矩陣及應(yīng)用（原卷版）-高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

矩陣及應(yīng)用

一、單選題

一+1ln(-x)

,x<0

1ln(-x)

i.定義行列式的運(yùn)算如下：已函數(shù)以

%]一+1Inx

,x>0

1Inx

下命題正確的是（）

①對(duì)以式,⑼口曲田），都有/（-X）+f（x）=0；②若*x）=/（x）sinx,對(duì)VxeR,總

存在非零常數(shù)了，使得0（x+T）=0（x）；③若存在直線y=辰與無(wú)⑺的圖象無(wú)公共點(diǎn)，且使

/?）的圖案位于直線兩側(cè)，此直線即稱為函數(shù)/z（x）的分界線.則/⑺的分界線的斜率的取值

范圍是（/,+%）；④函數(shù)g）=f（x）-sinx的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè).

A.①③④B.①②④

C.②③D.①④

2.已知向量0UU4IU,AUULBU,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若Iu回umI卜上IUL網(wǎng)illI，且A8方向是沿Q4的方向繞著A點(diǎn)

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)夕角得到的，則稱。A經(jīng)過(guò)一次G，幻變換得到A8,現(xiàn)有向量04=（1,1）經(jīng)

過(guò)一次場(chǎng)泡）變換后得到44,,9經(jīng)過(guò)一次（名,&）變換后得到44，…，如此下去，

UUUUUUUUUUUUUU11

A-AT經(jīng)過(guò)一次（。人）變換后得到4M，設(shè)4A=（x，y），4=記，幻=嬴/，則廣尤

Zun

等于（）

A.2sinp一電]

2sin

B.

sinlsinjsinl-Lsin^1

cos1cos-cos

2F

2C°S"T

2cos

D.

sin1sin—sin與Lsin-^―

coslcos-cos

2222”T22"工

22

+AX3=0

3.關(guān)于%,馬，尤3的方程組卜1+2%+W=0的系數(shù)矩陣記為A,且該方程組存在非零解，

x1+x2+2X3=0

若存在三階矩陣8HO,使得AS=O,（0表示零矩陣，即所有元素均為0的矩陣；矩陣8對(duì)

應(yīng)的行列式為怛|）,則

（1）2一定為1;

（2）冏一定為0；

（3）該方程組一定有無(wú)窮多解.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.已知函數(shù)/（X）滿足：。=（丁"（?）,6=（l,x」+《）,allb，數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S”,

XX

/（?）1an

滿足/（%）+/（4）+…+/（%）=??+W…則1而n7-0的值為（）

…S.

9

A.--B.-4C.D.-5

2-2

absin50cos40

5.定義，=ad—be,貝U二（）

ca-A/3tan101

A.1B.-1C.D.0

二、填空題

a—2a-4

6.己知數(shù)列｛叫滿足用"=5（〃eN*）,則使-9>2019成立的正整數(shù)%的最小

anan+\~2

值為.

7.下列命題：

?[mx+y=-1一

①關(guān)于x、y的二元一次方程組。.。的系數(shù)行列式。=o是該方程組有解的必

[5iwc-my—2m+3

要非充分條件；

②已知E、尸、G、H是空間四點(diǎn)，命題甲:E、F、G、H四點(diǎn)不共面,命題乙:直線EF和G"

不相交，則甲成立是乙成立的充分非必要條件；

③“a<2”是“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,|x+l|+|x-l|2a恒成立”的充要條件；

④“P=0或P=-4”是“關(guān)于x的方程P=x+P有且僅有一個(gè)實(shí)根”的充要條件；

X

其中,真命題序號(hào)是

三、解答題

22

8.已知橢圓C:土+匕=1,直線/過(guò)右焦點(diǎn)廠與橢圓交于A、5兩點(diǎn)，.PQR的三個(gè)頂點(diǎn)

43

均在橢圓上，且0為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）小明在計(jì)算.OAB的面積的最大值的時(shí)候用了如下方法，其中有兩處出錯(cuò),請(qǐng)指出其

中的一處錯(cuò)誤之處,并說(shuō)明原因；解答：設(shè)A（2cosa,Asina）,2（2cosa瓜in0,則

2cosa百sina1

2cos夕73sin1=6卜in（夕+a）|v道，所以,Q4B的面積的最大值為由.

001

（2）請(qǐng)給出題目（1）中問(wèn)題的正確解答;

（3）小明雖然做錯(cuò)了，但這種方法在計(jì)算某些題目時(shí)會(huì)比常規(guī)方法便捷些，如求證下面問(wèn)

題，求證：當(dāng)?shù)闹匦臑樵c(diǎn)。時(shí)，.PQR的面積是定值.

9.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)（-2,0）、（2,0）的距離之和為40,記動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡為

（1）求r的方程；

（2）過(guò)r上的點(diǎn)。作圓d+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)為。、Q2,直線QQ與X、y軸的交

點(diǎn)依次為異于坐標(biāo)原點(diǎn)0的點(diǎn)。3、。4，試求V2OQ的面積的最小值；

（3）過(guò)點(diǎn)（2,0）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交：r于不同的兩點(diǎn)M、N,線段的垂直平分

202

線與x軸交于點(diǎn)。，線段的中點(diǎn)為是否存在變，使得1319=0成

4\DH\02\MN\

立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸（無(wú),y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)角。至點(diǎn)P'（x',y'）.

P'(x'j')

P(x.y)

%'=xcos6-ysin6,

(1)試證明點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式:

y'=xsin6+ycos6.

(2)設(shè)。€(0,2萬(wàn))，點(diǎn)4(0,-1)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角夕至點(diǎn)片，點(diǎn)片再繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角，

至點(diǎn)心，且直線46的斜率左=-1,求角。的值；

(3)試證明方程/+抬'孫=6的曲線C是雙曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

11.如圖，設(shè)A是由"X"個(gè)實(shí)數(shù)組成的“行引列的數(shù)表，其中此產(chǎn)1,2,3,w)表

示位于第i行第J列的實(shí)數(shù)，且的七{1,-1}.記5(九,〃)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于

?),記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積，0(A)為A的第/列各數(shù)之積.令

/⑷=2(4)+?/⑷

(I)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)AeS(4,4),使得44)=0；

(II)是否存在AeS(9,9),使得/(A)=0?說(shuō)明理由；

(III)給定正整數(shù)“，對(duì)于所有的AeS(〃，n),求/(A)的取值集合.

12.設(shè)數(shù)陣4=吃其中的1、牝、%1、&2€{1，2,、6}.設(shè)5={6，02，',弓}={1,2,、6},

\U2\U22)

其中q<q<<q,/eN*且ZV6.定義變換處為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有％或-3

則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以-1;若其中沒(méi)有左且沒(méi)有此，則這一行中所有數(shù)均保持不變”

(%=G、g、L、q).%(4)表示“將4經(jīng)過(guò)外變換得到A,再將A經(jīng)過(guò)外變換得到4、

L,以此類推，最后將心經(jīng)過(guò)%變換得到4"，記數(shù)陣4中四個(gè)數(shù)的和為1(&).

(1)若4=(；:;寫(xiě)出4經(jīng)過(guò)外變換后得到的數(shù)陣4；

⑵若J,S={1,3},求4(4)的值；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：1(4)的所有可能取值的和不超過(guò)T.

(ab\(x\(ax+by\

13.矩陣乘法運(yùn)算」=:的幾何意義為平面上的點(diǎn)尸(x,y)在矩陣

(cd八yj\cx+dy)

(abyab

Af=」的作用下變換成點(diǎn)P=(ax+b%cx+辦)，記1加1=,,且1〃快0.

I^ca)ca

(1)若平面上的點(diǎn)A在矩陣［j［］的作用下變換成點(diǎn)4(3,-1),求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若平面上相異的兩點(diǎn)A、B在矩陣M的作用下，分別變換為點(diǎn)A、B',求證：若點(diǎn)P

為線段AB上的點(diǎn)，則點(diǎn)尸在M的作用下的點(diǎn)P'在線段A的上；

2_*_、

23

(3)已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(l,l)、8(-2,4)、C(3,9),且AABC在矩陣〃=:；作

用下變換成△AB'C',記AABC與△A'B'C'的面積分別為5與S2,求邑的值，并寫(xiě)出一般情

況(三角形形狀一般化且變換矩陣一般化)下S］與邑的關(guān)系(不要求證明).

a2?

14.已知"(讓4)階方陣中的各元素均為正數(shù)，其中每行成等差數(shù)列,

每列都是公比為2的等比數(shù)列，已知&=8,4=20.

(1)求和心的值；

(2)計(jì)算行列式知%和?

〃21〃22。加

(3)設(shè)4=%+%“_>+%5+???+%,證明：當(dāng)”是3的倍數(shù)時(shí)，4+〃能被21整除.

15.設(shè)二階方矩陣A=［則矩陣A所對(duì)應(yīng)的矩陣變換為：其意義

是把點(diǎn)尸(無(wú),y)變換為點(diǎn)Q(x',y'),矩陣A叫做變換矩陣.

(1)當(dāng)變換矩陣4=心1時(shí)，點(diǎn)鳥(niǎo)(-3,1)經(jīng)矩陣變換后得到點(diǎn)分別是Q2,

求經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,、Q的直線的點(diǎn)方向式方程；

(2)當(dāng)變換矩陣4=［；時(shí)，若直線上的任意點(diǎn)P(x,y)經(jīng)矩陣變換后得到的點(diǎn)。仍在

該直線上，求直線的方程；

(3)若點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)矩陣變換后得到點(diǎn)Q,且尸與。關(guān)于直線、=履對(duì)稱，求變換矩陣4.

16.已知數(shù)列｛七｝和他,｝滿足：4=4=1,且％,2%4%成等比數(shù)列,46,24也成等差數(shù)

列.

-234

aa

(1)行列式。,,+2?+in=-2M1］+3Af12+4M13(neN*),且弧1外，求證：數(shù)列｛%｝是

111

等差數(shù)列；

(2)在(1)的條件下，若｛“"｝不是常數(shù)列，｛〃,｝是等比數(shù)列，

①求｛七｝和｛，｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)“〃是正整數(shù)，若存在正整數(shù)。j,使得am-b「a1nq.如我也成等差數(shù)列,

求〃2+”的最小值.

17.在中學(xué)階段，對(duì)許多特定的集合(如實(shí)數(shù)集，平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算

(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容，現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)對(duì)組成，在A上

定義一個(gè)運(yùn)算，記為◎,對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素a=(。疝)，，=(c,d),規(guī)定：

-a-caa

a?B=,.

dcb,

(1)計(jì)算：(2,3)?(-l,4)；

(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算◎滿足交換律和結(jié)合律，并證明交換律；

(3)A中是否存在唯一■確定的兀素/滿足：對(duì)于任意aeA,都有</◎/=/?a=c成立，

若存在，請(qǐng)求出元素/；若