2024年中考培優(yōu)訓(xùn)練 分解因式解答題與綜合題100題【含答案】

[2024年中考專題培優(yōu)訓(xùn)練】分解因式解答題與綜合題100題

一、作圖題

i.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學(xué)問題進行直觀推導(dǎo)和解釋.如

圖1,有足夠多的A類、C類正方形卡片和B類長方形卡片.用若干張A類、B類、C類卡片可以拼

出如圖2的長方形，通過計算面積可以解釋因式分解：2a2+3ab+/=(2a+b)(a+b).

(1)如圖3,用1張A類正方形卡片、4張B類長方形卡片、3張C類正方形卡片，可以拼出以

下長方形，根據(jù)它的面積來解釋的因式分解為;

圖3

(2)若解釋因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b),需取A類、B類、C類卡片若干張(三

種卡片都要取到)，拼成一個長方形，請畫出相應(yīng)的圖形；

(3)若取A類、B類、C類卡片若干張(三種卡片都要取到)，拼成一個長方形，使其面積為5a2+

mab+b2,則m的值為,將此多項式分解因式為.

二'綜合題

2.一個正整數(shù)，若從左到右奇數(shù)位上的數(shù)字相同，偶數(shù)位上的數(shù)字相同，稱這樣的數(shù)為“接龍數(shù)”.例

如：121,3535都是“接龍數(shù)”，123不是“接龍數(shù)”.

(1)求證：任意四位“接龍數(shù)”都能被101整除；

(2)若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù).對于任意的三位“接龍

數(shù)”厘，記F(t)=礪-2xy-x,求使得F(t)為完全平方數(shù)的所有三位“接龍數(shù)”xyx.

3.分解因式：

⑴2a(y-z)-3b(z-y)

(2)-a4+16

(3)a2b-2ab+b

(4)3(x-2y)2-3x+6y.

4.材料：常見的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接

運用公式分解因式，但是某些項通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整能構(gòu)成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因

式，這種方法叫做分組分解法.如久2+2xy+y2—i6,我們仔細(xì)觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完

全平方公式，分解后與后面的部分結(jié)合起來又符合平方差公式，可以繼續(xù)分解，過程為/+2%y+y2—

16=(%+y)2-42=(%+y+4)(%+y-4).它并不是一種獨立的分解因式的方法，而是為提公因式

或運用公式分解因式創(chuàng)造條件.

解答下列問題：

(1)分解因式：2a2—8a+8；

(2)請嘗試用上面材料中的方法分解因式/—y2+3x—3y.

5.已知(2%—21)(3久—7)—(3久—7)(x—13)可分解因式為(3久+a)(x+b),其中a,6均為整數(shù).

(1)求a+3b的值；

(2)類似的，請你把/一3%+2分解成(久+a)(x+b)的形式.

6.對多項式儂為+2)524+6)+4進行因式分解時，小亮先設(shè)a?-4a=b,代

入原式后得：

原式=(b+2)(h+6)+4

=b2+8b+16

=(b+4)2

=(a2-4a+4)2

(1)小亮在因式分解時巧妙運用了以下那種數(shù)學(xué)思想：；

A.整體換元思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.分類討論思想

(2)請指出上述因式分解存在的問題并直接寫出正確結(jié)果；

(3)請參考以上方法對多項式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+l進行因式分解。

7.綜合題

(1)已知x,y是二元一次方程組政二2二3的解,求整式x2-4y2的值.

(2)已知|a-b-3|+(a+b-2)2=0,求a2-b2的值.

8.對任意一個兩位數(shù)m,如果m等于兩個正整數(shù)的平方和，那么稱這個兩位數(shù)m為“平方和數(shù)”，若

m=a2+b2(a、b為正整數(shù))，記A(m)=ab.例如：29=22+52,29就是一個“平方和數(shù)”，則A(29)

=2x5=10.

(1)判斷25是否是“平方和數(shù)”，若是，請計算A(25)的值；若不是，請說明理由；

(2)若k是一個“平方和數(shù)”，且A(k)=殍，求k的值.

9.把下面各式分解因式：

(1)4x2-8x+4

(2)x2+2x(x-3y)+(x-3y)2.

10.對任意一個四位數(shù)n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為7,百位與個位上的數(shù)字之和也為7,那么

稱n為“上進數(shù)”.

(1)寫出最小和最大的“上進數(shù)”；

(2)一個"上進數(shù)"abed,若b=2a,且使一元二次方程x2-4x+a-0有兩個不相等的實

數(shù)根，求這個“上進數(shù)”.

11.閱讀下列材料：

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅可以簡

化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種

因式分解的方法稱為“換元法”.

下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式(爐-4x+l)(N-4尤+7)+9進行因式分解的過程.

解：設(shè)/-4x=y

原式=(j+1)(j+7)+9(第一步)

=儼+8尹16(第二步)

=(尹4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的;

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果:；

(3)請你用換元法對多項式(N+2X)(X2+2X+2)+1進行因式分解.

12.如圖，邊長為a,b的長方形，它的周長為14,面積為10,

*

(1)填空：a+b=,ab=

(2)求下列各式的值：a2b+ab2；a2+b2+abo

13.給出三個單項式：a2,b2,2ab.

(1)任選兩個單項式相減，并進行因式分解；

(2)利用因式分解進行計算：a2+b2-2ab,其中a=2021,b=2019.

14.如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊

小長方形拼成的一個“回形”正方形(如圖2).

(1)圖2中的陰影部分的面積為：

(2)觀察圖2請你寫出(a+b)2、(a-b)\ab之間的等量關(guān)系是：

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，若x+y=7,xy=竽,貝!Jx-尸；

(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式.根據(jù)圖3,寫出一個因式分解的等

_______________________________

15.閱讀下面的材料:

/常用的分M國人的方法有耀取公BIA法、公式法等,僅有的多^^只用上述\

方法無法分*.*?r-4/-2x+4?,two見事這個式子,會發(fā)現(xiàn)前兩H符合十方

是公式.后網(wǎng)，■可攝取公因式.前、后四部分分冽因式分解后又出境新的公因式.

提取公因式就可以先成贊個K子的分解因K.具體過<1如下：

x3-4>J-2x+4y

=<X!-4y*)-(2x-4y)

Xx+2y)(r-2y)-2(x-2,)

=(x-2y)(x+2y-2)

望這料將一個多g人過號分組后，進什分第因其的方法叫依分縝分解法.

lj

利用分組分解法解決下面的問題：

(1)分解因式：x2-2xy+y2-4；

(2)已知△4BC的三邊長a,b,c滿足a2-ab-ac+be=0,判斷△48。的形狀并說明理由.

16.常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如%2-

4y2-2%+4y,我們細(xì)心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生

公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：

x2-4y2—2%+4y

=(%2—4y2)—(2%—4y)

=(%+2y)(x—2y)—2(%—2y)

=(%—2y)(x+2y—2)

這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列多項式：

(1)mn2,—2mn+2n—4；

(2)蘇—2ab+b2—16.

17.分解因式：

(1)2a3+6a2

(2)25x2-100

(3)x3y-4x2y+4xy.

18.如圖，正方形ABCD中，點G是邊CD上一點(不與端點C,D重合)，以CG為邊在正方形ABCD

外作正方形CEFG,且B、C、E三點在同一直線上，設(shè)正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為

a和b.

(1)分別用含a,b的代數(shù)式表示圖1和圖2中陰影部分的面積Si、S2;

(2)如果a+b=5,ab=3,求Si的值；

(3)當(dāng)Si<S2時，求1的取值范圍.

19.把下列各式分解因式：

(1)2x2-8x；

(2)6ab3-24a3b.

20.分解因式

(1)a3-2a2b+ab2

(2)x2(m-n)-y2(m-n)

21.先閱讀下列材料：

我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有

分組分解法、配方法(拆項法)、十字相乘法等等.

(1)分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.

如①和②：

①ax+by+bx+ay

=(ax+bx)+(ay+by)

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

②2xy+y2-1+x2

=(x2+2xy+y2)-1

=(x+y)2-1

=(x+y+1)(x+y-1)

(2)配方法：將一個多項式的某一部分變形為完全平方式后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解

的方法.如③：x2+120x+3456

=x2+2?x?60+602-602+3456

=(x+60)2-144

(x+60+12)(x+60-12)

=(x+72)(x+48)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題:

(1)分解因式：a2+a-b2-b；

(2)分解因式：x2-42x-3528.

22.先閱讀下列材料：

我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有

分組分解法、拆項法、十字相乘法等等.

①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.

：ax+by+bx+ay,x2+2xy+y2—1

分組分解法：

解：原式=(ax+bx)+(ax+by)解：原式=(x+y)2-1

=x(a+b)+y(a+b)=(%+y+l)(x+y—1)

=(a+￡>)(%+y)

②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.

如：%2+2%—3

解：原式=%2+2%+1—4

=(%+I)2-22

=(%+1+2)(x+I—2)

=(x+3)(%—1)

請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：

(1)分解因式：a2-b2+a-b；

(2)分解因式：x2-6x-7.

23.將下列各式因式分解：

(1)2x2-x-x3；

(2)9(x+2)2-25(x-3)2.

24.把下列各式因式分解：

(1)4x3y2-x;

(2)-x2+16;

(3)(2a+l)2-a2;

(4)16(x-y)2-25(x+y)2;

(5)m2(x-y)+n2(y-x).

25.若%滿足。一4)(%-9)=6,求。一4>+(%-9)2的值.閱讀下面求解的方法:

解：設(shè)％—4=a,x—9=b,則a—b=(x—4)—(%—9)=5,

V(x-4)(x-9)=6,

??ctb—6f

/.(%—4)2+(x—9)2=a2+b2=(a—b)2+2ab=52+2x6=37.

請仿照上面的方法求解下面的問題：

(1)若工滿足(久一2)(%-5)=10,求。-2)2+(%-5＞的值；

(2)如圖，正方形4BCD中，E、F分另IJ是4。、DC上的點，且4E=1,CF=3,長方形EMFD的面

積是15,分別以MF、OF為邊作正方形，若4)=￡，則①DE=,DF=(用含％

的代數(shù)式表示)；②直接寫出圖中陰影部分的面積.

26.如果一個自然數(shù)從高位到個位是由一個數(shù)字或幾個數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)組成，那么我們把這樣的自然數(shù)

叫做循環(huán)數(shù)，重復(fù)的一個或幾個數(shù)字稱為“循環(huán)節(jié)”，我們把“循環(huán)節(jié)”的數(shù)字個數(shù)叫做循環(huán)節(jié)的階數(shù).例

如：525252,它由“52”依次重復(fù)出現(xiàn)組成，所以525252是循環(huán)數(shù)，它是2階6位循環(huán)數(shù)，再如：77,

是1階2位循環(huán)數(shù)，135135135是3階9位循環(huán)數(shù)…

(1)請你直接寫出2個2階4位循環(huán)數(shù)，并證明對于任意一個2階4位循環(huán)數(shù)，若交換其循環(huán)節(jié)

的數(shù)字所得到的新數(shù)和原數(shù)的差能夠被9整除；

(2)已知一個能被9整除的2階4位循環(huán)數(shù)，設(shè)循環(huán)節(jié)為ab,求a,b應(yīng)滿足的關(guān)系.

27.一個能被11整除的自然數(shù)稱為“一心一意數(shù)”，它的特征是去掉個位數(shù)字后，得到一個新數(shù)，新數(shù)

減去原數(shù)的個位數(shù)字的差能被11整除，若所得差仍然較大不易判斷，則可以再把差去掉個位數(shù)字，

繼續(xù)進行下去，直到容易判斷為此，如：42581去掉個位是4258,4258減去1的差是4257,4257去

掉個位后是425,425減去7的差是418,418去掉個位8后是41,41減去8的差是33,顯然33能被

11整除，所以42581是“一心一意數(shù)”.

(1)請用上述規(guī)律判斷2018和20180116是否是“一心一意數(shù)”；

⑵一個能被66整除的自然數(shù)稱為“祥和數(shù)”，已知一個四位“祥和數(shù)”痂(千位數(shù)字是a,十

位數(shù)字是b,百位數(shù)字和個位數(shù)字都是c,0<a<9,0<b<9,0<c<9),求支電的值.

C

28.如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是

邊長都為n的小正方形，五塊是長為m,寬為n的全等小長方形，且m>n.(以上長度單位：cm)

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2n2可以因式分解為；

(2)若每塊小長方形的面積為10cnA四個正方形的面積和為58cm2,試求圖中所有裁剪線(虛

線部分)長之和.

29.先把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式.

(1)a2-7；

⑵3x2-2.

30.先化簡，再求值：

(1)已知a+b=2,ab=2,求a?b+2a2b?+ab3的值.

(2)求(2x-y)(2x+y)-(2y+x)(2y-x)的值,其中x=2,y=l.

31.先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,貝I」

原式=A?+2A+1=(A+1)2

再將“A”還原，得：原式=(x+y+1)2.

上述解題候總用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問

題：

(1)因式分解：1+2(x-y)+(x-y)2=.

(2)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4

(3)證明：若n為正整數(shù)，則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.

32.

(1)已知y(2x+1)-x(2y+1)=-3,求6,+6y2-I2%y的值；

(2)已知a2-a-1=0,求a3-2a+2019的值.

33.

(1)已知x2y=2,%—2y=5/—2x2y2的值.

(2)先化簡，再求值：(汽+2y)(%—2y)—(2y—%)2，其中x=2,y=—1.

34.觀察下列式子：

(x+1)(/—%+1)=%3+1;

(x+2)(%2—2%+4)=%3+8;

(2m+n)(4m2—2mn+n2)=8m3+n3;

(1)上面的整式乘法計算結(jié)果比較簡潔，類比學(xué)習(xí)過的平方差公式，完全平方公式的推導(dǎo)過程，

請你寫出一個新的乘法公式(用含a、b的字母表示)，并加以證明；

(2)直接用你發(fā)現(xiàn)的公式寫出計算結(jié)果：(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=；

(3)分解因式：m3+n3+3mn(m+n).

35.對于多項式x3-5x2+x+10,我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x=2能使多項式x3-5x2+x+10的值為0,

由此可以斷定多項式x3-5x2+x+10中有因式x-2(注：把x=a代入多項式，能使多項式的值為0,則多項

式中一定含有因式(x-a),于是我們可以把多項式寫成：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),分別求出m,n

后再代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)中,就可以把多項式x3-5x2+x+10因式分解).

(1)求式子中m,n的值；

(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，用“試根法”分解因式x3+5x2+8x+4.

36.因式分解：

(1)3m2-24m+48；

(2)x3y-4xy.

37.因式分解：

(1)a3b~2a2b2+ab3

(2)(N+4)2—16x2.

38.因式分解：

(1)m3n—6m2n+9mn；

(2)4x2-(x2+1)2；

(3)(—2>°22.|.(一2)2021—22020

39.因式分解：

(1)4x2-64

(2)81a4-72a2b2+16/

(3)(%2—2x)2—2(久2—2%)—3

40.解答下列各題：

(1)分解因式：4a2-8ab+4b2-16c2

(2)計算：(2a+b)(2a-b)+b(2a+b)-8a2b^-2b

(3)化簡求值：(含-/尸泊3，其中x一

(4)解分式方程：隰-1=七?

41.因式分解

(1)6x2-3x；

(2)16m3-mn2；

(3)25m2-IQmn+n2；

(4)9a2(x-y)+4b2Cy-x).

42.已知a+b=-3,ab=2,求下列各式的值：

(1)a2b+ab2；

(2)a2+b2；

(3)a4+b4；

43.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法

就無法分解，如x2-4y2-2x+4y,我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后

兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子

的分解因式了。

過程為:x2—4y2—2x+4y=(x+2y)(%—2y)—2(x—2y)=(%—2y)(x+2y—2)；

這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式：9%2—6xy+y2-16；

(2)AABC三邊a,b,c滿足a2-ab-ac+be=0,判斷AABC的形狀.

44.定義：將一個大于0的自然數(shù)，去掉其個位數(shù)字，再把剩下的數(shù)加上原數(shù)個位數(shù)字的4倍，如果

得到的和能被13整除，則稱這個數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)，如果和太大無法直接觀察出來，就再次重復(fù)這

個過程繼續(xù)計算，例如55263—5526+12=5538,55381553+32=585,585—58+20=

78,78+13=6,所以55263是“一刀兩斷”數(shù).

3247—324+28=352,35+8=43,43+13=3……4,所以3247不是“一刀兩斷”數(shù).

(1)判斷5928是否為“一刀兩斷”數(shù)：▲(填是或否)，并證明任意一個能被13整除的數(shù)是“一刀

兩斷”數(shù)；

(2)對于一個“一刀兩斷”數(shù)m=1000a+100b+10c+d(l<a<9,0<b<9,0<c<9,0<d<9,a,b,c,d

均為正整數(shù))，規(guī)定G(m)=|之|.若m的千位數(shù)字滿是l《a44,千位數(shù)字與十位數(shù)字相同，

1a—a1

且能被65整除，求出所有滿足條件的四位數(shù)m中，G(m)的最大值.

45.已知x+y=4,xy=3,求下列各式的值.

(1)(%—y)2

(2)x2y+xy2

46.因式分解

(1)x3-xy2；

(2)m3-6m2+9m；

(3)m2(m-1)+4(1-m)；

(4)(a2+4)2-16a2.

47.已知a,b,c為AABC的三條邊的長.

(1)證明：a2—2ac+c2—b2<0；

(2)當(dāng)a,b,c滿足條件a2+2ac—b2—2bc=(^L請判斷AABC的形狀，并說明理由.

48.

(1)因式分解：16-租4

(2)計算：(3久y2)2+(-4盯3).(一盯)

49.因式分解：

(1)a2+2a；

(2)%2-16.

50.計算

(1)分解因式：2%3-8%；

(2)一個多邊形的內(nèi)角是1080。，求多邊形的邊數(shù).

51.因式分解:

(1)9a3+6a2b+ab2

(2)(x-1)(x-3)+1

(3)x2-3x-40.

52.閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

1+%+%(%+1)+%(%+I)2

=(1+%)[1+x+%(%+1)]

=(1+%)2(1+%)

=(1+X)3

(1)上述分解因式的方法是.

(2)若分解1+久+%(%+1)+%(%+I)2H-----F%(%+1)2021,則結(jié)果是.

(3)依照上述方法分解因式：1+尤+無(X+1)+￡(％+1)2+…+4尤+l)n(n為正整數(shù)).

53.因式分解

(1)2(a-3)3-a+3

(2)a2-b2-2b-1.

54.如圖1,有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正

方形③的紙片.

(1)已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169,長方形②的周長為34,求長方形②的面

積.

(2)如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形

(在圖2虛線框內(nèi)畫出圖形)，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2b2分解因式.

55.

(1)因式分解：x3-2x2+x；

(2)解方程：巖-1=￡?

56.綜合題。

(1)分解因式：5a2-10ab+5b2；

(2)一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個多邊形的邊數(shù).

57.因式分解：

(1)3x(a-b)-6y(b-a)

(2)4x2-64

(3)-a+2a2-a3.

58.分解因式：

(1)3x-12x3

(2)a2-4a+4-b2.

59.分解因式

(1)9x3-x；

(2)2m2-4m+2.

60.我們用存表示一個三位數(shù)，其中x表示百位上的數(shù)，y表示十位上的數(shù)，z表示個位上的數(shù)，即

xyz=100%+10y+z.

(1)說明abc+bca+cab一定是111的倍數(shù);

(2)①寫出一組a、b、c的取值，使+瓦S+而F能被11整除，這組值可以是a=,

b=,c=；

②若訪？+而F能被11整除，則a、b、c三個數(shù)必須滿足的數(shù)量關(guān)系

是.

61.綜合題。

(1)因式分解：a3-2a2+a；

(2)因式分解：(3x+y)2-(x-3y)2；

(3)解方程：當(dāng)=1-

x—ZZ—x

62.

(1)分解因式：2ax2+4ax+2a.

(2)解方程：)】=另一3

x—Zx—L

63.閱讀下列材料：

材料1、將一個形如x?+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=mn且p=m+n,則可以把

x?+px+q因式分解成(x+m)(x+n).

x2+4x+3=(x+1)(x+3)(2)x2-4x-12=(x-6)(x+2)

材料2、因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1

解：將“x+y”看成一個整體，令x+y=A,則原式=A?+2A+1=(A+l)2

再將“A”還原，得：原式=(x+y+1)2

上述解題用到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題:

(1)根據(jù)材料1，把x2-6x+8分解因式.

(2)結(jié)合材料1和材料2,完成下面小題:

①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3；

②分解因式：m(m+2)(m2+2m-2)-3.

64.觀察下列算式，完成問題：

算式①：42—22=12=4*3

算式②：62-42=20=4X5

算式③：82-62=28=4X7

算式④：102-82=36=4x9

(D按照以上四個算式的規(guī)律，請寫出算式⑤：;

(2)上述算式用文字表示為：“任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”.若設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)

分別為2n和2n+25為整數(shù))，請證明上述命題成立；

(3)命題“任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都是4的奇數(shù)倍”是否成立？若成立，請證明；若不成立，

請舉出反例.

65.

(1)因式分解：3a2-6a+3.

(5x-2>3(x+1)

⑵解不等式組X-1/11-x

-2--1一_3-

66.分解因式:

(1)3ax2+6axy+3ay2

(2)a2(a-3)-a+3.

67.將下列各式分解因式：

(1)-3a3+12a

(2)a2(x-y)-4a(y-x)+4(x-y)

68.有些多項式不能直接運用提取公因式法分解因式，但它的某些項可以通過適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合(或把某項

適當(dāng)?shù)夭鸱?成為一組，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的，例如血工+幾無+

my+ny—(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+ri)=(m+n)(x+y).根據(jù)上面的方法因式

分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)m?—mn2—m2n+v?.

(3)已知a,b,c是△ABC的三邊，且滿足a?-ab+c?=2ac-be,判斷△4BC的形狀并說明理

由.

69.一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x,十位上和個位上的數(shù)字之和為y,如果x=y,那

么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”.

例如：1423,x=l+4,y=2+3,因為x=y,所以1423是'和平數(shù)”.

(1)直接寫出：最小的“和平數(shù)”是，最大的“和平數(shù)”是;

(2)求個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所

有“和平數(shù)”；

(3)將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位

置，稱交換前后的這兩個“和平數(shù)”為一組“相關(guān)和平數(shù)”.

例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”

求證：任意的一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù).

70.給出三個整式a2,b2和2ab.

(1)當(dāng)a=3,b=4時,求a2+b?+2ab的值;

(2)在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分

解.請寫出你所選的式子及因式分解的過程.

71.如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個位到最高位依次

排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”.例如：自然數(shù)64746從最高位到

個位排出的一串?dāng)?shù)字是6,4,7,4,6,從個位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6,4,7,4,6,所以

64746是“和諧數(shù)”.再如：33,181,212,4664,都是“和諧數(shù)”.

(1)請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；

(2)已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個位上的數(shù)字為x(iWx*,x為自然數(shù))，十位上

的數(shù)字為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

72.綜合題。

(1)因式分解：6xy2+9x2y+y3

,3(%-1)<5x+1

(2)解不等式組:V—1

手>2x-4

73.計算與分解因式

計算:

(1)(2x2y)2.(-5盯2)+(14x4y3)

(2)^x+y-m+n)(x-y-m-n).

(3)16x4-1；

C4)(a-b)(5a+26)+(a+66)(b-a).

74.把下列各式分解因式

(1)(x+1)2-1

(2)2m2-4mn+2n2

(3)a2(x-y)+b2(y-x)

75.因式分解

(1)x2+3x+2；

(2)x2(x-y)+(y-x).

76.閱讀下列材料：

分解因式：4%—16x3

小天的做法：小泉的做法I小云的做法：

原式=x(4-l6x。①原式=4x(1-4/)①原式=16P-4x①

-x(22-(4x),|②=4x(1-4xXl+4JC)②=4x(4/-1)②

■x(2-4xX2+4x)③=4x(2x-IX2x+l)③

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小云的解題過程從步出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因

是：.

小朵的解題過程從步出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是.

小天的解題過程從步出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是：.

(2)若都錯誤，請你寫出正確的解題過程.

77.因式分解:

(1)2x3y~Sxy；

(2)(x2+4)2-16x2.

78.由多項式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用,即可得到“十字相乘法”

進行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2><3=(x+2)(x+3)

(1)嘗試：分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+)；

(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：x2-3x-4=0.

79.已知「=(右袈+矣).

(1)化簡T；

(2)若%為AABC的面積，其中NC=90。，ZA=30°,BC=2,求T的值.

80.如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是

邊長都為n的小正方形，五塊是長為m,寬為n的全等小長方形，且m>n(以上長度單位：cm)

(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2n2可以因式分解為；

(2)若每塊小長方形的周長是20cm且每塊大正方形與每塊小正方形的面積差為40cm-,求這張長

方形紙板的面積是多少平方厘米？

81.回答下列問題：

(1)填空：/+妥=(x+J)2—=(%—])2+；

(2)填空：若a+1=5,貝Ia?+多■=；

aaz

(3)若a2-3a+l=0,a。。,求a2+-^的值.

三'實踐探究題

82.閱讀下列材料：將一個形如/+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=nm且p=m+n,

則可以把/+px+q因式分解成(久+m)(x+n).

例如：(1)%2+4%+3=(%+1)(%+3)；(2)x2—4%—12=(%—6)(x+2).

根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解.

(1)%2—6%+8；

(2)%2—2%—15；

(3)(%-4)(%+7)+18.

83.閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題:

l+x+x(l+x)+x(1+x)2

=(1+x)[l+x+x(l+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一個);

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+x(1+x)n=(直接填空)；

(3)運用上述結(jié)論求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中x=V6-1.

84.閱讀下列材料：

我們把多項式a2+2ab+b2及a2-lab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式,

我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的

值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將一個看似不能

分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等.

如：%2+2%—3=(%2+2%+1)—4=(%+I)2—22=(%+1+2)(x+1—2)=(%+3)(%—1)；

x2—10x+30=/—10%+25+5=(%2—10%+25)+5=(%—5)2+5,

因為(尢—5)220,即(％—5)2的最小值是0,所以%2-10%+30的最小值是5.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：%2-4%-5；

(2)求a2+2a+2021的最小值；

(3)求—/+2%+2019的最大值.

85.數(shù)學(xué)教科書中這樣寫道：

“我們把多項式+2ab+爐及一2ab+/叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，

我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的

值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，經(jīng)常用來解決一些與非負(fù)

數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如：%2+2%—3=(%2+2%+1)—4=(%+I)2—4；

例如求代數(shù)式2/+4%—6的最小值；2久2+4久一6=2(%2+2%-3)=2(%+I)2—8.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：m2-6m+5；

(2)當(dāng)a,b為何值時，多項式。2+房一4a+106+33有最小值，并求出這個最小值；

(3)已知a—b=8,ab+c2-4c+20=0,求a+b+c的值.

86.如圖甲、乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為(x+a),寬為(x+b).

S甲=.

s乙=-?

根據(jù)條件你發(fā)現(xiàn)關(guān)于字母X的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律用數(shù)學(xué)式表達

是.

(2)利用你所得的規(guī)律進行多項式乘法計算：

①(x+4)(x+5)=

②(x+3)(x-2)=

③(x-6)(x-1)=

(3)由(1)得到的關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律表達式，將該式從右到左

地使用x2+(a+b)x+ab多項式進行因式分解.請你據(jù)此將下列多項式進行因式分解：

(T)X2+5X+6

②X?-x-12.

87.閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他

公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3+y3=(x+y)(x2—xy+y2)；

立方差公式：x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).

根據(jù)材料和已學(xué)知識解決下列問題

(1)因式分解：a3-8；

(2)先化簡，再求值：正煥吆)+，—，其中x=3.

、%2―2%%3-8)%2—4

88.閱讀材料：若n?-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,/.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,/.n=4,m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求a+b+c的值.

89.閱讀材料：將(x+y)2+2(x+y)+1分解因式.

解：將x+y看成整體，令x+y=A,則原式=A?+2A+1=(A+1)2,再將A還原，原式=(x+y+1)

2

上述材料解題過程用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)中的常用方法，請根據(jù)上面方法完成下列各小

題.

(1)因式分解：(m+n)2-6(m+n)+9；

(2)設(shè)乂=(a-b)(a-b-2)+1.

①因式分解M；

②若M=0,求a-b的值.

90.閱讀材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法

分解，如x2-4y2-2x+4y,細(xì)心觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式,

前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式，過程為:

x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)

=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式x2-2xy+y2-25；

(2)ZkABC三邊a,b,c滿足a?-ab-ac+bc=0,判斷AABC的形狀.

91.待定系數(shù)法：設(shè)某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)、利用當(dāng)兩個多項式為恒等式時，同類項

系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值.

待定系數(shù)法可以應(yīng)用到因式分解中，例如問題：因式分解：x3-1.

因為X3-1為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多頂式和一個二次多項式的乘積.

故我們可以猜想x3-1可以分解成(X-1)(x2+ax+b),展開等式右邊得：x3+(a-1)x2+(b-a)x

-b,根據(jù)待定系數(shù)法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應(yīng)系數(shù)相等：a-1=0,b-a=0,-b=-

1可以求出a=l,b=l.所以x3-l=(x-1)(x2+x+l).

(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x?+(3-a)x+s恒成立，則a=；

(2)已知多項式x3+2x+3有因式x+1,請用待定系數(shù)法求出該多項式的另一因式.

92.閱讀下列材料：

一般地，沒有公因式的多項式，當(dāng)項數(shù)為四項或四項以上時，經(jīng)常把這些項分成若干組，然后各組

運用提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這

種因式分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：ccm+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(a+b)+n(a+b)

=(a+/))+(m+n)

(1)利用分組分解法分解因式：

①37n—3y+am—ay；

(2)a2x+a2y+ft2%+b2y

(2)因式分解：a2+2ab+b2-1=(直接寫出結(jié)果).

93.閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+(m+n)x+mn的多項式，其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積,

而它的一次項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x?+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).

例如：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3).

運用上述方法分解因式：

(1)x2+6x+8；

(2)x2-x-6；

(3)x2-5xy+6y2；

3

(4)請你結(jié)合上述的方法，對多項式x-2x2,3x進行分解因式.

94.(閱讀材料)

把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關(guān)運算和解題，這種解題方法叫做配方

法.配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用.

例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.

原式=a?+6a+9—1=(a+3)2—1=(a+3—1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)

②求x2+6x+ll的最小值.

解：x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2；

由于(x+3)2>0,

所以(x+3)2+2”,

即x2+6x+ll的最小值為2.

請根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2+4a+；

(2)用配方法因式分解：a2-12a+35；

(3)用配方法因式分解：x4+4；

(4)求4x?+4x+3的最小值.

95.閱讀材料：若m?—2mn+2n2—8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2—2mn+2n2—8n+16=0,

/.(m2—2mn+n2)+(n2—8n+16)=0,

(m—n)2+(n—4)2=0,

/.(m—n)2=0,(n—4)2=0,

An=4,m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知X?—2xy+2y2+6y+9=0,求％、y的值；

(2)已知AABC的三邊長分別為a,b,c都是正整數(shù)，且滿足a?+b2—10a—12b+61=0,求AABC

的邊a、b的值；

(3)已知a—b=8,ab+c2—16c+80=0,求a+b+c的值.

96.(閱讀材料)我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=pxq(p,q是正整數(shù)，且

pSq).在n的所有這種分解中，如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pxq是n的最佳分解,

并規(guī)定當(dāng)pxq是n的最佳分解時，F(xiàn)(n)=:例如：18可以分解成“18,2'9或3*6,因為18-1

>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，從而F(18)=|=1.

(1)F(15)=,F(24)=,...；

猜想：F(x2)=(x是正整數(shù)).

(2)若F(x2+x)=|,且x是正整數(shù)，求x的值；

97.教科書中這樣寫道：“我們把多項式a?+2ab+b2及a2-2ab+b?叫做完全平方式”，如果一個多項式不

是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項,

使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法。配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將

一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值

等問題。

例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+l)?4=(x+l)2-4=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-l)；求代數(shù)式2x?+4x?6的最

小值，2X2+4X-6=2(X2+2X-3)=2(X+1)2-8.可知當(dāng)x=?l時，2x?+4x-6有最小值，最小值是-8,根據(jù)閱讀材

料用配