北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)從重點(diǎn)到壓軸專題7.2期末復(fù)習(xí)填空壓軸題專題(壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練)(原卷版+解析)

專題7.2期末復(fù)習(xí)填空壓軸題專題1．（2022春·浙江·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c=a+b?c，且c≠0，則a+b?c+22．（2022春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎猘，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，滿足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，則a+2b+3c+4d的最大值是_____．3．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2若n=49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是___________．4．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知x+2+x?43y+2+y?2z?1+2z+1=25．（2022春·重慶潼南·七年級(jí)重慶市潼南中學(xué)校?？计谀┦阶觴+3+6．（2022春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣1與3．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)PQ＝12AB時(shí)，t7．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為-5，點(diǎn)B表示的數(shù)為15.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速移動(dòng)，則點(diǎn)P移動(dòng)__________秒后，PA=3PB．8．（2021春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A,O,B分別表示?10,0,6，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)開(kāi)始沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒3個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．若點(diǎn)P,Q,O三點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)構(gòu)成的線段被第三個(gè)點(diǎn)三等分，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)____秒．9．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)，若其千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，稱這樣的四位數(shù)為“平衡數(shù)”．對(duì)任意一個(gè)“平衡數(shù)”M，將M的千位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得新數(shù)N，記F(M)=M+N1111．若A，B是“平衡數(shù)”，且A的千位為5，B的個(gè)位為7，當(dāng)FA10．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）甲乙兩地相距180km，一列慢車以40km/h的速度從甲地勻速駛往乙地，慢車出發(fā)30分鐘后，一列快車以60km/h的速度從甲地勻速駛往乙地．兩車相繼到達(dá)終點(diǎn)乙地，在整個(gè)過(guò)程中，兩車恰好相距10km的次數(shù)是____________次．11．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2BE．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿點(diǎn)C﹣D﹣A﹣E勻速運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，若三角形PCE的面積為18cm2，則t的值為_(kāi)____．12．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）將長(zhǎng)為4寬為a（a大于1且小于4）的長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊并壓平，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長(zhǎng)方形按同樣的方式操作，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去

，若在第n次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)_____．13．（2022春·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，線段AB=4，C是線段AB的中點(diǎn)，且BD=3AD，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)______．14．（2022春·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB=10cm，AC=8cm，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么線段MN的長(zhǎng)度為_(kāi)___________15．（2022春·安徽滁州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB表示一條已經(jīng)對(duì)折的繩子，現(xiàn)從P點(diǎn)處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長(zhǎng)的一段為30cm．（1）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則對(duì)折前的繩長(zhǎng)為_(kāi)_____cm；（2）若AP=216．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖所示：已知AB=5cm，BC=10cm，現(xiàn)有P點(diǎn)和Q點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)速度為2cm/s，Q點(diǎn)速度為3cm/s，當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)后掉頭向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)在向C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)?cm/s，P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)____s17．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)．若AB=8，則DF=______；若OE=a，則OF=______（用含a的代數(shù)式表示）．18．（2022春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：①PQ=MB；②PM=12(AM?MC)；③PQ=19．（2022春·天津和平·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)Q在線段AP上，其中PQ＝10，第一次分別取線段AP和AQ的中點(diǎn)P1，Q1，得到線段P1Q1，則線段P1Q1＝_____；再分別取線段AP1和AQ1的中點(diǎn)P2，Q2，得到線段P2Q2；第三次分別取線段AP2和AQ2的中點(diǎn)P3，Q3，得到線段P3Q3；連續(xù)這樣操作2021次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+P2021Q2021＝_____．20．（2022春·湖北荊州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段MP,NP組成一條折線M?P?N，若該折線M?P?N上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”已知D是折線A?C?B的“折中點(diǎn)”，E為線段AC的中點(diǎn)，CD=3,CE=5，則線段BC的長(zhǎng)為_(kāi)________．21．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，若將∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OE平分∠BOC，則∠DOE22．（2022春·云南紅河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠AOB＝80°，射線OC在∠AOB內(nèi)部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射線OE、OF分別平分∠BOC、∠COD，則∠EOF的度數(shù)是______．23．（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．若∠AOB=60°，且射線OC是∠AOB的“巧分線”，則∠AOC的度數(shù)為_(kāi)_____．24．（2022春·江西吉安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=90°，∠AOC=20°，∠COD=50°，∠BOD﹥45°，則∠BOD的度數(shù)為_(kāi)_____．25．（2022春·湖南·七年級(jí)期末）如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)O是直線AC上一點(diǎn)，∠AOB=60°，射線OC不動(dòng)，射線OA，OB同時(shí)開(kāi)始繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OA首次回到起始位置時(shí)兩線同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OA，OB的轉(zhuǎn)動(dòng)速度分別為每秒40°和每秒20°．若轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線OA，OB，26．（2022春·安徽合肥·七年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？计谀┰谕黄矫鎯?nèi)．O為直線AB上一點(diǎn)．射線OE將平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE兩部分．已知∠BOE=α．OC為∠AOE的平分線．∠DOE=90°．則∠COD=______（用含有α的代數(shù)式表示）27．（2022春·重慶·七年級(jí)重慶八中?？计谀┢矫鎯?nèi)，∠AOB=120°，C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，射線OD平分∠MON，當(dāng)∠AOC?2∠COD=30°時(shí)，∠AOC28．（2022春·重慶·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知∠AOB和∠COD是共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，∠COD的OC邊始終在∠AOB的內(nèi)部，并且∠COD的邊OC把∠AOB分為1：2的兩個(gè)角，若∠AOB＝60°，∠COD＝30°，則∠AOD的度數(shù)是_____．29．（2022春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，現(xiàn)給出以下4個(gè)結(jié)論：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF?∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=130．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知：如圖1，點(diǎn)O是直線MN上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，使∠EOM=15∠EON，過(guò)點(diǎn)O作射線OA，使∠AOM=90°．如圖2，∠EON繞點(diǎn)O以每秒9°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得∠E′ON′，同時(shí)射線OA繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線OA′，當(dāng)射線OA′落在OA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，射線OA′和∠E′ON′同時(shí)停止，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t=______時(shí)，∠E′ON′的某一邊平分∠A′OM專題7.2期末復(fù)習(xí)填空壓軸題專題1．（2022春·浙江·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c=a+b?c，且c≠0，則a+b?c+2【思路點(diǎn)撥】當(dāng)a+b+c≥0時(shí)，則a+b+c=a+b+c,結(jié)合已知條件得到c=0，不合題意舍去，從而a+b+c＜0,可得a+b=0,c＜0,【解題過(guò)程】解：當(dāng)a+b+c≥0時(shí)，則a+b+c=a+b+c,∵a+b+c∴a+b+c=a+b?c,∴c=0，∵c≠0，所以不合題意舍去，所以a+b+c＜0,∴a+b+c∵a+b+c∴a+b?c=?a?b?c,∴a+b=0,∴c∴c＜0,∴=2?c+c?10=?8.故答案為：?8.2．（2022春·福建福州·七年級(jí)校考期末）已知a，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，滿足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，則a+2b+3c+4d的最大值是_____．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分別確定a，b，c，d的取值范圍，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分別確定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．【解題過(guò)程】解：∵a，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，則d＝2或3，c3＜90，則c＝1，2，3或4，b2＜90，則b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，則a＝1，2，3，…，89，∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，則a取最大值時(shí)，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，則d取2，c取1，b取3，∴a的最大值為90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案為：81．3．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2若n=49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是___________．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以寫出前幾次的運(yùn)算結(jié)果，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可寫出第2021次“F運(yùn)算”的結(jié)果．【解題過(guò)程】解：本題提供的“F運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于n=49為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算，即3×49+5=152（偶數(shù)），需再進(jìn)行F②運(yùn)算，即152÷23=19（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×19+5=62（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即62÷21=31（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×31+5=98（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即98÷21=49，再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×49+5=152（偶數(shù)），…，即第1次運(yùn)算結(jié)果為152，…，第4次運(yùn)算結(jié)果為31，第5次運(yùn)算結(jié)果為98，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為49，第7次運(yùn)算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，2021÷6=336…5，則第2021次“F運(yùn)算”的結(jié)果是98．故答案為：98．4．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知x+2+x?43y+2+y?2z?1+2z+1=2【思路點(diǎn)撥】采用分情況討論去絕對(duì)值方法，分別找出x+2+x?4、3y+2+y?2、z?1+2z+1的取值范圍，以及取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x、y、【解題過(guò)程】解：x+2+當(dāng)x<?2時(shí)，x+2當(dāng)?2≤x≤4時(shí)，x+2當(dāng)x>4時(shí)，x+2故當(dāng)，?2≤x≤4時(shí)，x+2+x?4取得最小值為3y+2+當(dāng)y<?23當(dāng)?23≤y≤2時(shí)，當(dāng)y>2時(shí)，3y+2故當(dāng)y=?23時(shí)，3y+2+z?1+當(dāng)z<?12當(dāng)?12≤z≤1時(shí)，當(dāng)z>1時(shí)，z?1故當(dāng)z=?12時(shí)，z?1+則x+2+當(dāng)且僅當(dāng)?2≤x≤4，y=?23，z=?1故x?3y?2z最大為P=4?3×?x?3y?2z最小為Q=?2?3×?則2P?Q=2×7?1=13故答案為：135．（2022春·重慶潼南·七年級(jí)重慶市潼南中學(xué)校校考期末）式子x+3+【思路點(diǎn)撥】畫出數(shù)軸，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答．【解題過(guò)程】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到A、B、C、D、E各點(diǎn)的距離之和為：PA+PB+PC+PD+PE=(PA+PE)+(PB+PD)+PC=AE+BD+0=AE+BD；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合時(shí)，點(diǎn)P到A、B、C、D、E各點(diǎn)的距離之和為：PA+PB+PC+PD+PE=(PA+PE)+(PB+PD)+PC=AE+BD+PC；∵AE+BD+PC>AE+BD，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到A、B、C、D、E各點(diǎn)的距離之和最小，令數(shù)軸上數(shù)x表示的為P，則x+3+x+1+x?2+5?x+x?7表示點(diǎn)P到A、∴當(dāng)x=2時(shí)，x+3+∴x+3+=2+3=5+3+0+3+5=16，故答案為：16．6．（2022春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣1與3．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸的正方向勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)PQ＝12AB時(shí)，t【思路點(diǎn)撥】先表示出運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)PQ＝12AB【解題過(guò)程】解：①Q(mào)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為-1+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為3+t∴PQ=|(3+t)?(?1+2t)|=|4?t|,∵PQ=∴|4?t|=2,解得t=2或6②Q點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為-1+2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為3-t∴PQ=|(3?t)?(?1+2t)|=|4?3t|∵PQ=∴|4?3t|=2,解得t=2或2∴當(dāng)t為2或6或23，PQ＝1故答案為：2或6或237．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為-5，點(diǎn)B表示的數(shù)為15.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速移動(dòng)，則點(diǎn)P移動(dòng)__________秒后，PA=3PB．【思路點(diǎn)撥】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)或點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離列方程解題．【解題過(guò)程】解：設(shè)t秒后，PA=3PB，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為：-5+3t分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，PA=3PB?5+3t?(?5)=3(15+5?3t)∴3t=3(20?3t)∴3t=60?9t∴12t=60∴t=5；②點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，PA=3PB?5+3t?(?5)=3(?5+3t?15)∴3t=3(3t?20)∴3t=9t?60∴6t=60∴t=10綜上所述，當(dāng)t=5或t=10時(shí)，PA=3PB，故答案為：5或10．8．（2021春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A,O,B分別表示?10,0,6，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)開(kāi)始沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒3個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．若點(diǎn)P,Q,O三點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)構(gòu)成的線段被第三個(gè)點(diǎn)三等分，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)____秒．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)運(yùn)動(dòng)的規(guī)則找出點(diǎn)P、Q表示的數(shù)，分P、O、Q三點(diǎn)位置不同考慮，根據(jù)三等分點(diǎn)的性質(zhì)列出關(guān)于時(shí)間t的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0），則點(diǎn)P表示3t?10，點(diǎn)Q表示t＋6，①

點(diǎn)O在線段PQ上時(shí)，如圖1所示．此時(shí)3t?10＜0，即t＜103∵點(diǎn)O是線段PQ的三等分點(diǎn)，∴PO＝2OQ或2PO＝OQ，即10?3t＝2（t＋6）或2（10?3t）＝t＋6，解得：t＝-25（舍去）或②

點(diǎn)P在線段OQ上時(shí)，如圖2所示．此時(shí)0＜3t?10＜t＋6，即103＜t∵點(diǎn)P是線段OQ的三等分點(diǎn)，∴2OP＝PQ或OP＝2PQ，即2（3t?10）＝t＋6?（3t?10）或3t?10＝2[t＋6?（3t?10）]，解得：t＝92或t③當(dāng)點(diǎn)Q在線段OP上時(shí)，如圖3所示．此時(shí)t＋6＜3t?10，即t＞8．∵點(diǎn)Q是線段OP的三等分點(diǎn)，∴OQ＝2QP或2OQ＝QP，即t＋6＝2[3t?10?（t＋6）]或2（t＋6）＝3t?10?（t＋6），解得：t＝383綜上可知：點(diǎn)P，Q，O三點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)構(gòu)成的線段被第三個(gè)點(diǎn)三等分，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2、92、6、38故答案為：2、92、6、389．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)，若其千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，稱這樣的四位數(shù)為“平衡數(shù)”．對(duì)任意一個(gè)“平衡數(shù)”M，將M的千位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得新數(shù)N，記F(M)=M+N1111．若A，B是“平衡數(shù)”，且A的千位為5，B的個(gè)位為7，當(dāng)FA【思路點(diǎn)撥】設(shè)A的百位數(shù)字為d，十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字為a+5-d，根據(jù)“平衡數(shù)”的定義及F(M)=M+N1111可求出FA=a+5，設(shè)B的百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，則千位數(shù)字為b+7-c，并得出FB【解題過(guò)程】解：設(shè)A的百位數(shù)字為d，十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字為a+5-d，根據(jù)題意得：FA則FA設(shè)B的百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，則千位數(shù)字為b+7-c，同理可得：FB∵FA∴a+5+b+7=15．∴a+b=3．∵a為十位上的數(shù)字，a最小取0，∴b的最大值為3．則FB故答案為：10．10．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）甲乙兩地相距180km，一列慢車以40km/h的速度從甲地勻速駛往乙地，慢車出發(fā)30分鐘后，一列快車以60km/h的速度從甲地勻速駛往乙地．兩車相繼到達(dá)終點(diǎn)乙地，在整個(gè)過(guò)程中，兩車恰好相距10km的次數(shù)是____________次．【思路點(diǎn)撥】利用時(shí)間=路程÷速度，可求出快車未出發(fā)且兩車相距10km的時(shí)間，設(shè)快車出發(fā)x小時(shí)時(shí)，兩車相距10km，分快車未超過(guò)慢車時(shí)、快車超過(guò)慢車10km時(shí)及快車到達(dá)乙地后三種情況，根據(jù)路程=速度×?xí)r間結(jié)合兩車之間相距10km，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：∵10÷40=14h∴快車未出發(fā)，慢車出發(fā)14小時(shí)時(shí)，兩車相距10km設(shè)快車出發(fā)x小時(shí)時(shí)，兩車相距10km．快車未超過(guò)慢車時(shí)，40（x+3060）-10=60x解得：x=12（h快車超過(guò)慢車10km時(shí)，40（x+3060）+10=60x解得：x=32（h快車到達(dá)乙地后，40（x+3060解得：x=154（h∴兩車恰好相距10km的次數(shù)是4．故答案為：4．11．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2BE．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿點(diǎn)C﹣D﹣A﹣E勻速運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，若三角形PCE的面積為18cm2，則t的值為_(kāi)____．【思路點(diǎn)撥】分下列三種情況討論，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即0＜t≤3時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上，即3＜t≤7時(shí)，由S△PCE=S四邊形AECD-S△PCD-S△PAE建立方程求出其解即可；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AE上，即7＜t≤9時(shí)，由S△PCE=12PE?BC【解題過(guò)程】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即0＜t≤3時(shí)，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm．∵CP=2t（cm），∴S△PCE=12×2t∴t=94如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上，即3＜t≤7時(shí)，∵AE=2BE，∴AE=23AB∵DP=2t-6，AP=8-（2t-6）=14-2t．∴S△PCE=12×（4+6）×8-12（2t-6）×6-12解得：t=6；當(dāng)點(diǎn)P在AE上，即7＜t≤9時(shí)，PE=18-2t．∴S△CPE=12（18-2t解得：t=274綜上所述，當(dāng)t=94或6時(shí)△APE故答案為：9412．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）將長(zhǎng)為4寬為a（a大于1且小于4）的長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊并壓平，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長(zhǎng)方形按同樣的方式操作，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去

，若在第n次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)_____．【思路點(diǎn)撥】經(jīng)過(guò)第一次操作可知剩下的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為a，另一邊長(zhǎng)為4-a；分當(dāng)a<4?a時(shí)，及當(dāng)a>4?a，兩種情況討論；根據(jù)第2次剩下的長(zhǎng)方形分兩種情況討論，若第三次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰好是正方形，由此可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：第1次操作，剪下的正方形邊長(zhǎng)為a，剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為a、4-a，I當(dāng)a<4?a時(shí)，即a<2時(shí)第二次操作后，剩余長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為a、4-2a，①當(dāng)a<4?2a時(shí)，即a<4第三次操作剩余兩邊為a、4-3a，此時(shí)為正方形，得a=4?3a解得a=1又∵1<a<4∴a=1不成立；②當(dāng)a>4?2a，即a>4第三次操作剩余兩邊邊長(zhǎng)分別為4?2a，3a?4此時(shí)為正方形，得4?2a=3a?4解得a=8II當(dāng)a>4?a，即a>2時(shí)，第2次操作，剪下的正方形邊長(zhǎng)為4-a，所以剩下的長(zhǎng)方形的兩邊分別為4-a、a-（4-a）=2a-4，①當(dāng)2a-4＜4-a，即a＜83則第3次操作時(shí)，剪下的正方形邊長(zhǎng)為2a-4，剩下的長(zhǎng)方形的兩邊分別為2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，則2a-4=8-3a，解得a=125②2a-4＞4-a，即a＞83則第3次操作時(shí)，剪下的正方形邊長(zhǎng)為4-a，剩下的長(zhǎng)方形的兩邊分別為4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，則4-a=3a-8，解得a=3；故答案為：85或125或13．（2022春·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，線段AB=4，C是線段AB的中點(diǎn)，且BD=3AD，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)______．【思路點(diǎn)撥】分兩種情況當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上時(shí)，畫出圖形，分別求出AC及AD即可求出CD．【解題過(guò)程】解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，∵C是線段AB的中點(diǎn)，AB=4，∴AC=BC=2，∵BD=3AD，∴AD+3AD=AB=4，解得AD=1，∴CD=AC-AD=2-1=1；當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上時(shí)，如圖2，∵C是線段AB的中點(diǎn)，AB=4，∴AC=BC=2，∵BD=3AD，∴3AD=AD+4，解得AD=2，∴CD=AC+AD=2+2=4，綜上，CD的長(zhǎng)為1或4，故答案為：1或4．14．（2022春·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB=10cm，AC=8cm，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么線段MN的長(zhǎng)度為_(kāi)___________【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)題目中的條件和分類討論的方法可以求得線段MN的長(zhǎng)度．【解題過(guò)程】解：當(dāng)點(diǎn)C點(diǎn)A和點(diǎn)B之間時(shí)，∵點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB=10cm，AC=8cm，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AM=5cm，AN=4cm，∴MN=AM-AN=5-4=1cm，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB=10cm，AC=8cm，點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AM=5cm，AN=4cm，∴MN=AM+AN=5+4=9cm，由上可得，線段MN的長(zhǎng)為1或9cm，故答案為：1或9．15．（2022春·安徽滁州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB表示一條已經(jīng)對(duì)折的繩子，現(xiàn)從P點(diǎn)處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長(zhǎng)的一段為30cm．（1）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則對(duì)折前的繩長(zhǎng)為_(kāi)_____cm；（2）若AP=2【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)P為AB中點(diǎn)，可知AP=PB=15，根據(jù)線段和即可得到答案；（2）分類討論：①AP是最長(zhǎng)的一段，根據(jù)AP=23BP，可得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差，可得答案；②PB是最長(zhǎng)的一段，根據(jù)AP=【解題過(guò)程】解：（1）∵P為AB中點(diǎn)，∴AP=PB=1∴2AB=2AP+BP故答案為：60；（2）①AP是最長(zhǎng)的一段，AP=15=2PB=15×3由線段的和差，得AB=AP+PB=15+45∴原來(lái)繩長(zhǎng)為2AB=75cm②PB是最長(zhǎng)的一段，由題意PB=15，∴AP=15×2由線段的和差，得AB=AP+PB=10+15=25，∴原來(lái)繩長(zhǎng)為50cm，故答案為：50或75．16．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖所示：已知AB=5cm，BC=10cm，現(xiàn)有P點(diǎn)和Q點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)速度為2cm/s，Q點(diǎn)速度為3cm/s，當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)后掉頭向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)在向C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)?cm/s，P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)____s【思路點(diǎn)撥】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后PQ距離為0.5cm，然后分情況分別進(jìn)行考慮：①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)；②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)；③當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)；④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過(guò)B點(diǎn)時(shí)；⑤當(dāng)Q超過(guò)P時(shí)．【解題過(guò)程】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后PQ距離為0.5cm，①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)，如圖1所示：由題意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)，如圖2所示：由題意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，③Q到達(dá)A所用時(shí)間為5÷3=53當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)，如圖3所示：由題意得：2t?3t?53④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過(guò)B點(diǎn)時(shí)，如圖4所示：此時(shí)Q從B-A-B用時(shí)為：103由題意得：5+4t?解得：t=47⑤當(dāng)Q超過(guò)P時(shí)，如圖5所示：由題意得：5+4t?解得：t=53綜上所述，當(dāng)P、Q相距0.5cm時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為0.9s或1.1s或4712s或故答案為：0.9或1.1或4712或5317．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)．若AB=8，則DF=______；若OE=a，則OF=______（用含a的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義分別計(jì)算出AD，AE和AF的長(zhǎng)，再利用線段的和差可得答案；設(shè)OA＝OB＝x，則AB＝2x，BE＝x?a，根據(jù)線段的和差可得答案．【解題過(guò)程】解：∵AB＝8，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝12AB∵點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，∴AD＝12AO＝2，BD∵點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE＝3，AE＝8?3＝5，∵點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，∴AF＝12AE∴DF＝AF?AD＝2.5?2＝0.5；設(shè)OA＝OB＝x，則AB＝2x，BE＝x?a，∵點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，∴BD＝2BE＝2x?2a，∵點(diǎn)D是線段AO的中點(diǎn)，∴AD＝12AO＝12∴AB＝AD＋BD＝12x＋2x?2a＝52x?2∴OB＝12AB＝54x?a，即54x?a解得x＝4a，即AE＝AO＋OE＝x＋a＝5a，∵點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，∴EF＝12AE＝52∴OF＝EF?OE＝52a?a＝32故答案為：0.5；32a18．（2022春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：①PQ=MB；②PM=12(AM?MC)；③PQ=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AM=BM=12AB，AP=CP=【解題過(guò)程】解：∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，∴AM=BM=1∵P是AC中點(diǎn)，∴AP=CP=1∵點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)，∴CQ=BQ=1對(duì)于①：PQ=PC+CQ=1對(duì)于②：PM=AM?AP=1PM=AM?AP=1對(duì)于③：PQ=PC+而12故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：12MQ=MC+CQ=(AC?AM)+1故答案為：①②④．19．（2022春·天津和平·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)Q在線段AP上，其中PQ＝10，第一次分別取線段AP和AQ的中點(diǎn)P1，Q1，得到線段P1Q1，則線段P1Q1＝_____；再分別取線段AP1和AQ1的中點(diǎn)P2，Q2，得到線段P2Q2；第三次分別取線段AP2和AQ2的中點(diǎn)P3，Q3，得到線段P3Q3；連續(xù)這樣操作2021次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+P2021Q2021＝_____．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段中點(diǎn)定義分別求出P1【解題過(guò)程】解：∵線段AP和AQ的中點(diǎn)為P1，Q1，∴AP∵AP>AQ，∴P1Q1＝AP∵線段AP1和AQ1的中點(diǎn)為P2，Q2，∴AP∴P2同理：P3Q3∴P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+P2021Q2021=12=10×(設(shè)S=1則12①-②得12∴S=1?1∴P1Q1+P2Q2+P3Q3+…+P2021Q2021=10×(1?1故答案為：5，10?1020．（2022春·湖北荊州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段MP,NP組成一條折線M?P?N，若該折線M?P?N上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”已知D是折線A?C?B的“折中點(diǎn)”，E為線段AC的中點(diǎn)，CD=3,CE=5，則線段BC的長(zhǎng)為_(kāi)________．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分兩種情況畫圖解答即可．【解題過(guò)程】解：①如圖，CD=3，CE=5，∵點(diǎn)D是折線A-C-B的“折中點(diǎn)”，∴AD=DC+CB，∵點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，∴AE=EC=12AC∴AC=10，∴AD=AC-DC=7，∴DC+CB=7，∴BC=4；②如圖，CD=3，CE=5，∵點(diǎn)D是折線A-C-B的“折中點(diǎn)”，∴BD=DC+CA，∵點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，∴AE=EC=12AC∴AC=10，∴AC+DC=13，∴BD=13，∴BC=BD+DC=16．綜上所述，BC的長(zhǎng)為4或16．故答案為4或16．21．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，若將∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OE平分∠BOC，則∠DOE【思路點(diǎn)撥】分情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過(guò)180°時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過(guò)180°，不超過(guò)360°時(shí)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖，利用角之間的關(guān)系計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度不超過(guò)180°時(shí)，如圖：∴∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOE=∠COD+∠COE，∵∠COD=12∠AOB，OE∴∠BOE=∠COE，∠AOC=2∠COD+2∠COE=∴∠AOC=2∠DOE．當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度超過(guò)180°，不超過(guò)360°時(shí)，如圖，∴∠AOC=360°?∠AOB+∠BOC∠DOE=∠COD+∠COE，∵∠COD=12∠AOB，OE∴∠BOE=∠COE，2∠DOE=2∠COD+2∠COE=∴∠AOC=360°?2∠DOE．22．（2022春·云南紅河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠AOB＝80°，射線OC在∠AOB內(nèi)部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射線OE、OF分別平分∠BOC、∠COD，則∠EOF的度數(shù)是______．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出圖形，再分OD在∠AOB內(nèi)和OD在∠AOB外，根據(jù)角的和差關(guān)系、角平分線的定義可求∠EOF的度數(shù)．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，OD在∠AOB內(nèi)，∵∠AOB=80°，∠AOC=20°,∴∠BOC=60°，∵射線OE平分∠BOC，∴∠EOC=30°，∵射線OF平分∠COD，∠COD=50°，∴∠FOC=25°，∴∠EOF=5°；（2）如圖2，OD在∠AOB外，∵∠AOB=80°，∠AOC=20°,∴∠BOC=60°，∵射線OE平分∠BOC，∴∠EOC=30°，∵射線OF平分∠COD，∠COD=50°，∴∠FOC=25°，∴∠EOF=55°.則∠EOF的度數(shù)是5°或55°.故答案為：5°或55°.23．（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．若∠AOB=60°，且射線OC是∠AOB的“巧分線”，則∠AOC的度數(shù)為_(kāi)_____．【思路點(diǎn)撥】分①∠AOB=2∠AOC，②∠AOB=2∠BOC，③∠AOC=2∠BOC，④∠BOC=2∠AOC四種情況，再根據(jù)角的和差進(jìn)行計(jì)算即可得．【解題過(guò)程】解：由題意，分以下四種情況：①當(dāng)∠AOB=2∠AOC時(shí)，射線OC是∠AOB的“巧分線”，∵∠AOB=60°，∴∠AOC=1②當(dāng)∠AOB=2∠BOC時(shí)，射線OC是∠AOB的“巧分線”，∵∠AOB=60°，∴∠BOC=1∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=30°；③當(dāng)∠AOC=2∠BOC時(shí)，射線OC是∠AOB的“巧分線”，∵∠AOB=60°，∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠AOC+1解得∠AOC=40°；④當(dāng)∠BOC=2∠AOC時(shí)，射線OC是∠AOB的“巧分線”，∵∠AOB=60°，∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠AOC+2∠AOC=60°，解得∠AOC=20°；綜上，∠AOC的度數(shù)為20°或30°或40°，故答案為：20°或30°或40°．24．（2022春·江西吉安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=90°，∠AOC=20°，∠COD=50°，∠BOD﹥45°，則∠BOD的度數(shù)為_(kāi)_____．【思路點(diǎn)撥】分當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部時(shí)，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，OD在∠AOB外部時(shí)，三種情況畫出圖形求解即可．【解題過(guò)程】解：如圖1所示，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=30°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°；如圖2所示，當(dāng)OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部時(shí)，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=70°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=160°；如圖3所示，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部，OD在∠AOB外部時(shí)，∵∠AOC=20°，∠COD=50°，∴∠AOD=30°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=120°；綜上所述，∠BOD的度數(shù)為60°或120°或160°．25．（2022春·湖南·七年級(jí)期末）如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)O是直線AC上一點(diǎn)，∠AOB=60°，射線OC不動(dòng)，射線OA，OB同時(shí)開(kāi)始繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OA首次回到起始位置時(shí)兩線同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OA，OB的轉(zhuǎn)動(dòng)速度分別為每秒40°和每秒20°．若轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線OA，OB，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可知，在第t秒時(shí)，射線OA轉(zhuǎn)過(guò)的角度為40°t，射線OB轉(zhuǎn)過(guò)的角度為20°t,然后按照OA、OB、OC三條射線構(gòu)成相等的角分三種情況討論：①當(dāng)OA平分∠BOC；②當(dāng)OC平分∠AOB；③當(dāng)OB平分∠AOC，分別列方程即可求出t的值．【解題過(guò)程】解：根據(jù)題意，在第t秒時(shí)，射線OA轉(zhuǎn)過(guò)的角度為40°t，射線OB轉(zhuǎn)過(guò)的角度為20°t,①當(dāng)OA，OB轉(zhuǎn)到OA′，OB′的位置時(shí)，如圖①所示，∠A′OC=∠A′OB′，∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，∴180°-40°t=20°t-60°，即t=4；②當(dāng)OA，OB轉(zhuǎn)到OA′，OB′的位置時(shí)，如圖②所示，∠A′OC=∠B′OC，∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，∴40°t-180°=120°-20°t，即t=5；③當(dāng)OA，OB轉(zhuǎn)到OA′，OB′的位置時(shí)，如圖③，∠B′OC=∠A′OB′，∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=12∠A′OC=12(180°-∠AOA′)=∴20°t-120°=20°t-90°，此時(shí)方程不成立．綜上所述：t的值為4或5．故答案：4或5．26．（2022春·安徽合肥·七年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期末）在同一平面內(nèi)．O為直線AB上一點(diǎn)．射線OE將平角∠AOB分成∠AOE、∠BOE兩部分．已知∠BOE=α．OC為∠AOE的平分線．∠DOE=90°．則∠COD=______（用含有α的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】分兩種情況：射線OD、OE在直線AB的同側(cè)；射線OD、OE在直線AB的異側(cè)；利用角平分線的定義、互補(bǔ)、角的和差關(guān)系即可求得結(jié)果．【解題過(guò)程】解：①當(dāng)射線OD、OE在直線AB的同側(cè)時(shí)，如圖所示∵OC為∠AOE的平分線∴∠1=∠2∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=α∴∠AOE=180°?α∴∠1=∠2=∴∠COD=∠DOE+∠1=90°+90°?②當(dāng)射線OD、OE在直線AB的異側(cè)時(shí)，如圖所示∵OC為∠AOE的平分線∴∠1=∠2∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=α∴∠AOE=180°?α∴∠1=∠2=∴∠COD=∠DOE?∠1=90°?綜上所述，∠COD=12α或故答案為：12α27．（2022春·重慶·七年級(jí)重慶八中?？计谀┢矫鎯?nèi)，∠AOB=120°，C為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，射線OD平分∠MON，當(dāng)∠AOC?2∠COD=30°時(shí)，∠AOC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義和角的運(yùn)算，分射線OD在∠AOC外部和射線OD在∠AOC內(nèi)部求解即可．【解題過(guò)程】解：∵射線OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠∴∠MON=∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∵射線OD平分∠MON，∴∠MOD=12∠MON若射線OD在∠AOC外部時(shí)，如圖1，則∠COD=∠MOD－∠MOC=30°－12∠AOC即2∠COD=60°－∠AOC，∵∠AOC?2∠COD=30°∴2∠AOC?60解得：∠AOC=45°或15°；若射線OD在∠AOC內(nèi)部時(shí)，如圖2，則∠COD=∠MOC－∠MOD=12∠AOC∴2∠COD=∠AOC－60°，即∠AOC－2∠COD=60°，不滿足∠AOC?2∠COD=30°綜上，∠AOC=45°或15°，故答案為：45°或15°．28．（2022春·重慶·七年級(jí)校聯(lián)考