專題04 統(tǒng)計(jì)概率（解答題11種考法）（精講）（原卷版）

專題04統(tǒng)計(jì)概率（解答題11種考點(diǎn)）考法一超幾何模型【例1-1】（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【例1-2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)球．(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X，X的數(shù)學(xué)期望為．證明：．【例1-3】（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）某購(gòu)物中心準(zhǔn)備進(jìn)行擴(kuò)大規(guī)模，在制定末來(lái)發(fā)展策略時(shí)，對(duì)中心的現(xiàn)有顧客滿意度進(jìn)行了一個(gè)初步的現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查，分別調(diào)查顧客對(duì)購(gòu)物中心的商品質(zhì)量、服務(wù)質(zhì)量、購(gòu)物環(huán)境、廣告宣傳的滿意程度．調(diào)查時(shí)將對(duì)被抽中的每個(gè)顧客從這四個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取兩個(gè)問(wèn)題來(lái)提問(wèn)，統(tǒng)計(jì)顧客的滿意情況．假設(shè)，有三名顧客被抽到，且這三名顧客對(duì)這四個(gè)問(wèn)題的滿意情況如下表：商品質(zhì)量服務(wù)質(zhì)量購(gòu)物環(huán)境廣告宣傳顧客甲滿意不滿意滿意不滿意顧客乙不滿意滿意滿意滿意顧客丙滿意滿意滿意不滿意每得到一個(gè)滿意加10分，最終以總得分作為制定發(fā)展策略的參考依據(jù)．(1)求購(gòu)物中心得分為50分的概率；(2)若已知購(gòu)物中心得分為50分，則顧客丙投出一個(gè)不滿意的概率為多少？(3)列出該購(gòu)物中心得到滿意的個(gè)數(shù)X的分布列，并求得分的數(shù)學(xué)期望．【變式】1.（2022·廣東汕頭·二模）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（Ⅱ）用表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．2.（2023云南某市衛(wèi)生防疫部門(mén)為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個(gè)區(qū)市民接種，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種．（1）求三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率；（2）記，，三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為，求的分布列．3．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；(3)求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由．考法二二項(xiàng)分布【例2】（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）人類命運(yùn)共同體充分展現(xiàn)了中國(guó)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)．在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上中國(guó)承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化．新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解兩個(gè)品牌新能源電動(dòng)汽車的使用滿意度，在某市對(duì)購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)品牌的用戶各隨機(jī)抽取了100名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)A、B兩種品牌的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)A、B兩種電動(dòng)汽車使用滿意度的平均得分，并判斷哪種品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若使用滿意度得分不低于70分說(shuō)明用戶對(duì)該品牌電動(dòng)汽車較滿意，現(xiàn)從該市使用B品牌的用戶中隨機(jī)抽取5個(gè)人，用表示對(duì)B品牌較滿意的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【變式】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）學(xué)校組織A，B，C，D，E五位同學(xué)參加某大學(xué)的測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測(cè)試，選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每位同學(xué)測(cè)試的結(jié)果互不影響.(1)若5位同學(xué)全選擇甲方案，將測(cè)試合格的同學(xué)的人數(shù)記為X，求X的分布列及其方差；(2)若測(cè)試合格的人數(shù)的期望值不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的同學(xué)的可能人數(shù).2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們?cè)戮秒娏慷疾坏陀诘母怕剩?2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以頻率估計(jì)概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書(shū)，且發(fā)放倡議書(shū)的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請(qǐng)根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)應(yīng)定為多少合適？（只需寫(xiě)出結(jié)論）.3．（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）為迎接“五一小長(zhǎng)假”的到來(lái)，某商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿200元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中，紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球5個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的2個(gè)球的顏色分成以下四種情況：：1個(gè)紅球1個(gè)白球，：2個(gè)紅球，：2個(gè)白球，：至少一個(gè)黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng).(1)求顧客在某次抽獎(jiǎng)中，第二個(gè)球摸到為紅球的概率(2)求顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；(3)若三名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為，求的分布列和期望.考法三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例3-1】（2023·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.【例3-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A，工序，工序.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒(méi)有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒(méi)有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.【變式】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過(guò)角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）目前,教師職業(yè)越來(lái)越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市年共有名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試,筆試成績(jī),只有筆試成績(jī)高于分的學(xué)生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).(1)從報(bào)考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機(jī)抽取人,求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率;(2)現(xiàn)有甲、乙、丙名學(xué)生進(jìn)入了面試,且他們通過(guò)面試的概率分別為,設(shè)這名學(xué)生中通過(guò)面試的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,,,.3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.考法四正態(tài)分布【例4】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價(jià)格上漲，每個(gè)家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會(huì)機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了200個(gè)家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：消費(fèi)金額（千元）人數(shù)406040302010以頻率估計(jì)概率，如果家庭消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，分別為這200個(gè)家庭消費(fèi)金額的平均數(shù)及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．(1)求和的值；(2)試估計(jì)這200個(gè)家庭消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，現(xiàn)要在10個(gè)家庭中隨機(jī)抽取4個(gè)家庭進(jìn)行更細(xì)致的消費(fèi)調(diào)查，記消費(fèi)金額為的家庭個(gè)數(shù)為，求的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.【變式】1．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)求a的值；(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．考法五條件概率與全概率【例5】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(3)參照第（2）問(wèn)給出判斷，求第1，2，3臺(tái)車床操作員對(duì)加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.【變式】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯(lián)合國(guó)認(rèn)定的“海上絲綢之路”起點(diǎn).著名的“泉州十八景”是游客的爭(zhēng)相打卡點(diǎn)，泉州文旅局調(diào)查打卡十八景游客，發(fā)現(xiàn)90%的人至少打卡兩個(gè)景點(diǎn).為提升城市形象，泉州文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書(shū)簽、閩南古厝徽章、開(kāi)元寺祈福香包、小關(guān)公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個(gè)景點(diǎn)，則有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若只打卡一個(gè)景點(diǎn)，則有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次抽獎(jiǎng)可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡十八景游客打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機(jī)抽取3人，求3人抽獎(jiǎng)總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開(kāi)元寺祈福香包的概率.2．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒(méi)有平局）(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率；(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場(chǎng)的概率.3．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國(guó)男足U23代表隊(duì)打出了中國(guó)男足在世界舞臺(tái)上的最好表現(xiàn)．球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)核心，來(lái)自沈陽(yáng)的陳濤入選了奏事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個(gè)階段．小組賽中，參賽的32支代表隊(duì)被分為8各小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，按照單循環(huán)賽制選出兩支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊(duì)捉對(duì)廝殺，敗者淘汰勝者晉級(jí)，通過(guò)4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場(chǎng)記3分，打平一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)記0分．小組賽階段中國(guó)隊(duì)與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊(duì)分在同一組．首戰(zhàn)中中國(guó)隊(duì)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝了歐洲亞軍土耳其隊(duì)，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢(shì)．面對(duì)后兩場(chǎng)比賽的對(duì)手烏克蘭隊(duì)和巴拿馬對(duì)，根據(jù)賽前球探報(bào)告分析，中國(guó)隊(duì)都有實(shí)力優(yōu)勢(shì)，可以近似認(rèn)為后兩場(chǎng)比賽中國(guó)的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．設(shè)中國(guó)隊(duì)三場(chǎng)小組賽之后的總積分為隨機(jī)變量X，求出其分布列和期望．(2)10號(hào)隊(duì)員陳濤作為中國(guó)隊(duì)的進(jìn)攻核心，他的表現(xiàn)對(duì)中國(guó)隊(duì)而言舉足輕重．過(guò)往數(shù)據(jù)表示，在所有陳濤出場(chǎng)并且有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中80%的場(chǎng)次，在所有陳濤沒(méi)有進(jìn)球或者助攻的比賽中，中國(guó)隊(duì)贏得了其中20%的場(chǎng)次，陳濤在其代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)的40場(chǎng)比賽中，有30場(chǎng)比賽完成了進(jìn)球或者助攻．在本屆比賽中，中國(guó)隊(duì)在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對(duì)陣世界足壇的傳統(tǒng)強(qiáng)隊(duì)德國(guó)隊(duì)．已知在淘汰賽對(duì)陣德國(guó)隊(duì)的比賽中，陳濤代表中國(guó)隊(duì)出場(chǎng)比賽，雖然經(jīng)過(guò)全隊(duì)不懈努力，仍然不敵強(qiáng)大的德國(guó)隊(duì)，遺憾告別世界杯．那么，若以過(guò)往的數(shù)據(jù)估計(jì)概率，請(qǐng)估計(jì)陳濤在本場(chǎng)比賽貢獻(xiàn)進(jìn)球或者助攻的概率．考法六統(tǒng)計(jì)案例【例6-1】（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）為了解某一地區(qū)新能源電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于（年份）的線性回歸方程，且銷量的方差為，年份的方差為．(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量與年份的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱．(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)汽車購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)？(3)在購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．①參考數(shù)據(jù)：．②參考公式：線性回歸方程為，其中；相關(guān)系數(shù)，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng)；，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【例6-2】（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）隨著全球新能源汽車市場(chǎng)蓬勃增長(zhǎng)，在政策推動(dòng)下，中國(guó)新能源汽車企業(yè)在10余年間實(shí)現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強(qiáng)國(guó)．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，改進(jìn)并生產(chǎn)純電動(dòng)車、插電混合式電動(dòng)車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤(rùn)y（單位，百萬(wàn)元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．月份123456收入（百萬(wàn)元）6.88.616.119.628.140.0(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為利潤(rùn)關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于的回歸方程；(3)該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國(guó)汽車技術(shù)研究中心進(jìn)行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗(yàn)項(xiàng)目，其中在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)進(jìn)行了一項(xiàng)甲、乙、丙三車同時(shí)去碰撞實(shí)驗(yàn)車的多車碰撞實(shí)驗(yàn)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.188，并且當(dāng)只有一車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.1，當(dāng)有兩車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生，實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率為0.2，由于各種因素，實(shí)驗(yàn)中甲乙丙三車碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當(dāng)三車同時(shí)碰撞實(shí)驗(yàn)車發(fā)生時(shí)實(shí)驗(yàn)車報(bào)廢的概率．參考數(shù)據(jù)：其中，設(shè)，．19.872.8017.50113.756.30參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【變式】1．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┡芡确?wù)是隨即時(shí)物流發(fā)展出現(xiàn)的非標(biāo)準(zhǔn)化服務(wù)，省時(shí)省力是消費(fèi)者使用跑腿服務(wù)的主要目的，隨著消費(fèi)者即時(shí)需求和節(jié)約時(shí)間需求的提升，跑腿經(jīng)濟(jì)的發(fā)展空間有望逐步擴(kuò)大，某跑腿服務(wù)公司隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了800名不同年齡消費(fèi)者每月的跑腿服務(wù)使用頻率得到如下頻數(shù)分布表：每月1次50404090每月2～4次808010060每月5～10次60755647每月10次以上10543(1)若把年齡在內(nèi)的人稱為青年，年齡在內(nèi)的人稱為中年，每月使用跑腿服務(wù)低于5次的為使用頻率低，不低于5次的為使用頻率高，補(bǔ)全下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為跑腿服務(wù)的使用頻率高低與年齡有關(guān)?青年中年合計(jì)使用頻率高使用頻率低合計(jì)(2)從樣本中每月使用跑腿服務(wù)2～4次且年齡在內(nèi)的消費(fèi)者中按照年齡段利用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與內(nèi)的人數(shù)分別為X、Y，若，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中附：0.0500.0100.0013.8416.63510.8282．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興，大力發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)——富硒水果．工作人員統(tǒng)計(jì)了近8年富硒水果種植面積（單位：百畝）與年銷售額（單位：千萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)．經(jīng)計(jì)算得到如下處理后的統(tǒng)計(jì)量：，，，，，，，，，其中，．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從相關(guān)系數(shù)的角度，判斷與哪個(gè)適宜作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型（相關(guān)系數(shù)精確到0.01）．(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）．(3)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃年銷售額不低于10億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)種植面積至少為多少畝．附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率與截距的最小二乘估計(jì)分別為，．參考數(shù)據(jù)：，．3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過(guò)初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率.(2)已知2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測(cè)值作為2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場(chǎng)飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為和，試解決以下問(wèn)題：（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說(shuō)明你的理由.附：（1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.考法七決策問(wèn)題【例7】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選對(duì)得5分.對(duì)而不全得2分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，沒(méi)有4個(gè)選項(xiàng)都正確的（在本問(wèn)題中認(rèn)為其概率為0）.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得5分的概率為，求；(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè)，共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？【變式】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的三個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一個(gè)金蛋，再將三個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道金蛋在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在三個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若金蛋在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到元獎(jiǎng)金；若金蛋不在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到元參與獎(jiǎng).無(wú)論抽獎(jiǎng)人是否抽中金蛋，主持人都重新隨機(jī)放置金蛋，關(guān)閉三個(gè)箱子，等待下一個(gè)抽獎(jiǎng)人。(1)求前位抽獎(jiǎng)人抽中金蛋人數(shù)的分布列和方差；(2)為了增加節(jié)目效果，改變游戲規(guī)則.當(dāng)抽獎(jiǎng)人選定編號(hào)后，主持人在剩下的兩個(gè)箱子中打開(kāi)一個(gè)空箱子.與此同時(shí)，主持人也給抽獎(jiǎng)人一個(gè)改變選擇的機(jī)會(huì).如果抽獎(jiǎng)人改變選擇后，抽到金蛋，獎(jiǎng)金翻倍；否則，取消參與獎(jiǎng).若僅從最終所獲得的獎(jiǎng)金考慮，抽獎(jiǎng)人該如何抉擇呢？2．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說(shuō)明理由.3．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）人勤春來(lái)早，實(shí)干正當(dāng)時(shí)．某工廠春節(jié)后復(fù)工復(fù)產(chǎn)，為滿足市場(chǎng)需求加緊生產(chǎn)，但由于生產(chǎn)設(shè)備超負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)導(dǎo)致某批產(chǎn)品次品率偏高．已知這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，當(dāng)時(shí)產(chǎn)品為正品，其余為次品．生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本為20元/件，售價(jià)為40元/件．若售出次品，則不更換，需按原售價(jià)退款并補(bǔ)償客戶10元/件．(1)若某客戶買(mǎi)到的10件產(chǎn)品中恰有兩件次品，現(xiàn)從中任取三件，求被選中的正品數(shù)量的分布列和數(shù)學(xué)期望：(2)已知P，工廠欲聘請(qǐng)一名臨時(shí)質(zhì)檢員檢測(cè)這批產(chǎn)品，質(zhì)檢員工資是按件計(jì)費(fèi)，每件x元．產(chǎn)品檢測(cè)后，檢測(cè)為次品便立即銷毀，檢測(cè)為正品方能銷售．假設(shè)該工廠生產(chǎn)的這批產(chǎn)品都能銷售完，工廠對(duì)這批產(chǎn)品有兩種檢測(cè)方案，方案一：全部檢測(cè)；方案二：抽樣檢測(cè)．若要使工廠兩種檢測(cè)方案的盈利均高于不檢測(cè)時(shí)的盈利，求x的取值范圍，并從工廠盈利的角度選擇恰當(dāng)?shù)姆桨福挤ò藬?shù)列與統(tǒng)計(jì)概率綜合【例8】（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀（如王家大院，常家莊園等），也有風(fēng)景秀麗的自然景觀（如介休綿山，石膏山等）．某旅行團(tuán)帶游客來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽．若每位游客選擇人文景觀的概率是，選擇自然景觀的概率為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X，求X的均值與方差；(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為n分的概率為，求．【變式】1（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）長(zhǎng)江十年禁漁計(jì)劃全面施行，漁民老張積極配合政府工作，如期收到政府的補(bǔ)償款.他決定拿出其中10萬(wàn)元進(jìn)行投資，并看中了兩種為期60天（視作2個(gè)月）的穩(wěn)健型（不會(huì)虧損）理財(cái)方案.方案一：年化率，且有的可能只收回本金；方案二：年化率，且有的可能只收回本金；已知老張對(duì)每期的投資本金固定（都為10萬(wàn)元），且第一次投資時(shí)選擇了方案一，在每期結(jié)束后，老張不間斷地進(jìn)行下一期投資，并且他有的可能選擇另一種理財(cái)方案進(jìn)行投資.(1)設(shè)第i次投資（）選擇方案一的概率為，求；(2)求一年后老張可獲得總利潤(rùn)的期望（精確到1元）.注：若拿1千元進(jìn)行5個(gè)月年化率為的投資，則該次投資獲利元.2．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求的期望.3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）邯鄲是歷史文化名城，被譽(yù)為“中國(guó)成語(yǔ)典故之都”．為了讓廣大市民更好的了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大賽.比賽共設(shè)置道題，參加比賽的選手從第一題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目.設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，若，求的取值范圍；(2)（i）記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)個(gè)數(shù)為，求；（ii）當(dāng)時(shí)，求使的的最小值．參考數(shù)據(jù)：，.考法九統(tǒng)計(jì)概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合【例9】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）適量的運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾病．某社區(qū)組織社區(qū)居民參加有獎(jiǎng)投籃比賽，已知小李每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都為．(1)若每次投籃相互獨(dú)立，小李在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，恰好投進(jìn)4次的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)兩盒雞蛋，每次投籃相互獨(dú)立，每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都以（1）中確定的作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)四盒雞蛋．第一次在罰球點(diǎn)投籃，投進(jìn)的概率以（1）中確定的作為p的值，若前次投進(jìn)，則下一次投籃位置不變，投進(jìn)概率也不變，若前次未投進(jìn)，則下次投籃要后退1米，投進(jìn)概率變?yōu)樯洗瓮哆M(jìn)概率的一半．請(qǐng)分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對(duì)自己更有利．【變式】1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）春節(jié)過(guò)后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在社交媒體平臺(tái)和短視頻平臺(tái)同時(shí)投放宣傳廣告并進(jìn)行線上售票，通過(guò)近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的概率為，在社交媒體平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的概率為；二輪廣告精準(zhǔn)投放后，目標(biāo)用戶在短視頻平臺(tái)進(jìn)行復(fù)購(gòu)的概率為，在社交媒體平臺(tái)復(fù)購(gòu)的概率為.(1)記在短視頻平臺(tái)購(gòu)票的4人中，復(fù)購(gòu)的人數(shù)為，若，試求的分布列和期望；(2)記在社交媒體平臺(tái)的3名目標(biāo)用戶中，恰有1名用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，為何值？(3)為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進(jìn)行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門(mén)票100元/人，在短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶分別在90萬(wàn)人和17萬(wàn)人左右，短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)上的廣告投放費(fèi)用分別為4元/100人和5元/100人，不計(jì)宣傳成本的景區(qū)門(mén)票利潤(rùn)率分別是2%和5%，在第（2）問(wèn)所得值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個(gè)平臺(tái)上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤(rùn)總額.2．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為：1230概率其中，.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨(dú)立，事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子，事件表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等），是否存在的值使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若，求，并根據(jù)全概率公式，求.3．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某公司對(duì)新生產(chǎn)出來(lái)的300輛新能源汽車進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測(cè)不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測(cè)不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，重新檢測(cè)后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測(cè)不合格，也會(huì)被列為不合格汽車.假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測(cè)相互獨(dú)立，每一次檢測(cè)不合格的概率為.(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率；(2)公司對(duì)本次質(zhì)量檢測(cè)的預(yù)算支出是4萬(wàn)元，每輛汽車不需要重新檢測(cè)的費(fèi)用為60元，需要重新檢測(cè)的前后兩輪檢測(cè)的總費(fèi)用為100元，所有汽車除檢測(cè)費(fèi)用外，其他費(fèi)用估算為1萬(wàn)元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測(cè)，實(shí)際費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算?考法十最值問(wèn)題【例10-1】（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過(guò)的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【例10-2】（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膬山M的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，求.【變式】1．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8.(1)計(jì)算王同學(xué)第二天去餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，種中式點(diǎn)心，王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇3種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為，求的最大值，并求此時(shí)的值.2．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開(kāi)展青少年禁毒知識(shí)競(jìng)賽，團(tuán)員小明每天自覺(jué)登錄“禁毒知識(shí)競(jìng)賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無(wú)效局，無(wú)論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問(wèn)在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨作為一種新型的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.湖北某地盛產(chǎn)夏橙，為幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民銷售夏橙，當(dāng)?shù)卣?qǐng)了甲、乙兩名網(wǎng)紅在某天通過(guò)直播帶貨銷售夏橙.現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段100名觀看直播后選擇在甲、乙兩名網(wǎng)紅的直播間（以下簡(jiǎn)稱甲直播間、乙直播間）購(gòu)買(mǎi)夏橙的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個(gè)直播間購(gòu)買(mǎi)夏橙），得到如下數(shù)據(jù)：網(wǎng)民類型在直播間購(gòu)買(mǎi)夏橙的情況合計(jì)在甲直播間購(gòu)買(mǎi)在乙直播間購(gòu)買(mǎi)男網(wǎng)民50555女網(wǎng)民301545合計(jì)8020100(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買(mǎi)夏橙與性別有關(guān)聯(lián)？(2)網(wǎng)民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個(gè)直播間中選擇其中一個(gè)購(gòu)