整式乘除與因式分解復(fù)習(xí)講義

整式乘除與因式分解講義一、知識(shí)要點(diǎn)：1.乘方公式：①②③④⑤()2.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法那么：。3.乘法公式：①單多：反過來提公因式計(jì)算化簡(jiǎn)因式分解②多多：=反過來十字相乘計(jì)算化簡(jiǎn)因式分解③平方差：反過來：④完全平方：=反過來：==反過來：=4.把一個(gè)多項(xiàng)式化為的形式，這樣的變形叫因式分解〔或分解因式〕。5.因?yàn)樗?；因?yàn)樗裕?.單項(xiàng)式單項(xiàng)式的法那么：。7.多項(xiàng)式單項(xiàng)式公式：。二、重點(diǎn)題型穩(wěn)固練習(xí)：1．冪的運(yùn)算〔1〕同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加?！瞞、n為正整數(shù)〕例題：〔1〕計(jì)算①=④⑤〔2〕假設(shè)求=.。假設(shè)，那么n=.〔3〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算①②〔4〕，那么?！?〕(2)冪的乘方:冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘?！瞞、n為正整數(shù)〕例題：〔1〕計(jì)算①②③④〔2〕假設(shè)求的值。〔3〕n為正整數(shù)，且求9的值?！?〕計(jì)算①②=〔5〕如果，求n的值?！?〕，，求的值。(3)積的乘方:積的乘方，等于把積中每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘?！瞡為正整數(shù)〕例題：〔1〕計(jì)算①②③④⑤=⑥〔2〕假設(shè)求的值?！?〕比擬與的大小〔4〕P=,那么=〔5〕(4)同底數(shù)冪的除法:同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減?！瞞、n為正整數(shù)，m>n，a〕例題：〔1〕計(jì)算①=②③=④〔2〕那么求?！?〕計(jì)算〔1〕〔4〕2a-3b-4c=4,求的值。2.整式的乘法〔1〕單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘將它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，那么連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式。例題：〔1〕計(jì)算①②③練習(xí)：〔1〕〔2〕先化簡(jiǎn)，在求值，其中a=-1,b=1,c=-1如果單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積為?！?〕單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘將單項(xiàng)式分別乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再將所得的積相加。例題：〔1〕計(jì)算①②〔2〕，那么a=。〔4〕中不含有x的三次項(xiàng)，試確定a的值?！?〕當(dāng)，求代數(shù)式的值。〔7〕解方程：〔8〕解不等式：〔3〕多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加?！瞐+b〕(m+n)=am+bm+an+bn例題：〔1〕計(jì)算①〔2x-3y〕(4x+5y)=②2(2a-5)()=〔2〕化簡(jiǎn)，并計(jì)算當(dāng)時(shí)的值?！?〕如果，那么〔a-5〕(a-6)=?！?〕如果x+q與x+0.2的積中不含有x項(xiàng)，那么q的值為。〔5〕假設(shè)使恒成立，那么a=,b=?！?〕x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比擬x,y的大小。3.乘法公式(1)平方差公式：兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。例題：〔1〕計(jì)算①(4x+5y)(4x-5y)②(-4x-5y)(-4x+5y)③(m+n+p)(m+n-p)④m+n-p)(m-n+p)⑤⑥〔2〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算①103×97②③④112×108〔3〕計(jì)算①〔4〕，x+y=6,求的值。(2)完全平方公式：兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于它們的平方和加上〔或減去〕這兩數(shù)積的2倍。例題1：〔1〕計(jì)算①②③④〔2〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算①②〔3〕填空①②③例題2：〔1〕〔2〕如果是一個(gè)完全平方式，那么k=?！?〕，那么。〔4〕，那么〔5〕那么〔6〕a,b,c為△ABC的三邊，試確定的符號(hào)。4．整式的除法〔1〕單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式中出現(xiàn)的字母，那么連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。例題：〔1〕計(jì)算①②③④〔2〕化簡(jiǎn)〔3〕有四個(gè)單項(xiàng)式：，請(qǐng)你用加減乘除四種運(yùn)算中的一種或幾種，使它們的結(jié)果為，請(qǐng)你寫出算式。〔2〕多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。例題：〔1〕計(jì)算①②③〔2〕化簡(jiǎn)求值，其中x=3,y=1.5?！?〕假設(shè)多項(xiàng)式M與的乘積為，那么M為?！?〕長(zhǎng)方形的面積為，假設(shè)它的一條邊為2x，那么它的周長(zhǎng)是。〔5〕多項(xiàng)式能被整除，且商式為3x+1，求的值。5．因式分解例題：以下各式從左到右屬于因式分解的是()①am+bm-1=m(a+b)-1②③④⑤〔2〕公因式：多項(xiàng)式ma+mb+mc中的每一項(xiàng)都含有一個(gè)相同的因式m，我們稱之為公因式。例題：找出的公因式?！?〕提取公因式法：把公因式提出來，多項(xiàng)式ma+mb+mc就可以分解成兩個(gè)因式m和〔a+b+c〕的乘積，這種因式分解的方法，叫做提取公因式法。例題：〔1〕用提取公因式法分解因式①②③〔2〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算①②13.7×9＋13.7×11－1.37×20③〔3〕如果，那么m的值為。分解因式：=〔4〕當(dāng)，求的值?！?〕公式法：將乘法公式反過來用，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的，這種因式分解的方法成為公式法。例題1：〔1〕用平方差公式分解因式①②〔2〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算①②9.9×10.1③〔1〕分解因式①②例題2：〔1〕用完全平方公式分解因式①②〔2〕用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：①②例題3：〔1〕分解因式①②〔2〕a,b,c是△ABC的三條邊，①判斷的值的正負(fù)。②假設(shè)a,b,c滿足，判斷△ABC的形狀?！?〕十字相乘法：=〔a、b是常數(shù)〕例題：因式分解①②③整式乘除復(fù)習(xí)題練習(xí)一：同底數(shù)冪的乘法1、=___；2、=___；3、=___；4、=_；5、=___；6、=____練習(xí)二：冪的乘方1、=__；2、=__；3、=___；4、,那么____；練習(xí)三：積的乘方1、=___；2、=___；3、=___；4、=___；5、以下計(jì)算結(jié)果正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.6、計(jì)算：〔-8〕3·〔0.125〕4=___；7、：，求的值。8、假設(shè)2m=a,2n=b，求23m+10n的值。練習(xí)四：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式計(jì)算：1、；2、；3、；4、;5、；8、練習(xí)五：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式1、；2、2a2(3a2-5b)；3、；4、5、；6、練習(xí)六：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式1．以下各式中，計(jì)算結(jié)果是的是〔〕ABCD2.計(jì)算：1、；2、3、；4、；練習(xí)七：平方差公式平方差公式為：2、______3、以下運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕ABCD4、以下各式計(jì)算中，結(jié)果正確的選項(xiàng)是〔〕ABCD5、運(yùn)用平方差公式計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕〔8〕；〔9〕；〔10〕〔11〕；〔12〕〔13〕練習(xí)八：完全平方公式1、完全平方公式為：2、以下等式，不成立的是〔〕A.(3a-b)B.(a+b－c)C.(x+D.(x+y)(x－y)(x3、以下式子中是完全平方式的是()A． B．C． D．4、用完全平方公式計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕〔9〕〔10〕〔10〕5、用簡(jiǎn)便方法運(yùn)算：〔1〕〔2〕6._________．7.,．那么____________8.設(shè)是一個(gè)完全平方式，那么=____________9．如果是一個(gè)完全平方式,那么的值為______10.一個(gè)多項(xiàng)式的平方是,那么m2=________________11．|x+2|+y2-2y+1=0,那么x+2y=_______________12.一個(gè)多項(xiàng)式的平方是,那么=()A、B、C、D、13、14、(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求x2＋y2與xy的值15、，求與的值。練習(xí)九：同底數(shù)冪的除法1.；；__；；2.以下計(jì)算中，正確的選項(xiàng)是〔〕A、B、C、D、3．假設(shè)，那么有〔〕A、B、C、D、4.計(jì)算1、；2、；3、；練習(xí)十：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式1.2.以下計(jì)算錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A、B、C、D、3.計(jì)算：1、；2、；3、；4、；5、；6、練習(xí)十一：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算：1、；2、；3、；4、；7、8、練習(xí)十二：整式的混合運(yùn)算1、以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕．A、B、C、D、2、以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕．A．B．C．·=D．3、計(jì)算：〔1〕2xy·x2y-〔x3y2-y2)〔2〕〔3〕〔4〕〔(2x+y)2–(x+y)(y-x)-8x〕÷2x〔5〕2〔6〕練習(xí)十三：1.化簡(jiǎn)，求值：，其中x=-42.化簡(jiǎn)求值：，其中x=.3.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．4.先化簡(jiǎn)，再求值：其中a=-3,b=10.5.先化簡(jiǎn)，再求值：的值，其中6.先化簡(jiǎn)，再求值：其中x=-1,y=.練習(xí)十四：整體代入1.，那么代數(shù)式的值為2.，求代數(shù)式的值.3.，求代數(shù)式的值4.，求的值.5.，求的值6.：．求代數(shù)式的值分解因式復(fù)習(xí)題一、填空：1、假設(shè)是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、與的公因式是____________4、假設(shè)=，那么m=_______，n=_________。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有__________，其結(jié)果是________。6、假設(shè)是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假設(shè)是完全平方式M=_____。10、，11、假設(shè)是完全平方式，那么k=_______。12、假設(shè)的值為0，那么的值是________。13、假設(shè)那么=_____。14、假設(shè)那么___。15、方程，的解是________。二、選擇題：1、多項(xiàng)式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假設(shè)，那么m，k的值分別是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1個(gè)，B、2個(gè)，C、3個(gè)，D、4個(gè)4、計(jì)算的值是〔〕A、B、三、分解因式：1、2、3、4.5、6.7、8、9、a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)10、(x＋1)2－9(x－1)2；11、4a2b2－(a2＋b2－c2)2；12、ab2－ac2＋4ac－4a；13、x2＋4xy＋3y214、－m4＋18m2－17；15、(x2＋x)(x2＋x－1)－2。四、證明(求值)：1．a(chǎn)＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個(gè)完全平方數(shù)．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．a(chǎn)=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．假設(shè)x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．當(dāng)a為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積．7．假設(shè)x，y為任意有理數(shù)，比擬6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．五、代數(shù)式求值1.，，求的值。2.，求的值3.假設(shè)x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值4.計(jì)算：〔1〕0.75〔2〕〔3〕六、利用分解因式計(jì)算1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積?！步Y(jié)果保存兩位有效數(shù)字〕2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。七、分解因式在證明題中的應(yīng)用1.求證：1111－1110－119=119×1092．求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個(gè)完全平方數(shù)．3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．假設(shè)x，y為任意有理數(shù)，比擬6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．6、對(duì)于任意自然數(shù)n，都能被動(dòng)24整除。7.：a、b、c為三角形的三邊，比擬的大小。8.在中，三邊a,b,c滿足求證：9.：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值。10.將11.求證：是6的倍數(shù)?！财渲衝為整數(shù)〕12.假設(shè)x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。13.求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)因式分解經(jīng)典習(xí)題一、填空：1、假設(shè)是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、與的公因式是＿4、假設(shè)=，那么m=_______，n=_________。6、假設(shè)是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假設(shè)是完全平方式M=________。10、，11、假設(shè)是完全平方式，那么k=_______。12、假設(shè)的值為0，那么的值是______