2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊 同步講義 第19講 對數(shù)函數(shù)?？?大題型總結(jié) 含解析

第19講對數(shù)函數(shù)常考9大題型總結(jié)

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：對數(shù)函數(shù)的定義

對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=logaX5>0且。WI）叫做對數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)y=，（。>0且

“≠1）的反函數(shù).

考點(diǎn)二：對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

考點(diǎn)三：對數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)α>l時(shí)，隨α的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近X軸；當(dāng)O<α<l時(shí)，對

數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離X軸.（見下圖）

α增大

。增大

【題型目錄】

題型一：對數(shù)函數(shù)的概念

題型二：對數(shù)函數(shù)的定義域

題型三：對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的區(qū)別

題型四：對數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題

題型五：對數(shù)函數(shù)的奇偶性

題型七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

題型七：對數(shù)函數(shù)的值域

題型八：對數(shù)函數(shù)的圖象問題

題型九：由函數(shù)性質(zhì)寫函數(shù)解析式

【典型例題】

題型一：對數(shù)函數(shù)的概念

[例1)(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()

t2

A.γ=logtt(2x)B.y=IglOC.y=logn(x+x)D.y=lnx

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念即得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)曠=108〃%(。>0且4#1)為對數(shù)函數(shù)，

所以ABC均為對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).

故選：D.

【題型專練】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)①>=4*；②y=log,2；③y=-log?x；@y=Iog02G；

⑤y=l0g3X+l;⑥y=l0g2(x+l).其中是對數(shù)函數(shù)的是()

A.O@③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合y=10g.x(α>0且4xl)形式的函數(shù)才是對數(shù)函

數(shù)，其中X是自變量，α是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)：②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，

不是對數(shù)函數(shù)；③中y=T°g3X=log;'是對數(shù)函數(shù)；④中y=k>g026=k>gωwx，是對數(shù)

函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).

故選：C.

題型二：對數(shù)函數(shù)的定義域

【例1】(2022奉新縣第一中學(xué)高一月考)函數(shù)/(x)=??U的定義域?yàn)?)

?∣4-x

A.(1,2]B.[1,4]C.(1,4)D.[2,4]

【答案】C

【詳解】對于函數(shù)〃X)JF-!),有解得l<x<4.

√4-x[4-x>0

因此，函數(shù)“力=可：7)的定義域?yàn)?1,4).故選:C

√4-x

【例2】(2022.福建福州.高二期末)函數(shù)y=JIog2(3x-2)的定義域是

?-卜W)B?(|,+8)C.f∣,l]D.

【答案】D

【分析】由對數(shù)式有意義及二次根式有意義可得.

【詳解】由題意1%（3尸2）20,3x-2>l,x≥l.

故選：D.

【例3】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=Λx+D的定義域?yàn)?；，1,則函數(shù)

y=Λ∣0g2X）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,+∞）B.（0,1）C.［號2］D.［國］

【答案】D

【分析】根據(jù)y=∕（x+l）的定義域可知g≤x+l≤2,故g4log2X≤2,即可求出答案.

【詳解】解：?.?函數(shù)y="χ+D的定義域?yàn)?；，1

；?—≤x≤l,—≤x+l≤2

22

函數(shù)y=f（log?χ）中，?≤Iog2X<2

y∣2≤x≤4

所以函數(shù)3'≈∕（log2X）的定義域?yàn)椋邸苔?4I.

故選：D

【例4】（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10∣g,的定

義域和值域相同的是（）

1

A.y—xB.y=lgxC.y-2xD.y=^j=

【答案】D

【分析】求出函數(shù)y=10∣”的定義域和值域，對選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】因函數(shù)y=10?的定義域和值域均為（。,+8）,

對于A,y=X的定義域和值域均為R,故A錯(cuò)誤：

對于B,y=lgχ的定義域和值域分別為（0,田）,R,故B錯(cuò)誤；

對于C,y=2χ的定義域和值域均為R,故C錯(cuò)誤；

對于D,y=*定義域和值域均為（0,y）,故D正確；

故選：D.

【例5】（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/（J+1）的定義域?yàn)椋?,2］,則函數(shù)

g(χ)=∕?的定義域?yàn)?)

A.[2,5]B.(2,3)u(3,5]C.(2,5]D.[2,3)u(3,5]

【答案】B

X-2>O

【分析】先求出/O)的定義域?yàn)閇2,5],再解不等式,x-2≠l即得解.

2≤x≤5

【詳解】解：因?yàn)閘≤x≤2,.?.l≤χ2≤4,.?.2≤Y+ι≤5,所以/(χ)的定義域?yàn)棰?],

x-2>0

由題得「工一2工1,所以2vxv3或3<x≤5.

2≤x≤5

所以函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)7(3,5].

故選：B

【題型專練】

1.(2022?云南昆明?高一期末)函數(shù)"x)=In(-/+5χ-6)的定義域是.

【答案】(2,3)

【分析】解不等式-f+5χ-6>0,可得出函數(shù)/(x)的定義域.

【詳解】對于函數(shù)/(x)=In(T?+5x—6),由—f+5χ-6>0,即5x+6<0,解得2<x<3.

因此,函數(shù)F(X)的定義域?yàn)?2,3).

故答案為：(2,3).

2.(2022江蘇)已知函數(shù)y=f(2，)的定義域是[-1,1],則函數(shù)/(bg3X)的定義域是

A.[-1,1]B.g,3C.[1,3]D.[√3,9]

【答案】D

【詳解】由x4-l,l],得2*eg,2,所以IogjXe?2,所以xw[G,9].故選：D.

3.(2022江蘇如皋)函數(shù)]OgI(x—l)的定義域?yàn)?).

A.(F⑵B.(2,+?5c.(1,2)D.(1,2]

【答案】C

J-1>0x>lX>?/\

【詳解】由題意知,k>g[(x-l)>0，得“Ogl(X-I)>log11，所以xT<],所以xe(l,2).

1

4.函數(shù)/(X)=的定義域?yàn)?/p>

Iog2(x-3)

【答案】（3,4）"4,y）

x-3>0x>3一、J?>3

【詳解岫題意%0”，得!嗚（尸3三皿！’”「以.3w］，所以Xe(3,4)kj(4,+∞).

題型三：對數(shù)函教耀義璟為R和

【例1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=Ig（以2+3x+2）的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】*

【分析】先由對數(shù)函數(shù)的定義域得到“*2+3χ+2>0在R上恒成立，再由判別式求出實(shí)數(shù)4

的取值范圍即可.

9

【詳解】根據(jù)條件可知o√+3x+2>0在R上恒成立，則。>0,且A=9-8α<O,解得〃>三，

O

故4的取值范圍是長,+8].

故答案為：（（+oc）?

【例2】（2022.全國?高一階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=lg（2/n√_3χ+4）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)W的

取值范圍為

9

【答案】0，—

【分析】分析可知（0,+紇）為函數(shù)"=-3x+4的值域的子集，分機(jī)=O和M≠0兩種情況討論,

結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)用的取值范圍.

【詳解】解：由題可知，函數(shù)f（x）=lg（2w2-3χ+4）的值域?yàn)镽,

令〃=2∕MX2-3Λ+4,由題意可知（0,+紇）為函數(shù)〃=-3x+4的值域的子集.

①當(dāng)》1=0時(shí)，"=-3x+4,此時(shí)〃X）=Ig（-3x+4）,

函數(shù)〃=-3x+4的值域?yàn)镽,合乎題意；

②當(dāng)"?WO時(shí)，若（0,+⑹為函數(shù)〃=2nυc-3x+4的值域的子集，

則hf∕π>=O9-32誥。,解得0<相這9

-9^

綜上所述，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是0，--

9

故答案為：記.

【題型專練】

1.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）（1）若函數(shù)〃切=1。82（加+奴+1）的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)4

的取值范圍是;

(2)若函數(shù)，(另=1。&11+?+1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[0,4)[4,+∞)

【分析】(1)由題可得dχ2+0r+l>O恒成立，分類討論結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得；

(2)由題可得α√+αr+ι>o的解包含所有的正數(shù)，分類討論結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】(1)當(dāng)a=O時(shí)，/(x)=O符合題意；

當(dāng)QWO時(shí)，欲使ɑ/+依+1>O在R上恒成立，

>0

則∣A="2-4α<0'

解得OVaV4,

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是[0,4)：

(2)當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=0,不符合題意；

<7>0

當(dāng)αxθ時(shí)，欲使?2+αx+ι取遍所有正數(shù)，只須使｛,

[?,=a2-4a≥0

解得424,

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍是[4,+8).

故答案為：[0.4)；[4,+∞).

2

2.若函數(shù)y=log2(^+2x+1)的定義域?yàn)镽,則4的范圍為O

【答案】(l,+∞)

【詳解】由題意知加+2x+l>0對XeR恒成立，所以當(dāng)a=0時(shí)，2x+l>0,解得x>-:，

2

ft/>0["0,

不成立,當(dāng)α≠0時(shí),?n，即”,?,解得α>l,

[Δ<0[4-4α<0

【例6】(2022全國高三專題練習(xí)(理))若函數(shù)/(x)=Ig(OX2-2x+a)的值域?yàn)镽,則

實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[0,1]D.(l,+∞)

【答案】C

【詳解】由題意知g(x)=αγ2-2χ+”能取到所有大于O的實(shí)數(shù),所以當(dāng)〃=0時(shí)，g(x)=-2x,

/、>0[a>0

所以g+-2X的值域?yàn)镽,滿足題意，當(dāng)α≠0時(shí)，八八，即一、八，解得O<a≤l,

[Δ≥0[Z4-I4α≥0

綜上可知0≤α≤1

題型四：對數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題

【例1】(2022四川高一開學(xué)考試)函數(shù)y=log“(2x+7)—2(a>0,且αHl)的圖象一定

經(jīng)過的點(diǎn)是()

A.[-1,-2)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-4,-2)

【答案】B

【解析】令2x+7=l,x=—3,則y=-2,即函數(shù)圖象過定點(diǎn)(一3,-2).故選：B.

【題型專練】

1.(2022鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考)函數(shù)y=log“(3x—l)(α>0,ακl)的圖象過定點(diǎn)

()

A.(?∣,1)B.(-1,0)C?仔。)D.(0,一1)

【答案】C

z、2

【解析】對于函數(shù)y=log,,(3x-l)(a>0,αwl),令3x-l=l,可得x=§,則y=∣og"=0,

因此，函數(shù)y=log,,(3x-l)(a>0,的圖象過定點(diǎn)故選：C.

題型五：對數(shù)函數(shù)的奇偶性

【例1］判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑴/(x)=lg^-∣(2)/(x)=lg(√x2+l+x)

【解析】(1)由題意知定義域?yàn)椴罚?lt;—1或c>l}

/(-χ)=Ig-~~-=Ig2土?,所

以

'7-Λ+1x-l

/(-x)+∕(x)=lg∣tl÷lg∣≤=lg^)(^j=lgl=O,

所以/(—*)=—/(x),所以/(x)為奇函數(shù)

(2)由題意知定義域?yàn)閄eR

/(-x)=Ig+1ix｝所以/(一x)+/(x)=Ig[ΛI(xiàn)X2+1-X)+Ig(JX2+1+x)

=lg(√x2+l+xp√+1-x)=Ig1=0,所以/(-χ)=-∕(χ),所以/(x)為奇函數(shù)

注：形如/(x)=IOg“([QnXy+1±如)類型的函數(shù)均為奇函數(shù)

【例2】(2022天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二階段練習(xí))設(shè)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),

/(x)=l+lnx,則當(dāng)χ<0時(shí)，/(%)=()

A.-l-ln(-?)B.—l+ln(—x)C.1+In(-?)D.I-In(-?)

【答案】C

【分析】利用偶函數(shù)的定義經(jīng)計(jì)算即可得解.

【詳解】因/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=l+lnr,

因此，當(dāng)x<0時(shí)，-χ>O,/(x)=f(-x)=1+ln(-x),

所以/(x)=l+ln(τ).

故選：C

【例3】(2022全國高一專題練習(xí))己知函數(shù)/(X)=j+ln型也三-1,若定義在R上的

ax+?2019-x

奇函數(shù)g(x),有g(shù)⑴=/(log225)+/(log&(),則g(-l)=()

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】A

×_12019÷γ

【詳解】因?yàn)閥=巴π二為奇函數(shù)，J=In----------也為奇函數(shù)，設(shè)

Jax+?2019—X

Λ(x)=≤zl+∣n∣^∣^,則MX)為奇函數(shù)，所以〃(—6=一MX)，所以/(x)=MX)-1，

f(-x)+∕(X)=〃(-X)T+〃(X)T=-2,因

g(1)=/(Iog225)+/(logχβ?)=/(2log,5)+/(-2Iog25)=-2,又因g(x)為奇函數(shù)，所以

g(T)=-g⑴=2

21

【例4】(2022全國高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=--+--滿足條件

1+2Λ1+4V

/(loga(√2+1))=1,其中a>l,則/(1Og“(五一1))=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

?1

【詳解】因/(χ)=τW7+士，則

1+21+4

,/?,/?21212,211

-----1--------1------1-----=---：—I------1----：—I------

f(~χ)÷fix)=x

''''1+2Tl+4^1+2*1+4*1+X1+2*j+X1+4"

F47

22+1)+-3,

+工+上+」因

^2x+l1+2*4r+ll+4x2-t+l4t+l

如〃(&T)Mbg"b?))=∕(-log,,(√2+l)),所以

/(log.(√2+1))+/(-log.第+1))=3,所以/(log,,(√2-1))=2

【例5】(2022全國高一專題練習(xí))函數(shù)=L+log,小?為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。

Xl-x

【答案】a=±↑

【詳解】因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(—x)+∕(x)=O,所以

”?∠√??.?~ax1,?+axCπ,l,(?-axl+0x)C,v

/(-x)+∕(X)=一—+lθg2-+-+Iog2-=O,即log?--------:=O-所

X1+xX1-xI1+xI-X)

以

log,:=0,所以:=1,所以/=1,所以。=±1,經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足題意

^l-x2l-x2

【題型專練】

1.(2023?全國?高三階段練習(xí))關(guān)于函數(shù)y=lg(占-1)說法正確的是()

A.定義域?yàn)?T/)B.圖象關(guān)于〉軸對稱

C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱D.在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】ACD

2

【分析】由^——1>0即可求出其的定義域；利用/(τ)=-∕(x)可判斷/(X)為奇函數(shù)；求

I-X

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷/(X)在(0,1)內(nèi)的單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)?*)=Ig(占1=?≡

所以---->0=-----<0=>-l<x<l,

Xx—\

所以定義域?yàn)?T,l),故A正確；

因?yàn)?(-χ)=Ig(三)=-f(χ)，

所以/(X)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤，C正確；

又y=lτ>0在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以y=^A-ι>o在(o,ι)上單調(diào)遞增，

又y=igX在(o,+e)上單調(diào)遞增,

所以y=ig(占-1)在(0,1)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ACD.

2.(2022?湖北?高二學(xué)業(yè)考試)下列函數(shù)的圖象關(guān)于丫軸對稱的是()

A.7(X)=巴二B./(x)=≤-≤

X-2

C./(x)=In(X2+2X)D./(X)=Ig

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可;

【詳解】解：對于A：/(X)=巴;定義域?yàn)閧x∣x≠0},所以

X

-X._X.Λ.-X

?(-?)=7~?=--------2-=f(X),

(-χ)X

故Ax)=/二為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；

X

對于B:/(χ)=q≤定義域?yàn)镽,且f(τ)=寶二=-￡薩=-/*)，

故F(X)=q≤為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；

對于C：/(x)=In(X2+2X)定義域?yàn)?一,-2)U(0,M),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故函數(shù)/(%)=In(X2+2x)是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D：/(x)=lg±l定義域?yàn)?一8,_1)。(1,十動(dòng)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

x+1

_y_1X—]

又因/(-%)+/W=Ig--------+Ig——=O故函數(shù)是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

-X+1x+1

故選：A

3.(2019全國卷2)設(shè)"力為奇函數(shù)，且當(dāng)XVO時(shí)，〃％)=—/,若F(In2)=8,則α=

【答案】a=—3

【詳解】因?yàn)?(χ)為奇函數(shù)，所以

/(M2)=—/(—In2)=一/(Ing)T-Jln2J=e[=出

=8，所以a=—3

4.(2022四川綿陽?(文))已知函數(shù)/(x)對任意實(shí)數(shù)x,滿足/(x)+"-x)=O,當(dāng)x≥0時(shí),

"x)=2*-m(加為常數(shù))，則/(1-1嗎3)=()

A.?B.—C.—D.—

2233

【答案】B

【詳解】由"x)+f(-X)=0,可得"x)為奇函數(shù)

由當(dāng)x≥0時(shí)，f^x)-T-m,貝Ij/(0)=2°-Zn=O,解得加=1

所以當(dāng)XNo時(shí)，/(x)=2'-l,所以〃1-10氏3)=-/(地23-1)=—(2嚙3τ-i)=-g

故選：B

f?

5.(2022山西高三月考(理))函數(shù)/(χ)=In(Gn-X)+2,則/(log23)+/Iogl3=

\2√

()

A.0B.2Iog23C.4D.1

【答案】C

2

【詳解】設(shè)g(χ)=ln(√x+l-χ),則g(x)為奇函數(shù)，所以g(—x)=-g(x),所以

(\

f(x)=g(x)+2,f(-x)+f(x)=g(-x)+2+g(x)+2=4,因/log,3=/(-Iog23),

k2√

所以

/(log23)+∕θog13=/(log23)+/(-Iog23)=4

1-LV1

6.已知函數(shù)/(x)=X+In上土+L,則/Qg5)+/(Ig2-1)=；

1-x2

【答案】1

【詳解】設(shè)g(x)=x+ln——，則g(x)為奇函數(shù)，所以g(-χ)=-g(χ),所以

1-x

/(x)=g(x)+；,/(—x)+/(x)=g(—x)+；+g(x)+；=l,因y(lg2—l)=/(—lg5),

所以

/(lg2-1)+/(lg5)=1

7.己知函數(shù)/(x)=In(Ji77—x)+嚀，則/[nj]+∕(10*')=()

A.-]B.0C.1D.2

【答案】D

【詳解】/(x)=InkI+/-x)+l+L設(shè)g(x)=ln(jm^-x)+L則g(x)為奇函數(shù)，

所以g(-x)=-g(x),所以/(χ)=g(χ)+l,/(-%)+/(x)=g(-%)+l+g(χ)+l=2,因

/(哈卜/(—x),/(ιo?v)=/(尤)所以

小川+/(10叼=2

題型六：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【例1】(2021?浙江?玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)〃*)=1°8/一/+3》-2)的單調(diào)遞減區(qū)

間為()

A?,8,|)B.(崗C?(|’2)D?悖+8)

【答案】B

【分析】由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域求法可求得了(x)定義域；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方

法可得到單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由τ2+3x-2>0得:l<x<2,即/(x)定義域?yàn)?1,2)；

令f=-d+3χ-2,則f在(1，目上單調(diào)遞增，在(|，2)上單調(diào)遞減；

乂y=SgJ在(O,+∞)上單調(diào)遞減，

.?"(x)=log；+3》-2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(IB).

故選：B.

【例2】(2021?云南高一期末)若函數(shù)/(x)=bgl(-V+4x+5)在區(qū)間(3m-2,m+2)內(nèi)單調(diào)遞

2

增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

4

【答案】-≤^<2

【解析】由一d+4x+5>0可得χ2-4x-5vθ,解得一IeX<5,

函數(shù)/(x)=lOgl(T?4x+5)是由y=k)gj和f=γ2+4χ+5復(fù)合而成，

22

又f=-V+4χ+5=-(χ-2)2+9對稱軸為彳=2,開口向下，

所以r=-Y+4x+5在(T,2)上單調(diào)遞增，在(2,5)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閥=IogJ為減函數(shù)，所以/(x)=log;"+4x+5)的單調(diào)增區(qū)間為⑵5),

'3m-2≥2

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(3機(jī)-2,機(jī)+2)內(nèi)單調(diào)遞增，所以，加+2≤5,解得g≤%<2,

3m-2<m+2

44

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為m≤,W<2,故答案為：^≤m<2.

【例3】已知函數(shù)/(犬)=1。8〃(？一辦+2)在(2,+00)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為

【答案】。，3]

【解析】令“=χ2-αχ+2,貝IJy=Iog“〃，因?yàn)椤ㄒ沪羦+2的對稱軸為x=?∣?,且

〃一℃+2在(2,+8)上為增函數(shù)，所以]<2,解得α≤4

由題意知了=108。"在(2,+8)內(nèi)遞增，所以”>l.乂〃=犬一依+2在(2,+8)t：恒大于0,

所以4-2α+2≥0,即α≤3.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：l<α≤3.故答案為：(1,3］.

【例4】設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+W)-一二，則使得/(x)>∕(2x-l)成立的X的取值范圍是

(A)(―,1)(B)(―∞,—)U(1,÷∞)(C)(——>—)(D)(―∞J——)U(~>+∞)

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(l+W)——二，所以/(χ)是定義在R上的偶函數(shù)，在［0,+∞)

上是單調(diào)遞增的，/(x)</(2x-1)/(∣Λ∣)</(∣2%-1|),又因f(x)在［0,+。。)上遞增，所

以N<|2x—1］,解得;<x<l

【例5】已知定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，且y=∕(x-l)的圖象

關(guān)于X=I對稱，若實(shí)數(shù)4滿足/(log2α)<∕(2),則“的取值范圍是()

A.(0,￡jB.C.：,4)D.(4,+∞)

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=/(x—1)的圖象關(guān)于X=I對稱，向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=∕(χ),所以

/O)關(guān)于X=O對稱，所以“X)是定義在R上的偶函數(shù)，在［0,+。。)上是單調(diào)遞增的，

/(log2a)<f(2)<≠>/(jlog2?|)<f(2),乂因/(x)在［θ,+χ))匕遞增，所以∣bg2α∣<2,即

-2<log26z<2,所以1082,<1082。<1。824解得一<。<4

44

(2α-l)x,(x>1)

［例廣東?深圳市第二高級中學(xué))已知函數(shù)

6］(2022/(x)=?1z、，當(dāng)%>°,

IOg(IX-g,(0<xMl)

々>0,且X產(chǎn)X,時(shí)，“芮)—)<0,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

?-(*)b?［ri)c?Md?F

【答案】C

【解析】因?yàn)楫?dāng)％>0,?>0,且內(nèi)≠當(dāng)時(shí)，"石)T(X2)<0,

2a-?<0

所以f(χ)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，因此,0<a<?解得：o<Ω≤∣,

2"T≤1OgaI

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(Oq.故選：C.

【例7】(2022年重慶巴蜀)若/(x)是定義域?yàn)?0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，且對任意實(shí)

數(shù)x∈(0,+∞)都有/?(?)-?=；+1(無理數(shù)e=2.71828…)，則/(ln2)=()

31

A.3B.—C.e+1D.一

22

【答案】B

【解析】因/(x)是定義域?yàn)?0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以為定值，設(shè)

f=∕(x)-4,由題意知/0)=1+1，又因/(x)=4+f,令龍=，，得/(f)=4+r='+l,

eeeee

I13

所以f=l,所以f(x)=?+l,所以/(∣n2)=F+l=i

eτe2

【例8】(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=ln∣2t+l∣-ln∣2χ-1|,則()

A.是偶函數(shù)，且在(；，+8)單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在卜;,g)單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在(-8,-；)單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增

【答案】B

7?1

【分析】先求出F(X)的定義域結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判斷F(X)的奇偶性，設(shè)，=I篁r11，則

y=lm,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷/(χ)的單調(diào)性，即可求出答案.

f2x+l≠01

【詳解】解：由C1,、，得Λ≠4?

[2x-l≠02

又/(-x)=ln∣-2x+l∣-ln∣-2x-1∣=-(ln∣2x+l∣-ln∣2x-1∣)=-Fa),

：.f(%)為奇函數(shù)，

?∕(x)=ln∣2x÷.∣-ln∣2x-ll=ln∣-1,

V2X+1=1+2=1+―?-

2x-l2x-lx--

可得內(nèi)層函數(shù)∕=∣2x"+∣l的圖象如圖，

2x-l

在(-8,-?)>(?>+∞)上單調(diào)遞減，在(―5，3)上單調(diào)遞增,

又對數(shù)式y(tǒng)=Inr是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f(x)在(-；，上單調(diào)遞增，

在(-00,-?),(?,+∞)上單調(diào)遞減.

1.(2022新疆高一期末)函數(shù)〃x)=∣°g∣(*-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

2

A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)

【答案】D

【解析】對于函數(shù)〃x)=l°g4(/—4),有/_4>0,解得X<-2或x>2,

2

故函數(shù)/(力的定義域?yàn)?-∞,-2[(2,M),

內(nèi)層函數(shù)〃=4在(γ,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

外層函數(shù)y=∣°g["為減函數(shù)，

2

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)"x)=l°g[(d-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(_8,_2).故選：D.

2

2.(2022全國高一專題練習(xí))已知函數(shù)y=log,,(2-ax)(a>0,且α≠l)在[0,1]上是減函

數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（1,2）

【解析】令〃=2-"，則y=log”〃，因?yàn)閍>0,所以〃=2-"遞減，

由題意知y=log，在[0』內(nèi)遞增，所以α>l.乂〃=2-打在xe[0,l]上恒大于0,所以

2-。>0,即〃<2.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是：l<α<2?故答案為：（1,2）.

3.（2022貴州凱里一中）己知函數(shù)/（x）=Ig（X2-3WX+4）,Vx1,x2∈（→o,l）,且人盧蒼時(shí),

關(guān)于為，斗的不等式"（為）-〃々）I（X「々）<。恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

252252

A.B.（-∞,-]C.D.[-,+co）

【答案】A

【解析】VΛI(xiàn),Λ2∈（-∞,l）,RΛI(xiàn)≠X2?,關(guān)于X∣,*2的不等式"（再）-/。2）]（XI-X2）<0恒成

立，

—≥1

即當(dāng)x∣<W<l時(shí)，/（X1）>/（X2）,所以“X）在（-∞,D上是減函數(shù)，所以彳2^,解

l-3∕π+4≥0

,25

得]≤"7≤].故選：A.

4.[2019年高考全國川卷理數(shù)】設(shè)/（X）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+⑹單調(diào)遞減,

貝IJ（）

ICN_21_2_3

?.f(?og?-)>f(22)>f(23)B.f(?og?-)>f(2?)?/(22)

44

321-2_31

C.f(2^2)>/(2^^)>/(?og??)D.f(2^^)>/(2^^)>/(?og??)

44

【答案】C

【解析】因）是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),

"XR=∕(-?θgs4)=∕(log34),因

-53

5

log,4>l>2^>2，由題意知/（?）在（。,+8）單調(diào)遞減,所以

5.（2022.全國.高一單元測試）已知函數(shù)/（*）=但，+5-4-1）,下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)α=0時(shí)，"x）的定義域?yàn)椋?∞,T）51,M）

B./（x）一定有最小值

C.當(dāng)α=0時(shí)，/（x）的值域?yàn)镽

D.若/（尤）在區(qū)間[2,+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是Ma≥-4}

【答案】AC

【分析】A項(xiàng)代入?yún)?shù)，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)定義域求法進(jìn)行求解；B項(xiàng)為最值問題，問一定舉

出反例即可；C項(xiàng)代入?yún)?shù)值即可求出函數(shù)的值域；D項(xiàng)為已知單調(diào)性求參數(shù)范圍，根據(jù)二

次函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域求解即可.

2

【詳解】對于A,當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=lg(x-l),?√-l>0.解得x<T或x>l,則/(x)

的定義域?yàn)?-,—1)51,”)，故A正確；

對于B、C,當(dāng)α=0時(shí)，"x)=lg(χ2-l)的值域?yàn)镽,無最小值，故B錯(cuò)誤，C正確；

對于D,若f(x)在區(qū)間［2,+∞)上單調(diào)遞增，則、=/+奴-。-1在［2,+8)上單調(diào)遞增，且

當(dāng)x=2時(shí)，y>0,

--<2

則J2,解得。>一3,故D錯(cuò)誤.

4+2a-a-1>0

故選：AC.

2

6.函數(shù)/(?)=Iog05(3x-OX+5)在［-1,+8)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)α的取值范圍為.

【答案】(-8,-6］

【詳解】令“=3χ2-0r+5,則y=logos",因?yàn)椤?3/-奴+5的對稱軸為x=：,由題意

知y=log(>s"在［-L+8)內(nèi)遞減，所以“=3χ2-奴+5在［τ,+oθ)上為增函數(shù)，所以?∣≤-1,

解得α≤-6,又〃=3χ2-0v+5在［-1，+8)上恒大于0,所以3+α+5>0,即。>一8.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-8<α≤-6.故答案為：(-8,-6］.

7.(2022年重慶七中高一上期中)已知函數(shù)/(X)=Iogo5(」一+2)在(3,+∞)上單調(diào)遞減，

''x+a

則。的取值范圍為()

A.(-∞,0)B,［-3,0)C.［-2,0)D.(-3,0)

【答案】C

【詳解】令“=，一+2,則y=log(λ",由題意知y=log°s”在(3,+∞)內(nèi)遞減，所以

x+a

〃=’一+2在(3,+8)上為增函數(shù)，所以。<0且α+3>0,解得—3<α<0,又

x+a

"=，一+2在(3,+∞)上恒大于0,所以，一+220,即a≥-2.

x+a3+。

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：一2≤α<0?故答案為：［-2,0).

8.已知定義在R上的函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，且對任意X∈(0,+∞),恒有/(/(%)-Iog2x)=1,

則/(2)的值為.

【答案】2

【詳解】因函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，所以/(x)-log2》為定值，設(shè)，=/(力-1/2》，由題意知

/(f)=l,XISI/(χ)=log,χ+r,令X=/,得/⑺=log2?+r=l,所以r=l,所以

/(x)=Iog2x+1,所以“2)fog22+1=2

9.(2022年重慶南開)已知定義在R上函數(shù)/(x)為單調(diào)函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)X,都有

/，(%)+j?)=!,則〃1嗚3)=()

12

A.0B.—C.-D.1

23

【答案】B

Oπ

【詳解】因/(%)是定義在&上得單調(diào)函數(shù)，所以“6+豕、為定值，設(shè)f=/(x)+￡］，

I?21

由題意知/⑺=5,又因F(X)=一島，令χ=t,得/(f)=，一號=§,所以/=1,

7?1

所以"x)=l-石寸，所以f(log23)=l-Fri=5

題型七：對數(shù)函數(shù)的值域

【例1】(2022.全國.高一單元測試)已知函數(shù)/(x)=Iog“x+2(a>0,且αrl)在［1,3］上

的值域?yàn)椋?,4］,則實(shí)數(shù)。的值是()

A.√3B.?C.2√3D.與

【答案】A

【分析】分類討論最值，當(dāng)”>1時(shí)，當(dāng)0<“<l時(shí)，分別求出最值解方程，即可得解.

【詳解】若0<α<l,則/(x)=lOgaX+2在［1,3］上單調(diào)遞減，K∣J10ga3+2≤∕(x)≤2.不符

合題意；

若。>1,則/(x)=Iog“x+2在［1,3］上單調(diào)遞增，則2≤∕(x)≤log.3+2,

又因?yàn)?(x)的值域?yàn)椋?,4］,所以Iog“3+2=4,解得°=√L

故選：A.

【例2】(2021?江蘇?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=log2X+3,xe［l,4］,則函數(shù)

g(χ)=fC)-］/(χ)］的最小值為()

A.—11B.-18C.-38D.-6

【答案】A

【分析】先解g(x)的定義域，然后利用換元法求所求函數(shù)的值域即可.

,

【詳解】illy(χ)=ι0g2χ+3,x∈[1,4]

fl<x<4/、,

則]<d<4得1≤X42,所以g(x)的定義域?yàn)閞[1,2],

log,%=r,故t∈[0,l],

22

g(x)=/(Y)-(X)=log,x+3-(log2x+3)2=-(log2x)-41og2Λ-6,

βp?=-,2-4z-6=-(z+2)2-2,t