中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是①②③.（填序號）

?EG=EF；②叢EFG”XGBE：③E4平分NGE尸；④尸8平分NEFG；⑤四邊形8EFG是菱形.

1

E

B

【分析】由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出E尸〃CD,且工CO=8G,結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由80=28c

2

得出B0=8C,即而得出BE_LAC,由中線的性質(zhì)可知GP〃8E,ftGP=^BE,AO=EO,通過證AAPG

2

絲Z\EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再證AGPE絲得出③成立，此題得解.

【解答】解：令G尸和AC的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，如圖所示：

，：E、尸分別是0C、。。的中點(diǎn)，

：.EF//CD,且EF=4C￡>,

2

；四邊形ABCD為平行四邊形，

J.AB//CD,且AB=CQ,

.../FEG=NBGE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

?.?點(diǎn)G為48的中點(diǎn)，

：.BG=^AB=^CD=FE,

22

在△EFG和△G8E中，

BG=FE

<ZFEG=ZBGE>

GE=EG

/.△fFG^AGBE（SAS）,即②成立，

:.NEGF=NGEB,

...GF〃BE（內(nèi)錯角相等,兩直線平行），

?：BD=2BC,點(diǎn)0為平行四邊形對角線交點(diǎn)，

;.BO=LBD=BC,

2

為0C中點(diǎn)，

：.BE10C,

：.GP±AC,

：.NAPG=NEPG=90°

\'GP//BE,G為AB中點(diǎn),

.?.P為AE中點(diǎn)，

BPAP=PE,且GP=JLBE,

2

在△APG和△EGP中,

'AP=EP

,ZAPG=ZEPG，

GP=GP

.?.△APG絲ZXEPG(SAS),

：.AG=EG=^AB,

2

：.EG=EF,即①成立，

?：EF//BG,GF//BE,

四邊形3GFE為平行四邊形,

：.GF=BE,

'：GP=^BE=1.GF,

22

：.GP=FP,

'：GF±AC,

:.NGPE=/FPE=9Q°

在aGPE和△FPE中，

'GP=FP

<ZGPE=ZFPE，

EP=EP

:.△GPE"XFPE(SAS),

/GEP=NFEP,

：.EA平分NGEF,即③成立.

故答案為：①②③.

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F在BD上,且BE=DF.

(1)求證：/XACF絲△CBE；

(2)不添加輔助線，請你補(bǔ)充一個條件，使得四邊形AECF是菱形;并給予證明.

B

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)知，AD=BC,AD//BC,得到NAQF=NCBE,又有BE=DF,故由

SAS證得△ADF絲△CBE；

(2)平行四邊形的性質(zhì)知，AO=CO,BO=DO,由BE=DF可求得OE=OF,根據(jù)平行四邊形的判定

得到四邊形AEC尸是平行四邊形，由ACLE尸可得平行四邊形AECF是菱形.

【解答】(1)解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.NADF=NCBE,

在△AO尸和△C8E中，

'AD=CB

,ZADF=ZCBE-

DF=BE

:.△ADFWACBE(SAS')；

(2)解：補(bǔ)充的條件是：ACA.BD.

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

OE=OF,

四邊形A￡CF是平行四邊形，

又；AC_LM,

四邊形AECF是菱形.

7.如圖，平行四邊形ABCO的對角線AC、BO交于點(diǎn)0,E為0C中點(diǎn)，過點(diǎn)。作0月〃8c交BE的延長

線于H,連接C”與。H.

(1)求證：△BCE絲△H0E；

(2)當(dāng)四邊形ABC。是怎樣的特殊四邊形時，四邊形OCH。為菱形？請說明理由.

【分析】(1)由ASA證明△BCE絲△〃0￡即可；

(2)先證四邊形BCHO是平行四邊形，得CH=OB,CH//OB,再證四邊形OCHO是平行四邊形，然

后由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：

NBCE=/HOE,

是0C的中點(diǎn)，

：.CE=OE,

在△8CE和△HOE中，

<ZBCE=ZH0E

.CE=OE，

ZBEC=ZHE0

：./\BCE^/\HOE(ASA)；

(2)解：當(dāng)四邊形4?CD是矩形時，四邊形OCH0為菱形，理由如下:

由(1)可知，ABCE絲AHOE,

：.BE=HE,

■：CE=OE,

：.四邊形BCHO是平行四邊形，

：.CH=OB,CH//OB,

???四邊形ABC￡>是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

：.CH=OD,OC=OD,

：.四邊形OCHD是平行四邊形，

5L'：OC=OD,

???平行四邊形OC”。是菱形.

8.如圖，正五邊形ABCQE的兩條對角線AC,BE相交于點(diǎn)F.

(1)求/用E的度數(shù)；

(2)求證：四邊形CDEF為菱形.

【分析】(1)利用正五邊形的性質(zhì)求出NB4E及乙48E度數(shù)，得出/H4F=/8CA=36°,最后求出/

初E的度數(shù)；

(2)根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證.

【解答】(1)解：???正五邊形A8C0E.

:.AB=AE=DE=CD,ZBAE=180°-^7-=108°，

D

???NABE=NAEB280°jBAE=18。。；。8。⑶。

同理：ZBAF=ZBCA=36°,

AZFAE=ZBAE-ZBAF=108°-36°=72°.

(2)證明：VZME=72°,

/.Z/4FE=18O°-72°-36°=72°,

：.AE=EF,同理8C=CF,

：.EF=CF=DE=CD,

四邊形CZJEF為菱形.

考向三：菱形與幾何圖形的結(jié)合

菱形與面積菱形的面積等于對角線乘積的一半，延伸至其他四邊形一一對角線互相垂直的四邊形的面

積=對角線乘積的一半

菱形與等腰三菱形的任一條對角線將菱形分成兩個等腰三角形

角形

菱形與等邊三當(dāng)菱形中有一個60°角或者120°角時，連結(jié)較短的對角線，可以將菱形分成2個等邊三

角形角形

菱形與直角三菱形的兩條對角線可以將菱形分成4個全等的直角三角形，在中點(diǎn)問題中，常和中位線、

角形直角三角形斜邊上的中線等性質(zhì)結(jié)合考察

1.如圖，在aABCD中，AB=8C=5.對角線8。=8,則的面積為（）

A.20B.24C.40D.48

【分析】連接AC交B￡＞于。，判定四邊形ABCD是菱形，即可得出AC_LBD,再根據(jù)勾股定理即可得到

AO的長，最后利用菱形A2CD的面積為/BDXAC進(jìn)行計(jì)算即可?

【解答】解：如圖所示，連接4c交8。于0,

在。A8CZ)中，AB=BC=5,

四邊形48c。是菱形，

：.ACLBD,

又?.,對角線BQ=8,

：.BO=4,

在RtAAOB中，AO={AB2_B02=^52-42=3，

；.AC=2AO=6,

菱形488的面積為/BDXAC="x8X6=24.

故選：B.

2.如圖，在aABC中，AB=AC,分別以C、B為圓心取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)￡>.連接B。、

AD.若NAB￡>=130°,則/CA￡>=25°.

【分析】首先根據(jù)作圖得出四邊形A3OC是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：連接8,如圖.

???分別以C、B為圓心取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)/),

：.BD=CD=AB,

'：AB=AC,

:.AB=BD=CD=AC,

...四邊形48DC是菱形，

J.BD//AC,ZCAD^l.ZBAC,

2

AZBAC=1800-ZABD=180°-130°=50°,

：.ZCAD=25Q.

故答案為：25°.

3.兩張全等的矩形紙片A8CZ）,AECF按如圖所示的方式交叉疊放，AB=AF,AE=BC.AE與8c交于點(diǎn)

G,AO與CF交于點(diǎn)H,且NAG8=30°,AB=2,則四邊形AGCH的周長為（)

A.4B.8C.12D.16

【分析】先證明四邊形AGCH是平行四邊形，然后證明A"=AG,證得四邊形AGCH是菱形，再求出

AG即可解答.

【解答】解：???四邊形4BCO和四邊形AEC戶是矩形，

J.AD//BC,AE//CF,NB=NF=90°,

四邊形AGCH是平行四邊形，

/AG8=ZGCH=NAHF,

在△AF”和△AG8中，

，ZAGB=ZAHF

<ZB=ZF.

AB=AF

:.△AFgXNGB(AAS),

：.AH=AG,

???平行四邊形AGCH是菱形，

：.AG=GC^CH=HA,

VZAGB=30°,AB=2,

：.AB=4,

二四邊形AGC”的周長為4X4=16.

故選：D.

4.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC與相交于點(diǎn)0,NABC=60°,點(diǎn)E,尸分別是8C,C￡＞的中

點(diǎn)，分別與AE,AF相交于點(diǎn)M,N,連接OE,OF,下列結(jié)論：（1）ZSAE尸是等邊三角形；（2）四

邊形CEOF是菱形；（3）OF±AE；（4）BM=MN=ND.其中正確的結(jié)論有（）

aD

BEC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由菱形的性質(zhì)得出AABC、△AOC是等邊三角形，得出AE=08,AF=OD,得出AE=AR再

證明EF是△BCO的中位線，得出EF=^BD=OB,得出AE=AF=EF,得出（1）正確；由直角三角形

2

斜邊上的中線性質(zhì)得出OE=』BC=CE,OF=1CD=CF,得出OE=OF=CE=CF,得出（2）正確；

22

由菱形的性質(zhì)得出OFHBC、再由AE1BC,得出（3）正確；證明AM=BM,同理：AN=ND,再證出

AM=AN,得出（4）正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A8C。是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,ZADC=ZABC=60a,OA=OD=1AC,OB=OD=LBD,ACA.BD,

22

.,.△ABC、△ADC是等邊三角形，

/.OB是等邊三角形ABC的高，

?.?點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

：.AE時等邊三角形ABC的高，

：.AE=OB,

同理：AF^OD,

：.AE=AF,

,:點(diǎn)、E,尸分別是8C,CD的中點(diǎn)，

.?.EF是△BCO的中位線，

:.EF=LBD=OB,EF//BD,

2

：.AE=AF=EF,

即是等邊三角形，

（1）正確；

???點(diǎn)E,F分別是3C,CO的中點(diǎn)，ACA.BD,

：.OE=、BC=CE,OF=1-CD=CF,

22

：.OE=OF=CE^CF,

???四邊形CEOF是菱形,

:.(2)正確；

?.?四邊形CEO尸是菱形,

：.OF//BC,

\'AE±BC,

J.OFYAE,

：.(3)正確；

'：AE.80是等邊三角形ABC的中線，

：.AM=BM,

同理：AN=ND,

是等邊三角形，

：.ZAEF=ZAFE=60°,

'：EF//BD,

：.ZAMN=ZAEF=60Q,ZANM=ZAFE=60°,

，NAMN=NANM=60°,

：.AM=AN,

:.BM=MN=ND,

(4)正確；

正確的結(jié)論有4個，

故選：D.

5.如圖，菱形A8CD中，4C與8。交于點(diǎn)O,CD=2OB,E為C。延長線上一點(diǎn)，使得。E=CD,連結(jié)

BE,分別交AC、A。于點(diǎn)RG,連結(jié)OG,AE,則下列結(jié)論：①NA8C=120°；②OG^AB；③四邊

形ODEG與四邊形OBAG的面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.其中正確的結(jié)論個數(shù)

是()

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,求出BC=DC=BD,根據(jù)等邊三角

形的判定得出△BDC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/2CZ)=60°,求出/ABC=120°,

求出N8AG=NEDG,AB=DE,根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG且ZYDEG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

出AG=QG,BG=GE,求出OG〃AB〃￡)E,OG=^AB,0G到A8之間的距離=0G到。E之間的距離

2

(設(shè)距離為/?)，求出四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等，根據(jù)菱形的判定求出四邊形ABDE是

菱形即可.

【解答】解：???四邊形A8CD是菱形，

：.BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,

'：CD=2OB,

:.BC=DC=BD,

：./\BDC是等邊三角形，

AZBCD=60°,

,JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=1801,,

r.ZABC=120°,故①正確；

'：AB//CD,

：.ZBAG=ZEDG,

；AB=CD,CD=DE,

：.AB=DE,

在△A8G和aOEG中，

，ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE-

AB=DE

/.AAfiG^ADEG(A45),

J.AG=DG,BG=GE,

'：BO=DO,AB//DE,

：.OG//AB//DE,OG=1AH,OG到A8之間的距離=OG到OE之間的距離(設(shè)距離為〃)，

2

；四邊形OOEG的面積(DE+OG)h,四邊形O8AG的面積S'=A(AB+OG)h,AB=DE,

22

四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等，故②正確，③正確;

\'AG=DG,BG=GE,

???四邊形ABCE是平行四邊形，

,:DE=CD=BD,

，四邊形是菱形，故④正確；

即正確的個數(shù)是4,

故選：A.

6.如圖，在平行四邊形ABCO中，D8=D4,點(diǎn)F是A8的中點(diǎn)，連接。尸并延長，交C8的延長線于點(diǎn)E,

連接4E.

（1）求證：四邊形AE8O是菱形.

【分析】（1）由△AFD四△2FE,推出40=BE,可知四邊形AE3￡）是平行四邊形，再根據(jù)可

得結(jié)論；

（2）利用勾股定理求出EF的長即可解決問題；

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//CE,

：.NDAF=NEBF,

:NAFD=NEFB,AF=FB,

:.△AFD9XBFE（ASA）,

：.AD=EB,

'：AD//EB,

???四邊形AEBO是平行四邊形，

\'BD=AD,

四邊形AE2Z）是菱形.

(2)解：1?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.CD=AB^2,

?.?四邊形AE8O是菱形，

：.AE=BD=y[ld，ABIDE,AF=FB=],EF=DF,

?但=八產(chǎn)-〃2=3,

：.DE=9,

：.S^AEBD=^AB'DE=XX2X6=6.

22

1.（2022?河池）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,3。相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.NDAC=/BAC

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷.

【解答】解：：四邊形A5CD是菱形，

：.ZBAC=ZDAC,AB=AD,AC1.BD,

故A、B、。正確，無法得出AC=8C,

故選：C.

2.（2022?河南）如圖，在菱形A8CO中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為CO的中點(diǎn).若。E=3,則

菱形A8C。的周長為（)

AD

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出ACLBO,AB=BC=CD=DA,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半得出8的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?四邊形ABC。為菱形，

：.AC,LBD,AB=BC=CD=DA,

???△COO為直角三角形.

,「OE=3,點(diǎn)E為線段。。的中點(diǎn)，

：.CD=2OE=6.

C菱形ABCD=4CO=4X6=24.

故選：C.

3.（2022?貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則N1的度數(shù)是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【分析】根據(jù)菱形的對邊平行，以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解.

【解答】解：?.?菱形的對邊平行，

???由兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得N1=80°.

故選：C.

4.（2022?甘肅）如圖，菱形48C。中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,若AB=2匹cm,AC=4cm,則BD

的長為8cm.

C

【分析】由菱形的性質(zhì)可得ACLBQ,80=。0,由勾股定理可求B。，即可求解.

【解答】解：?.,四邊形48co是菱形，AC^Acin,

：.ACLBD,BO=DO,A0=C0=2cm,

；48=2遙cm,

7BO=VAB2-AO2=4CW)

???00=30=4。%,

BD=8cm,

故答案為：8.

5.（2022?襄陽）如圖，0ABe。的對角線AC和B。相交于點(diǎn)0,下列說法正確的是（）

A.若0B=0D,貝gABCZ）是菱形

B.若AC=8。，貝』ABC￡＞是菱形

C.若0A=0。，貝iJeABCD是菱形

D.若AC_LB。，則口A8CZ）是菱形

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：4、1?四邊形A8CD是平行四邊形，

：.OB=OD,故選項(xiàng)A不符合題意：

B、:四邊形A8CZ）是平行四邊形，AC=BD,

.?.□ABC。是矩形，故選項(xiàng)8不符合題意；

C、四邊形ABCD是平行四邊形，

:.OA=OC=1AC,OB=OD=1.BD,

22

'：OA=OD,

：.AC=BD,

：.^ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

：四邊形ABC。是平行四邊形，AC1BD,

是菱形，故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

6.（2022?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△OEF,只需添加一個條件即可證明四邊形ABEZ）

是菱形，這個條件可以是（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【分析】由平移的性質(zhì)得AB=DE,則四邊形ABE。是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出

結(jié)論.

【解答】解：這個條件可以是AB=AD,理由如卜：

由平移的性質(zhì)得：AB//DE,AB=DE,

四邊形A8EO是平行四邊形，

又：43A。，

平行四邊形ABED是菱形，

故答案為：AB=AD（答案不唯一）.

7.（2022?天津）如圖，已知菱形ABCQ的邊長為2,ZDAB=6O°,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，AF

與DE相交于點(diǎn)G,則GF的長等于H.

—4—

【分析】如圖，過點(diǎn)尸作FH〃CZ）,交DE于H,過點(diǎn)C作CM，A8,交48的延長線于M,連接F8,

先證明尸〃是△（；￡）￡：的中位線，得FH=1,再證明△AEG四△FHG（/MS）,得AG=FG,在RtZsCBM

中計(jì)算8M和CM的長，再證明8尸是中位線，可得8F的長，山勾股定理可得AF的長，從而得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作/?H〃CD,交DE于H,過點(diǎn)C作CM_LAB,交A8的延長線于M,連接

FB,

?.?四邊形ABC。是菱形,

：.AB=CD=BC=2,AB//CD,

：.FH//AB,

：.ZFHG=NAEG,

；產(chǎn)是CE的中點(diǎn)，F(xiàn)H//CD,

是￡>E的中點(diǎn)，

...F”是△CDE的中位線，

：.FH=^CD=l,

2

是48的中點(diǎn)，

：.AE=BE=\,

：.AE=FH,

"：ZAGE=ZFGH,

:AAEGQ叢FHG(A4S),

：.AG=FG,

'：AD//BC,

；.NCBM=NZMB=60°,

RtZ\C8M中，/BCM=30°,

：.BM=^BC=1,CM=62_]2=百,

:.BE=BM,

是CE的中點(diǎn)，

...F5是△CEM的中位線，

：.BF=1.CM=^-,FB//CM,

22

:.NEBF=NM=90°,

?22=22

RtZXAFB中，由勾股定理得：^/=VAB+BF^2+(y-)2=Vj9_t

:.GF=1AF=>^.

24

故答案為：運(yùn).

4

8.(2022啷爾多斯)如圖，菱形A8CO中，AB=2百，/4BC=60°,矩形BEFG的邊方經(jīng)過點(diǎn)C,且

點(diǎn)G在邊AO上，若8G=4,則BE的長為（)

A_GD

E

A.3B.c.V6D.3

22

【分析】方法一：過點(diǎn)G作GM，8c于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CMLAD于點(diǎn)M由菱形的性質(zhì)得出A8=8C

=CO=2百，AD=BC,/A8C=NO=60°,AD//BC,由直角二角形的性質(zhì)求出MG=3,證明△GBM

s^BCE,由相似三角形的性質(zhì)得出空■空，則可求出答案.

BCBE

方法二：連接CG,求出S菱形ABCD=2百X3=6?，根據(jù)SMCG%s矩形BEF4s菱形皿可求出答案?

【解答】解：過點(diǎn)G作GM,8c于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CNLA。于點(diǎn)M

圖1

；四邊形A8CD為菱形，

：.AB=BC^CD=2yf3,AD=BC,ZABC=ZD=60a,AD//BC,

:.NMGN=90°,

四邊形GMCN為矩形，

:.GM=CN,

在△C￡W中，ZD=60°,CD=2y[3,

.*.CN=CD?sin60°=2?X亨=3,

???MG=3,

??,四邊形BEFG為矩形,

：.ZE=90°,BG//EF,

:.NBCE=NGBM,

又＜NE=NBMG,

:.△GBMsABCE,

?BGGM

"BC"BE"

?4=3

,2V3=BE'

,*

方法二：連接CG,

同方法一求出aBGC的8c上的高為3,

?*?5差形A8CD二2如義3=6如，

??J11

,4"=2S矩形BEFG_2$菱形ABQ

??卷BEX4Vx函，

：.BE=^-U-.

2

故選：B.

9.（2022?甘肅）如圖I,在菱形48co中，ZA=60°,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線4￡>fDC-C8方向勻

速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)3停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x,△APB的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，

則AB的長為（）

A.我B.2MC.3MD.473

【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形A3。為等邊三角形，它的面積為3愿解答即可.

【解答】解：在菱形A