基本不等式 高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)第1課時(shí)基本不等式第一章預(yù)備知識(shí)/13.2基本不等式課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解基本不等式(a≥0,b≥0).(數(shù)學(xué)抽象)2.結(jié)合具體實(shí)例,能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能運(yùn)用基本不等式證明不等式及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)建模)激趣誘思某金店有一臺(tái)天平,由于左右兩臂長(zhǎng)略有不等,所以直接稱重不準(zhǔn)確.有一個(gè)顧客要買一串金項(xiàng)鏈,店主分別把項(xiàng)鏈放于左右兩盤各稱一次,得到兩個(gè)不同的質(zhì)量a和b,然后就把兩次稱得的質(zhì)量的算術(shù)平均值

作為項(xiàng)鏈的質(zhì)量來計(jì)算價(jià)格.顧客對(duì)這個(gè)質(zhì)量的真實(shí)性提出了質(zhì)疑,他認(rèn)為項(xiàng)鏈的質(zhì)量應(yīng)該用

來計(jì)算.如果按金店的計(jì)算方式,顧客是吃虧了還是占便宜了呢?請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后給出你的判斷.知識(shí)點(diǎn)撥一、基本不等式

2.基本不等式可以表述為:兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值.3.基本不等式的幾何解釋:同一個(gè)半圓中,半徑大于或等于半弦.微拓展1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).這個(gè)不等式叫重要不等式.它成立的條件是a,b∈R.2.它的幾個(gè)常見變形式有:微練習(xí)

因?yàn)閍b>0,a,b同號(hào),所以a=b,即等號(hào)成立的條件是a=b.二、利用基本不等式求最值當(dāng)x,y均為正數(shù)時(shí),下面的命題均成立:名師點(diǎn)析1.上述的結(jié)論也叫作最值定理.語言描述為:(1)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí),它們的積有最大值;(2)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí),它們的和有最小值.可簡(jiǎn)記為“和定積最大,積定和最小”.2.應(yīng)用上述結(jié)論時(shí)要注意以下三點(diǎn):(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.微練習(xí)已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

解析(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴xy≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),等號(hào)成立,∴xy的最大值為4.答案(1)4

(2)4探究一對(duì)基本不等式的理解例1下列說法正確的是(

)答案B要點(diǎn)筆記應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意以下三點(diǎn)(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.變式訓(xùn)練1下列結(jié)論不成立的是(

)A.若a,b∈R,則a10+b10≥2a5b5D.若a∈R,則有a2+9≥6a答案C探究二利用基本不等式證明不等式分析(1)不等式的左邊是和式,右邊是帶根號(hào)的積式之和,用基本不等式,將和變積,并證得不等式.(2)不等式右邊的數(shù)字為8,使我們聯(lián)想到對(duì)左邊因式分別使用基本不等式,可得三個(gè)“2”連乘;可由此變形入手.反思感悟利用基本不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)利用基本不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有和式或積式,通過將和式轉(zhuǎn)化為積式或?qū)⒎e式轉(zhuǎn)化為和式,從而達(dá)到放縮的目的.(2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到.(3)解題時(shí)要注意技巧,當(dāng)不能直接利用基本不等式時(shí),可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造,以滿足能使用基本不等式的形式.(4)在證明不等式的過程中,注意充分利用“1”的代換,即把常數(shù)1替換為已知的式子,然后經(jīng)過整理后再利用基本不等式進(jìn)行證明.變式訓(xùn)練2(1)已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.當(dāng)且僅當(dāng)ab=cd,且ac=bd時(shí),等號(hào)成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)由于a+b=2,探究三利用基本不等式求最值A(chǔ).6 B.5 C.4 D.3(2)已知a>0,b>0,且ab=1,則a+4b的最小值為

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答案(1)A

(2)4延伸探究例題第(2)問,改為“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.素養(yǎng)形成一題多解——利用基本不等式求最值

解(方法一)已知條件從形式上認(rèn)為是兩項(xiàng)之和,問題的類型是求最小值,所以根據(jù)基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),需要尋找乘積是定值的條件.(方法二)用基本不等式求最值的題目很多是以雙變?cè)獥l件下的最值的形式呈現(xiàn)的,采用消元將問題轉(zhuǎn)化為單變?cè)獑栴}.在此基礎(chǔ)上,或直接求最值,或換元法后求最值,都可以將難度有效降低.要點(diǎn)筆記根據(jù)已知的條件形式,合理地選擇方法,簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確地求解,是解決問題的重點(diǎn)和目標(biāo),需要總結(jié)、反思和積累.當(dāng)堂檢測(cè)答案DA.最小值12 B.最大值12C.最小值144 D.最大值144答案C4.(2020江蘇,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是

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高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)第2課時(shí)習(xí)題課基本不等式的應(yīng)用第一章預(yù)備知識(shí)/13.2基本不等式探究一利用基本不等式求函數(shù)和代數(shù)式的最值1.通過變形后應(yīng)用基本不等式求最值例1求下列函數(shù)的最值,并求出相應(yīng)的x值.反思感悟利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知條件和欲求的式子,運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號(hào)方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性(在第二章學(xué)習(xí)).

答案D2.應(yīng)用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值

答案4要點(diǎn)筆記在利用基本不等式求最值時(shí),常用的技巧就是“1”的代換,其目的是借助“1”將所求式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,優(yōu)化到能夠利用基本不等式求解為止.答案13.含有多個(gè)變量的條件的最值問題

反思感悟含有多個(gè)變量的條件最值問題,一般方法是采取減少變量的個(gè)數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決;如果條件等式中,含有兩個(gè)變量的和與積的形式,還可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過解不等式進(jìn)行求解,或者通過構(gòu)造一元二次方程,利用根的分布解決問題.延伸探究本例中,若將條件改為“正數(shù)a,b滿足2a+b+6=ab”,求ab的最小值.探究二利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用中的最值問題例4如圖,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌,該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(如圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的長(zhǎng)與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告牌面積最小?即當(dāng)x=140,y=175時(shí),S取得最小值24500.故當(dāng)廣告牌的寬為140cm,長(zhǎng)為175cm時(shí),可使矩形廣告牌的面積最小.反思感悟求實(shí)際問題中最值的一般思路:(1)先讀懂題意,設(shè)出變量,理清思路,列出函數(shù)關(guān)系式.(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最值問題.(3)在定義域內(nèi),求函數(shù)的最值時(shí),一般先考慮用基本不等式,當(dāng)用基本不等式求最值的條件不具備時(shí),再考慮函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)性在第二章學(xué)習(xí)).(4)正確寫出答案.變式訓(xùn)練2某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購(gòu)入每臺(tái)價(jià)值為2000元的電視機(jī)共3600臺(tái),每批都購(gòu)入x臺(tái)(x是自然數(shù)),且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元,貯存購(gòu)入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電視機(jī)的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比,若每批購(gòu)入400臺(tái),則全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用43600元.現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費(fèi)用,請(qǐng)問:如何恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由.故只需每批購(gòu)入120臺(tái),可以使資金夠用.素養(yǎng)形成基本不等式的變形技巧技巧一:裂項(xiàng)分析先盡可能地讓分子的變量項(xiàng)和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母所含變量因子的次數(shù)大或相等),然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值,進(jìn)而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數(shù)和為零,同時(shí)取到等號(hào)).技巧二:添項(xiàng)

分析當(dāng)求和的最小值時(shí),盡可能湊定積,本題需添6,再減6.技巧三:放入根號(hào)內(nèi)或兩邊平方

分析求積的最值(因式中含根號(hào)),把變量都放在同一個(gè)根號(hào)里或者將兩邊平方去根號(hào),整合結(jié)構(gòu)形式,湊成定和,是解決本題的關(guān)鍵所在.當(dāng)堂檢測(cè)1.函數(shù)y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是(

)答案DA.12 B.