2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破第12講 極值點偏移（原卷版）

第12講極值點偏移前面所學(xué)內(nèi)容可以歸結(jié)為一元等式或者不等式問題，從本節(jié)開始要進入雙元問題，也可以概括為雙元等式或者雙元不等式問題，其中極值點偏移是比較簡單的，處理方法也相對容易，但其中體現(xiàn)的整體換元思想是需要認(rèn)真體會的，這也是本書一貫強調(diào)的思想，難題就是把簡單題整體代換一下，這是出題套路，也是解題之法.在學(xué)習(xí)極值點偏移的時候，同樣要從概念、題型、解法的邏輯來學(xué)習(xí).下面講解極值點偏移的一些概念和定理，相對比較抽象，如果開始不太看得明白，可以先做幾個題目，再反復(fù)理解!極值點偏移的相關(guān)推導(dǎo)一、極值點偏移的含義極值點不偏移:函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，必為的極值點.若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.簡單來說，如果圖像關(guān)于極值點處對稱，則不偏移，否則偏移.極值點偏移:若則為極值點偏移，單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系:若，則稱為極值點左偏，即極值點在兩根中點的左邊.若，則稱為極值點右偏，即極值點在兩根中點的右邊.二、極值點偏移的判定定理求證:對于可導(dǎo)函數(shù)，在上只有一個極大值點，方程的解分別為，且.(1)若，則，即函數(shù)在上極大值點右偏.(2)若，則，即函數(shù)在上極小值點左偏.證明:(1)對于可導(dǎo)函數(shù)，在上只有一個極大值點，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于，有，且.又，，即函數(shù)極大值點右偏.(2)極小值可自行推導(dǎo).三、對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義:對數(shù)平均不等式為:.取等條件:當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.只證:當(dāng)時，，不失一般性，可設(shè).證明:(1)先證:=1\*GB3①=1\*GB3①式(其中).構(gòu)造函數(shù):1)，則.當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故，不等式=1\*GB3①成立.(2)再證:.=2\*GB3②=2\*GB3②式(其中.構(gòu)造函數(shù)1)，則.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式=2\*GB3②成立.綜合=1\*GB3①=2\*GB3②知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.無參極值點偏移的方法總結(jié)關(guān)于極值點偏移?？嫉念}型如下:題型一:若函數(shù)存在兩個零點，且，求證:為函數(shù)的極值點.題型二:若函數(shù)中存在且滿足，求證:為函數(shù)的極值點.對于極值點偏移來說，所有方法的核心都是為了把雙元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，那么在轉(zhuǎn)換過程中常用如下方法:證法一:單調(diào)性放縮轉(zhuǎn)化法，一般有兩種構(gòu)造函數(shù)的方式構(gòu)造方式一:非對稱構(gòu)造(1)構(gòu)造函數(shù).(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(3)證明[或即[或.(4)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，通過整體代換即可證，或.構(gòu)造方式二:對稱構(gòu)造(1)求出函數(shù)的極值點，及單調(diào)區(qū)間.(2)作差比較:構(gòu)造一元差函數(shù).(3)確定函數(shù)的單調(diào)性.(4)結(jié)合，判斷的符號，從而確定的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，通過整體代換即可證，或.證法二:引參消元法，一般有兩種引參方式引參方式一:差式引參一般步驟如下:第一步:根據(jù)和的關(guān)系式，一般為，通過變形，構(gòu)造出.第二步:通過整體代換，令，引入?yún)?shù)，如果可以直接構(gòu)造一元函數(shù)就直接計算，如果不行再進入第三步.第三步:用參數(shù)表示出變量，進而構(gòu)造一元函數(shù).第四步:按照一元函數(shù)處理方式處理.引參方式二:齊次引參消元一般步驟如下:第一步:先根據(jù)已知條件確定出變量，滿足的等式，并變形出，然后令.第二步:用參數(shù)表示出變量，進而構(gòu)造一元函數(shù)，將關(guān)于待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題.第三步:構(gòu)造關(guān)于的一元函數(shù)求解.證法三:齊次分式整體代換消元法一般步驟如下:第一步:先根據(jù)已知條件確定出變量，滿足的條件.第二步:通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題.第三步:整體代換，構(gòu)造關(guān)于的一元函數(shù)求解.證法四:對數(shù)平均不等式法一般步驟如下:第一步:通過等式兩邊同取自然對數(shù)或相減等配湊出“”及“”.第二步:通過等式兩邊同除以“”構(gòu)建對數(shù)平均數(shù).第三步:利用對數(shù)平均不等式將轉(zhuǎn)化為后再證明，或.【例1】已知函數(shù)，如果，且，證明:.【解析】證明法一：對稱構(gòu)造法法二:非對稱構(gòu)造法法三:差式引參換元法法四:齊次分式整體消元法【例2】已知函數(shù),上存在兩個不相等的數(shù),滿足,求證:.

【解析】含參極值點偏移含參極值點偏移問題和無參的證法類似,參數(shù)可分為在函數(shù)中和在不等式中兩種類型,可以通過參變分離,把含參問題轉(zhuǎn)換為無參問題,其處理思路和上一節(jié)一樣,注意將問題轉(zhuǎn)化為,然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性可得,從而得出結(jié)論.

含參型一:函數(shù)含參極值點偏移問題

【例1】已知函數(shù)有兩個零點.

(1)求的取值范圍.

(2)設(shè)是的兩個零點,證明:.

證明法一:非對稱構(gòu)造法

法二:參變分離,再對稱構(gòu)造

法三:參變分離,再非對稱構(gòu)造

含參型二:不等式含參極值點偏移問題

【例1】已知函數(shù),.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若存在兩個不相等的正數(shù),滿足,求證:.

【例2】已知,.若有兩個極值點,且,求證:(為自然對數(shù)的底數(shù)).

【解析】證明法一:零點等式相減相加消參換元法

法二:含參非對稱構(gòu)造

法三:單調(diào)性放縮轉(zhuǎn)換法法四:差式引參消元法

法五:分式引參消元法

極值點偏移變形

一般題型

1.若函數(shù)存在兩個零點且,求證:.

2.若函數(shù)中存在且,滿足,求證:.3.若函數(shù)存在兩個零點且,求證:.

4.若函數(shù)中存在且,滿足,求證:.方法核心:要證明,即比較與極值點的大小,得出所在的單調(diào)區(qū)間,從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),從而結(jié)論得證.對于問題,要結(jié)合基本不等式,,轉(zhuǎn)換為比較與極值點的大小的問題.【例1】已知函數(shù)

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