2024屆遼寧省五校聯(lián)考高三期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆遼寧省五校聯(lián)考高三期末考試數(shù)學(xué)試題+答案

P

選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.己知43均為集合。={1,2,3,4,5的子集,1UB={1,2,3},Zfl8={l}，

勉={3,4,5},則/=

A.{1}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.z=(l+2i)(2-i),則z的共物復(fù)數(shù)、等于

A.3+4iB.3—4iC.4+3iD.4—3i

3.若sina+sin￡=乎，cosa-cos=?則

A.cos(a+0=_gB.cos(a+〃)=,

0

C.cos(a-j3)=~-D.cos(a-/3)--

88

.4.(x—3)(x+2)5的展開式中/的系數(shù)為

A.-40B.40C.120D.200

5.設(shè)。>0,b>0,2a+b=l,則的最小值為

ab

A.2y/2B.I+2V2C.2+2>/2D.3+2V2

6.函數(shù)=2sin(3+0(xeR,a>>0,OW0<2")的部分圖象如圖，則

7t7t7137r

A.0)=一,(P=~B.CD——,

8444

713兀冗71

C.d>=—,(P=-D.69=一,(p=~

8444

7.已知函數(shù)/(%)=」一+'+」一，設(shè)甲：a=l

乙：/(x)是奇函數(shù).則

x-\xx+a

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究起源于古希臘，阿波羅尼奧斯(前262-前190)的《圓錐

曲線論》全書8篇，共487個(gè)命題.16世紀(jì)天文學(xué)和物理學(xué)揭示了圓錐曲線是

自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍性形式.17、18世紀(jì)隨著射影幾何學(xué)和解析幾何學(xué)的創(chuàng)立

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第1頁共4頁

發(fā)展，18世紀(jì)40年代瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.

現(xiàn)有圓錐尸。頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，，母線與底面直徑的長度相同.點(diǎn)4在

側(cè)面上，點(diǎn)5在底面圓周上，MN為底面直徑，二面角2-8為30。.己知

平面力斷與圓錐P。，側(cè)面的交線是某橢圓的一部分，則該橢圓的離心率為

A立C.iD.在

225

選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符

合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.X是隨機(jī)變量，

A.若X~P),則E(X)=,D(X)=npQ_p)

B.若X?則石(X)=也

N

C.若X?N(〃02),則E(%)=〃,D(X)=o-2

D.若X?N(0,9),貝!)0<尸(X20)<0.5

10.已知正方體在8TBCPi的棱長為1,貝!！

A.直線4c與。”所成角的正弦值為斗

B.直線4c與平面O/C所成角的正弦值為半

C.點(diǎn)用到直線。/的距離為。

D?點(diǎn)用到平面的距離為當(dāng)

11.已知點(diǎn)45在雙曲線C：，-歹2=1上，點(diǎn)〃(%%)是線段Z8的中點(diǎn)，貝I」

A.當(dāng)今2_%2>］時(shí)，點(diǎn)2,8在雙曲線的同一支上

B.當(dāng)％2-招2<。時(shí)，點(diǎn)48分別在雙曲線的兩支上

c.存在點(diǎn)45,使得與2-%2=0成立

D.存在點(diǎn)43,使得0<%2—%2<］成立

12.己知函數(shù)/㈤=辦2_%+sinx,則

A.當(dāng)a>0時(shí)，/(0)是的極小值

B.當(dāng)°=工時(shí)，/(二)是/(%)的極大值

712

C.當(dāng)a<l-sinin寸，ax2-x+sinx<0(xG(0,1))

D.當(dāng)a>l-sinl時(shí)，ax2-x+sinx>0(xe(0,1))

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量|a|=2,|b|=3,且。6=1,貝！｝12a+61=.

14.己知數(shù)列｛?！埃鞘醉?xiàng)為25,公差為-2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛|4』｝的前30項(xiàng)的

和為.

15.在正三棱臺(tái)居C-/AG中，45=2,4與=1,力4=1,則該棱臺(tái)的體積為

16.點(diǎn)/在圓(x-3)2+V=2上，點(diǎn)8在拋物線必=船上，則線段A8長度的最小

值為.

四.解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)

△ABC的內(nèi)角N,8。的對(duì)邊分別為a,b,c.

已知(sinB+sinC)2=sin2A+sin5sinC.

(1)求4；

(2)若抬a-26=c,求8.

18.(12分)

為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取100只小鼠,

給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種

科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如下直方圖：

(1)求殘留百分比直方圖中a的值；

(2)估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表)；

(3)在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間［5.5,7.5］的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥

物殘留百分比位于區(qū)間［65,7.5］的小鼠為X只，求X的分布列和期望.

高二生州新堂卡卷笛2而北4而

19.（12分）

如圖，在平行六面體458-44GA中，AB=AD=AA}=\,ZDAB=90°,

■,

cos<AA],AB>=cos<AA1,AD>=>點(diǎn)M為BD中點(diǎn).

(1)證明：平面4G。；

(2)求二面角朋1-。的正弦值.

20.(12分)

記數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為邑，數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為看.已知邑=3-1,

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

131

(2)求證：T<——(H+6)—.

n22

21.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)耳(-2,0),耳(2,0),點(diǎn)尸滿足|產(chǎn)兄|+|尸乙|=276.

記尸的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)4(0,1),設(shè)點(diǎn)〃,N在C上，且直線MN不與x軸垂直，記用，總分

別為直線4M,ZN的斜率.

(i)對(duì)于給定的數(shù)值；I(XeR且若22=%,證明：直線MN經(jīng)過

定點(diǎn)；

(ii)記(i)中的定點(diǎn)為。，求點(diǎn)0的軌跡方程.

22.(12分)

(1)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為｛xeR|x>0｝,設(shè)y=g(x)

是曲線y=/㈤在點(diǎn)(%,/(x,))處的切線的方程證明:當(dāng)r(x)是增函數(shù)時(shí)，

/W*(外

(2)己知e'Nlnx+c(x〉0),設(shè)c的最大值為7,證明：2.30<c0<2.35.

(參考數(shù)據(jù)：1.648<1.649,20.0<e3<20.1,0.693<In2<0.694)

高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷第4頁共4頁

數(shù)學(xué)試卷參考答案

1-4.BDBA5-8.DACB9.ABC10.BC11.ABC12.ABD

13.V2914.45815.遞16.V2

12

17.解：(1)因?yàn)?51113+$111。)2=5］11224+511130111。，

所以(Z?+C)2=〃2+bc........2分

n\\b2+c2-a2=-bc.所以，.從而4=］20。.……4分

__2bc2

(2)因?yàn)間a-2Z?=c,所以J^sinA-ZsinBusinC.

3

所以——2sinB=sin(60。—5),其中0。<5<60。.……6分

3

所以——2sinB=sin60°cosB-cos60°sinB.

2

整理得，—sinB+^cosB^—,所以5畝(8+30。)=3.……8分

2222

解得8=30。.……10分

18.解：(1)因?yàn)?.15+0.20+4+0.20+0.10+0.05=1,所以。=0.30.……2分

(2)估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值為：

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.……4分

(3)藥物殘留百分比位于區(qū)間［5.5,7.5］的小鼠有15只，其中位于區(qū)間［6.5,7.5］的

小鼠有5只.

離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.(或X"(15,3,5))……6分

3X2

X的分布列為：P(X=0)=士r°C?=?44,P(X=1)=ECC^=竺45，

Cl9191

C2cl20C3co2

P(X=2)=^^=—,P(X=3)=-^^=—.......10分

C：591C：591

244S2025

X的期望為E(X)=0義一+lx上+2x、+3x—=1.(或E(X)=3x±=l)

9191919115

……12分

19.(1)證明：連結(jié)BQ,交AG于點(diǎn)N,連結(jié)DN.

在平行四邊形342。中，B[N=MDRB、N〃MD,

所以4M)暇是平行四邊形，從而……2分

因?yàn)?M不在平面AG。內(nèi)，ND在平面46。內(nèi)，

所以4M〃平面AG。.……4分

(2)解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,A月為x軸正方向，A￡j為y軸正方向，向上

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第1頁共4頁

方向?yàn)?軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.所以A(0,0,0),3(1,0,0),

￡>(o,i,o),c(i,i,o).設(shè)點(diǎn)a為(尤,y,z),其中z>o.

|A4J=1,

A^ABV2

由題意得＜

\AAi\-\AB\~^'

A\AD_1

JMTiADri'

J,,[也

x2+y2+z2=1,X~~T

即,(x,y,z)(1,0,0)=也解得<1

1-12'"2'

(x,y,z)-(0,1,0)11

Z=一.

bl2

設(shè)平面的法向量為〃1=(x,y,z),有.

nx-AA^—0.

(%,y,z).(l,0,0)=0,x=0,

所以l、，逝11、c即11令"i=(0,1,—1).

(x,y,z)-(—=0.-x+-y+-z=Q.

、乙乙乙l乙乙乙

n2-AD=0,

設(shè)平面胡。的法向量為〃2=(%,y,z),有＜

n2-AAi=0.

(x,y,z).(0,1,0)=0,y=0,

即4〈及11令%=(i,o,-&).8分

(x,y,z)-(—=0.---x+—y+—z=0.

I222

(0,1,-1).(1,0,-V2)V2_=

所以cos<nvn2>=

I?1IIW2?府+F+(_1)2.J]2+02+(_a)2V2-V33

……io分

從而二面角A-A。-a的正弦值為彳?12分

21+I1

20.解：(1)當(dāng)”=1時(shí)，a=S=-----1二—1分

]i1+23

2向2〃

當(dāng)*2時(shí)，%=S〃-%=(?-1)-(-1)=-----------2\……3分

〃+2〃+1(〃+2)("+l)

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第2頁共4頁

/2.T*

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為4----------------2J,neN.4分

(n+2)(〃+1)

、〃〃

⑵/c有-27=—1=1(—+2)(—+1)-—1=(_?+3_+-2,)—1

ann2n2

(八12、1

,6分

2〃n2n

設(shè)凡=(1+3>攝+(2+3>*++(〃+3)-/，

所以;凡=(1+3)]+(2+3).?++("+3).擊?

從而;3=(1+3)。+(4++,)-(〃+3)焉,

乙乙乙乙乙

整理得&=5—(〃+5).￡.

9分

1

設(shè)也=令《+(|)+(-)

?9+§?*+n2"

所以叱＜(,)?11

H——++—)

232〃

=(+j+「」n分

r：22232"22"

131

從而，=耳+叱4耳一(〃+6＞吩.12分

21.(1)解：因?yàn)?〃=2幾，c=2,2分

22

所以P的方程；為匕+匕=1.3分

62

(2)設(shè)直線ACV的方程為：y=kx+m,其中K女+機(jī)wl.

22

%Q

----1-----1

點(diǎn)M,N滿足：\62'所以滿足：%2+3(Ax+m)2=6.

y=kx+m.

h6km3m2-6

從H而與+/=-中,w=iF7T-5分

43k-m+1

(i)證明：因?yàn)榧覶.〉NT=(%+>—1)("N+加-1)

X_左+

XM一6N(xM-43)(XN-A/3)3(J5m+l)

所以—*—2=4,整理得加=—2擔(dān)(6k+i).

8分

3(y/3k+m+l)3A-1

所以直線MN的方程為：…-叁(改+-"f+打,

高三年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案第3頁共4頁

所以直線跖V過定點(diǎn)(6?到「2).……10分

3A-132-1

q_33.+1,

(ii)解：由廠。產(chǎn)「得為=-f%(其中為工⑻.

32+1?3

/e--32-l'

所以點(diǎn)。的軌跡方程為直線>=-￡x(除去點(diǎn)(G,-l)).