高考數(shù)學(xué)新增分大一輪新高考（魯京津瓊）專用講義 探究課 高考中解析幾何問題的熱點題型

專題探究課五高考中解析幾何問題的熱點題型

丫2

1.（2015?全國I卷）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：夕=：與直線/：y=kx+a（a>^

交于A1,N兩點，

（1）當(dāng)左=0時，分別求。在點〃和N處的切線方程；

（2?軸上是否存在點P,使得當(dāng)左變動時，總有NOPM=NQPN?說明理由.

解（1）由題設(shè)可得MQW，。）,N（—2\[a,a）,

或M{—2\/tz,a）,N（2\ja，a）.

又y'=}故產(chǎn)[在x=2〃處的導(dǎo)數(shù)值為必C在點（2區(qū)0處的切線方程為y

—2\「），

即\[ax-y—a=0.

尸亍在X=-2或處的導(dǎo)數(shù)值為一M，。在點（一2必〃）處的切線方程為歹一4=

一而（工+2川）,

即\fajc+y+a=0.

故所求切線方程為\^ax—y—a=0和y!ax+y+a=0.

（2）存在符合題意的點，證明如下：

設(shè)P（0,3為符合題意的點，M（xi,切），N（X2,玖），直線尸PN的斜率分別為

k\，ki.

將^=丘+。代入。的方程得,一4代一4a=0.

故x\+工2=4左，x\X2=—^a.

從而偽+左2=2+^

XlX2

2Ax1x2+Qa-b>3+x2）k（a+h）

X]X2a

當(dāng)b=-a時，有肌+依=0，

則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，

故4OPM=4OPN,所以點尸（0,一。）符合題意.

2.（2016?北京卷）已知橢圓C：（+*=1過點/（2,0）,仇0,1）兩點.

（1）求橢圓。的方程及離心率;

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線山與夕軸交于點M,直線尸8與

x軸交于點M求證：四邊形的面積為定值.

(1)解由題意知a=2,b=\.

所以橢圓方程為。+產(chǎn)=1，又0=42_岳=3.

所以橢圓離心率6=￡=e.

⑵證明設(shè)P點坐標(biāo)為(xo,yoXxoVO,次VO)，則蟠+4為=4,由8點坐標(biāo)(0,1)

得直線P8方程為：y一1=當(dāng)二%—0),

XQ

令夕=0,得％v=_X。一,從而|/N|=2—XN=2H~一獨一,

1-yoyo~1

由A點坐標(biāo)(2,0)得直線PA方程為歹一0=」^。-2),

xo~2

2yo

令x=0,得JM=f

2~xo

從而16M=1-yM=1+2"，

xo~2

所以S四邊形XBNM=3⑷V],\BM\

1(2+F+四

yo—UIX0—2J

_斎+切8+4%吵()-4xo-8yo+4

2(xoyo~XQ~2yo+2)

=2￥吵02刈-4歹0+4=2

xoyo-xo-2yo+2

即四邊形ABNM的面積為定值2.

3.已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓過點P(2,3),

且它的離心率e=1.1.

2VV/

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)與圓(x—1)2+產(chǎn)=1相切的直線/：y=Ax+f交橢圓于M,N兩點，若橢圓上一

點C滿足南+麗=2沆，求實數(shù)2的取值范圍.

22

解⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十9=1(。>6>0),

L

ab乙

[4,3_1

Q，b-

從=8,

由已知得:c_l解得■

a~222=6,

c2=a2—b2,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+}=1.

86

(2)因為直線/：y=Ax+f與圓。-1)2+產(chǎn)=1相切,

所以指=22%=個樣0)，

把y=Ax+f代入5+與=1并整理得:

86

(3+4左2.2,|_8to+(4/2-24)=0,

火kt

設(shè)M(x”y\),N(X2,yi),則有xi+x2=---------

3+4疋

y\~\~yi=kx\~\-t~\~kx2~\~t=k[x\+x2)+2f=,

3+4左2

因為4OC=(X1+X2，"+")，

f-8kt6t]

所以d(3+4F)晨(3+4F)J,

又因為點。在橢圓上，所以，

2

8FF?6於_,、12於77^------------

(3+43)2，(3+4廬)2423+4R冃2+丄+]

t2

因為F>0,所以G2+l+lAl,

產(chǎn)

所以O(shè)V/l2V2,所以人的取值范圍為(一/，0)U(0,/).

4.已知橢圓。的方程為：N+2產(chǎn)=4.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，若點/在直線丁=2上，點8在橢圓。上，且。4丄。以

求線段N8長度的最小值.

解(1)由題意，橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+苫=1，

所以〃=4,b2=2,從而c2=4—"=2.

因此a=2,C=A/2.

故橢圓。的離心率e=C=坐.

a2

(2)設(shè)點一,8的坐標(biāo)分別為(32),(xo,次)，其中xo#O.

因為0A丄0B,則為?05=0,

=2yo

所以/xo+2yo=O,解得t

xo

又xi+2yi=4,

（I2yo|7

所以|48|2=（乂）一庁+什。一2>=l°xoJ+（yo—2）2

=就+為+彎+4=就+匕?+”與⑥-+4=竝+3+4（0<就?4）

xl2斎2x§

因為M+3?4(0<X6W4),當(dāng)且僅當(dāng)蝴=4時等號成立,

2%6

所以|45|2,8.

故線段AB長度的最小值為2s.

2

5.如圖，已知橢圓C：差r+產(chǎn)=](心1)的上頂點為右焦點為

a"

F,直線//與圓/：-6x—2y+7=0相切.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若不過點/的動直線/與橢圓C相交于「，。兩點，且芥?福=0,求證：直

線/過定點，并求出該定點N的坐標(biāo).

(1)解將圓A/的一般方程x2+j/2—6x—2j^+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3>+(y—

1)2=3,

圓加的圓心為M(3,1),半徑r=3.

由N(0,1),F(c,0)(c=Nq2—1)得直線4F：-+y=l,

c

即x+cy—c=0.

由直線//與圓M相切，得沖:一@=6

，c=/或C=-S(舍去).

.??。=3，.,.橢圓。的方程為號+歹2=1.

⑵證明由辦?慫=0,知NP丄N0,從而直線4P與坐標(biāo)軸不垂直，

由Z(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線40的方程為》=-yx+1(^0),

k

2

將少=自+1代入橢圓C的方程扌r+y=1并整理得：

(l+3F>2+6Ax=0,

6k

解得x=0或x

1+3R'

[6k

因此尸的坐標(biāo)為IT1+3盧

f6k1—3斤]

即I1+381+3討.

小-3]

將上式中的左換成一，得F+3」.

k

產(chǎn)一31—3吩/

...直線/的方程為片望父一樂_1_F_3

F+3

F+3+1+3F

A2—11

化簡得直線/的方程為N=----x—.

4k2

因此直線/過定點

6.(2015?山東卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：*+，=l(a>b>0)的離心

率為坐，且點時‘3在橢圓。上.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)橢圓氏看+系=1，°為橢圓C上任意一點，過點尸的直線片"+朗交

橢圓E于1,8兩點，射線尸O交橢圓E于點。.

(i)求黑的值；

(ii)求厶/臺。面積的最大值.

解(1)由題意知與++=1.又蛆三=*,

出4〃a2

解得層=4,b2=1.

所以橢圓C的方程為?+產(chǎn)=1.

(2)由(1)知橢圓E的方程為W+}=L

164

(1)設(shè)尸(、0,泗)，^|^^=九由題意知。(一&o,—

因為,+j吊=],

又(一屍)2+(一次°)即4+少"=1,

1644

所以2=2,