數(shù)學(xué)高一(上)滬教版(函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性(一))教師版

課題函數(shù)的性質(zhì)—單調(diào)性〔一〕教學(xué)目的掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性；掌握函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)在這個區(qū)間具有〔嚴格的〕單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間。2.一般情況可以利用定義法、圖像法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕用定義法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是通過做差找出大于或小于零的區(qū)間〔2〕圖像法的思路是：化簡解析式→畫草圖→確定單調(diào)區(qū)間3.利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形〔通常是因式分解和配方〕；eq\o\ac(○,4)定號〔即判斷差f(x1)－f(x2)的正負〕；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論〔即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕。①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。〔1〕的單調(diào)性：，，，〔2〕的單調(diào)性：，，，假設(shè)奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〔減〕，那么數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〔減〕；假設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〔減〕，那么數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減〔增〕?！咀⒁狻繒鴮懞瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點的開或閉沒有嚴格規(guī)定，習(xí)慣上，假設(shè)函數(shù)在區(qū)間端點處有定義，那么寫成閉區(qū)間，當然寫成開區(qū)間也可；假設(shè)函數(shù)在區(qū)間端點處沒有定義，那么必須寫成開區(qū)間．【典型例題分析】例1、判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性?！窘馕觥坷煤瘮?shù)的單調(diào)性的定義判讀即可?！敬鸢浮吭趨^(qū)間上單調(diào)遞減。變式練習(xí)1：，判斷在上的單調(diào)性，并證明?！窘馕觥恐苯永煤瘮?shù)單調(diào)性的定義判斷?！敬鸢浮吭谑窃龊瘮?shù)【點撥】用定義研究函數(shù)的單調(diào)性時，所取應(yīng)是指定區(qū)間上的任意兩值，對差的變形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，確定差的符號時要注意的所在范圍，另外，有字母系數(shù)〔即參數(shù)〕的要注意字母對單調(diào)性的影響〔如〕變式練習(xí)2：證明：函數(shù)在上是減函數(shù)。證明略例2、求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕〔2〕〔3〕【解析】利用常見函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖像求解【答案】〔1〕單調(diào)減區(qū)間〔2〕單調(diào)增區(qū)間〔3〕單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為例3、為偶函數(shù)，且當時單調(diào)遞減，求的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥扛鶕?jù)外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行相應(yīng)分段。【答案】設(shè)令，令，由有當時，，此時當時，，此時綜上可知：的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間變式練習(xí)1：設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求的取值范圍。答案：〔1〕〔2〕變式練習(xí)2：是定義在上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，求實數(shù)的取值范圍。解：由，得，因為是上的奇函數(shù)所以時，有，又在上是減函數(shù)，且是上的奇函數(shù)在上仍是減函數(shù)，于是得【說明】應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將函數(shù)值間的不等關(guān)系，實質(zhì)就是消去的過程，在此題中還要特別注意函數(shù)的定義域。例4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：設(shè)那么由所以二次函數(shù)的圖像是以為頂點，開口向下的拋物線在上的一段。當為增函數(shù)，從而也為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)，從而也為減函數(shù)；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是變式練習(xí)：〔1〕函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為____________〔2〕函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為____________答案：〔1〕〔2〕.例5、討論函數(shù)的單調(diào)性分析：用作差法談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性時，由于含字母參數(shù)，其單調(diào)性往往會因的取值不同而異，因此應(yīng)對的取值進行分類討論。【答案】當時，在上是減函數(shù)；當時，，不具有單調(diào)性；當時，在上是增函數(shù)。變式練習(xí)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【答案】函數(shù)的增函數(shù)區(qū)間為；函數(shù)的減函數(shù)區(qū)間為【說明】由于奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，所以奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反?！菊n堂小練】1.“是奇函數(shù)”是“存在定義域內(nèi)無數(shù)個，使成立”的〔〕A．充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件為R上的奇函數(shù)，瑞對任意實數(shù)，當時，總有成立，那么函數(shù)為R上的〔〕A增函數(shù)B減函數(shù)C不能確定D以上均不正確為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，那么_________為奇函數(shù)，那么實數(shù)_________在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的取值范圍是_________為偶函數(shù)，那么函數(shù)的值域為__________的奇偶性。的單調(diào)性。〔其中〕答案：1.A2.A3.4.5.6.7.(1)假設(shè)為偶函數(shù)；〔2〕假設(shè)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)8.〔1〕當函數(shù)為增函數(shù)；〔2〕當時，在上不是單調(diào)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增?！菊n堂總結(jié)】1．函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的，反之單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．2．假設(shè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)的，那么的圖像與x軸的交點個數(shù)最多有一個．3．求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)考察外層函數(shù)的單調(diào)性；〔4〕由“同增異減”確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．4．當內(nèi)層函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的值域是外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集時，剛只要直接求出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由“同增箅減”即可得到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之，那么應(yīng)對內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行分段，以滿足上述要求?！菊n后練習(xí)】一、根底穩(wěn)固是定義在R上的奇函數(shù)，那么_______________的遞減區(qū)間是_______________是奇函數(shù)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，那么_________，___________A是奇函數(shù)B是偶數(shù)不是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5.以下說法中不正確的選項是〔〕A圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)B奇函數(shù)的圖像一定經(jīng)過原點C偶函數(shù)的圖像假設(shè)不經(jīng)過原點，那么它與軸的交點的個數(shù)一定是偶數(shù)D圖像關(guān)于軸成軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)在定義域D上是增函數(shù)，且，那么以下函數(shù)中不是增函數(shù)的是〔〕ABCD上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且對一切,恒有成立，試判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。二、能力提升是偶函數(shù)且在區(qū)間上遞增，判斷與的大小關(guān)系。在上單調(diào)遞增，假設(shè)求實數(shù)的取值范圍。為偶函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性。三、開放探究,滿足四、高考體驗12.〔2009遼寧〕偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，那么滿足的的取值范圍是〔〕ABCD答案1.02.3.07.減函數(shù)的范圍9.10.增函數(shù)11.課題函數(shù)的性質(zhì)--單調(diào)性〔二〕教學(xué)目的掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性；2、掌握函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容【知識梳理】1．函數(shù)單調(diào)性的定義？2．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4．利用函數(shù)單調(diào)性解決一些問題；5．抽象函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性結(jié)合運用【典型例題】例1．(1)那么a的范圍為(D)A．B．C．D．提示：21<0時該函數(shù)是R上的減函數(shù).(2)函數(shù))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A)A．B．C．D．(3)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，那么以下表達正確的選項是〔D〕A．B．C．D．提示：可轉(zhuǎn)化為和在利用函數(shù)單調(diào)性可得.(4)如以下圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象,該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-2,1]和[3,5]提示:根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意區(qū)間不能合并.(5)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是提示:結(jié)合二次函數(shù)的圖象,注意函數(shù)的定義域.例2．畫出以下函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕〔2〕解：(1)即如下圖，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為〔2〕當，函數(shù)當，函數(shù)即如下圖，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(1)(2)例3．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．證明：設(shè)那么

，且在與中至少有一個不為0，不妨設(shè)，那么，故在上為減函數(shù)變式練習(xí)：確定函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論。答案：a>0,那么為單調(diào)遞減，a<0,那么為單調(diào)遞增，證明步驟參照上述例題是定義在R上的函數(shù)，對、恒有，且當時，?！?〕求證：；〔2〕證明：時恒有；〔3〕求證：在R上是減函數(shù)；〔4〕假設(shè)，求的范圍。解：(1)取m=0，n=那么，因為所以(2)設(shè)那么由條件可知又因為，所以∴時，恒有〔3〕設(shè)那么==因為所以所以即又因為，所以所以，即該函數(shù)在R上是減函數(shù).(4)因為，所以所以，所以變式練習(xí)：偶函數(shù)上是增函數(shù)，求不等式的解集。答案：x<-1或x>3【課堂小練】1．以下函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是(

D

).A．

B．

C．D．提示：根據(jù)函數(shù)的圖象.2.函數(shù)的增區(qū)間是〔

A

〕.A．[3,1]

B．[1,1]C．

D．提示：注意函數(shù)的定義域.3.在上是減函數(shù)，那么的取值范圍是〔

A〕.A．

B．

C．

D．提示:考查二次函數(shù)圖象的對稱軸和區(qū)間端點.4．假設(shè)函數(shù)在區(qū)間[,b]上具有單調(diào)性，且,那么方程在區(qū)間[，b]上〔D〕A．至少有一個實數(shù)根B．至多有一個實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．必有唯一的實數(shù)根提示:借助熟悉的函數(shù)圖象可得.5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____，單調(diào)減區(qū)間______。提示:畫出二次函數(shù)的圖象,考慮函數(shù)對稱軸.6．假設(shè)當時是增函數(shù),當時是減函數(shù),那么13提示：由題可知二次函數(shù)的對稱軸是可求出m的值.7．在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且>0，在其定義域內(nèi)以下函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)的為②③①〔為常數(shù)〕；②〔為常數(shù)〕；③；④．提示：借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.8．函數(shù)上的最大和最小值的和為，那么=提示：是[0,1]上的增函數(shù)或減函數(shù),故，可求得=9．設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，滿足求：〔1〕f〔1〕；〔2〕當時x的取值范圍.解:(1)令可得(2)又2=1+1=由,可得因為是定義在上的增函數(shù),所以有且且，解得：10．求證:函數(shù)在上是增函數(shù).證明:設(shè)那么當時,,，所以所以函數(shù)在上是增函數(shù).【課后練習(xí)】1.以下四個函數(shù)：①;②；③;④，其中在上為減函數(shù)的是〔A〕。〔A〕①〔B〕④〔C〕①、④〔D〕①、②、④在和都是增函數(shù)，假設(shè)，且那么〔D〕A．B．C． D．無法確定3.函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，假設(shè)，實數(shù)的取值范圍為(B)A.B.C.D.，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間