二元一次方程組培優(yōu)提高講義

第頁(yè)二元一次方程組一,知識(shí)點(diǎn)1,二元一次方程：⑴定義：含兩個(gè)未知數(shù)且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是的方程。即同時(shí)滿意以下幾個(gè)條件的方程就是二元一次方程：①含未知數(shù)；②未知項(xiàng)的最高次數(shù)是；③分母不含。⑵使二元一次方程左右兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫二元一次方程的；2,二元一次方程組：⑴同時(shí)滿意以下條件的方程組就是二元一次方程組：①共含兩個(gè)未知數(shù)；②未知項(xiàng)的最高次數(shù)是；③分母不含。⑵同時(shí)使方程都成立的未知數(shù)的值叫二元一次方程組的解。無(wú)論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應(yīng)當(dāng)寫成的形式。⑶二元一次方程組的解法：基本思路是。①消元法：將一個(gè)方程變形為用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②＿＿＿＿消元法：適用于相同未知數(shù)的系數(shù)有相等或互為相反數(shù)的特點(diǎn)的方程組，首先視察出兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)各自的特點(diǎn)，推斷如何運(yùn)用加減消去一個(gè)未知數(shù)；含分母,小數(shù),括號(hào)等的方程組都應(yīng)先化為最簡(jiǎn)形式后再用這兩種方法去解。⑷列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：；關(guān)鍵是找出題目中的兩個(gè)相等關(guān)系，列出方程組。二,例題例1若【類題訓(xùn)練】1．已知是二元一次方程，則=_____=_____2．若=1是關(guān)于的二元一次方程，則=_____；=_____.3．假如是二元一次方程，那么的值是_____例2,已知等式(2A－7B)x+(3A－8B)=8x+10，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求A,B的值。例3,假如方程組無(wú)解，則a為A.6B.－6C.9D.－9例4,已知方程組，試確定的值，使方程組：（1）有一個(gè)解；（2）有無(wú)數(shù)解；（3）沒有解例5,二元一次方程有一個(gè)公共解,則m=______,n=_____;例6,關(guān)于的方程，對(duì)于任何的值都有相同的解，試求它的解。例7,若方程組的解之和：x+y=－5，求k的值，并解此方程組.例8,若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿意，則a的取值范圍為______．例9,若關(guān)于x,y的二元一次方程組的解x,y互為相反數(shù)，求m的值．例10,已知方程組有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)m的值，并解該方程組。例11,若方程組的解是，求方程組的解。例12,假如關(guān)于ｘ,ｙ的二元一次方程組的解是，試解方程組例13,已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的得到方程組的解為乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為若按正確的,b計(jì)算，求原方程組的解．例14,上杭教化服裝廠要生產(chǎn)一批某種型號(hào)的學(xué)生服裝，已知3米長(zhǎng)的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，安排用600米長(zhǎng)的這種布料生產(chǎn)，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？例15,某旅游商品經(jīng)銷店欲購(gòu)進(jìn)A,B兩種紀(jì)念品，若用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品7件，B種紀(jì)念品8件；也可以用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品6件。求A,B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為多少？若該商店每銷售1件A種紀(jì)念品可獲利5元，每銷售1件B種紀(jì)念品可獲利7元，該商店打算用不超過900元購(gòu)進(jìn)A,B兩種紀(jì)念品40件，且這兩種紀(jì)念品全部售出候總獲利不低于216元，問應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)貨，才能使總獲利最大，最大為多少？例16,嘉獎(jiǎng)在演講競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的同學(xué)，班主任派學(xué)習(xí)委員小明為獲獎(jiǎng)同學(xué)買獎(jiǎng)品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，確定獎(jiǎng)品在鋼筆和筆記本中選擇．假如買4個(gè)筆記本和2支鋼筆，則需86元；假如買3個(gè)筆記本和1支鋼筆，則需57元．（1）求購(gòu)買每個(gè)筆記本和鋼筆分別為多少元？（2）售貨員提示，買鋼筆有優(yōu)惠，詳細(xì)方法是：假如買鋼筆超過10支，那么超出部分可以享受8折優(yōu)惠，若買支鋼筆須要花元，請(qǐng)你求出及的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，小明確定買同一種獎(jiǎng)品，數(shù)量超過10個(gè)，請(qǐng)幫小明推斷買哪種獎(jiǎng)品省錢．例17,現(xiàn)有A,B,C三種型號(hào)的產(chǎn)品出售，若售A3件，B7件，C1件，共得315元；若售A4件，B10件，C1件，共得42元。問售出A,B,C各一件共得多少元？例18,為了拉動(dòng)內(nèi)需，廣東啟動(dòng)“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)。某家電公司銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)，啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長(zhǎng)30%,25%，這兩種型號(hào)的冰箱共售出1228臺(tái)。（1）在啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月，銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少臺(tái)？（2）若Ⅰ型冰箱每臺(tái)價(jià)格是2298元，Ⅱ型冰箱每臺(tái)價(jià)格是1999元，依據(jù)“家電下鄉(xiāng)”的有關(guān)政策，政府按每臺(tái)冰箱價(jià)格的13%給購(gòu)買冰箱的農(nóng)戶補(bǔ)貼，問：?jiǎn)?dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的1228臺(tái)Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補(bǔ)貼了多少元（結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字）？例19,為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教化均衡發(fā)展，我市安排對(duì)某縣,兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造．依據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬(wàn)元．改造一所類學(xué)校和兩所類學(xué)校共需資金230萬(wàn)元；改造兩所類學(xué)校和一所類學(xué)校共需資金205萬(wàn)元．（1）改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是多少萬(wàn)元？（2）若該縣的類學(xué)校不超過5所，則類學(xué)校至少有多少所？（3）我市安排今年對(duì)該縣,兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政共同擔(dān)當(dāng)．若今年國(guó)家財(cái)政撥付的改造資金不超過400萬(wàn)元；地方財(cái)政投入的改造資金不少于70萬(wàn)元，其中地方財(cái)政投入到,兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬(wàn)元和15萬(wàn)元．請(qǐng)你通過計(jì)算求出有幾種改造方案？例20,,A,B,C,D,E五人到商店去買東西，每人都花費(fèi)了整數(shù)元，他們一共花了56元。A,B花費(fèi)的差額（即兩人所花錢的差的肯定值，下同）是19元，B,C花費(fèi)的差額是7元，C,D花費(fèi)的差額是5元，D,E花費(fèi)的差額是4元，E,A花費(fèi)的差額是11元。問：E花費(fèi)了幾元？為什么？1,A，B花費(fèi)的差額（即兩人所花的錢的肯定值，下同）是19元，

2,B，C花費(fèi)的差額是7元，那么A,C差距要么26元①，要么12元②

3,C，D花費(fèi)的差額是5元，那么A,D差距要么31元③，21元④，17元⑤，7元⑥

4,D，E花費(fèi)的差額是4元，那么A,E差距要么35元，要么27元，要么17元，要么25元，要么21元，要么13元，要么3元。要么11元

對(duì)應(yīng)題目：5,E，A花費(fèi)的差額是11元

所以有：6,A，B花費(fèi)的差額（即兩人所花的錢的肯定值，下同）是19元；A,C差距12元②；A,D差距7元；E，A花費(fèi)的差額是11元

所以以B為原點(diǎn)畫數(shù)軸，那么A在19,C在7，D在12，E在8

19+7+12+8=46及56差距10元，每人加2元就正好

所以E花費(fèi)了8+2=10元例21,某果品商店進(jìn)行組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元。某天該商店銷售這三種搭配水果共441.2元，其中A水果的銷售額為116元，問C水果的銷售額為多少元？解：如圖，設(shè)該天賣出甲種,乙種,丙種水果分別是x,y,z套．

則由題意得2(2x+3y+2z)=1168.8x+25.6y+21.2z=441.2，

即2x+3y+2z=58

①22x+64y+53z=1103

②

由②-①×11得

31（y+z）=465，即y+z=15

所以，共賣出C水果15千克，C水果的銷售額為15×10=150（元）

答：C水果的銷售額為150元．例22,某人打算裝修一套新宅，若甲,乙兩個(gè)裝修公司合作需6周完成，需工錢5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，需工錢4.8萬(wàn)元。若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開始的角度考慮，該人是選甲公司還是選乙公司？請(qǐng)說明理由。設(shè):甲公司單獨(dú)做X周完成,乙公司單獨(dú)做X周完成

則:6*(1/X+1/Y)=1

4*1/X+9*1/Y=1

解得:X=10周,Y=15周

設(shè):甲公司每周工資A萬(wàn)元,乙公司每周工資B萬(wàn)元

則:6(A+B)=5.2

4A+9B=4.8

解得:A=3/5萬(wàn)元,B=4/15萬(wàn)元

則:甲公司單獨(dú)做需工資:10*3/5=6萬(wàn)元,

乙公司單獨(dú)做需工資:15*4/15=4萬(wàn)元

所以:從節(jié)約資金角度考慮,韋武應(yīng)選乙公司單獨(dú)做.例23,甲,乙分別自A,B兩地同時(shí)相向步行，2小時(shí)后在中途相遇。相遇后，甲,乙步行速度都提高了1千米/小時(shí)。當(dāng)甲到達(dá)B地后馬上按原路向A地反行，當(dāng)乙到達(dá)A地后也馬上按原路向B地反行。甲,乙兩人在第一次相遇后3小時(shí)36分鐘又再次相遇，則A,B兩地的距離是多少千米。設(shè)A的速度為X，B的速度為Y，AB距離就是AB

2X+2Y=AB

3.6(X+1)+3.6(Y+1)=2AB

AB=36例24,某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽前60名獲獎(jiǎng)。原定一等獎(jiǎng)5人，二等獎(jiǎng)15人，三等獎(jiǎng)40人；現(xiàn)調(diào)為一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人，三等獎(jiǎng)30人。調(diào)整后一等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低3分，二等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低2分，三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)降低1分。假如原來(lái)二等獎(jiǎng)比三等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多7分，求調(diào)整后一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)平均分?jǐn)?shù)多幾分？答案是5，過程：

設(shè)原來(lái)一，二，三等獎(jiǎng)的平均分分別是a,b,c

則調(diào)整后分別是a-3,b-2,c-1

要求的是（a-3）-(b-2)=a-b-1

又可知b-c=7，即c=b-7

首先要明確一個(gè)問題，那就是不論獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)是否調(diào)整前60名的總分是不變的，故有：

5a+15b+40c=5(a-3)+15(b-2)+30(c-1)

化簡(jiǎn)得：

2c=a+b-20,把c=b-7代入，得：

a-b=6,故a-b-1=假設(shè)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)原來(lái)的平均分分別是x,y,z，那么調(diào)整之后一二三等獎(jiǎng)的平均分分別是x-3,y-2,z-1,

依據(jù)題目，我們知道y=z+7。

依據(jù)前六十名總分不變，我們得到：

5x+15y+40z=10(x-3)+20(y-2)+30(z-1)

整理之后得到：

x+y=20+2z

用z=y-7代替z

就有x=y+6

調(diào)整后的一二等獎(jiǎng)是x-3,y-2,

那么就有（x-3）－（y-2）＝x-y-1=y+6-y-1=5三,鞏固練習(xí)1.二元一次方程有一個(gè)公共解,則m=______,n=_____;2．已知,那么3.已知二元一次方程組為，則______，_______.4.若方程組的解及相等，則________.5.有一個(gè)兩位數(shù)，減去它各位數(shù)字之和的3倍，值為23，除以它各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，則這樣的兩位數(shù)（）A．不存在B．有惟一解C．有兩個(gè)D．有無(wú)數(shù)解6.4x+1=m(x－2)+n(x－5),則m,n的值是A.B.C.D.7.假如方程組無(wú)解，則a為A.6B.－6C.9D.－98.以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限9.若關(guān)于的方程組的解是，則為（）A．1 B．3 C．5 D．210.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（A）（B） （C） （D）11.已知代數(shù)式及是同類項(xiàng)，那么的值分別是（）A． B． C． D．13.在二元一次方程中，若x,y互為相反數(shù)，則x=，y=；*④若是同類項(xiàng)，則=＿＿＿，＝＿＿＿。*⑤若方程是關(guān)于,的二元一次方程，則=＿＿＿，＝＿＿＿。14,若，則。15,二元一次方程組的解是，則。16,已知關(guān)于x,y的方程組的解的和是12，則。17,買蘋果和梨共50千克，其中蘋果的重量是梨的2倍少8千克，求蘋果和梨各買多少？若設(shè)買蘋果x千克，買梨y千克，則列出的方程組應(yīng)是（）A, B, C, D,18,一輛汽車從A地動(dòng)身向東行駛，要經(jīng)過路口B，在規(guī)定的某一時(shí)間內(nèi)，若車速為60千米/時(shí)，恰能超過B處2千米；若車速為50千米/時(shí)，就差3千米到達(dá)B處；設(shè)A,B間的距離為x千米，規(guī)定時(shí)間為y小時(shí)，則可列出的方程組是（）A B C D19,一船順?biāo)叫?5千米須要3小時(shí)，逆水航行65千米須要5小時(shí)，若設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，水流速度為y千米/時(shí)，則x,y的值為（）A B C D20,小強(qiáng)問叔叔多少歲了，叔叔說：“我像你這么大時(shí)，你才4歲，你到我這么大時(shí)，我就40歲了?！眲t小強(qiáng)和叔叔的歲數(shù)分別是（）歲A,8和20 B,16和28 C,15和27 D,9和2121,計(jì)算題（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22,已知ｍ是正整數(shù)，關(guān)于x,y的方程組有整數(shù)解，求ｍ2的值.23,孔明同學(xué)在解方程組的過程中，錯(cuò)把看成了6，他其余的解題過程沒有出錯(cuò)，解得此方程組的解為，又已知直線過點(diǎn)（3，1），則的正確值應(yīng)當(dāng)24,某商場(chǎng)按定價(jià)銷售某種商品時(shí)，每件可獲利45元。若按定價(jià)的八五折銷售該商品8件及按定價(jià)降低35元銷售該商品12件所獲利潤(rùn)相等。則該商品進(jìn)價(jià),定價(jià)分別是多少？25,某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)。應(yīng)怎樣安排工人生產(chǎn)螺栓和螺母，使車間每天生產(chǎn)出的螺栓和螺母恰好配套（一個(gè)螺栓配2個(gè)螺母）？26,現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的濃度為30％，乙種酒精的濃度為80％，今要得到濃度為50％的酒精溶液50千克，問甲,乙兩種酒精溶液各取多少？27,小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家里到學(xué)校需10分鐘，從學(xué)校到家里需15分鐘.請(qǐng)問小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？28．團(tuán)體購(gòu)買公園門票票價(jià)如下：購(gòu)票人數(shù)1～5051～100100人以上每人門票/元13元11元9元今有甲,乙兩個(gè)旅行團(tuán)，已知甲團(tuán)人數(shù)少于50人，乙團(tuán)人數(shù)不超過100人．若分別購(gòu)票，兩團(tuán)共計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)1392元，若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，總計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)1080元．(1)請(qǐng)你推斷乙團(tuán)的人數(shù)是否也少于50人；(2)甲,乙兩個(gè)旅行團(tuán)各有多少人.29,某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另收費(fèi).甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了17元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了35元”.請(qǐng)你算一算這種出租車的起步價(jià)是多少元？以和超過3千米后，每千米的車費(fèi)是多少元？30,食品安全是老百姓關(guān)注的話題，在食品中添加過量的添加劑對(duì)人體有害，但適量的添加劑對(duì)人體無(wú)害且有利于食品的儲(chǔ)存和運(yùn)輸．某飲料加工廠生產(chǎn)的A,B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產(chǎn)了A,B兩種飲料共100瓶，問A,B兩種飲料各生產(chǎn)了多少瓶？31,為了防控甲型H1N1流感，某校主動(dòng)進(jìn)行校園環(huán)境消毒，購(gòu)買了甲,乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶．（1）假如購(gòu)買這兩種消毒液共用780元，求甲,乙兩種消毒液各購(gòu)買多少瓶？（2）該校打算再次購(gòu)買這兩種消毒液（不包括已購(gòu)買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且所需費(fèi)用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購(gòu)買多少瓶？32,在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)期間，凡購(gòu)買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價(jià)13%的財(cái)政補(bǔ)貼.村民小李購(gòu)買了一臺(tái)A型洗衣機(jī)，小王購(gòu)買了一臺(tái)B型洗衣機(jī)，兩人一共得到財(cái)政補(bǔ)貼351元，又知B型洗衣機(jī)售價(jià)比A型洗衣機(jī)售價(jià)多500元.求：（1）A型洗衣機(jī)和B型洗衣機(jī)的售價(jià)各是多少元？（2）小李和小王購(gòu)買洗衣機(jī)除財(cái)政補(bǔ)貼外實(shí)際各付款多少元？33,甲乙兩地相距２０千米，Ａ從甲地向乙地方向前進(jìn)，同時(shí)Ｂ從乙地向甲地方向前進(jìn)，兩小時(shí)后二人在途中相遇，相遇后Ａ就返回甲地，Ｂ仍向甲地前進(jìn)，Ａ回到甲地時(shí)，Ｂ離甲地還有２千米，求Ａ,Ｂ二人的速度。34,某班同學(xué)去18千米的北山郊游。只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車,乙組步行。車行至A處，甲組下車步行，汽車返回接乙組，最終兩組同時(shí)達(dá)到北山站。已知汽車速度是60千米/時(shí)，步行速度是4千米/時(shí)，求A點(diǎn)距北山站的距離。35,甲乙兩地相距60千米，A,B兩人騎自行車分別從甲乙兩地相向而行，假如A比B先動(dòng)身半小時(shí)，B每小時(shí)比A多行2千米，那么相遇時(shí)他們所行的路程正好相等。求A,B兩人騎自行車的速度。