應(yīng)用數(shù)學(xué)變分

33小波變換的計(jì)算機(jī)實(shí)要實(shí)現(xiàn)小波變換Wx(a,)x(t)tdt小波變換的計(jì)算機(jī)實(shí)要實(shí)現(xiàn)小波變換Wx(a,)x(t)tdtW(a,)xaatnTs,按(nknW(a,kT)x(nTsxssaaT4Tx(n)(nTx(n)(nk)W(a,k)xaanaka值下一組WT數(shù)。計(jì)算時(shí)，a值也必須離散取值。實(shí)際工作中最常用的離散取值是a2j,j0,1,5提高精度方1.梯形法.W(a,k)Tx(n)(提高精度方1.梯形法.W(a,k)Tx(n)(nk)(n1k)x(n1)xaa2an2.數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)補(bǔ)救法.(nka)xNn0,1,,1).xNxNk xkxN2).6應(yīng)用小波方法應(yīng)用小波方法作分析應(yīng)用小波方法作分析的步驟(1).按（2.29）或（2.30）計(jì)算出對(duì)應(yīng)于一些離散尺aaj下的小波變換Wx(a變換結(jié)果應(yīng)是三維曲線7(2).再按下面兩類方法顯(2).再按下面兩類方法顯示出結(jié)果aaWx(aj,)~1).對(duì)于每一值，畫出一曲線。常用于尺度較稀少時(shí)（如來(lái)?。゛28a平面上表示，把三維結(jié)果在二維Wxa平面上表示，把三維結(jié)果在二維Wx(ak,大小。如果認(rèn)為小波變用灰度值表示換的相位也含有有用信息，可以把相位也表a現(xiàn)平面上。a9對(duì)照?qǐng)D對(duì)照?qǐng)D示，分析結(jié)果。從頻域上看，用a值作處理相當(dāng)于用不同中心頻率但第三小波§3離散小波變換為了減小第三小波§3離散小波變換為了減小小波系數(shù)冗余度，便于實(shí)際計(jì)算，可以 (t)1(ta,小波基函的參限定aa離散點(diǎn)上取值一種最常用的離散方法就是將尺度a按冪級(jí)數(shù)進(jìn)am,(m0,1,,a離散化，即取a0，一般m00(t)t(t)ta通常進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)Ts軸。為了不丟失信息，要求采樣間滿Nyquist采樣定理：采樣頻率大于等于該尺度下率通帶的二倍當(dāng)m增加1，尺度增加一倍。對(duì)應(yīng)的頻帶減小一半見(jiàn)（2.27）式。由此可見(jiàn)，采樣率可以降低一半，即的間隔T，則在尺度時(shí)，間隔st取可表示2mTs(t2mnTs)11ta,(t)nTs(t) (t(t2mnTs)11ta,(t)nTs(t) (tnTm,n記sTs為簡(jiǎn)化起見(jiàn)t軸歸一化，這樣上式變1t(t)m,n任意函f(t)的離散小波定義為W(m,n)ff(t)fWx(ak,Wx(ak,aaaa和aa和對(duì)于離散小波變換，我們將解決下列兩個(gè)問(wèn)題(am,n)f對(duì)于離散小波變換，我們將解決下列兩個(gè)問(wèn)題(am,n)f(1).f0am0(a,mWf(t)為基的加f0和f(t)f(t)能否表示成m 0scm 0s設(shè)小波母函數(shù)(t)經(jīng)伸縮與位移引出的小波基(t) tn)|mZ,設(shè)小波母函數(shù)(t)經(jīng)伸縮與位移引出的小波基(t) tn)|mZ,nm數(shù)構(gòu)成一個(gè)標(biāo)20AB使（框架frame）即存在正f(t),m,n(t)Aff(a).若標(biāo)架是緊的，即A＝B，則有信號(hào)重建公式：f(t)Af(t)mZ即f(t)W(m,fA(b).若標(biāo)架不是緊的，即A<B，則有信號(hào)一階似公式：f(t) A(b).若標(biāo)架不是緊的，即A<B，則有信號(hào)一階似公式：f(t) AW(m,(t)fBx其B重建核.一般情況下標(biāo)架中的各個(gè)m,n并不正交甚至可能是線性相關(guān)的。故經(jīng)標(biāo)架處理后的小波系所含信息是有冗余的。在緊標(biāo)架f(t)W(m,fA處的WT在某(m0,n0Wf(m0,n0)f(t)m0,n0將（3.9）代入（3.10）R)處的WT在某(m0,n0Wf(m0,n0)f(t)m0,n0將（3.9）代入（3.10）R)W(m,AW(m,fmf0000R(m, RWm0fAK(m,n;m,n)W(m,00fAmZK(m,n;m0,n0):m,n(t)m0,n0(t)dtm,n,m0,n0R稱為重建核，反映m,n的相關(guān)程度，式與 稱為重建方程。相平面上的離散函數(shù)F(m,n)當(dāng)且僅當(dāng)滿足小波基函數(shù)的類型(1正交小波A=B=1時(shí)K小波基函數(shù)的類型(1正交小波A=B=1時(shí)K(m,n;m0,n0)m,n,m,n(mm0,nn0 m,n互相正交，WT(2半正交小波K(m,n;m0,n0)0,mm0(3雙正交小波m',n即例.Marr小波離散為小波標(biāo)架。將小波的尺度與位移分別離散化m(t) 例.Marr小波離散為小波標(biāo)架。將小波的尺度與位移分別離散化m(t) tm200t2(t)(1t2其中母函m,n(t)構(gòu)成了一則空間的小波標(biāo)架L2(R)a0,之間的關(guān)系其標(biāo)架的上下BA下表a0 時(shí)1).近似緊標(biāo)架在下列情況時(shí)得到：a0a0 時(shí)1).近似緊標(biāo)架在下列情況時(shí)得到：a0時(shí)，取0.75；2?。粫r(shí)時(shí)，；22。此時(shí)，采用重建公式（3.9）可以精確的重構(gòu)原函f(t)a0一定時(shí)，B/A的值的增大而增大3).給定一值，只3).給定一值，只取得足夠小，可以得到一個(gè)近似緊的小波標(biāo)架a02,A時(shí)不是緊標(biāo)架第三小波§4正交小第三小波§4正交小波變換與多分辨率4.1.mm,n(t)22(2mtm,n(1).Harr小波Harr函數(shù)0t12(t)(1).Harr小波Harr函數(shù)0t12(t)t其12?() sin2ei/4mm,n(t22(2mtm,n的小波是正交的。但Harr小波在時(shí)域是不連續(xù)隨1/Littlewood-Paley(t)1(sin2tsinLittlewood-Paley(t)1(sin2tsin?()1,m(t)22(2mtm,n的小波是L2R)稱為L(zhǎng)ittlewood-Paley正交小波基。與Harr小波相反1/上兩例的小上兩例的小波雖然都構(gòu)成了L2R空間的標(biāo)準(zhǔn)性的小波基？1985年，YMeyer基不存在時(shí)，卻意外的用緊標(biāo)架理論構(gòu)造出這種小波基，后來(lái)被稱為Meyer小波小波在時(shí)頻域均有很好的局部性(3).Meyer(x)kxx(3).Meyer(x)kxx(x)(x)(1x)提高2)(t)Ck(1值可以改進(jìn)Meyer小波在時(shí)域的局部4.2.多分辨率分析(Multi-尺度函數(shù)與尺度空間定義函數(shù)(tL2(R)為尺度函數(shù)(Scale4.2.多分辨率分析(Multi-尺度函數(shù)與尺度空間定義函數(shù)(tL2(R)為尺度函數(shù)(Scalek(t(tk)k(t),j(t)k,jk,j(t)在L2(RVk0kk故對(duì)任意有f(t)akk故對(duì)任意有f(t)akkk類似小波函數(shù)，對(duì)尺度函在平移的同時(shí)再行尺度的伸縮，則可得一個(gè)尺度和位移均可變化函數(shù)集合（整數(shù)平移，尺度按二進(jìn)制伸縮j,k(t) (2k)jk(2j2jt)j上的平移系列函則稱每一固定尺成的空Vj為尺度j的尺度空間Vj span{k(2jkkVj同樣對(duì)任意有2ak tfVj同樣對(duì)任意有2ak tf(t)akk(2jt)jk由此，尺度函k在不同尺度下，其平移系張成了一系列的尺度空。的定義域變大，j的增大，函數(shù)j,k(t)2j實(shí)際的平移間也變大。則它的線性組合(4.11)Vj張成的尺度空只能包括大尺度的緩變信號(hào)j的減小，函數(shù)(t)j,k2j也變小，則式(4.11)平移間更細(xì)微變化，其尺度空間變大，所包含的函數(shù)增多(tk(2j)1(t)j,(tk(2j)1(t)j,kj,k220,kV04.2.2.多分辨率分析定義定義多分辨率分析是指滿足下述性質(zhì)的一{Vj4.2.2.多分辨率分析定義定義多分辨率分析是指滿足下述性質(zhì)的一{Vj},j列閉子空V2V1V0V1V2一致單調(diào)性漸近完全性伸縮規(guī)則性平移不變性VjL2 Vjf(t)Vjf(2jt)f(t)V0f(tk)V0kZ5)正交基存在性：存(t)V0,使得是V0的正交基，即{(tkV0span{(t(tm)(tn)dtm,nkRV01)所有閉子空均由同一尺度函(t)伸縮后V01)所有閉子空均由同一尺度函(t)伸縮后的平系列張成的尺度空間其互相包含關(guān)系如圖(t)為多分辨率分析的尺度函數(shù)。稱f(t)Vjf(2jt)(t) (tk(2j)),j,k注釋j,k22(2jt) (2jtk(2j))1 (tk)j,k222定義.(Rieze基).k(t)為標(biāo)架且彼此線性無(wú)關(guān)，則稱k(t)構(gòu)成一組Rieze基。5).存在正交基定義.(Rieze基).k(t)為標(biāo)架且彼此線性無(wú)關(guān)，則稱k(t)構(gòu)成一組Rieze基。5).存在正交基條件可以放寬為存在Rieze基，因由Rieze基可以構(gòu)造出一組正交(t若V0{j,k(t)22(2jtkVj1(2jtk) (2ltk)dtRj(t),(t)jjjj212st/22j(sk)(sk2Rk4.2.3.小波函數(shù)與小波Vjj{VVjL4.2.3.小波函數(shù)與小波Vjj{VVjL2(R)，但子空間jj,k(t)2j/2(2jtL2設(shè)為在VmWmWmV0V1是V0V1是互相正交的W Wm與。mm,n當(dāng)事實(shí)上，由式（4.13）和（4.14）可證L2(R)jW證.由與互相正交，故可且由VjVjL2(R)Wj式和推VjVjL2(R)Wj式和推WL2(R)R下面再f(tL2R)。由給定任意的函VjL2Vjf(t)Vj,f(t)Vjj使而，推所VjVjf(t)WjWjWL2(R)由（4.20）和（4.21)Wj由式（4.18）W0V1由伸縮規(guī)則由式（4.18）W0V1由伸縮規(guī)則和若任意的函f(t)V1f(t)W0f(2jt)W（4.15）0,k(tkZ的某一組正交基，W0式（4.24）,對(duì)所有尺2 tk);kjZ,j2的正交基。再由式的必為空個(gè)集合{正交基j,k;jkZ}L2空間的一對(duì)照（4.1）式離散小波基的定義，此處對(duì)照（4.1）式離散小波基的定義，此處正是由同一母函數(shù)伸縮和平移得到的正交小波基因此，稱(t)為小波函數(shù)，相應(yīng)的是尺度j的小波空間小波空間WjVj是相鄰的兩個(gè)尺度空間f(t)V0V1由，對(duì)任意函，以分解為兩部分：細(xì)節(jié)部分W1和大尺度平滑逼近部V1。而大尺度平滑逼近部分可以近一步分解為細(xì)節(jié)(tk(2j)1(t)j,(tk(2j)1(t)j,kj,k220,kV1的投影f(t向尺度空間fsj(t)fsj(t)j尺的投影f(t向尺度空間fsj(t)fsj(t)j尺度下的平滑概貌j號(hào)。kfj(t)j t)c(t)s kf(t),j,k(t)c其稱為尺度展開系數(shù)若將函f(tj尺度下的小波空投影，fdj(t)可以得到細(xì)節(jié)信：(2jt)fj(t) (t)dd kf(t),j,k(t)k其d稱為小波展開系數(shù)jjjVjWj(t) (t)fdjjjVjWj(t) (t)fdVj，所因或fj(t)fj1(t)fjdssj兩級(jí)相鄰平是Vj1fd 逼近之差，反映了這兩級(jí)逼近間的細(xì)節(jié)差異。故j為分辨j下的細(xì)節(jié)函數(shù)。實(shí)際fd fdj(t)dj,kk(2jt)dj,k(t)kkf(t),j,k(t)d中，小波系是離散小波變。是具有帶通性質(zhì)的小波母函數(shù)Wf(j,k這樣，多分辨率分析和小波變換就聯(lián)系起來(lái)了若將函f(t)按以下空間組合展開L2(R)若將函f(t)按以下空間組合展開L2(R)WjJ為任意設(shè)定的尺度，JJf(t)j,k(t)dcJ,kJ,kjkk當(dāng)J時(shí)，上式變 f(t)djj,kjkA=B=1的離散小波變換重建式（3.9）。常稱（4.31）和（4.32）為離散正交小在討論MRA理論下在討論MRA理論下的尺度函數(shù)(t)(t)的性質(zhì)之前，先介紹著名的Poisson公式。該公式用于述正數(shù)平移系列的正交歸一性在頻域的表示（1）設(shè)f(tkkZ是一組正交歸一的函數(shù)集合f(tk1)f(tk2)dt(k1k2)k1R則此正交歸一性在頻域的表現(xiàn)F(2k)2kf(t)F其中是的Fourier變換f1(tk1),f2(tf1(tk1),f2(tk2);k1,k2是兩組正（2）的函數(shù)集合f1(tk1)f2(tk2)dtR則此正交性質(zhì)在頻域的表現(xiàn)F1(2k)F2(2k)kF1(),F2的Fourier變換分別f(t),(t)12式（4.34）和（4.36）即為著名的Poisson公式f(tk)2F()eik1eit證1R)2F()eik2etdf(t2R將上面兩式代入 f(tk)2F()eik1eit證1R)2F()eik2et