2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破第3講 函數(shù)的極值與最值

第3講函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值極值問題是導(dǎo)函數(shù)的一個直接應(yīng)用,極值點作為單調(diào)區(qū)間的分界點和函數(shù)最值點的候選點,在研究函數(shù)單調(diào)性和最值時具有重要意義.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,我們先來看相關(guān)定義:(1)極大值:一般地,設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義,如果對附近的所有的點都有,就說是函數(shù)的一個極大值,記作,其中是極大值點.(2)極小值:一般地,設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義,如果對附近的所有的點都有,就說是函數(shù)的一個極小值,記作,其中是極小值點.看上面對極值點和極值的一般定義,我們要注意以下幾點:一是極值點和極值的定義不要搞混淆;二是極值是一個雙邊定義:極值點的兩邊函數(shù)都有定義,極值才存在;三是極值具有局部性,極值是函數(shù)局部的最值,一個函數(shù)區(qū)間內(nèi)可存在多個極值.在高中階段,我們可以簡單地理【解析】一階導(dǎo)函數(shù)為零的點即為原函數(shù)的極值點,一般來說,做大題不會出錯,不過保險起見還是需要驗證一下極值點兩邊一階導(dǎo)數(shù)是否變號,即原函數(shù)單調(diào)性是否改變.需要注意的是,極值點處導(dǎo)函數(shù)可能不存在,比如函數(shù)是函數(shù)的極小值點,但在極值點處導(dǎo)函數(shù)是不存在.這是大學(xué)要研究的內(nèi)容,不需要過分糾結(jié).極值問題的兩種考查方式:一種是直接求極值點(極值),一般步驟是求導(dǎo),解出導(dǎo)函數(shù)的零點,即為函數(shù)的極值點(求解后需要驗證),如果含參數(shù)的話還要分類討論一下.再求極值.另外一種就是給出某個點是極值點,來求解參數(shù)的取值范圍.求無參函數(shù)的極值點和極值求極值點的步驟:(1)篩選:令求出的零點(此時求出的點有可能是極值點).(2)精選:判斷原函數(shù)在的零點左、右兩邊,其單調(diào)性是否發(fā)生變化,若發(fā)生變化,則該點為極值點,否則不是極值點.(3)定性：通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點還是極小值點:先增后減是極大值點,先減后增是極小值點.通常,判定一個點是極大值點還是極小值點我們有兩種充分判別條件:第一充分條件:設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(可以不存在).(1)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極大值.(2)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極小值.(3)若在的左、右鄰域內(nèi),不變號,則在處沒有極值.注意:第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)單調(diào)性時,為了快速判別,我們只需要在極值點的左邊或者右邊取一個特殊值驗證一階導(dǎo)函數(shù)的正負號即可(這個方法我們稱為特殊值法).第二充分條件:設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且,則(1)當(dāng)時,函數(shù)在處取得極大值.(2)當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值.注意:利用駐點處二階導(dǎo)數(shù)符號來判斷駐點是否為極值點時,二階導(dǎo)函數(shù)的正負號,其實決定了-階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.解題時,為了快速判別,我們可以直接判定決定一階導(dǎo)函數(shù)正負號部分函數(shù)的單調(diào)性,一階導(dǎo)函數(shù)為增是極小值點,一階導(dǎo)函數(shù)為減是極大值點.為極大值點(這個方法,我們稱之為一階單調(diào)性法).【例1】求函數(shù)的極值.【解析】法一的定義域為,令,得，當(dāng)時,有.當(dāng)時,有,由極值的第一充分條件知,在處取得極小值為.法二:的定義域為,令,得.又由,得,由極值的第二充分條件知,在處取得極小值為.【例2】求函數(shù)的極值.【解析】法一:的定義域為.令,得,.現(xiàn)列表討論如下:由上表知,在處取得極大值為,在處取得極小值為.法二:令得.由得,,由極值的第二充分條件知,在處取得極大值為,在處取得極小值為.已知極值/極值點反求參數(shù)題型:已知含參函數(shù)的極值點為,在極值點處的極值為,求參數(shù).方法:列出方程組,求解參數(shù)即可.【例1】已知函數(shù)在處有極值,求實數(shù)的值.由,知.又在處有極值,則,即.【例2】已知函數(shù),若函數(shù)在日寸取得極值,求實數(shù)的值.【解析】,依題意有,即0,解得.檢驗:當(dāng)時,此時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,滿足在時取得極值.綜上可知.【例3】已知函數(shù),其中,若函數(shù)在處取得極大值,求實數(shù)的值.【解析】,由題意可得,整理得,解得或.(1)當(dāng)時,恒成立,此時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值.(2)當(dāng)時,.令得.令得或.此時,函數(shù)在處取得極大值,合乎題意.綜上所述,.注意:如是的極大值點,除必須有外,還必須滿足在左側(cè)某個區(qū)間上,在右側(cè)某個區(qū)間,其中,.僅僅有是不夠的,這也是易錯的地方.已知極值點反求參數(shù)范圍(第二判別法)對于已知極值點來求參數(shù)取值范圍的題目,我們一般有兩種解法:方法一:分類討論,求出導(dǎo)函數(shù),確定的根,然后由根分實數(shù)為若干個區(qū)間,討論各區(qū)間中的正負,得單調(diào)區(qū)間,若在左側(cè)遞減,右側(cè)遞增,則是極小值點;若在左側(cè)遞增,右側(cè)遞減,則是極大值點.方法二:第二充分判別條件驗證,求出二階導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,來快速求解參數(shù)取值范圍.注意:這個是充分條件,一般用來驗證答案,不作為解題過程,可作為分析過程?！纠?】已知函數(shù),若在處取得極小值,求的取值范圍.【解析】法一:分類討論1),令得或.(1)若,即,則當(dāng)時,,當(dāng)時,.在處取得極小值.(2)若,且,則當(dāng)時,,,同時.,從而不是的極小值點.綜上可知,的取值范圍是.法二:第二充分判別法驗證..由極大值點的第二充分判別條件可得,解得.【例2】已知,若函數(shù)在處取得極大值,求實數(shù)的取值范圍.【解析】法一:分類討論(1)當(dāng)時,,令得.令得.在處取得極大值.(2)當(dāng)時,,由(1)可知在處取得極大值.(3)當(dāng)時,,則無極值.(4)當(dāng)時,令得或.令得.在處取得極大值.(5)當(dāng)時,令得或.令得.在處取得極小值.綜上,的取值范圍為.法二:第二充分判別法驗證,由極大值點的第二充分判別條件可得.解得.【例3】(已知函數(shù),函數(shù)在處有極大值,求的取值范圍.【解析】法一:分類討論設(shè),則.(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,時,.時,.在上遞減,在上遞增.是的極小值點,與題意矛盾.（2）當(dāng)時,在上是增函數(shù),且.(1)當(dāng)時,.從而在上是增函數(shù),故有.在上是增函數(shù),與題意矛盾.(2)當(dāng)時,若,則,從而在上是減函數(shù),.在上是增函數(shù).若,由常用指數(shù)不等式[見“不等式放縮法”(10.2中)],則,從而在上是減函數(shù),.在上是增函數(shù).若,由常用指數(shù)不等式[見“不等式放縮法”(10.2中)],則又,存在使得.從而當(dāng)時,,在上是減函數(shù),從而.在上是減函數(shù),故是的極大值點,符合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.法二:第二充分判別法驗證,由極大值,點的第二充分判別條件可得,解得.函數(shù)的最值最值就是函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值,從函數(shù)圖像直觀說來,最大值與最小值在圖像中體現(xiàn)為函數(shù)的最高點和最低點,由最大值和最小值可以確定函數(shù)的值域,我們來看最值的具體定義:（1）設(shè)函數(shù)的定義域為,若,使得對,均滿足,那么稱為函數(shù)的一個最大值點,稱為函數(shù)的最大值.（2）設(shè)函數(shù)的定義域為,若,使得對,均滿足,那么稱為函數(shù)的一個最小值點,稱為函數(shù)的最小值.最值是函數(shù)的一個重要特征值,研究最值可以得出函數(shù)值域,也可以用在求解不等式相關(guān)的問題中.【例】證明不等式,則構(gòu)造函數(shù),可通過導(dǎo)數(shù)求出,由此可得到對于任意的,均有.故.那如何求解出函數(shù)的最值呢?當(dāng)然還是用到我們的導(dǎo)數(shù)來求解,最值問題通常會結(jié)合前面所學(xué)的單調(diào)性、極值和邊界值最終來確定最值,下面我們一一講解.求無參函數(shù)的最值題型:求函數(shù)在上的最大值和最小值.方法步驟:一般來說,最值點只可能在極值點或者邊界點處產(chǎn)生,對于無參函數(shù)最值的解題步驟如下:第一步:求出極值點和極值,極值為.第二步:求出邊界值,即和.第三步:比較極值和邊界值的大小,最大的為最大值,最小的為最小值.【例1】函數(shù),求在區(qū)間上的最大值.【解析】,當(dāng)時,,即單調(diào)遞減.當(dāng)時,,即單調(diào)遞增..又,而,在區(qū)間上的最大值為.【例2】已知函數(shù),判斷的單調(diào)性,并求在上的最值.【解析】的定義域為設(shè),則.令得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則.在上為增函數(shù).在上的最大值為,最小值為.討論含參函數(shù)的最值討論含參函數(shù)在區(qū)間上的最值,核心在于求出在區(qū)間上的單調(diào)性和極值,對于最值、單調(diào)性和極值之間的關(guān)系,有如下常用結(jié)論：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,則與一個為最大值,另一個為最小值.(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值,則要先求出函數(shù)在上的極值,再與,比較,最大的為最大值,最小的為最小值.（3）函數(shù)在區(qū)間上有唯-個極值點,這個極值點就是最大(或最小)值點,此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.除上述結(jié)論外,我們解題時通常會碰到一種求最大或者最小值的常考模型:最大值模型:求解含參函數(shù)(為參數(shù))在上的最大值.解題步驟:第一步:求出含參的極值點,這個極值點一般為極大值點,并用參數(shù)表示,即.第二步:把極大值點分在區(qū)間的左、中、右三種情況來討論.(1)當(dāng)極大值點在區(qū)間左邊時,即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞減,則.(2)當(dāng)極大值點在區(qū)間中間時,即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則.(3)當(dāng)極大值點在區(qū)間右邊時,即,函數(shù)(為參數(shù))在上單調(diào)遞增,則.注意:求最小值的模型類似,可自行總結(jié)。【例1】已知為實數(shù),函數(shù),設(shè)為在區(qū)間上的最小值,請寫出的表達式.【解析】.若,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.若,令,得(極值點),當(dāng)時,;當(dāng)時,是極小值點.有單調(diào)遞減區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間.若,即極小值點在區(qū)間左邊,在上單調(diào)遞增..若,即極小值點在區(qū)間中間,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,若,即極小值點在區(qū)間右邊,在上單調(diào)遞減,【例2】已知函數(shù),求函數(shù)在上的最大值.【解析】,則.令0,解得(極值點).當(dāng)時,.當(dāng)時,為極大值點.故函數(shù)的增區(qū)間為.減區(qū)間為.(1)當(dāng),即,極大值點在區(qū)間右邊時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,則.(2)當(dāng),即,極大值點在區(qū)間中間時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則.(3)當(dāng),即極大值點在區(qū)間左邊時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則.【例3】求在區(qū)間上的最小值.【解析】,則,令得或.(1)當(dāng),即時,在上為增函數(shù),.(2)當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,.(3)當(dāng),即時,在上為減函數(shù),綜上所述,已知最值反求參數(shù)反求參數(shù)問題是給出函數(shù)在區(qū)間上的最值,來反求參數(shù),其一般步驟是:第一步:按照上一節(jié)的步驟,先討論出含參數(shù)單調(diào)性和最值,這個最值通常含參數(shù).第二步:帶人已知的最值反求解參數(shù),求解后驗證,不滿足則舍去.【例1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若在上的最大值為1,求的值.【解析】(1)的定義域為,.①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令得,則的單調(diào)遞減區(qū)間為.令,得,則的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)題知,i)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,,則.ii)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,不合題意.iii)當(dāng)時,,則不合題意.綜上,.【例2】已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在定義域上單調(diào)性.(2)若函數(shù)在,e]上的最小值為,求的值.【解析】(1)函數(shù)的定義域為,且.①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時,令,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)