函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊

第二章

導數(shù)及其應用6用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊2.6.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)第一課時[教材要點]要點導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a，b)上，函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負有如下關(guān)系：導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)________f′(x)<0單調(diào)________f′(x)＝0常數(shù)函數(shù)遞增遞減

(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)＞0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.

[基礎自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減．(

)(2)函數(shù)在某一點的導數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”．(

)(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大．(

)(4)判斷函數(shù)單調(diào)性時，在區(qū)間上的個別點f′(x)＝0，不影響函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性．(

)××√√2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則(

)A．f′(3)>0

B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符號不確定答案：B解析：由圖象可知，函數(shù)f(x)在(1，5)上單調(diào)遞減，則在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故選B.3．導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)答案：D解析：∵當x>0時，f′(x)>0，當x<0時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，故選D.4．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命題乙：f(x)在(a，b)上是單調(diào)遞增的，則甲是乙的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，則f(x)＝x3在(－1，1)上是單調(diào)遞增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要條件．故選A.題型一導函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系例1

(1)設函數(shù)f(x)在定義域上可導，f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f′(x)的圖象可能為(

)答案：D解析：由f(x)的圖象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，因此在x<0時，有f′(x)>0(即全部在x軸上方)，故排除A、C.從原函數(shù)圖象上可以看出，在區(qū)間(0，x1)上原函數(shù)是增函數(shù)，f′(x)>0；在區(qū)間(x1，x2)上原函數(shù)是減函數(shù)，f′(x)<0；在區(qū)間(x2，＋∞)上原函數(shù)是增函數(shù)，f′(x)>0，故排除B，故選D.(2)(多選題)設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，正確的是(

)答案：ABC解析：A，B，C均有可能；對于D，若C1為導函數(shù)，則y＝f(x)應為增函數(shù)，不符合；若C2為導函數(shù)，則y＝f(x)應為減函數(shù)，也不符合，D不可能，故選ABC.方法歸納函數(shù)與導數(shù)圖象間的關(guān)系判斷函數(shù)與導數(shù)圖象間的對應關(guān)系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導函數(shù)的圖象，其次再注意以下兩個方面：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)上，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性．(2)導數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)>0且越來越大f′(x)>0且越來越小函數(shù)值減少得越來越快函數(shù)值減少得越來越慢f′(x)<0且越來越小絕對值越來越大f′(x)<0且越來越大絕對值越來越小跟蹤訓練1

(1)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)答案：D解析：當f′(x)<0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當f′(x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可知：f(x)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函數(shù)應單調(diào)遞增，排除B.故選D.(2)已知y＝x·f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)答案：D解析：當x>0時，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零?f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上遞增，當x≤0時，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上遞減，只有D滿足，故選D.

方法歸納用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導函數(shù)f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)寫出結(jié)論．

答案：C

(2)函數(shù)f(x)＝sinx－x在(0，π)上單調(diào)________．(填“遞增”、“遞減”)．遞減解析：因為f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cosx－1<0.所以函數(shù)f(x)＝sinx－x在(0，π)上單調(diào)遞減．

變式探究本例中的條件“a>0”改為“a∈R”，結(jié)果如何？

方法歸納在討論含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性時，若f′(x)中的參數(shù)不容易判斷其正負時，需要對參數(shù)進行分類，分類的標準：(1)按導函數(shù)是否有零點分大類；(2)在大類中再按導數(shù)零點的大小分小類；(3)在小類中再按零點是否在定義域中分類．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x，討論f(x)的單調(diào)性．

【易錯警示】出錯原因糾錯心得忽略了函數(shù)f(x)的定義域．在討論函數(shù)的單調(diào)性時，要特別注意函數(shù)的定義域．[課堂十分鐘]1．已知f′(x)是f(x)的導函數(shù)，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)答案：C解析：由導函數(shù)的圖象可知，當x<0時，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當0<x<x1時，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當x>x1時，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)，觀察選項易知C正確，故選C.2．如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，則在(0，＋∞)上f(x)的單調(diào)性是(

)A．遞增

B．遞減C．先減后增D．先增后減答案：A解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上遞減，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，∴在(0，＋∞)上f(x)遞增．故選A.3．“m<4”是“函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A

4．設f(x)＝x－sinx，則f(x)(

)A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點的減函數(shù)D．是沒有零點的奇函數(shù)答案：B解析：由題意知f(0)＝0，f(x)的定義域為R.∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)是增函數(shù)，故選B.5．設函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

第二章

導數(shù)及其應用6用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)高中數(shù)學北師大版選擇性必修第二冊2.6.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)第二課時[基礎自測]1．函數(shù)y＝x－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A．(－1，1]

B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D．(0，1]答案：D

2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)答案：B解析：f′(x)＝3x2＋a，由題意知3x2＋a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．所以a≥－3.故選B.

答案：D

4．函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．

方法歸納(1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中只能在定義域上，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連結(jié)，而只能用“逗號”或“和”字隔開．

變式探究1本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞增”，實數(shù)a的取值范圍如何？

變式探究2本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，實數(shù)a的取值范圍又如何？

變式探究3本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上不單調(diào)，”則實數(shù)a的取值范圍又如何呢？

方法歸納根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題．跟蹤訓練2

(1)若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在區(qū)間[m，m＋4]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______________________．

(2)已知函數(shù)f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1]，a>0，若f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，則a的取值范圍為__________．

答案：C

答案：D

答案：C解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域是R.因為f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．因為f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．因為不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可轉(zhuǎn)化為f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，即不等式的解集為(－1，4)，故選C.(2)設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________________．

跟蹤訓練3

(1)若定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f′(x)>f(x)，則當a>0時，f(a)與eaf(0)的大小關(guān)系為(

)A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．不能確定答案：B

(2)設定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f′(x)>f(x)，則不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集為________．(1，＋∞)

易錯辨析對函數(shù)單調(diào)遞增(減)的充要條件理解不透致錯例5已知函數(shù)f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為___________．

【易錯警示】出錯原因糾錯心得設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上可導，則當f′(x)>0時，f(x)為增函數(shù)，其解集為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當f′(x)<0時，f(x)為減函數(shù)，其解集為函數(shù)f(x)的單