2024年中考數(shù)學復習考點幫（全國通用）：考點25 直線與圓的位置關系（解析版）

考點25直線與圓的位置關系

在命題趨勢

.

直線與圓的位置關系也是各地中考數(shù)學中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括直線與圓的位置關系、切線

的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心三塊，其中最重要的是切線的性質(zhì)和判定；出題類型可以是小題也

可以是簡答題，一般難度不大，屬于中考中必拿分考點,所以需要考生準確掌握對應規(guī)律方法，不在此失

分。

在知識導圖

相交：直線與圓有2個交點

相切：直線與圓只有一個交點

相離：直線與圓沒有交點

經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線

陋—(

切線長定理：過圓夕1點所作的圓的兩條切線長相等

圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線

判定—(

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

定義：三角形的各邊均與圓相切

內(nèi)切圓的圓心------三角形三條角平分線的交點為內(nèi)心

直角三角形的內(nèi)切圓

也重點考向

■

【中考考查重點】

一、直線與圓的位置關系

二、切線的性質(zhì)與判定

三、三角形的內(nèi)切圓

考向一：直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系

設。。的半徑為r,直線/與。。相交=

圓心。到直線/的

距離為d

直線/與。。相切od=r

直線/與Oo相離od>r

?~▲_______Lz

1.如圖，在△ABC中，AB=4C=5,BC=8,以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）

A

A.點8在。A內(nèi)B.直線BC與OA相離

C.點C在。A上D.直線BC與OA相切

【分析】過A點作AHLBC于H,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到8c=4,則利用勾股

2

定理可計算出AH=3,然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法對A選項和8選項進行判斷：根據(jù)直線與

圓的位置關系對C選項和。選項進行判斷.

【解答】解：過A點作于，，如圖，

'：AB=AC,

:.BH=CH=LBC=4,

2

在中，A”=VAB2-BH2=V52-42=3>

VAB=5>3,

???8點在。4外，所以A選項不符合題意；

"：AC=5>3,

.?.C點在。A外，所以C選項不符合題意；

；.AH=3,AH1BC,

直線BC與。4相切，所以。選項符合題意，B選項不符合題意.

故選：D.

BHC

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點8、C,半徑為2的。P的圓心P從

點A(8,〃])(點A在直線y=x-4上)出發(fā)以每秒加個單位長度的速度沿射線AC運動，設點尸運動

2或6或10時,OP與坐標軸相切.

【分析】設。P與坐標軸的切點為D,根據(jù)已知條件得到A(8,4),B(4,0),C(0,-4),推出△

O8C是等腰直角三角形，NOBC=45°,①當。P與x軸相切時，②如圖，0P與x軸和y軸都相切時,

③當點P只與)，軸相切時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結論.

【解答】解：設。尸與坐標軸的切點為，

;直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點8、C,點A(8,m),

，x=0時，y=-4,y=0時，x=4,x=8時，y=4,

/.A(8,4),B(4,0),C(0,-4),

."8=4&,AC=8&，OB=OC=4,

是等腰直角三角形，NO8C=45°,

???點。是切點，OP的半徑是2,

軸，PD=2,

???△3QP是等腰直角三角形，

：.BD=PD=2,PB=2&,

:.AP=AB-PB=2近,

；點、P的速度為每秒逐個單位長度,

.*.r=2；

②如圖，OP與x軸和y軸都相切時,

?尸8=2&,

：.AP=AB+PB=6y[2<

:點p的速度為每秒個單位長度,

.*.r=6；

③當點P只與），軸相切時,

：尸。=2&,

."P=AC+PC=10&,

,/點P的速度為每秒加個單位長度,

.?"=10.

綜上所述，則當f=2或6或10秒時，。尸與坐標軸相切，

故答案為：2或6或10.

3.如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑1,直線/的解析式為），=.若直線/與半圓只有一個

交點，則/的取值范圍是/=后或-10<1.

【分析】若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直

線過點8結束（不包括直線過點4）.

當直線和半圓相切于點C時，根據(jù)直線的解析式知直線與x軸所形成的銳角是45。，從而求得NOOC

=45°,即可求出點C的坐標，進一步求得f的值；當直線過點8時，直接根據(jù)待定系數(shù)法求得f的值.

【解答】解：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始

到直線過點8結束（不包括直線過點A）.

直線y=x+r與x軸所形成的銳角是45°.

當直線和半圓相切于點C時，則0C垂直于直線，ZCOD=45°.

又OC=I,則CZ>=OO=亞，即點C（-亞，區(qū)?），

222

把點C的坐標代入直線解析式，得

t=y-x=V2>

當直線過點A時，把點A（-1,0）代入直線解析式，得/=廠》=1.

當直線過點8時，把點8（1,0）代入直線解析式，得r=y-x=-1.

即當，=&或-時，直線和圓只有一個公共點；

4.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，NACB=60°,AO經(jīng)過圓心。交。。于點E,連接B￡>,NADB=

30°.

（1）判斷直線8。與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若AB=2百，求圖中陰影部分的面積.

B

【分析】（1）連接BE,根據(jù)圓周角定理得到NAEB=NC=60°,連接。8,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

NBOO=60°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結論;

（2）根據(jù)圓周角定理得到N48E=90°,解直角三角形得到0B,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得

到結論.

【解答】解：（1）直線與。0相切,

理由：如圖，連接8E,

VZACB=60°,

；.NAE8=NC=60°,

連接。8,

■:OB=OC,

.'./XOBE是等邊二角形,

AZBOD=60",

VZADB=30°,

.../OBO=180°-60°-30°=90°,

/.OBLBD,

是。。的半徑，

直線8。與。。相切;

（2）如（1）中圖，

是OO的直徑,

AZABE=9Q0,

二AB二2向二匾

?,sinZAEB=sin60°

7E=AE~

：.AE=4.

???08=2,

VOB1.BD,ZADB=30°,

,?tanZADB=tan30°=^77

???BD=2M，

,圖中陰影部分的面積=SAOBD-S扇形BOE=92X2V3-喈#爸?

E

C

考向二：切線的性質(zhì)與判定

定義當直線與圓有且僅有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線

判定圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

性質(zhì)經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線

切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等

方技巧

1.切線的判定：常用方法一有切點，連半徑，證垂直!

無切點，作垂直，證半徑!

☆特別地：

題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證JL,先找_L”

2.切線的性質(zhì)：常用方法一見切點，連半徑，得垂直！

因切線所得結論必為，，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題

典例引砥

1.如圖，A8是。。的直徑，C、。是。。上的點，過點C作。。的切線交84的延長線于點E,/E=50°,

則NCD4等于（)

D

A.20°B.25°C.40°D.70°

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可知NOCE=90。再由直角三角形的性質(zhì)得出NCOE的度數(shù)，由

圓周角定理即可得出結論.

【解答】解：連接OC,AD,

YCE是。。的切線，

AZOCE=90°,

'.?Z￡=5O0,

...NCOE=90°-50°=40°,

/.ZCDB=1.ZCOE=20°,

2

.\ZCDA=900-NCDB=10°,

故選：D.

D

2.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，如圖，AC,8。分別與。。相切于點

C,點￡）,延長AC,BO交于點P.若/尸=120°,。。的半徑為5,則圖中弧8的長為（）

冬兀冬兀

A.沙B.汐C.D.

36

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。62=/。。2=90°,再利用四邊形的內(nèi)角和計算出NCOO=60°,

然后根據(jù)弧長公式計算出弧CD的長度.

【解答】解：8￡）分別與。0相切于點C,點E>,

AOC±AC,OD上BD,

：./OCP=NODP=90°,

VZP=120°,

AZCOD=180°-120°=60°,

.??弧CD的長=§0乂兀X5=$n.

1803

故選：A.

3.如圖，PA.PB、CE分別與O。相切于點A、B、D點,若圓O的半徑為6,。尸=10,則的周長

【分析】連接OA，由切線的性質(zhì)得。4,以，到由切線長定理得到CA=CC,ED=EB,PA=PB,推出

△PCE周長=2必，由勾股定理求出必的長即可.

【解答】解：連接。4，

,：PA,PB、CE分別與。。相切于點4、B、/）點，

：.CA=CD,ED=EB,PA=PB,OAVPA,

/\PCE1^=PE+PC+EC=PE+PC+EB+CA=PB+PA=2PA,

在Rt△鞏。中，PA1=PO1-OA2,

...用=、102_62=8,

.?.△PCE周長=2%=16.

故選：C.

4.如圖所示，A8是O。的直徑，。。交3c的中點于。，OE_LAC于E,連接AZ）,則下列結論：①ADL

BC;@ZEDA=ZB；③。A=」MC；④OE是。。的切線，正確的有（）

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由直徑所對的圓周角是直角，即可判斷出選項①正確；由。為A8中點，得到A0為A8的一半，

故A0為AC的一半，選項③正確；由0D為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到0D

與AC平行，由4c與。E垂直得到。。與OE垂直，即/ODE為90°,故。E為圓。的切線，選項④

正確.

【解答】解：是。。直徑，

.?.乙4。8=90°,

C.ADLBC,選項①正確；

連接。￡>,如圖，

?。為5c中點，。為AB中點，

二。。為△ABC的中位線，

.'.OD//AC,

XDE±AC,.,.ZD￡A=90°,

：.ZODE^90°,

為圓。的切線，選項④正確；

又OB=OD,

：.ZODB=ZB,

為圓。的直徑，

AZADB=90°,

VZED4+ZADO=90°,ZBDO+ZADO=90a,

：.ZEDA=ZBDO,

；.NEDA=NB,選項②正確；

由。為BC中點，且4D_LBC,

...AC垂直平分BC,

：.AC^AB,又。A=L1B,

2

：.OA=kAC,選項③正確;

2

則正確結論的個數(shù)為4個.

故選：D.

5.如圖，在AAOB中，ZAOB=90°,OB=3,半徑為1的。。與OB交于點C,且AB與。。相切，過點

C作CDLO8交AB于點。，點M是邊OA上動點.則△MCZ）周長最小值為（）

【分析】如圖，延長C。交。。于點￡,連接EQ,交AO于點〃，此時MC+MQ的值最小.設A8與。。

相切于凡連接OF,得到NOF8=90°,根據(jù)勾股定理得到BF=>/0B2_0F2=>y32_12=2V2；根

據(jù)切線的性質(zhì)得到DF=CD,再根據(jù)勾股定理即可得結論.

【解答】解：如圖，延長CO交。。于點E,連接ED交AO于點M,此時MC+M0的值最小.

設A8與00相切于F,

連接OF,

則NOFB=90°,

?:0C=1,

:.OF=OC^\,

BF=7OB2-OF2=^32-122&；

,：CDLOB,OC為OO的半徑，

...CO是。。的切線，

:.DF=CD,

VZDCB=90°,

CD1+CB2=BD2,

ACD2+22=(2V2-CD)2,

解得：CD=e,

2____________

?,?￡,￡=VCD2<E2=^(2J-)2+22=-^

二△MCQ周長最小值為1_+則2=2芯,

22

故選：A.

考向三：三角形的內(nèi)切圓

三角形外接圓與內(nèi)切圓之間的關系

三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓

A

圖形

圓心O為外心：三邊垂直平分線的交點0為內(nèi)心：三條角平分線的交點

特征三角形各頂點均在圓上三角形各邊均與圓相切

性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點的距離三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

相等

常用直角三角形外接圓的圓心為斜邊中點

S/\ARC=-f(Q+b+C)(a、b、c為AABC的三邊

結論

長，r為OO的半徑)；ZBOC=90°+-ZA

2

典例引

1.如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為。，E,F,且/A=90°,AB=5,BC=\3,則。。的半徑

是()

A.1B.V3C.2D.2A/3

【分析】設OO=Of=AF=A0=x,利用切線長定理，構建方程，解方程即可解決問題.

【解答】解：在RtAABC中,

VZ4=90°,A8=5,8c=13,

；?Ac=VBC2-AB2=12,

；。。為Rt^ABC的內(nèi)切圓，切點分別為。，E,F,

：.BD=BE,AD=AF,CF=CE,

如圖，連接0￡>,OF,

：OO是aABC的內(nèi)切圓，切點分別為D,E,F,

：.ODA.AB,OFA.AC,OD=OF,

：.ZODA=ZA=ZOM=90°,

四邊形A。。尸是正方形，

設O￡>=OF=AF=AO=x,貝ijCE=CF=12-x,BD=BE=5-x,

；8E+CE=13,

A5-x+12-x=13,

：.x=2,

則圓。的半徑為2.

故選：C.

2.如圖，△ABC的內(nèi)切圓與AB,BC,CA分別相切于點。，E,F,若NDE尸=50°,則的度數(shù)是

()

C.90°D.80°

【分析】連接O。、OF,如圖，先根據(jù)圓周角定理得到/￡>OF=2/Z)EF=10()°,再根據(jù)切線的性質(zhì)得

OD1.AB,OF1.AC,則/A￡)O=/AFO=90°,然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和計算/A的度數(shù).

【解答】解：連接。。、OF,如圖：

VZD￡F=50°,

VZDOF^2ZDEF=100°,

：OO是△A8C的內(nèi)切圓，與48、C4分別相切于點。、F,

：.OD^AB,OFX.AC,

ZADO=ZAFO=90a,

.../A+/OOF=180°,

.?./A=180°-100°=80°.

故選：D.

3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.。。是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切

于點￡>、E、F,則圓心O到頂點A的距離是()

A.272B.3C.V10D.2V3

【分析】如圖，連結OO,OE,OF,設O。半徑為r,根據(jù)勾股定理得到A8=YAC2+BC2=5,根據(jù)切

線的性質(zhì)得到AC1OD,ABVOF,BCLOE,且OF=OD=OE=r,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CE=CD=

OD=r,根據(jù)勾股定理得到40=｛人口240口2=0^?

【解答】解：如圖，連結00,0E,0F,設。0半徑為小

A

VZC=90°,AC=4,BC=3,

Ay4B=7AC2+BC2=5,

??,G)O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點。、E、F,,

：.AC±OD.ABLOF,BC1OE,OF=OD=OE=n

???四邊形OEC尸是正方形，

：.CE=CD=OD=r,

：.AD=AF=AC-CD=4-r,BF=BE=BC-CE=3-r,

9：AF+BF=AB=5,

A3-r+4-r=5,

r~-1.

：?OD=CD=1,

.\AD=3.

?，M6>=VAD2-K)D2=<'/^'

故選：c.

4.如圖，在aABC中，N4=80°,半徑為3c/n的是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB,OC,分別交。。于

D,E兩點，則征的長為—整￡_.(結果用含TT的式子表示)

-6-

【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出圓心角。OE的度數(shù)即可得出陰影部分的面積.

【解答】解：；NA=80°,。。是△48C的內(nèi)切圓,

ZDOE=180°-(yZABC+yZACB)=18。°--1(180°-NA)=130。,

...OE的弧長=@1上3=@三(cm),

1806

故答案為：1321.

6

5.已知，如圖，AB為。0的直徑，ZVIBC內(nèi)接于。0,BOAC,點尸是△ABC的內(nèi)心，延長CP交00

于點力，連接BP.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知。。的半徑是3&,CC=8,求BC的長.

A

D

【分析】(1)由圓周角定理得出NAC8=90°,由內(nèi)心得出NACD=NBCP=45°,NCBP=NEBP,Z

ABD=ZACD=45°,由三角形的外角性質(zhì)得出NOPB=NO8P,即可得出結論；

(2)連接AO,由圓周角定理得出NA8Q=45°,證出△ABO是等腰直角三角形，得出亞A8=6,

2

由勾股定理可求8H的長，即可得出結果.

【解答】(1)證明：:AB為直徑，

AZACB=90°,

1點P是AABC的內(nèi)心，

...NAC￡)=N8CP=45°,NCBP=NEBP,

.../A8D=NAC￡>=45°,

■:NDPB=NBCP+NCBP=45°+ZCBP,NDBP=NABD+NEBP=45°+ZEBP,

:.NDPB=NDBP,

；.BD=DP；

(2)解：連接AC,過點8作8H_LCL>于H,如圖所示:

."8=6&,△A8O是等腰直角三角形,

,80=2^^48=亞X6&=6,

22

'：ZBCD=45°,BHLCD,

:.NBCH=/CBH=45°,

：.BH=CH,

：.8C=&8”,

,;BN=DH2+BH2,

.\36=(8-BH)2+BH2,

:.BH=4±風,

；.8C=4&±2.

處跟蹤訓練

■.

1.（2022秋?太倉市期末）如圖，AB是。。的切線，切點為B,連接AO與。0交于點C,點。為BIIC上一

點，連接B。，CD.若NA=36°,則N8OC的度數(shù)為（）

A.32°B.18°C.27°D.36°

【分析】連接08,由切線的性質(zhì)得出/A8O=90°,由圓周角定理可得出答案.

【解答】解:連接。8,

?.S8為。。的切線，

OBA.AB,

：.ZABO=90Q,

：NA=36°,

.?.408=90°-乙4=90°-36°=54°,

.?./B￡>C=2/AOB=27°,

2

故選：C.

2.（2020?南通二模）如圖，AB是。。的直徑，DB、分別切。。于點B、C,若NAC￡=25°,則

的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】連接BC,由弦切角定理得/ACE=/ABC,再由切線的性質(zhì)求得/O8C,最后由切線長定理求

得/。的度數(shù).

【解答】

,:DB、DE分別切OO于點8、C,

：.BD=DC,

,：ZACE=25°,

AZABC=25°，

?「AB是OO的直徑，

AZACB=90°,

：.ZDBC=ZDCB=90°-25°=65°,

：.ZD=50°.

,:DB,0c是。。的切線，B,C是切點，

.\ZOCE=ZOBD=90Q,BD=DC,

U：OA=OC,

:.NA=NOCA,

〈AB是直徑，

/.ZACB=90°,

，NA+/A8C=90°,NOC4+N4"=90”，

AZACE=ZABC=25°,

工NBDC=NDCB=90°-25°=65°,

AZD=180°-2X65°=50°,

故選：A.

3.（2022秋?徐州期末）如圖，己知OC的半徑為J5，正三角形ABC的邊長為6,P為AB邊上的動點,

過點尸作OC的切線尸。，切點為Q,則尸。的最小值為（）

A.5B.734C.2V10D.6

【分析】連接C。、CP,過點C作于，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQ_LP。，根據(jù)勾股定理求出PQ,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出C”，根據(jù)垂線段最短解答即可.

【解答】解：連接CQ、CP,過點C作于〃,

是。C的切線，

：.CQLPQ,

；?p2=VPC2-CQ2=VcP2-2,

當CPLAB時，CP最小，2。取最小值,

,/△ABC為等邊三角形，

.,.ze=60°,

.?.CH=BUsinB=3禽，

PQ的最小值為：個（）2-2=5，

故選：A.

4.（2022秋?莊河市期末）如圖，長方形ABC。中，AB=4,40=2,圓8半徑為1,圓A與圓8外切，則

點C、D與圓4的位置關系是（）

A.點C在圓A外，點。在圓A內(nèi)

B.點C在圓A外，點。在圓A外

C.點C在圓4上，點。在圓A內(nèi)

D.點C在圓A內(nèi)，點。在圓A外

【分析】先根據(jù)兩圓外切求出A的半徑，連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC的長，進而可得出結論.

【解答】解：；4B=4,。8半徑為1,。4與。8外切，

：.QA的半徑為4-1=3,

'：AD=2<3,

.?.點。在圓內(nèi);

連接AC,

"：BC=AD^2,

."。="2+22=2近>3,

.?.點C在圓外.

5.(2022秋?欒城區(qū)期末)如圖，△ABC內(nèi)接于00,過A點作直線。E,當NBAE=()時，直線。E

與。。相切.

ZBACC.ZCD.ZDAC

【分析】苜先過點。作直徑4凡連接8凡根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得NC=NAF8,進而可得到

/BAE=NF,再根據(jù)直徑所對的圓周角是90°,可證出NAF8+NBAF=90°,再利用等量代換可得/

BAE+ZBAF=90°,進而得到直線DE與。0相切.

【解答】解：當NBAE=/C時，直線CE與。。相切.

理由如下：

作直徑A尸交圓。于F點，連接BF.

VZF,NC是同弧A8所對的角，

.\ZC=ZF,

?；NBAE=NC,

：.NBAE=4F,

：A尸為直徑，

AZABF=90°,

在三角形ABF中，NF+/8AF=90°,

ZF=NBAE,

，NBAE+NBAF=90°,

J.FAVDE,

?：0A是半徑，

直線/）E與。。相切.

故選：C.

6.（2022秋?雄縣期末）在黑板上有如下內(nèi)容：“如圖，AB是半圓。所在圓的直徑，48=2,點C在半圓上,

過點C的直線交AB的延長線于點。.”王老師要求添加條件后，編制一道題目，下列判斷正確的是（）

嘉嘉：若給出NDCB=NBAC,則可證明直線CO是半圓。的切線；

淇淇：若給出直線CQ是。。的切線，且BC=B。，則可求出△AOC的面積.

C.嘉嘉和淇淇的都不正確D.嘉嘉和淇淇的都正確

【分析】根據(jù)切線的求證方法，如圖所示（見詳解），連接。C,證明OCJ_CO即可求解；根據(jù)切線的性

質(zhì)，BC=BD,可求出等腰三角形，等邊三角形，根據(jù)含特殊角的直角三角形的直線可求出各邊的長度,

由此即可求解.

【解答】解：?.ZB是半圓。所在圓的直徑，

，N4C8=90°,

：.ZOAC^ZOCA,

VZOCA+ZOCB=90°,

：.ZOAC+ZOCB=90°,

嘉嘉給出的條件是：ZDCB^ZBAC,

:.NDCB+NOCB=90°,BPOC1CD,且點C在圓上,

...直線CD是半圓。的切線，故嘉嘉給出的條件正確；

淇淇給出的條件：直線。是。。的切線，且8c=8￡?,如圖所示,

：.OCLCD,且△BCD是等腰三角形，

AZDCB+ZHCO^ZACO+ZBCO=90a,

/ACO=NDCB,

ZCOB=2ZACO,ZCB0=2ZDCB,

：.CO^CB,KCO=BO,

...△OBC是等邊三角形，

AZCAB=ZACB=ZBCD=Z￡>=30°,

：A8=2,

：.OA=OC=OB=BC=BD=I,

."￡)=3,

如圖所示，過點C作CELOB于E,

故選：D.

7.（2022秋?文登區(qū)期末）如圖，等邊三角形ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為點。，E,F.若AB=2?，

則圖中陰影部分的面積為（）

【分析】連接。尺設等邊三角形A8c的內(nèi)切圓圓心為。，連接OD,OF,作。GJ_DFF點G,根據(jù)等

邊三角形A8C的內(nèi)切圓的性質(zhì)，利用扇形面積即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接。F,設等邊三角形ABC的內(nèi)切圓圓心為O,連接OQ,OF,

丫等邊三角形ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為點。，E,F,

J.ODLAB,OF±AC,

...點。是AB的中點，

,.?/0。4=/0以=90,NA=60°,AD=AF,

N。。斤=120°,△4￡)尸是等邊三角形，

二A￡>=AF=O尸=工48=后

2

作OG，。尸于點G,

'：OD=OF,

...OZ)=2OG=1,

，陰影部分的面積=25A。。尸+扇形OOF=2X_1x0F，OG+⑵冗25R=返+2L.

236023

故選：C.

8.（2022秋?順平縣期末）如圖，AB是。0的直徑，DC是。0的切線，切點為點D,過點4的直線與。C

交于點C,則下列結論錯誤的是（）

A.ZBOD=2ZBAD

B.如果A。平分/one,AD=MOD

C.如果AO平分N54C,那么AC_LOC

D.如果CO_L4O,那么4c也是。O的切線

【分析】A.由圓周角定理可得NBOQ=2N84。，便可判斷正誤；

B.由角平分線與等腰三角形的性質(zhì)可知△A0。為等腰直角三角形，可得AD與的數(shù)量關系，便可

判斷正誤；

C.由角平分線與等腰三角形的性質(zhì)得AC〃。。，便可判斷正誤；

D.證明△OAC絲△OCC,得/。4：=/?！?7=90°,便可判斷正誤.

【解答】解：A.,：ZBOD./BAD是俞所對的圓心角、圓周角，

：.ZBOD=2ZBADi故選項正確，不合題意；

B.「AD平分/ODC,OC是。。的切線，

?■?ZADC=ZAD0-1Z0DC=450(

'：OA=OD,則NO4O=NO0A=45°,

/.△A。。為等腰直角三角形，

AD=&0D.

故選項錯誤，符合題意；

C.YAD平分N8AC,

：.ZCAD=ZOAD,

"：OA^OD,則/。4￡>=NOD4,

：.ZCAD^ZODA,

：.AC//OD,

是。。的切線，。。為半徑，

ODLCD,

：.ACLDC,

故選項正確，不合題意；

D.'JCOLAD,

AAE=DE-

ZAOC=ZDOC,

'：OC=OC,OC=OC,

.?.△OAC絲△one(SAS),

：.ZOAC=ZODC=W°,

...AC也是OO的切線，

故選項正確，不合題意；

故選：B.

9.(2022秋?新余期末)如圖,在平面直角坐標系中，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點8、C,半徑為

2的。尸的圓心戶從點A(8,.m)(點A在直線y=x-4上)出發(fā)以每秒加個單位長度的速度沿射線AC

運動，設點P運動的時間為f秒，則當f=2或6或10時,0P與坐標軸相切.

yk

【分析】設。P與坐標軸的切點為D,根據(jù)已知條件得到4(8,4),B(4,0),C(0,-4),推出△

OBC是等腰直角三角形，NO8C=45°,①當。尸與x軸相切時,②如圖，OP與x軸和y軸都相切時,

③當點P只與y軸相切時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結論.

【解答】解：設OP與坐標軸的切點為。，

?.?直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點8、C,點A(8,m),

...x=0時，y=-4,y=0時，x=4,x=8時，y=4,

(8,4),B(4,0),C(0,-4),

；.48=4&,AC=8企，OB=OC=4,

...△08C是等腰直角三角形，NO8C=45°,

①當OP與x軸相切時，

?點。是切點，。2的半徑是2,

.?.PO_Lx軸，PD=2,

.?.△BOP是等腰直角三角形，

：.BD=PD=2,PB=2近,

:.AP=AB-PB=2近,

???點P的速度為每秒加個單位長度,

/=2；

；尸8=2&,

:.AP=AB+PB=6近,

???點P的速度為每秒加個單位長度,

?工，=6；

,:PC=2?,

.?.AP=AC+PC=10&,

..?點P的速度為每秒我個單位長度，

綜上所述，則當f=2或6或10秒時，OP與坐標軸相切，

故答案為：2或6或10.

10.(2022秋?自貢期末)在平面直角坐標系xOy中，己知4(4,4),B(10,0),M(0,4),EUn,0),

F(m+3,0),OM與直線A。相切于點C,點。是線段AB上一動點，則CE+OF的最小值為—竽

【分析】過點C作CE±x軸于點E,延長CE至點G使EG=CE,在x軸上截取EF=3,過點F作FD

軸，交A8于點。，延長。尸至點”使FH=EG,找出CE+DF的最小值為。H；連接AM,MC,過

點C作CNLy軸于點M過點A作AK_Lx軸于點K,利用點的坐標的特征表示出相應的線段的長度，再

利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段力”的長度，則結論可求.

【解答】解：YE(m,0),F(m+3,0).

：.EF=3.

過點C作CELx軸于點E,延長CE至點G使EG=CE,在x軸上截取E尸=3,過點F作F。Lx軸，交

48于點。，延長DF至點H使FH=EG,如圖，

則CE+DF=EG+DF=FH+DF=DH,此時CE+O尸的值最小.

連接AM,MC,過點C作CN，y軸于點M

(4,4),M(0,4),

：.AM±OM,AM=OM=4.

...△AM。為等腰直角三角形，

與直線AO相切于點C,

：.MC1AC,

；.C為A。的中點，

：CN_Ly軸，AMYOM,

：.CN//AM,

：.CN=1AM=2,ON=1.OM=2.

22

■:CNLON,ONLOE,CELOE,

...四邊形NOEC為矩形,

：.CE=ON=2,OE=CN=2,

:.FH=EG=CE=2,OF=OE+EF=5.

過點A作AK_Lx軸于點K,則AK=OK=4,

\'B(10,0),

,08=10,

BK=OB-OK=6,BF=OB-OF=5.

軸，F(xiàn)￡)_Lx軸,

：.AK//DF,

:.ABDFSABAK,

?BFDF

"BK"AK'

?,?—5二DF,

64

：.DF=-^-.

3

：.DH=DF+FH^2+^-=^-.

33

CE+DF的最小值為西.

3

故答案為：li.

11.（2022?南京模擬）如圖，ZVIBC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交BC于E,過8作。。的切線,

交AC的延長線于。.求證：ZCBD=^ZCAB.

【分析】連接AE,利用等腰三角形的性質(zhì)易證入BAE=/CAE=上/。8,由弦切角定理可得NCBD=

ZBAE,所以ZC8Q二工NCA8.

2

【解答】證明：連接AE,

是圓的直徑,

：.AE1,BC,

"：AB=AC,

平分NBAC,

NBAE=ZCAE=1.ZCAB,

2

：8。是。。的切線，

：.ZCBD^ZBAE,

：.ZCBD=^ZCAB.

2

12.(2022秋?承德縣期末)如圖，已知。。的半徑為2,四邊形ABC。內(nèi)接于00,/BA￡>=120°,點A

平分BD，連接。8,OD,延長0。至點M,使得￡>M=。。，連接AM.

(1)NBOD=120°；

(2)判斷AM與。0的位置關系，并說明理由；

(3)當點C在優(yōu)弧前上移動，且5c在。8左側時，若/OBC=20°,求&的長.

B

.A

M

【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得NC=60°,再利用圓周角定理即可求解；

（2）連接0A,由圓內(nèi)接四邊形及圓周角定理得出/30。=120°,乙4。。=60°,結合圖形，利用各

角之間的關系即可得證明；

（3）根據(jù)各角之間的數(shù)量關系及弧長公式求解即可得.

【解答】解：（1）???四邊形ABC。內(nèi)接于。。，

：.ZC+ZBAD=\SOQ,

8A￡）=120°,

/.ZC=60°,

：.ZBOD=2ZC=\20Q,

故答案為：120；

（2）AM與。。相切.理由：如圖1,連接04,

?四邊形48co內(nèi)接于ZBAD=\20°,

/.ZBCD=180°-ZBAD=180°-120°=60°,

：.ZBOD=2ZBCD=\20°,

:點4平分弧BD,

ZA0D=jZB0D=yX120°=60°，

又?.?在。。中，OA=OD,

是等邊三角形，

：.ZOAD=ZODA=()0o,AD=OD,

,:DM=OD,

:.AD=DM,

ZDAM=ZDMA-yZODA=30°，

ZOAMZOAD+ZDAM=60°+30°=90°,

：.OA1,AM,

.?.AM與。。相切.

(3)如圖2所示，連接OC,

;在。。中，OB=OC,

.?./OBC=NOC8=20°,

...在△80C中，ZBOC=140°,

\'ZBOD=[20°,NCO￡>=360°-120°-140°=100°,

弧CZ)的長為100兀X2=10兀

1809

13.(2023?義烏市校級模擬)如圖，AB是圓。的直徑，PB,PC是圓O的兩條切線，切點分別為8,C.延

長54,PC相交于點D

(I)求證：NCPB=2NABC.

(2)設圓。的半徑為2,sin/P8C=2,求PC的長.

【分析】(1)連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，圓周角定理即可證明；

(2)連接OP,OC,。尸和BC交于點E,根據(jù)切線長定理求得BELP。，再利用三角函數(shù)，勾股定理解

RtAOBE和RtAPBE即可解答.

【解答】（1）證明：如圖連結0C,

"：PB,PC是圓。的兩條切線，

:.PC=PB,NPCO=NPBO=90",

：.ZCPB+ZBOC=lSOa,

VZDOC+ZB(7C=180°,

：.ZCPB^ZCOD,

'：ZCOD^2ZABC,

：.NCPB=2NABC；

(2)解：如圖連接OP,OC,OP和8c交于點￡

由切線長定理可得PB=PC,NCPO=NBPO,

,:PE=PE,

:.叢PECg叢PEB(SAS),

:.NPEC=NPEB=90°,

VZPBO=90°,

：.NPOB=4PBE,

'：OB=2,sinNP8C=2,

3

8￡=OBsinNFOB=生

3

；.OE=VOB2-BE2=-|VS,cosZPOB=

：.PB=————,

cosZPBC5V

：.PC=

14.(2022秋?玄武區(qū)期末)如圖，在△ABC中，CA=CB,E為AB上一點,作EF〃BC,與AC交于點凡

經(jīng)過點A,E,尸的。。與8c相切于點。，連接AD

(1)求證：A。平分/BAC；

(2)若AE=5,BE=4,求CO的長.

【分析】(1)連接由切線的性質(zhì)得到OZ)_LBC,由垂徑定理得到底=命，即可證明問題；

(2)連接DE,DF,由圓周角定理，平行線的性質(zhì)可以證明△