2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破第5講 零點存在的判定與證明（原卷版）

第5講零點存在的判定與證明零點問題是導(dǎo)函數(shù)的一個重要研究方向,也是一個重點和難點,屬于一元等式問題,其求解需要綜合前面的極值、單調(diào)性和最值來考慮.而極值點本身又是導(dǎo)函數(shù)的零點,所以這里會層層環(huán)繞,分析起來比較麻煩,這是零點問題的一個難點.第二個難點是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點存在定理來賦值找零點,這里會涉及不等式放縮法,如果不太理解賦值問題,等學(xué)習(xí)了不等式放縮法后,專門講解賦值問題,那時再回過頭來理解.下面我們先來學(xué)習(xí)與零點相關(guān)的定義和定理.1.函數(shù)的零點:一般的,對于函數(shù),我們把方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的零點.2.零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點,即,使得.注意:零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù),如果是分段的,那么零點不一定存在.3.零點存在定理的推論:若在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)且連續(xù),則在的零點唯一.4.函數(shù)的零點,方程的根,兩圖像交點之間的聯(lián)系.設(shè)函數(shù)為,則的零點即為滿足方程的根,若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?即方程的根在坐標(biāo)系中為交點的橫坐標(biāo),其范圍和個數(shù)可從圖像中得到.由此看來,函數(shù)的零點,方程的根,兩圖像的交點這三者各有特點,且能相互轉(zhuǎn)化:函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點.在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化.【例】對于方程,無法直接求出根,可以拆分構(gòu)造函數(shù)圖像的交點,畫出圖像可判定其零點必在中.求無參函數(shù)零點求解無參函數(shù)零點的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點,畫出函數(shù)大概的趨勢圖(能夠描述函數(shù)性質(zhì)的圖像).第二步:在嚴(yán)格的單調(diào)區(qū)間上找點,使得在上存在唯一零點.注意:若在區(qū)間,,存在唯一極大值,且極大值小于零或者存在唯一極小值,且極小值大于零,則這個區(qū)間上不存在零點.【例1】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷的零點的個數(shù),并說明理由.【例2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.討論含參函數(shù)零點個數(shù)——分類討論討論含參函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點,通常極值點用參數(shù)表示:.第二步:討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通常分為極值點在區(qū)間的左、中、右三種情況討論.第三步:結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值和零點存在定理的推論來確定零點個數(shù),我們通常分為情況討論:(1)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào),若滿足在上存在唯一零點.若不滿足在上不存在零點.(2)若在區(qū)間上,存在唯一極大值,則分為下面三種情況:①極大值在上不存在零點.②極大值在上存在唯一零點.③極大值若,,則在上存在兩個零點.若,則在上存在一個零點.若,則在上無零點.【例1】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),討論在區(qū)間上零點的個數(shù).【例2】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),,討論函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.求含參函數(shù)零點個數(shù)——參變分離【例1】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),求函數(shù)的零點的個數(shù).由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍——分類討論這里分類討論的步驟和前面討論零點個數(shù)的步驟類似,不再復(fù)述,不同的是需要選取符合題設(shè)零點個數(shù)要求的參數(shù)范圍,以及會用不等式放縮來賦值找零點(在后面的章節(jié)中會有詳細(xì)講解),我們也可以通過取極限的方式來粗糙地確定零點,在考試時,這也是一種較快的解題方式,一般來說,判卷不嚴(yán)格也算對,但也可能會扣分.【例1】已知函數(shù)R).(1)討論的單調(diào)性.(2)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.【例2】已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù),且).（1）討論的單調(diào)性.（2）若有兩個零點,求的取值范圍?！纠?】已知函數(shù),若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍——參變分離參變分離法解已知含參函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù),反求參數(shù)取值范圍問題的一般步驟:第一步:的零點方程的解,參變分離后得.第二步:利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的函數(shù)圖像.第三步:討論常值函數(shù)和函數(shù)圖像在區(qū)間上的交點個數(shù)