函數(shù)的單調(diào)性和最值 高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解函數(shù)單調(diào)性的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.(直觀想象)3.能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性.(邏輯推理)激趣誘思我們知道,“記憶”在我們的學(xué)習(xí)過程中扮演著非常重要的角色,因此有關(guān)記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題.德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對(duì)記憶保持量進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究,并給出了類似右圖所示的記憶規(guī)律.如果我們以x表示時(shí)間間隔(單位:h),y表示記憶保持量,則不難看出,圖中y是x的函數(shù),記這個(gè)函數(shù)為y=f(x).這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律?你能從中得到什么啟發(fā)?知識(shí)點(diǎn)撥一、增函數(shù)、減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D:如果對(duì)于任意的x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)條件特別地,當(dāng)I是定義域D上的一個(gè)區(qū)間時(shí)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降名師點(diǎn)析x1,x2的三個(gè)特征:(1)同區(qū)間性,即x1,x2∈I;(2)任意性,即不可用區(qū)間I上的兩個(gè)特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區(qū)分大小,通常規(guī)定x1<x2.微練習(xí)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上(

)A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)C.先增后減D.單調(diào)性不能確定解析由于函數(shù)單調(diào)性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區(qū)間內(nèi)幾個(gè)有限的函數(shù)值的關(guān)系,是不能作為判斷單調(diào)性的依據(jù)的,故選D.答案D微拓展單調(diào)性的等價(jià)結(jié)論二、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.此時(shí),區(qū)間I為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.名師點(diǎn)析自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系:(1)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則x1<x2?f(x1)<f(x2),x1>x2?f(x1)>f(x2).(2)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則x1<x2?f(x1)>f(x2),x1>x2?f(x1)<f(x2).即可以利用單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化.微練習(xí)根據(jù)下圖寫出在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.解函數(shù)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,2]上單調(diào)遞增,在[2,4]上單調(diào)遞減,在[4,5]上單調(diào)遞增.微思考函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否說函數(shù)y=在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減?提示不能.不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號(hào)“∪”連接.如y=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減.探究一判斷函數(shù)的單調(diào)性1.利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性例1根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.分析本題中所給出的兩個(gè)函數(shù)解析式中均含有絕對(duì)值,可以采取去絕對(duì)值的方法,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)再畫出函數(shù)的圖象,也可以通過圖象變換得到函數(shù)圖象.通過圖象觀察判斷函數(shù)的單調(diào)性.解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.函數(shù)圖象如圖所示,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.反思感悟圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性的注意點(diǎn)圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性主要用于常見函數(shù)(如一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)的單調(diào)性判斷,或應(yīng)用于能通過常見函數(shù)圖象的平移、翻折等變換得到所給函數(shù)的圖象,從而進(jìn)行單調(diào)性的判斷.變式訓(xùn)練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖象如右圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,1],[2,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.2.利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性

反思感悟利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的思路當(dāng)函數(shù)解析式通過變換、轉(zhuǎn)化之后,是由幾個(gè)基本函數(shù)的解析式構(gòu)成的,則可分析這幾個(gè)基本函數(shù)的單調(diào)性,看是否符合單調(diào)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的規(guī)律,若符合,可直接得出結(jié)論,否則,不能用這種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.此外,研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí),一定要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.探究二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后通常進(jìn)行因式分解.(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,探究三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與f的大小.分析要比較兩個(gè)函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,故a>0.設(shè)y=ax-1,x∈(-∞,1),因?yàn)閍>0,所以y<a-1.而當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x2+1單調(diào)遞增,且此時(shí)f(x)min=12+1=2,故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范圍是(0,3].答案(0,3]反思感悟1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).3.由分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí),一般從兩個(gè)方面思考:一方面每個(gè)分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面是考慮端點(diǎn)處的銜接情況,由此列出另一相關(guān)式子,求解即可.變式訓(xùn)練4已知函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],且在[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.素養(yǎng)形成復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x)),設(shè)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間[g(a),g(b)]或區(qū)間[g(b),g(a)]上也是單調(diào)函數(shù),那么f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如何呢?下面我們來探討一下.(1)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,且y=f(t)也單調(diào)遞增:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因?yàn)閠=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)也單調(diào)遞增,所以有f(g(x1))<f(g(x2)),則根據(jù)增函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.(2)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,y=f(t)單調(diào)遞減:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因?yàn)閠=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)單調(diào)遞減,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),則根據(jù)減函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減.類似地,我們不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞增時(shí),則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減;當(dāng)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞減時(shí),則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.根據(jù)上面的探討,y=f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如下表所示,簡記為“同增異減”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而成的,則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由基本函數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).典例已知函數(shù)f(x)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

解析∵f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.令u=1-x2(u≥0),則f(1-x2)=f(u).當(dāng)x∈[0,1]時(shí),u=1-x2單調(diào)遞減,則f(1-x2)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),u=1-x2單調(diào)遞增,則f(1-x2)單調(diào)遞減.故f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0].答案[-1,0]要點(diǎn)筆記對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),把函數(shù)y=f(g(x))通過中間變量t分解為兩個(gè)函數(shù):外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x),內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)定義域的子集.要先確定復(fù)合函數(shù)的定義域,再確定單調(diào)區(qū)間.當(dāng)堂檢測(cè)1.若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)解析當(dāng)2k+1<0,即k<-時(shí),函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù).答案D2.函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的所有單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.[-4,-2] B.[1,4]C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]答案C3.若函數(shù)f(x)=x2+3ax+5在區(qū)間(-∞,5)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)答案A4.下列函數(shù)不在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|解析由一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=|x|的圖象與性質(zhì)知,只有選項(xiàng)C中的函數(shù)符合題意.故選C.答案C5.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),且f(x-2)<f(1-x),則x的取值范圍為

.

高中數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)第2課時(shí)函數(shù)的最值第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性,求一些簡單函數(shù)的最值(或值域).(直觀想象)3.能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.(數(shù)學(xué)建模)激趣誘思某超市銷售一種飲料,每瓶進(jìn)價(jià)為9元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明,當(dāng)售價(jià)在10元到14元之間(包含10元,14元)浮動(dòng)時(shí),每瓶飲料售價(jià)每增加0.5元,日均銷售量減少40瓶;當(dāng)售價(jià)為每瓶12元時(shí),日均銷售量為400瓶.那么當(dāng)銷售價(jià)格定為每瓶多少元時(shí),所得日均毛利潤最大?最大日均毛利潤是多少元?同學(xué)們,你能幫助超市完成定價(jià)嗎?知識(shí)點(diǎn)撥函數(shù)的最值1.定義名稱前提條件圖象函數(shù)的最大值M設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D.若存在實(shí)數(shù)M,對(duì)所有的x∈D都有f(x)≤M且存在x0∈D,使得f(x0)=M函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)其圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)函數(shù)的最小值M都有f(x)≥M函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)其圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)2.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.名師點(diǎn)析函數(shù)的最值和值域的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系:函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的基本性質(zhì),針對(duì)的是整個(gè)定義域.(2)區(qū)別:①函數(shù)的值域一定存在,而函數(shù)的最大(小)值不一定存在;②若函數(shù)的最值存在,則最值一定是值域中的元素;③若函數(shù)的值域是開區(qū)間(兩端點(diǎn)都取不到),則函數(shù)無最值;若函數(shù)的值域是閉區(qū)間,則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.微思考若函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的增(或減)函數(shù),這個(gè)函數(shù)有最值嗎?如果是區(qū)間(a,b)呢?提示若y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的增函數(shù),則其最小值為f(a),最大值為f(b);若為減函數(shù),最大值為f(a),最小值為f(b).若為區(qū)間(a,b),則沒有最值,但可以說值域?yàn)?f(a),f(b))(或f(b),f(a)).微練習(xí)已知函數(shù)f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析由題圖可知,該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.答案C探究一利用函數(shù)的圖象求最值例1已知函數(shù)y=-|x-1|+2,畫出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值情況,并寫出值域.分析去絕對(duì)值→分段函數(shù)→作圖→識(shí)圖→結(jié)論由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域?yàn)?-∞,2].反思感悟圖象法求最值的基本步驟

(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數(shù)的最大值和最小值.解(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.探究二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例2已知函數(shù)

(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.分析(1)證明單調(diào)性的流程:取值→作差→變形→判斷符號(hào)→結(jié)論;(2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系,寫出最值.解(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值為f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.反思感悟函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(或單調(diào)遞增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的線,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.(4)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開閉,若是開區(qū)間,則不一定有最大(小)值.延伸探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.解任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當(dāng)2<x1<x2≤3時(shí),x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.探究三與最值有關(guān)的應(yīng)用問題例3某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出,當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一輛,租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.(1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時(shí),能租出多少輛?(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析讀題→提取信息→建模→解?！鉀Q實(shí)際問題所以當(dāng)x=4050,即每輛車的月租金為4050元時(shí),租賃公司的月收益最大,最大月收益是307050元.反思感悟1.本題建立的是一元二次函數(shù)模型,應(yīng)利用配方法求函數(shù)的最值.2.解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是:(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.(2)建模.將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模.求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原.將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)果還原為實(shí)際問題的結(jié)論.(5)反思回顧.對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)解,必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性.變式訓(xùn)練2某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)=其中x(單位:臺(tái))是儀器的產(chǎn)量.(1)將利潤表示為產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2)當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)當(dāng)x>400時(shí),f(x)=60000-100x單調(diào)遞減,f(x)<60000-100×400<25000.∴當(dāng)x=300時(shí),f(x)max=25000.即產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)利潤最大,最大利潤為25000元.素養(yǎng)形成利用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想求一元二次函數(shù)的最值典例求函數(shù)y=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最值.分析可變對(duì)稱軸x=a→與定區(qū)間[0,2]的相對(duì)位置關(guān)系→結(jié)合單調(diào)性與圖象求解解y=(x-a)2-1-a2.當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,如圖①.故函數(shù)在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當(dāng)0≤a≤1時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象(如圖②)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.當(dāng)1<a≤2時(shí),結(jié)合圖象(如圖③)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=0處取得最大值-1.當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,如圖④.函數(shù)在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;當(dāng)0≤a≤1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當(dāng)1<a≤2時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.反思感悟1.探求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的圖象,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.特別要注意一元二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解一元二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù).一元二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系通常有三種:(1)對(duì)稱軸在所給區(qū)間的右側(cè);(2)對(duì)稱軸在所給區(qū)間的左側(cè);(3)對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi).2.對(duì)于一元二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值可作如下討論:對(duì)稱軸x=h與[m,n]的位置關(guān)系f(x)的單調(diào)性最大值最小值h<m在[m,n]上單調(diào)遞增f(n)f(m)h>n在[m,n]上單調(diào)遞減f(