2022-2023學(xué)年浙江省紹興蕺山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.若函數(shù)）=（"-1）好一4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為（）.

A.-1或2B.-1或1

C.1或2D.-1或2或1

2.如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△OEE則/區(qū)4c的度數(shù)為（）

A.x+—=0B.ax2+bx+c=0C.x2+l=0D.x-y-1=0

x

4.某村引進(jìn)甲乙兩種水稻良種，各選6塊條件相同的實(shí)驗(yàn)田，同時(shí)播種并核定畝產(chǎn)，結(jié)果甲、乙兩種水稻的平均產(chǎn)量

均為550kg/畝，方差分別為S/=14L7,S乙2=433.3,則產(chǎn)量穩(wěn)定，適合推廣的品種為：（）

A.甲、乙均可B.甲C.乙D.無(wú)法確定

5.已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為所含的圓心角為120。，則半徑為（）

93^2

A.9B.3C.-D.二―

22

3

6.若點(diǎn)A（-7,yi）,B（-4,y2）,C（5,y3）在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則yi,yi,y3的大小關(guān)系是（）

x

A.yi<y3<y2B.y2<yi<yaC.y3<yi<yiD.yi<y2<ys

7.如圖，Rt^ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將4ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為PQ,則

△PQD的面積為（）

A.—V13B.—C.-V37D.—

32211

8.有甲、乙、丙、丁四架機(jī)床生產(chǎn)一種直徑為20mm圓柱形零件，從各自生產(chǎn)的零件中任意抽取10件進(jìn)行檢測(cè)，得

出各自的平均直徑均為20mm,每架機(jī)床生產(chǎn)的零件的方差如表：

機(jī)床型號(hào)甲乙丙丁

方差mm20.0120.0200.0150.102

則在這四臺(tái)機(jī)床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是（）.

A.甲B.乙C.丙D.丁

9.如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是（）

A.1:2B.1:4C.1:0D.2:1

10.下圖中①表示的是組合在一起的模塊，在②③④⑤四個(gè)圖形中，是這個(gè)模塊的俯視圖的是（）

x_5

2552y5y

12.若關(guān)于的一元二次方程近？+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k>-\B.左>—1且左WOC.k<\D.左<1且左

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，反比例函數(shù)y=K（x<0）的圖像過(guò)點(diǎn)4（—2,2）,過(guò)點(diǎn)A作，y軸于點(diǎn)3,直線/：y=x+。垂直線段。4

于點(diǎn)P,點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8,恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則力的值是.

14.如圖，直線a//b//c,若歿=工，則匹的值為_(kāi)______

BC2DF

15.若二次根式J工斤有意義，則x的取值范圍是A.

16.用配方法解方程x2-2x-6=0,原方程可化為.

17.如圖,O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn)，若AB=5,AD=12，則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為.

18.二次函數(shù)y=*2-5x+c的圖象上有兩點(diǎn)A(3,-2),5(-9,-2),則此拋物線的對(duì)稱軸是直線x=

三、解答題(共78分)

19.(8分)解下列兩題：

.a342a+36乩?

(1)已知7=:，求-------的值；

b4a

(2)已知a為銳角，且20sina=4cos30°-tan60°,求a的度數(shù).

3k

20.(8分)如圖，已知一次函數(shù)y=—x-3與反比例函數(shù)y=—的圖象相交于點(diǎn)4(42),與x軸相交于點(diǎn)心

2x

(1)填空：〃的值為，左的值為；

(2)以A3為邊作菱形ABC。，使點(diǎn)。在x軸正半軸上，點(diǎn)。在第一象限，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

21.(8分)因2019年下半年豬肉大漲，某養(yǎng)豬專業(yè)戶想擴(kuò)大養(yǎng)豬場(chǎng)地，但為了節(jié)省材料，利用一面墻(墻足夠長(zhǎng))

為一邊，用總長(zhǎng)為120m的材料圍成了如圖所示①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，設(shè)的長(zhǎng)

度為x(m),矩形區(qū)域ABC。的面積S(蘇).

(1)求S與X之間的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量X的取值范圍.

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

22.(10分)據(jù)某省商務(wù)廳最新消息，2018年第一季度該省企業(yè)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家的投資額為10億美元，第三

季度的投資額增加到了14.4億美元.求該省第二、三季度投資額的平均增長(zhǎng)率.

23.(10分)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，延長(zhǎng)助交AO于點(diǎn)尸.

EFFA

(1)求證:

EB~BC

(2)已知點(diǎn)P在邊CD上，請(qǐng)以CP為邊，用尺規(guī)作一個(gè)。Q與AEF相似，并使得點(diǎn)。在AC上.(只須作出一

個(gè)一CPQ,保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

24.(10分)如圖，在ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿C4以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A

勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿A3以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)3勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著P、。的運(yùn)動(dòng)，OE始終保持垂直

平分PQ,且交尸。于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)E.點(diǎn)P、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。也隨之停止.設(shè)點(diǎn)

P、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒(>0).

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，DE//AB2

(2)求四邊形BQPC的面積S與，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻f,使四邊形8QPC的面積與ABC的面積比為13：15?若存在，求f的值.若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(4)若OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,試求f的值.

B

25.（12分）小明、小林是景山中學(xué)九年級(jí)的同班同學(xué)，在六月份舉行的招生考試中，他倆都被亭湖高級(jí)中學(xué)錄取，

并將被編入A、B、C三個(gè)班，他倆希望編班時(shí)分在不同班.

（1）請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列舉法，列出所有可能的結(jié)果；

（2）求兩人不在同班的概率.

26.某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對(duì)無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)驗(yàn).如圖，兩臺(tái)測(cè)角儀分別放在A、B位置，且離地面高均

為1米（即AD=5E=1米），兩臺(tái)測(cè)角儀相距50米（即AB=50米）.在某一時(shí)刻無(wú)人機(jī)位于點(diǎn)C（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B在

同一平面內(nèi)），A處測(cè)得其仰角為30。，B處測(cè)得其仰角為45°.（參考數(shù)據(jù)：0《1.41，6=1.73,sin40土0.64,

cos40a0.77,tan40a0.84）

（1）求該時(shí)刻無(wú)人機(jī)的離地高度；（單位：米，結(jié)果保留整數(shù)）

（2）無(wú)人機(jī)沿水平方向向左飛行2秒后到達(dá)點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B、C在同一平面內(nèi)），此時(shí)于A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰

角為40。，求無(wú)人機(jī)水平飛行的平均速度.（單位：米/秒，結(jié)果保留整數(shù)）

參考答案

、選擇題（每題4分，共48分）

1、D

【解析】當(dāng)該函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，與X軸必有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)a—1=0,即a=L

當(dāng)該函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，由圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知A=(一4尸一4(a—l)x2a=0,解得

al=—1,a2=2.

綜上所述，a=l或一1或2.

故選D.

2、D

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出.

【詳解】'：/\ABC^/\EDF,

：.NBAC=ZDEF,

又；NOEF=90°+45°=135°,

：.ZBAC^135°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)角

3、C

【解析】一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為1.

【詳解】4該方程不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

氏當(dāng)。=1時(shí)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

C.該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)不符合題意.

。.該方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的性質(zhì)和判定，掌握一元二次方程必須滿足的條件是解題的關(guān)鍵.

4、B

【解析】試題分析：這是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析中的方差意義的理解，平均數(shù)相同時(shí)，方差越小越穩(wěn)定，因此可知推廣的品

種為甲.

答案為B

考點(diǎn)：方差

5、C

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)半徑為r,

,扇形的弧長(zhǎng)為3兀，所含的圓心角為120。，

120?萬(wàn)xr

??=37t，

180

9

；.r=—,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是根據(jù)弧長(zhǎng)和圓心角求半徑，掌握弧長(zhǎng)公式是解決此題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷yi,y2,y3的大小，從而可以解答本題.

3

【詳解】解：,??點(diǎn)A(-7,yi),B(-4,y),C(5,y)在反比例函數(shù)y=一的圖象上，k=3>0,

23x

...該函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，函數(shù)圖象在第一、三象限，

V-7<-4,0<5,

???y2〈yiV0Vy3，

即y2<yi<y3>

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

7、D

【分析】由折疊的性質(zhì)可得AQ=QD,AP=PD,由勾股定理可求AQ的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)分別求出AP,HQ的長(zhǎng),

即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DN_LAC于N,

:點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，

；.BD=3,

:將△ABC折疊，

,\AQ=QD,AP=PD,

VAB=9,BC=6,ZB=90°,

???AC=7AB2+BC2=/81+36=3A/13，

DNAB_9

VsinZC=

CD-AC-3^

ADN

13

CNBC_6

VcosZC=

AC-3A/13

二?CN邛

.?.AN=S

13

,.?PD2=PN2+DN2,

辿1一AP)2+迎,

1313

…」5房

??z\>-------,

11

VQD2=DB2+QB2,

；.AQ2=(9-AQ)2+9,

.\AQ=5,

.HQBC

，SmZA=

AQAC

.Hn_lrl_ioVT3

..吁3而一工

；APQD的面積=4APQ的面積=4X吆叵x(chóng)臣叵=—,

2131111

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形面積公式，銳角三角函數(shù)，求出HQ的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.

8、A

【分析】根據(jù)方差的意義，找出方差最小的即可.

【詳解】???這四臺(tái)機(jī)床的平均數(shù)相同，甲機(jī)床的方差是0.012,方差最小

在這四臺(tái)機(jī)床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是甲；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了方差和平均數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握方差的性質(zhì)，從而完成求解.

9、B

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出.

【詳解】???兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2,

.?.它們的面積比是1：1.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡(jiǎn)單.

10、A

【詳解】②是該幾何體的俯視圖；③是該幾何體的左視圖和主視圖；④、⑤不是該幾何體的三視圖.

故選A.

【點(diǎn)睛】

從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫(huà)實(shí)線，看不到的

線畫(huà)虛線.

11、B

【解析】試題解析：；2x=5y,

52'

故選B.

12、B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式列出不等式求解即可.

【詳解】由題意得：左wO,A=/—4ac=4+4人＞0

解得：左＞—1且左w0

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解題關(guān)鍵.對(duì)于一般形式以2+初^+。=09/0）有：（1）

當(dāng)A=〃-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)A=^—土紀(jì)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)

/=〃—4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、1+/

【分析】設(shè)直線1與y軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8,，連接MB，,根據(jù)一次函數(shù)解析式確定NPMO=45°

及M點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)分析B點(diǎn)坐標(biāo)，MB的長(zhǎng)度，利用對(duì)稱性分析B，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求反比例函

數(shù)解析式，然后將夕坐標(biāo)代入解析式，從而求解.

【詳解】解：直線1與y軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8',連接MB，

由直線/：y=x+6中k=l可知直線1與x軸的夾角為45°,

/.ZPMO=45O,M(0,b)

由4(—2,2),過(guò)點(diǎn)A作A3,y軸于點(diǎn)3

AB(0,2),MB=b-2

,*.B,(2-b,b)

把點(diǎn)A(—2,2)代入y=&(x<0)中

解得：k=-4

4

??y——

x

???8’恰好在反比例函數(shù)的圖象上

4

把B'(2-b,b)代入y=-一中

X

(2-b)b=-4

解得：b=l+45(負(fù)值舍去)

:.b=\+也

故答案為：1+小

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用含b的代

數(shù)式表示B，點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

1

14、-

3

4R14R1

【解析】先由0=彳得出下=；；,再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論.

BC2AC3

AB1

【詳解】V—=-,

BC2

.-1

??——9

AC3

".,a//b//c,

?DE_—_A__B___1

"DF~AC~3'

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵.

15、x>l.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于0列出不等式求解.

【詳解】根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，得x-INOnxNl.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次根式有意義的條件，牢記被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

16、（x-1）2=1

【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上1變形后，即可得到結(jié)果.

【詳解】解：方程變形得：X2-2X=6,

配方得：X2-2X+1—1,即（X-1）2=1.

故答案為：（X-1）2=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了配方法求解方程，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉配方的方法是解題關(guān)鍵.

17、1.

【詳解】；AB=5,AD=12,

.?.根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理，得AC=13.

,:BO為RtAABC斜邊上的中線

；.BO=6.5

是AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，

/.OM是AACD的中位線

，OM=2.5

二四邊形ABOM的周長(zhǎng)為：6.5+25+6+5=1

故答案為1

18、-3

【分析】觀察A(3,-2),B(-9,-2)兩點(diǎn)坐標(biāo)特征，縱坐標(biāo)相等，可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱

軸為經(jīng)過(guò)線段AB中點(diǎn)且平行于y軸的直線.

【詳解】解：；A(3,-2),B(-9,-2)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，

.*.A,B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-2),

...拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及對(duì)稱軸的求法，常見(jiàn)確定對(duì)稱軸的方法有，已知解析式則利用公式法確定對(duì)稱軸，

已知對(duì)稱點(diǎn)利用對(duì)稱性確定對(duì)稱軸，根據(jù)條件確定合適的方法求對(duì)稱軸是解答此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)6；⑵銳角a=30°

【分析】(1)根據(jù)等式：=—，設(shè)a=3?,b=4k,代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)求值即可；

b4

(2)由cos3(T=且，tan60*G，化簡(jiǎn)即可得出sina的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得.

2

【詳解】解：(1)???￡=』，

b4

:.設(shè)a=3k,b=4k,

2a+3b6k+12k

:.----------=-------------=6,

a3k

故答案為：6；

(2)V2y/3sina=4cos30°-tan60°=4x-^3二6,

2

1

:.sina=—,

2

???銳角a=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，掌握化簡(jiǎn)求值的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

20、(1)3,12；(2)D的坐標(biāo)為(4+JR,3)

3k

【分析】(1)把點(diǎn)A(4,n)代入一次函數(shù)y=—x-3,得到n的值為3；再把點(diǎn)A(4,3)代入反比例函數(shù)丁=—,得

2x

到k的值為12；

(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),過(guò)點(diǎn)A作AELx軸，垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DFJ_x軸，

垂足為F,根據(jù)勾股定理得到AB="5,根據(jù)AAS可得AABE之4DCF,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得

點(diǎn)D的坐標(biāo).

33

【詳解】(1)把點(diǎn)4(4,〃)代入一次函數(shù).y=QX—3,可得〃=QX4—3=3；

把點(diǎn)4(4,3)代入反比例函數(shù)y=￡可得3=4，

x4

解得k=T2.

3

(2)?.?一次函數(shù)丁=5》—3與x軸相交于點(diǎn)B,

3_

由一x—3=0,解得x=2,

2

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AELx軸，垂足為E,

過(guò)點(diǎn)D作。軸，垂足為F,

VA(4,3),B(2,0)

/.OE=4,AE=3,OB=2,

:.BE=OE-OB=4-2=2

在RTVLBE中，AB=\lAE2+BE2=A/32+22=A/13-

?.?四邊形ABCD是菱形，

:.AB=CD=BC=A/13,ABHCD,

:.ZABE=NDCF.

AE_Lx軸，DF_Lx軸，

：./AEB=/DFC=90°.

在AABE與ADCF中，ZAEB=ZDFC,ZABE=ZDCF,AB=CD,

AAABE=ADCF,

.?.CF=BE=2,DF=AE=3,

AOF=OB+BC+CF=2+713+2=4+^.

.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+Ji3,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

一一3,

21、(1)S=45%—x(0<x<60)；(2)x=30時(shí)，S有最大值675加?

4

【分析】(1)根據(jù)題意三個(gè)區(qū)域面積直接求S與％之間的函數(shù)表達(dá)式，并根據(jù)表示自變量x的取值范圍即可；

(2)由題意對(duì)S與x之間的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行配方，即可求S的最大值.

XY

【詳解】解：(D假設(shè)。歹為。，由題意三個(gè)區(qū)域面積相等可得GF=GE=—,區(qū)域上區(qū)域2,面積法a?一=CF?x,

22

nx

得CT=巴，由總長(zhǎng)為120m，故4a+2x=120,得a=30—土.

22

333

所以DC=—a=45——x,面積S=45x——%2(0<x<60)

244

33

(2)S=45%—x2=—(%—30)'+675(0<x<60),所以當(dāng)x=30時(shí)，S=675為最大值.

44

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大值的問(wèn)題常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答.

22、第二、三季度的平均增長(zhǎng)率為20%.

【解析】設(shè)增長(zhǎng)率為x,則第二季度的投資額為10(1+x)萬(wàn)元，第三季度的投資額為10(1+x)2萬(wàn)元，由第三季度

投資額為10(1+x)2=14.4萬(wàn)元建立方程求出其解即可.

【詳解】設(shè)該省第二、三季度投資額的平均增長(zhǎng)率為x,由題意，得：

10(1+x)2=14.4,

解得：*1=0.2=20%,X2—~2.2(舍去).

答：第二、三季度的平均增長(zhǎng)率為20%.

【點(diǎn)睛】

本題考查了增長(zhǎng)率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)第三季度投資額為10(1+x)2=

14.4建立方程是關(guān)鍵.

23、(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：AD//BC,再根據(jù)相似三角形的判定即可證出△AE/S^CEB,從而得出結(jié)論;

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得DA=DC,從而得出NDAC=NDCA,可得只需做NCPQ=NAEF或NCPQ=/AFE,即

可得出CPQ與AEF相似，然后用尺規(guī)作圖作NCPQ=NAEF或NCPQ=NAFE即可.

【詳解】解：(1)???四邊形ABC。是菱形，

AD//BC.

：.△AEF—ACEB.

.EFFA

(2)1?四邊形ABC。是菱形

.\DA=DC

/.ZDAC=ZDCA

只需做/CPQ=NAEF或NCPQ=NAFE,即可得出<7Q與‘AER相似，

尺規(guī)作圖如圖所示：

①作NCPQ=NAEF,步驟為：以點(diǎn)E為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑，作弧，交EA和EF于點(diǎn)G、H,以P為圓心，以

相同長(zhǎng)度為半徑作弧，交CP于點(diǎn)M,以M為圓心，以GH的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)N,連接PN并延長(zhǎng)，交

AC于Q,一CPQ就是所求作的三角形；

②作NCPQ=NAFE,作法同上；

.??-CPQ就是所求作的三角形(兩種情況任選其一即可).

【點(diǎn)睛】

此題考查的是菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和尺規(guī)作圖，掌握菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理及性質(zhì)定

理和用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵.

24(1)t=—；(2)S=—1~。+6(0</<3)；(3)1或2；(4)—.

8552

【分析】(1)先根據(jù)可得NPQA=90。，再根據(jù)相似三角形的判定可得VAPQ:NABC,然后利用相似三

角形的性質(zhì)即可得;

（2）如圖（見(jiàn)解析），先利用正弦三角函數(shù)求出RQ的長(zhǎng)，再根據(jù)S=SR,ABC-S.”0即可得S與f的函數(shù)關(guān)系式，然

后根據(jù)運(yùn)動(dòng)路程和速度求出t的取值范圍即可得；

（3）先根據(jù)面積比可求出S的值，從而可得一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，再解方程即可得；

（4）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得g=嬰=嬰，從而可得3"="=與出，

BCACAB55

4/

再根據(jù)線段的和差可得C”=不，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得CQ=PC=f,最后在中，利用勾股定

理即可得.

【詳解】（1）由題意得：PC=t,AQ^t,

AC=3,AB=5,

AP=AC-3—t,BQ=AB—AQ=5—t,

DE//AB,DE垂直平分PQ,

:.AB±PQ,即NPQA=90°,

ZPQA=ZC=90°

在.APQ和，ABC中，，

ZA=ZA

APQ~^ABC,

APAQ3-tt

■■■—=—,即Bn——=一,

ABAC53

9

解得f=—,

8

9

故當(dāng)f=一時(shí)，DE//AB,

8

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE_LAC于點(diǎn)F,

在HJABC中，NC=90°,AC=3,AB=5,

;.BC=^AB--AC2=4,sinA=—=-,

AB5

二在HUA段中,sinA=1|=|,即勺:,

4

解得尸。=不心

則四邊形BQPC的面積S=SRtABC-SAPQ=^AC-BC-^AP-FQ,

=—1x…3x4--1/C\4

點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A所需時(shí)間為T=3（秒），點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B所需時(shí)間為T=5（秒），且當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)Q也隨之停止，

又當(dāng)f=0或/=3時(shí)，不存在四邊形BQPC,

/.0</<3,

。A

故四邊形BQPC的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=-?2--Z+6（0<?<3）；

⑶SRtABC=^C-BC=^X3X4=6,

..13?26

"-15

26/26

即nn一t2-/+6=—,

555

解得或r=2,

故當(dāng)7=1或r=2時(shí)，四邊形BQPC的面積與HrABC的面積比為13:15；

(4)如圖，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)H,連接CQ,

ZACB=90°,

HQHAC,

:.^BHQ3cA,

,BH