2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必備試題直線圓的位置關(guān)系

直線、圓的位置關(guān)系

【課標(biāo)要求】

1.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

2.探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；

3.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；

4.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題；

5.在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。

二.【命題走向】

本講考察重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長(zhǎng)問題），

此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在解析幾何中也會(huì)出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性

質(zhì)或方程知識(shí)

預(yù)測(cè)2010年對(duì)本講的考察是：

（1）一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，解答題多與其它知識(shí)聯(lián)合考察；

（2）熱點(diǎn)問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考

察也會(huì)是一個(gè)命題的方向；

（3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力

三.【要點(diǎn)精講】

I.直線L與直線U的的平行與垂直

（1）若卜g均存在斜率且不重合：

@1//1,<=>k-k2：②k,k2=-l?

（2）若/:Ax+By+C=0,I:Ax+By+C=0

11t12222

若A、［、J都不為零。

ABC

222

@1,-L12<=>4y2+”鳥=0；

AB

③L與%相交=h*記；

22

ABC

④L與U重合

222

注意：若&或約中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與工0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

取決于這兩條直談的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)

2.距離

⑴兩點(diǎn)間距離：若A(x/yJ,B(x,,y,),則|A8|=J(x,"+(y,—1)2

特別地：AB//X軸，則=-x,I、AB//y軸，則|AB|=I-北I。

（2）平行線間距離：若+協(xié)+q=0,/j加+5），+q=0,則：

。注意點(diǎn)：X,y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等

A2+B2

IAx+By+Cl

(3)點(diǎn)到直線的距離：P(x,y),1：Ax+By+C=O,則p到i的距離為：d=J_y°?

°°JA2+B2

3.直線Ax+By+C=O與圓(x-a)2+(y-/?)2=仁的位置關(guān)系有三種

(1)若d=\Aa+Bb+C\,d>ro相離=△<()；

JA2+Bi

(2)d=ro相切=△=()：

(3)d<ro相交u>A>0。

Ax+By+C=Q

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組<一.尸八求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷；

X2+yi+Dx+Ey+F=0

(1)當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)(直線與圓有2個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相交；

(2)當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)(直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相切；

(3)當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)(直線與圓沒有交點(diǎn))，直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為△,圓心C到直線1的距離為d,則直線

與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

相切=d=r=A=0；

相交=d<r=A>0；

相離=d>r=A<0o

4.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01,o2,半徑分別為,r2，\OOI\=do

d>r=外離=4條公切線；

12

d=r+r=外切=3條公切線；

12

\r-r\<d<r+r。相交u>2條公切線.

1I2112

d=卜-r|=內(nèi)切o1條公切線；

1I21

0<1<卜-r|=內(nèi)含。無(wú)公切線；

1121

外離外切

相交內(nèi)切內(nèi)含

判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決

四.【典例解析】

題型1:直線間的位置關(guān)系

例1.(全國(guó)II文15)已知圓0：X2+>2=5和點(diǎn)4(1,2),則過A且與圓。相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成

的三角形的面積等于

15

【解析】由題意可直接求出切線方程為)，-2=一,(片1),即x+2>-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和,

15u25

所以所求面積為2'5、5=彳。

25

【答案】—

4

【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，以及

定性地分析問題和解決問題的能力.

(2)己知兩條直線/:ax+3y-3=0/：4x+6y-l=0.若/〃/,則4=______。

12I2

1

解析：(1)答案：—;(2)2。

點(diǎn)評(píng)：(1)三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證(2)對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式

方程中注意系數(shù)為零的情況。

例2.已知兩條直線>=以-2和y=(a+2)x+l互相垂直，則a等于()

A.2B.1C.0D.-1

(2)(2007安徽理，7)

若曲線了=》4的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的方程為()

A.4x-y-3=0B,x+4y-5=0c.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解析：(1)答案為D；(2)與直線x+4y-8=°垂直的直線/為4x-y+m=°,即y=x4在某一點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)為4,而>'=4x3,所以y=G在a,1)處導(dǎo)數(shù)為%此點(diǎn)的切線為4x—y—3=0,故選A。

點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。

題型2：距離問題

例3.將直線2x—)，+無(wú)=0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2+y2+2x-4y=0相切，則實(shí)數(shù)

九的值為()

(A)—3或7(B)-2或8(C)0或10(D)l或11

【思路點(diǎn)撥】本題考查了平移公式、直線與圓的位置關(guān)系，只要正確理解平移公式和直線與圓相切的充要條件

就可解決.

【正確解答】由題意可知：直線2x—y+入=0沿x軸向左平移1個(gè)單位后的直線/為：

2(x+l)-y+入=0.已知圓的圓心為。(-1,2),半徑為J5.

解法1：直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，因而有

l2x(-l+l)-2+X|.

―-一黃--------=邪,得九=一3或7.

解法2：設(shè)切點(diǎn)為C(x,y),則切點(diǎn)滿足2(x+l)—y+九=0,即y=2(x+l)+九，代入圓方程整理得：

5x2+(2+4九)x+(九2—4)=0,(*)

由直線與圓相切可知，(*)方程只有一個(gè)解，因而有八=0,得九=一3或7.

y—2

解法3：由直線與圓相切，可知CO_L/,因而斜率相乘得一1,即一x2=-l,又因?yàn)镃(x,y)在圓上,

x+1r

滿足方程》2+尸+2》—4y=0,解得切點(diǎn)為(1,1)或(2,3),又C(x,y)在直線2(x+1)—y+九=0上，解

得九=-3或7.

(2)(湖北文14)過原點(diǎn)。作圓x2+*-6x—8y+20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q,

則線段PQ的長(zhǎng)為。

【解析】可得圓方程是(x—3”+(y-4”=5又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得|P0=4.

例4。(圓、向量與三角函數(shù))

設(shè)A、B為圓X2+/2=1上兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(A、0、B不共線)

(I)求證：04+08與04-08垂直.

7CTC7C3

(II)當(dāng)=e(-丁，下)，且。4。8=工時(shí).求§抽9的值.

4445

解：(])由I。41=1OB1=1得IOA|2=lOB|2=1

則OA2=OB2={

則OA+OB與。A-OB垂直

(H)由ZxOA=—得OA=(cos—,sin—)

444

又NxOB=0OB=(cos0,sin0)

3兀兀3

由OAOB二—得cos—cos。+sin—sin0二一

5445

兀八3

即cos(—-6)=-

凡f

2510

點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面兒何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.

題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理

和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程

度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度

題型3：直線與圓的位置關(guān)系

例5.(2009江蘇卷18)(本小題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系中，己知圓C：(x+3)2+(y-l)2=4和圓

I

C:(X-4>+(^-5)2=4.

2

(1)若直線/過點(diǎn)A(4,o),且被圓q截得的弦長(zhǎng)為2JI,求直線

'的方程；

（2）設(shè)p為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)尸的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線/和/，它們分別與圓￡和圓c相

12I2

交，且直線（被圓q截得的弦長(zhǎng)與直線/,被圓c,截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)

解（1）設(shè)直線/的方程為：y=^（x—4）,即去一＞一4上=0

由垂徑定理，得：圓心q到直線/的距離/=/2-（￥）2=1,

結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：'I-----=1

也2+1

7

化簡(jiǎn)得.24左2+7k=0,&=0,or,k=——

24

7

求直線’的方程為：y=0或y=一方（尤一4）,即y=0或7x+24y_28=0

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為直線(、/,的方程分別為：

y-n=k(x-m),y-n=-L(x-m),即：kx-y-\-n-km=0,-1%一y+〃+=0

kkk

c

因?yàn)橹本€4被圓q截得的弦長(zhǎng)與直線（被圓2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。

由垂徑定理，得：：圓心q到直線〈與c2直線的距離相等。

,4.1.

故有I-\+n-km\_工+〃+]〃？

VT77TK7?

\k2

化簡(jiǎn)得：(2-m-n)k=m-n-3,或(加一〃+8)&=m+n-5

2-m-n=0,

關(guān)于上的方程有無(wú)窮多解，有：，，或v，

m-n-3=0

解之得：點(diǎn)p坐標(biāo)為（一;T）或

例6.已知圓M：（x+cos?）2+（y—sin?）2—1,直線/：），=kx,下面四個(gè)命題：

（A）對(duì)任意實(shí)數(shù)k與？，直線/和圓M相切；

（B）對(duì)任意實(shí)數(shù)k與？，直線/和圓M有公共點(diǎn)；

（C）對(duì)任意實(shí)數(shù)?，必存在實(shí)數(shù)k,使得直線/與和圓M相切；

（D）對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)?，使得直線/與和圓M相切

其中真命題的代號(hào)是（寫出所有真命題的代號(hào)）

解析：圓心坐標(biāo)為（-cos?,sin?）

d=

故選（B）（D）

點(diǎn)評(píng)：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。

題型4：直線與圓綜合問題

例7.（江西理16）.設(shè)直線系M：xcos0+（y-2）sin0=1（04042兀）,對(duì)于下列四個(gè)命題:

A.M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

B.存在定點(diǎn)P不在〃中的任一條直線上

C.對(duì)于任意整數(shù)〃(〃23),存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上

D.”中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是(寫出所有真命題的代號(hào)).

【解析】因?yàn)椋?S。+(>-2川110=1所以點(diǎn)2(0,2)到“中每條直線的距離d=——，-^=1

7COS20+sin20

即M為圓。：心+()，-2)2=1的全體切線組成的集合,從而“中存在兩條平行直線，

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?0,2)點(diǎn)不存在任何直線上，所以B正確；

對(duì)任意n>3，存在正n邊形使其內(nèi)切圓為圓C,故C正確；

M中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形ABC和AEF，故D錯(cuò)誤，

故命題中正確的序號(hào)是B,C.

【答案】B,C

例8.(江西理16).設(shè)直線系“：xcose+(y—2)sin@=1(04042兀),對(duì)于下列四個(gè)命題：

A.〃中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

B.存在定點(diǎn)P不在”中的任一條直線上

C.對(duì)于任意整數(shù)"(〃23),存在正〃邊形，其所有邊均在用中的直線上

D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是(寫出所有真命題的代號(hào)).

【解析】因?yàn)閤cos9+(y-2)sine=1所以點(diǎn)P(0,2)到“中每條直線的距離“=刀-----------==1

7cos20+sin20

即M為圓。：心+(丁-2)2=1的全體切線組成的集合,從而“中存在兩條平行直線，

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?0,2)點(diǎn)不存在任何直線上，所以B正確；

對(duì)任意”23,存在正”邊形使其內(nèi)切圓為圓C,故C正確；

M中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形ABC和AEF，故D錯(cuò)誤，

故命題中正確的序號(hào)是B,C.

【答案】B,C

例9.(江西理16).設(shè)直線系M：xcos9+(y—2)sin0=1(0=042兀),對(duì)于下列四個(gè)命題：

A.M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

B.存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上

C.對(duì)于任意整數(shù)”(〃23),存在正〃邊形，其所有邊均在“中的直線上

D.知中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是(寫出所有真命題的代號(hào)).

【解析】因?yàn)閤cos0+(y-2)sin0=1所以點(diǎn)P(0,2)到M中每條直線的距離d=——=1

7cos20+sin20

即“為圓0：%2+(>-2)2=1的全體切線組成的集合,從而用中存在兩條平行直線,

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?0,2)點(diǎn)不存在任何直線上，所以B正確；

對(duì)任意〃23，存在正n邊形使其內(nèi)切圓為圓C,故C正確；

M中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形ABC和AEF，故D錯(cuò)誤,

故命題中正確的序號(hào)是B.C.

【答案】B,C

例10.己知函數(shù)人x)=m-1(x21)的圖像為￡,曲線C2與￡關(guān)于直線廣比對(duì)稱。

⑴求曲線C?的方程產(chǎn)g(x)；

(2)設(shè)函數(shù)產(chǎn)g(x)的定義域?yàn)镸,X2GM,且七金》2，求證lg(xj—8。2)1<%一引；

(3)設(shè)4、8為曲線C,上任意不同兩點(diǎn)；證明直線AB&直線廠x必相交。

解析：(1)曲線g和C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)為/)的反函數(shù)。

Vy=X2—1,x2=y+1,又.\x=yjy+1,則曲線C2的方程為g(x)=Jx+1(xNO)。

(2)設(shè)X],4￡M,且玉工與，則々一々WO。又X]20,

???IgQJ-g&XT占1+1—+1上1k12Il

2<lx-x2lo

(3)設(shè)A(x/%)、B(x2,y2)為曲線C?上任意不同兩點(diǎn)，入，々CM,且玉

y-ylg(x)—g(x)1

由(2)知，Ik,1=1-1——2-1=—r-l------<]

ABX-X\X-XI

1212

直線AB的斜率Ik/W1,又直線y=x的斜率為1,...直線AB與直線產(chǎn)x必相交。

點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

題型6：軌跡問題

例11.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與直線

其中〃>°。

(I)求動(dòng)圓圓心°的軌跡的方程；

(II)設(shè)A、8是軌跡C上異于原點(diǎn)。的兩個(gè)不同點(diǎn),

的傾斜角分別為a和0,當(dāng)a,p變化且a+(3為定值9(0<0<兀)時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該

定點(diǎn)的他標(biāo)。

解析：(I)如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，［搭,0)為記為F,過點(diǎn)用作直線方=一手的垂線，垂足為N,

由題意知：=|的V|即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)E與定直線x=-g的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌

跡為拋物線，其中尸(")為焦點(diǎn)，x=一亨為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為y2=2px(P>0)；

(II)如圖，設(shè)A(x,y),8(x,y),由題意得(否則a+B=兀)且x,xw0所以直線45的

11221212

V2V2

斜率存在，設(shè)其方程為丁=履+6,顯然=-J-,將>6與y2=2px(P>0)聯(lián)立消去

1

2〃22p

-八，八2〃2pb

X,得心f，2-2/?y+2p/>=0由韋達(dá)定理知y+y=y.y=—；—①

12kl2k

(1)當(dāng)時(shí)，即a+B=:時(shí)，tanatanp=1所以-^-^=l,xx-yy=0,

22XX1212

爐一yy=0所以》曠=4p2由①知：顰=4〃2所以。因此直線A8的方程可表示為y="+2Pk,

4〃21212k

即k(x+2P)-y=0,所以直線AB恒過定點(diǎn)(一2。,0)。

兀

(2)當(dāng)。時(shí)，由a+B=。，

n/?、tana+tanP2p(y+y)

得tanG=tan(a+p)=----------^二,口J/,

1-tanatanpyy-4P2

12

2

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：tan。=f—，所以b=+2pk,

b-2pktanU

福+2/汰即/+2p)-y-瑞卜。，所以直線鉆

此時(shí),直線AB的方程可表示為y="+

恒過定點(diǎn)一2P,瑞.

所以由(1)(2)知，當(dāng)時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)(―2“,0),當(dāng)。時(shí)直線48恒過定點(diǎn)

2P

-20p,-

tan0

點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。

例12.如圖，圓0與圓。的半徑都是1,00=4.過動(dòng)

12I2

點(diǎn)P分別作圓。、圓。的切線(M,N分別為切點(diǎn))，使得

22

PM=^PN.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

解析：以。。的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，OO所在直線為X軸，建立如圖

I212

所示的平面直角坐標(biāo)系，則OJ-2,0),0,(2,0)。

由己知得PM2=2PN2。

因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以2。2-1=2（尸。2-1）。

12

設(shè)P（x,y）,則（x+2）2+y2-1=2Kx-2）2+yi-1],

即（尢一6）2+y2=33（或+y2-12x+3=0）o

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力

題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題

y+1

例13.己知實(shí)數(shù)x、y滿足(萬(wàn)-2)2+(y—1)2=1,求[=^一的最大值與最小值。

)'+1_

解析：----表不過點(diǎn)A(0,—1)和圓

X

(x-2)2+(y-l)2=1上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的斜率。

如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小

值

12人一21

設(shè)切線方程為y=h—1,即依―y—1=0,則1,解

以2+1

土幣

得上,二4—^

4_、行

因此，z4+口z

max3min3

點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪

思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用

例14.設(shè)雙曲線初=1的兩支分別為q、C,正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若

pCi，一1久q上，Q、R在q上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)

分析：正三角形「(^中，有|「。|=|「叫=|。耳，則以pll，-I)為圓心，|PR|為半徑的圓與雙曲

線交于R、Q兩點(diǎn)。

根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)

解析：設(shè)以P為圓心，|PR|=r(r>0)為半徑的圓的方程為：Q+l>+(y+l>=r2,

+1)+()'+1)=廠2(,------yn1

由<得：x2+X-Jr2+14f+l=0。(其中，可令，=x+一進(jìn)行換元解

[xy=1x

之)

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

QR?，/，CJIx+x=Jr2+1-1

，則112

XX=1

'I2

即Q-X)=Q+X}-4XX=一4,

1212/12、

同理可得：(y—y)=\+2+1_，_4,

且因?yàn)?PQR是正三角形，貝“PQ|2=|。用2=叫

12

X2-4x+l=0x=2—&\x=2+y/3

1或《2

由方程組'得:y=2+0]y=2-yj3

i1i2

—y/3,2+>/5")Q+y[3,2—

所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為

點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能

作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用

五.【思維總結(jié)】

1.關(guān)于直線對(duì)稱問題：

(1)關(guān)于/:Ax+By+C=0對(duì)稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于/對(duì)稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于/對(duì)

稱問題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求尸(X。，％)關(guān)于/：Ax+By+C=0對(duì)稱點(diǎn)。(不，

y-yAx+xy+y

X).有一~=一=(1)與A??-?+B?L+C=0。

1x-xB22

01

(2)解出入與；若求￡：曲線/(x,y)=0(包括直線)關(guān)于/：Ax+By+￡=0對(duì)稱的曲線

J,由上面的(1)、(2)中求出％=g](X],%)與％=g2(%,yj,然后代入C]：/Lg[(X]，%)，

g2(x2,y2))=0,就得到關(guān)于/對(duì)稱的曲線。2方程：flgt(x,y),g2(x,y)]=0。

(3)若/：Ax+By+C=0中的x,y項(xiàng)系數(shù)⑷=1,IB1=1.就可以用直接代入解