2022-2023學年天津市河北區(qū)九年級(上)期中數學試題及答案解析

2022-2023學年天津市河北區(qū)九年級（上）期中數學試卷

1.在平面直角坐標系中，與點（4,-5）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（-4,-5）B.（-4,5）C.（4,-5）D.（4,5）

2.下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）

A刀"?'O。召

3.已知。。的半徑為10cm,點P到圓心。的距離為12cm,則點P和。。的位置關系是（）

A.點P在圓內B,點P在圓上C.點P在圓外D.不能確定

4.4知點4（一2,yi）,8（2,》2），。（5,乃）在二次函數y=—3必+k的圖象上，則y>y2,y3

的大小關系是（）

A.yi<y2<乃B.y3<y2<乃C.為=乃>乃D.乃=乃<乃

5.拋物線y=-（比一1）（無一2）的頂點坐標是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（一1白D.（若）

6.已知關于x的方程k/+（1-k）x-1=0,下列說法正確的是（）

A.當k=0時，方程無解

B.當k=l時，方程有一個實數解

C.當k=-1時，方程有兩個相等的實數解

D.當人40時，方程總有兩個不相等的實數解

7.某種品牌的手機經過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，設

平均每月降低的百分率為工,根據題意列出的方程是（）

A.2500（1+x）2=3200B.2500（1-x）2=3200

C.3200（1-x）2=2500D,3200（1+x）2=3200

8.如圖，AB是O。的弦，OC1AB交。。于點C,點。是。。上一點，乙4。。=30。，則

NBOC的度數為（）

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

第1頁，共20頁

9,正方形力BCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞。點順時針方向旋轉90。

后，B點到達的位置坐標為()

A.(-2,2)B.(4,1)C.(3,1)D.(4,0)

10,二次函數曠=a/+bx+c(a,6,c是常數，aK0)的自變量久與函數值y的部分對應值

如下表：

X-2-1012

y=ax2+bx+ctm-2-2n

且當尤=—9寸，與其對應的函數值y〉0.有下列結論：@abc＞0；②-2和3是關于x的

方程a/+人比+c=t的兩個根；③。＜m+n〈等其中，錯誤結論的個數是()

A.3B.2C.1D.0

11.把二次函數y=/-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式是.

12.如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，NB=135。，貝叱力。。的度數為__.

13.已知△力BC的三邊長分別為6si、8cm,10cm,則這個三角形的外接圓的面積為

________"l2.(結果用含兀的代數式表示)

14.已知拋物線＞=&/+"+°(。左0)與久軸交于4B兩點,若點4的坐標為(一2,0),

拋物線的對稱軸為直線％=2,則線段AB的長為.

15.當2WxW5時，二次函數y=-(x-I)2+2的最大值為.

16.如圖，O0的弦BC長為8,點A是O。上一動點，且NB4C=45°,點D,E分別是BC,

AB的中點，則DE長的最大值是.

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17.如圖，在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,將4ABC繞點B逆時針旋轉60。得至A'BC',

連接AC,則&C的長為______.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點2在格點上，B是小正方

形邊的中點，經過點4B的圓的圓心在邊力C上.

(I)弦AB的長等于；

(II)請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，找出經過出點4B的圓的圓心。，并簡要說

明點。的位置是如何找到的(不要求證明).

19.解方程：/—4x+1=0.

20.二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數)的自變量x與函數值y的部分對應值如下表:

X-2-1012

ym0-3-4-3

(I)求這個二次函數的解析式；

(II)求m的值；

(川)當一1wx45時，求y的最值(最大值和最小值)及此時%的值.

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21.已知BC是。。的直徑，力。是。。的切線，切點為A,AD交CB的延長線于點D,連

接力B,A0.

(I)如圖①，求證：40AC=A.DAB-,

(II)如圖②，AD=AC,若E是。。上一點，求NE的大小.

漲價銷售，但每件售價不能高于35元，設每件商品的售價上漲x元(x為整數)時，月銷售利

潤為y元.

(1)分析數量關系填表：

每臺售價(元)303132..30+%

月銷售量(臺)180170160..

(2)求y與x之間的函數解析式和x的取值范圍

(3)當售價x(元/臺)定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤y(元)最大？最

大利潤是多少？

23.如圖1,在平面直角坐標系中，A(3,0),B(0,3),將Rt△40B繞點B逆時針方向旋轉

cr(O°<a<360。)得至URtADCB.

(1)求的長；

(2)當旋轉角a=20。時，如圖1,AB與CD交于點凡求MFC的度數；

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24.如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交久軸于點2(-3,0),B(l,0),交y軸于點C.

點P(m,0)是x軸上的一動點，PM_Lx軸，交直線4C于點M,交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)①若點P僅在線段4。上運動，如圖，求線段MN的最大值；

②若點P在％軸上運動，則在y軸上是否存在點Q,使以M,N,C,Q為頂點的四邊形為

菱形.若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：點（4,-5）關于原點對稱的點的坐標為：（-4,5）.

故選：B.

利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（K,y）關于原點。的對稱點是P'（-居-

y）,進而得出答案.

此題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確掌握關于原點對稱點的性質是解題關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：選項/、C、。都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖

形重合，所以不是中心對稱圖形，

選項2能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖

形，

故選：B.

根據中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

3.【答案】C

【解析】解：；。0的半徑r=10cm,點P到圓心。的距離OP=12cm,

???OP>r,

二點P在。。外.

故選C.

根據點與圓心的距離d,則d>??■時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內.

本題考查點與圓的位置關系.

4.【答案】C

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【解析】解：,??二次函數y=—3/+k圖象的對稱軸為y軸，

點4(一2,為)，8(2,m)到y(tǒng)軸的距離相同，。(5,乃)到y(tǒng)軸的距離最遠，

71—72>73-

故選：C.

先根據二次函數的性質得到拋物線的對稱軸為y軸，然后通過比較三個點到對稱軸的遠近確定函

數值的大小.

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了二

次函數的性質.

5.【答案】D

【解析】解：y=—(%—1)(%—2)=-(%—|)2+彳，

???頂點坐標是(￡[).

故選：D.

把二次函數化為頂點式得出頂點坐標可.

本題考查了二次函數的性質，熟悉頂點式y(tǒng)=磯久-h)2+k(a*0)是解題的關鍵.

6.【答案】C

【解析】

【解答】

解：關于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,

/、當k=0時，x-1=0,則x=l,有解，故此選項錯誤；

B、當k=l時，x2-l=0,方程有兩個實數解，故此選項錯誤；

C、當k=—l時，一無2+2%-1=0,則(X—1)2=0,此時方程有兩個相等的實數解，故此選項

正確；

。、△=(1—k)2—4kx(―1)=/+2k+1=(k+1)220,所以當k40且k4一1時，方程總

有兩個不相等的實數解，故此選項錯誤.

故選：C.

【分析】

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此題主要考查了一元二次方程的解以及根的判別式，代入k的值判斷方程根的情況是解題關鍵.利

用k的值，分別代入求出方程的根的情況即可.

7.【答案】C

【解析】解：依題意得：兩次降價后的售價為3200(1-x)2=2500,

故選：C.

可根據：原售價x(l-降低率尸=降低后的售價得出兩次降價后的價格，然后即可列出方程.

本題考查降低率問題，由：原售價x(l-降低率)2=降低后的售價可以列出方程.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能綜合運用定理進行

推理是解此題的關鍵.

由圓周角定理得到N40C=2N4DC=60。，然后由垂徑定理和圓心角、弧、弦的關系求得NBOC

的度數.

【解答】

解：???/.ADC=30。，

AAOC=2^ADC=60°.

是。。的弦，OC1AB,

■■AC=BC>

：.Z.AOC=乙BOC=60°.

故選：D.

9.【答案】D

【解析】解：如圖，點B繞點D順時針旋轉90。到達點B',

點B'的坐標為(4,0).

故選：D.

利用網格結構找出點B繞點D順時針旋轉90。后的位置，然后根據

平面直角坐標系寫出點的坐標即可.

本題考查了旋轉與坐標與圖形的變化，根據網格結構找出點B旋轉

第8頁，共20頁

后的位置是解題的關鍵.

10.【答案】C

【解析】解：當％=0時，c=-2,

當久=1時，a+b—2=—2,

???a+b=0,

???y—ax2—ax—2,

???abc>0,

故①正確；

x=亨是對稱軸，

???x=—2時丫=如貝!J%=3時，y=ty

??.—2和3是關于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根；

故②正確；

m=a+a—2,n=4a—2a—2,

：.m=n=2a—2,

???m+n=4a—4,

???當x=一手寸，y>0,

a>I，

20

m+n>—,

③錯誤；

故選：C.

①根據表中數據判斷a,b,c的正負即可；

②根據表中數據先求出對稱軸，再根據二次函數的對稱性得出結論；

③把％=-1和第=2代入拋物線解析式求出m+n的值，再根據Q的取值范圍得出結論.

本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象上點的特征，能夠從表格中獲取信息確

定出對稱軸是解題的關鍵.

11.1答案］y=(%-2)2-1

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【解析】解：y=/—4%+3=(x2—4久+4)—4+3=(x—2)2—1

故本題答案為：，=(久一2)2-1.

利用配方法加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式.

二次函數的解析式有三種形式：

(1)一般式：y-ax2+bx+c(a0,a>b、c為常數)；

(2)頂點式:y=a(x-h)2+fc；

(3)交點式(與x軸)：y-ct(x-x1)(x-x2).

12.【答案】90°

【解析】

【分析】

本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.

根據圓內接四邊形的性質求出ND的度數，根據圓周角定理計算即可.

【解答】

解：,??四邊形ABCD是。。的內接四邊形，

???乙D=180°=45°,

由圓周角定理得，乙4OC=24。=9。。，

故答案為：90°.

13.【答案】25兀

【解析】解：根據勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，

那么直角三角形的外心是斜邊的中點，所以半徑=5,

面積=257T.

三邊長分別為6on、8cm,lOcni正好一組勾股數，因而△ABC是直角三角形，直角三角形斜邊

是外接圓的直徑，即可求解.

準確判斷三角形是直角三角形是解決本題的關鍵，在審題是要多思考，多與有關知識相聯系.

14.【答案】8

【解析】解：；對稱軸為直線％=2的拋物線y=a/+6%+c(a40)與無軸相交于A、B兩點，

???力、B兩點關于直線x=2對稱，

???點A的坐標為(一2,0),

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.?.點B的坐標為(6,0),

AB=6-(-2)=8.

故答案為：8.

由拋物線丫=a/+%久+c的對稱軸為直線工=2,交x軸于48兩點，其中4點的坐標為(一2,0),

根據二次函數的對稱性，求得B點的坐標，再求出48的長度.

此題考查了拋物線與久軸的交點.此題難度不大，解題的關鍵是求出B點的坐標.

15.【答案】1

【解析】解：

二當x>1.時，y隨x的增大而減小，

.?.當x=2時，二次函數y=-(％—I)2+2的最大值為1,

故答案為：1.

根據二次根式的性質得到當x>1時，y隨x的增大而減小，計算即可.

本題考查的是二次根式的性質和最值的確定，掌握當a<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的

增大而增大；在對稱軸右側，y隨工的增大而減少是解題的關鍵.

16.【答案】4V2

Ac

【解析】解：連接。B、OC,如圖，

???乙BOC=24BAC=2X45。=90。，/\NA

而OB=OC,[u...\\/

為等腰直角三角形，\

0C=浮BC=8Xy=4近，

???點D,E分別是BC,的中點，

DE為ABAC的中位線，

DE=171C,

當AC最長時，即47為。。的直徑，DE最長，

???DE長的最大值為4V2.

故答案為：4V2.

連接。B、OC,如圖，根據圓周角定理得到48。。=90。，則可判斷AOBC為等腰直角三角形，所

第11頁，共20頁

以0C=孚BC=4a，再證明DE為ABAC的中位線，所以DE=”4C,當AC最長時，DE最長,

然后利用AC為。0的直徑時最長得到DE長的最大值.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.也考查了三角形中位線定理.

17.【答案】4+3V3

【解析】解：如圖，

連接CC',,??△ABC繞點B逆時針旋轉60。得到△A'BC',

BC=BC'=6,^CBC=60°,A'B=AB=AC=A'C=5,、/

.?.△BCC'是等邊三角形，BC

：.BC=C'C,

???A'B=A'C',

??.AC是BC'的垂直平分線，垂足為D,

1

BD=^BC=3,

在RtAH'BD中，A'B=5,BD=3,根據勾股定理得，A'D=4,

在RtABCD中,ACBD=60°,BC=6,

CD=BC-cosZ-CBD=6xcos60°=3A/3,

???A'C=4。+CD=4+3V3

故答案為：4+3V3.

利用旋轉的性質得BC=BC'=6,ACBC'=60°,A'B=AB=AC=A'C=5,再判斷出△BCC'

是等邊三角形，即可得到BC=C'C,進而判斷出AC是線段8C'的垂直平分線，最后用勾股定理

即可.

本題考查了旋轉的性質，主要考查了等邊三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的判定和性質,

銳角三角函數，勾股定理，解本題的關鍵是判斷出4c是線段BC'的垂直平分線.

18.【答案】苧90。的圓周角所對的弦是直徑

【解析】解：（I）由勾股定理得：AB=心+*?=苧

故答案為：乎；

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(E)如圖試所示：取圓與網格線的交點。、E,連接DE交AC于。，點。即為經過出點A,B的

圓的圓心；

理由如下：

Z.EAD=90°,

??.DE為圓。的直徑，

???經過點4B的圓的圓心在邊4C上，

???DE與AC的交點即為點。；

故答案為：90。的圓周角所對的弦是直徑.

(I)由勾股定理即可得出答案；

(E)取圓與網格線的交點D、E,連接DE交4C于。，點。即為經過出點力，B的圓的圓心；由

圓周角定理即可得出結論.

本題考查了圓周角定理、勾股定理；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關鍵.

19.【答案】解：-4x+1=0,

二好—4%+4=3

???(x-2)2=3

則尢一2=±百

???打=2+V3,次=2-V3.

【解析】本題考查解一元二次方程-配方法.

根據配方法可以解答此方程.

20.【答案】解：(I)設y=a(x-l)2-4,

將(0,—3)代入y=a。—l)2—4得，

a—4=—3,

解得a=1,

二這個二次函數的解析式為y=(%-I)2-4.

(E)當x=-2時，m=(―2—1)2—4=5.

(HI)當久=1時，y有最小值為一4,

當x=5時，y有最大值為(5—1)2—4=16—4=12.

第13頁，共20頁

【解析】(I)直接利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

(□)將％=_2代入拋物線解析式即可得出答案；

(HI)利用表格中數據結合二次函數增減性得出最值.

本題考查了二次函數圖象與性質及待定系數法求函數解析式，熟練掌握二次函數的圖象與性質是

解題的關鍵.

21.【答案】解：是。。的切線，切點為4

???DA1A0,

???乙DAO=90°,

???N￡MB+NR4O=90。，

???BC是。0的直徑，

???90°,

???Z.BAO/.OAC=90°,

???Z.OAC=乙DAB,

(U)???。4=OC,

???Z-OAC=Z-C,

???AD=AC,

乙D=￡C,

???Z-OAC=2D,

???Z.OAC=乙DAB,

???乙DAB=乙D,

???/,ABC=ZD+ADAB,

???Z.ABC=2zJ9,

zD=zC,

???Z-ABC=2/-C

???Nb4c=90。，

Z.ABC+Z.C=90°,

???2zC+ZC=90°,

ZC=30°,

??.zE=ZC=30°

第14頁，共20頁

【解析】(I)先由切線和直徑得出直角，再用同角的余角相等即可；

(H)由等腰三角形的性質和圓的性質直接先判斷出N4BC=2NC,即可求出NC.

此題是切線的性質題，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是得出

Z-ABC=2Z.D.

22.【答案】解：(1)31-30=1,180-170=10,以此類推可得每件商品的售價每上漲1元時,

則月銷售量減少10臺，

所以當每件商品的售價上漲x元。為整數)時，則月銷售量為180-10%,

故答案為：180-10x；

(2)由題意可知：y=(30-20+x)(180-10x)=-10x2+80x+1800(0<x<5,且尤為整數)；

(3)由(2)知，y=-10x2+80%+1800(0<%<5,且久為整數).

10<0,

.,?當”=城訪=4時，y最大=I960元；

每件商品的售價為34元.

答：每件商品的售價為34兀時，商品的利潤最大，為1960兀.

【解析】(1)由數量關系表可知當每件商品的售價每上漲1元時，則月銷售量減少10臺，由此填

空即可；

⑵由銷售利潤=每件商品的利潤x(180-10x上漲的錢數)，根據每件售價不能高于35元，可得

自變量的取值；

(3)利用公式法結合(1)得到的函數解析式可得二次函數的最值，結合實際意義，求得整數解即可;

本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答,

我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案.其中要注意應該

在自變量的取值范圍內求最大值(或最小值)，也就是說二次函數的最值不一定在x=-卷時取得

23.【答案】解：⑴4(3,0),8(0,3),

OA=OB=3,

???乙AOB=90°,

AB=VOA2+OB2=V32+32=3V2;

第15頁，共20頁

(2)OA=OB,Z.AOB=90°,

???乙OBA=45°,

???乙OBC=20°,

???/,ABC=/.OBA-乙OBC=45°-20°=25°,

???乙BCF=90°,

???乙BFC=180°一乙BCF-乙CBF=180°—90°-25°=65°；

(3)如圖2中，過點。作?！眑y軸于點”，在DH上取一點T,使得BT=DT,連接BT.

圖2

???乙OBA=45°,Z.ABD=60°,

??.Z.OBD=匕OBA+Z.ABD=105°,

???(DBH=75。，

vDH1y軸，

???乙DHB=90°,

???(BDT=15°,

???TB=TD,

???乙TBD=乙TDB=15°,

???乙BTH=乙TBD+乙BDT=30°,

設BH=m,則BT=TD=2m,HT=V3m,

???BH2+DH2=BD2,

m2+(V3m+2m)2=(3V2)2,

m=|(V3-1),

第16頁，共20頁

OH=OB+BH=等+1，DH=言+1，

,3V3,33V3,3.

?--Dn<—+2—+2>

??.OD=苧+苧.

【解析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)求出NCBF=25°,利用三角形內角和定理求出NBFC即可；

(3)如圖2中，過點。作DH1y軸于點H,在DH上取一點T,使得BT=D7,連接BT.證明NBTH=

A.TBD+^BDT=30°,設B”=m,則BT=TD=2m,HT=V3m,利用勾股定理構建方程求出

m,可得結論.

本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉變換，等腰直角三角形的性質，解直角三角形等知識，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題.

24.【答案】解：(1)把4(一3,0),8(1,0)代入丫=第2+法+。中，

7日,9—3b+c=0

向tl+b+c=O'

解蹴二，

???這個二次函數的表達式為y=%2+2x—3；

(2)①y=7+2%—3，

.??當