矩陣及其操作

關(guān)于矩陣及其操作第2章矩陣及其操作2.1數(shù)據(jù)類型2.2變量及其操作2.3矩陣基礎(chǔ)2.4矩陣運(yùn)算2.5矩陣的基本操作第2頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.1數(shù)據(jù)類型MATLAB有15種基本數(shù)據(jù)類型，每種基本數(shù)據(jù)類型均以數(shù)組/矩陣的形式出現(xiàn)。

1.數(shù)值類型

2.邏輯類型

3.字符和字符串類型

4.結(jié)構(gòu)體類型第3頁,共75頁，2024年2月25日，星期天1.數(shù)值類型

（1）整數(shù)（2）浮點(diǎn)數(shù)（3）復(fù)數(shù)（4）Inf

（5）NaN第4頁,共75頁，2024年2月25日，星期天（1）整數(shù)類型MATLAB支持1、2、4和8字節(jié)的有符號(hào)整數(shù)和無符號(hào)整數(shù)。第5頁,共75頁，2024年2月25日，星期天（2）浮點(diǎn)數(shù)類型MATLAB有單精度和雙精度兩種浮點(diǎn)數(shù)。第6頁,共75頁，2024年2月25日，星期天（3）復(fù)數(shù)類型復(fù)數(shù)包含實(shí)部和虛部，用i或者j表示虛部。生成復(fù)數(shù)有兩種方法：>>z=3+4iz=3.0000+4.0000i>>complex(3,4)ans=3.0000+4.0000i>>helpcomplex第7頁,共75頁，2024年2月25日，星期天（4）Inf和NaNInf和-Inf分別表示正無窮大和負(fù)無窮。NaN（NotaNumber）表示一個(gè)既不是實(shí)數(shù)也不是復(fù)數(shù)的值。第8頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2．邏輯類型在MATLAB中邏輯類型包含true和false，分別由1和0表示。函數(shù)logical將任何非零的數(shù)值轉(zhuǎn)換為true（即1），將數(shù)值0轉(zhuǎn)換為false（即0）。第9頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.字符和字符串類型在MATLAB中，數(shù)據(jù)類型（char）表示一個(gè)字符;一個(gè)char類型的1

n數(shù)組稱為字符串string。第10頁,共75頁，2024年2月25日，星期天4．結(jié)構(gòu)體類型結(jié)構(gòu)體類型是一種由若干屬性（field）組成的MATLAB數(shù)組，其中的每個(gè)屬性可以是任意數(shù)據(jù)類型。結(jié)構(gòu)體數(shù)組的創(chuàng)建及操作將在第4章里面進(jìn)行詳細(xì)的介紹。第11頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.2變量及其操作變量變量名以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列;變量名區(qū)分字母的大小寫。賦值變量=表達(dá)式

>>num_students=25num_students=25>>x=1+2i,y=3-sqrt(17),z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))x=1.0000+2.0000iy=-1.1231z=-0.3488+0.3286i第12頁,共75頁，2024年2月25日，星期天特殊變量(預(yù)定義變量)在MATLAB工作空間中，還駐留幾個(gè)由系統(tǒng)本身定義的變量。預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡量避免對(duì)這些變量重新賦值。第13頁,共75頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)存變量的管理利用MATLAB工作空間窗口可實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)存變量的查看、修改、保存、刪除、導(dǎo)出及畫圖等操作。利用clear命令可刪除工作空間中的變量。利用who和whos命令可分別用于顯示在工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。who命令只顯示出駐留變量的名稱whos在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等詳細(xì)信息。第14頁,共75頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)存變量的保存與載入mat文件利用mat文件可以把當(dāng)前工作空間中的一些有用變量長久地保留下來，擴(kuò)展名是.mat。mat文件的生成和裝入分別由save和load命令來完成。save文件名變量名表

load文件名變量名表>>savedataxyz>>clear>>loaddataz第15頁,共75頁，2024年2月25日，星期天對(duì)load和save命令的一點(diǎn)說明save文件名變量名表

load文件名變量名表文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名.mat，命令隱含一定對(duì).mat文件進(jìn)行操作。變量名表中的變量個(gè)數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時(shí)，保存或裝入全部變量。更多內(nèi)容，請>>

helpsave>>

helpload第16頁,共75頁，2024年2月25日，星期天在MATLAB中，所有的數(shù)據(jù)均以二維、三維或高維矩陣的形式存儲(chǔ)，每個(gè)矩陣的單元可以是數(shù)值類型、邏輯類型、字符類型或者其他任何數(shù)據(jù)類型。對(duì)于標(biāo)量，可以用1

1矩陣來表示；對(duì)于一組n個(gè)數(shù)據(jù)，可以用1

n矩陣來表示；對(duì)于多維數(shù)組，可以用多維矩陣來表示。2.3矩陣基礎(chǔ)第17頁,共75頁，2024年2月25日，星期天1.矩陣的索引A(i,j)—第i行、第j列的元素A(i,:)—第i行的全部元素A(:,j)—第j列全部元素A(i:i+m,:)—第i～i+m行的全部元素A(:,k:k+m)—第k～k+m列的全部元素A(i:i+m,k:k+m)—第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素還可利用一般向量和end運(yùn)算符來表示矩陣下標(biāo)，end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。2.3矩陣基礎(chǔ)第18頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.矩陣的創(chuàng)建在命令窗口直接輸入矩陣的各個(gè)元素>>A=[163213;510118;96712;415141]A=16321351011896712415141通過load命令載入數(shù)據(jù)文件>>loadmymatrix.txt>>mymatrixmymatrix=16321351011896712415141Matlab內(nèi)在函數(shù)（特殊矩陣）利用m文件創(chuàng)建第19頁,共75頁，2024年2月25日，星期天特殊矩陣生成函數(shù)第20頁,共75頁，2024年2月25日，星期天特殊矩陣生成函數(shù)第21頁,共75頁，2024年2月25日，星期天特殊矩陣生成函數(shù)>>B=magic(4)B=16231351110897612414151>>A=B(:,[1324])A=16321351011896712415141A=163213510118967 12415141第22頁,共75頁，2024年2月25日，星期天利用冒號(hào)表達(dá)式產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：e1:e2:e3>>1:10ans=12345678910>>100:-7:50ans=10093867972655851用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：linspace(a,b,n)

>>linspace(0,100,6)ans=020406080100用logspace函數(shù)產(chǎn)生行向量，調(diào)用格式：logspace(a,b,n)>>logspace(-2,2,6)ans=0.01000.06310.39812.511915.8489100.0000向量的創(chuàng)建第23頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.矩陣的合并把兩個(gè)或者兩個(gè)以上的矩陣連接成一個(gè)新矩陣。矩陣構(gòu)造符[]可用于構(gòu)造矩陣，并可以作為一個(gè)矩陣合并操作符。C=[AB]在水平方向合并矩陣A和B；C=[A;B]在豎直方向合并矩陣A和B。第24頁,共75頁，2024年2月25日，星期天

具有相同行數(shù)的兩個(gè)矩陣，合并為一個(gè)新矩陣

不具有相同行數(shù)的兩個(gè)矩陣，不允許合并為一個(gè)新矩陣

3.矩陣的合并第25頁,共75頁，2024年2月25日，星期天矩陣合并函數(shù)3.矩陣的合并第26頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.矩陣的合并>>A=[163213;510118;96712;415141]>>B=[AA+32;A+48A+16]B=16321348353445510118374243409671241383944415141364746336451506132191829535859562126272457545560252223285263624920313017A=163213510118967 12415141第27頁,共75頁，2024年2月25日，星期天4.矩陣的擴(kuò)展A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>B=A;B(4,5)=17B=16321305101180967120415141

17>>A(end+1,:)=18A=1632130510118096712041514117

1818181818第28頁,共75頁，2024年2月25日，星期天5.刪除矩陣的行、列>>A(end,:)=[]A=1632130510118096712041514117>>A(:,end)=[]A=16321351011896712415141A=1632130510118096712041514117

1818181818第29頁,共75頁，2024年2月25日，星期天6.改變矩陣結(jié)構(gòu)第30頁,共75頁，2024年2月25日，星期天7.基于列的操作規(guī)則在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依此類推。

陣列中的每列數(shù)據(jù)代表一個(gè)變量，每一行代表一個(gè)觀察者，第（i，j）個(gè)要素是第i個(gè)觀察者的第j個(gè)變量。對(duì)5個(gè)人的3個(gè)身體指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄Data=[72134328120135691567182148247517012];第31頁,共75頁，2024年2月25日，星期天7.基于列的操作規(guī)則例子

>>A=[163213;510118;96712;415141]A=163213510118

96712415141>>a3=A(3),a5=A(5)a3=

9a5=

3序號(hào)(Index)與下標(biāo)(Subscript)一一對(duì)應(yīng)，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。第32頁,共75頁，2024年2月25日，星期天>>sum(Data)ans=37908090174>>mean(Data)ans=758161834800>>max(Data)ans=820201071Data=[72134328120135691567182148247517012];7.基于列的操作規(guī)則

第33頁,共75頁，2024年2月25日，星期天基于列操作規(guī)則的函數(shù)max-最大值min-最小值mean-平均值median-中值std-標(biāo)準(zhǔn)差var-方差sort-升序排列sortrows-按行的升序排列sum-求和prod-求積hist-直方圖histc-直方圖計(jì)數(shù)trapz-梯形數(shù)值積分cumsum-元素的累積求和cumprod-元素的累積求積cumtrapz-累計(jì)梯形數(shù)值積分基本操作有限差分

diff-微分和導(dǎo)數(shù)

gradient-梯度

del2-離散拉普拉斯算子相關(guān)性分析

corrcoef-相關(guān)系數(shù)

cov-協(xié)方差矩陣

subspace-子空間的夾角

濾波和卷積filter-一維數(shù)字濾波器

filter2-二維數(shù)字濾波器

conv-卷積和多項(xiàng)式乘法

conv2-二維卷積

convn-N維卷積

deconv-反卷積和多項(xiàng)式除法運(yùn)算

detrend-去除線性趨勢第34頁,共75頁，2024年2月25日，星期天基于列操作規(guī)則的函數(shù)傅里葉變換

fft-離散傅里葉變換

fft2-二維離散傅立葉變換

fftn-N維離散傅里葉變換

ifft-逆離散傅立葉變換

ifft2-二維逆離散傅立葉變換

ifftn-N維離散傅里葉逆變換

fftshift-移零頻率分量的頻譜中心

ifftshift-逆FFTSHIFT第35頁,共75頁，2024年2月25日，星期天8.矩陣的下標(biāo)引用通過矩陣下標(biāo)來存取矩陣元素。1)訪問單個(gè)元素2)線性引用元素3)訪問多個(gè)元素第36頁,共75頁，2024年2月25日，星期天1)訪問單個(gè)元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1A（i，j）i——行號(hào)；j——列號(hào)。>>A(1,4)+A(2,4)+A(3,4)+A(4,4)ans=34第37頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.線性引用元素對(duì)于矩陣A，線性引用元素的格式為A(k)。通常這樣的引用用于行向量或列向量，但也可用于二維矩陣。MATLAB按列優(yōu)先排列的一個(gè)長列向量格式（線性引用元素）來存儲(chǔ)矩陣元素。A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(6)ans=10第38頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.訪問多個(gè)元素操作符“：”可用來獲取矩陣的多個(gè)元素。若A是二維矩陣，其主要用法如下：

A(:,:)矩陣A的所有元素

A(i,:)矩陣A第i行的所有元素

A(i,k1:k2)矩陣A第i行的自k1到k2列的所有元素

A(:,j)矩陣A第j列的所有元素

A(k1:k2,j)返回矩陣A第j列的自k1到k2行的所有元素A=16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1>>A(3,:)ans=???第39頁,共75頁，2024年2月25日，星期天9.邏輯下標(biāo)x=[2.11.71.61.5NaN1.91.81.55.11.81.42.21.61.8];>>index=isfinite(x)index=1111011111111>>x(index)ans=2.11.71.61.51.91.81.55.11.81.42.21.61.8>>x=x(isfinite(x))x=2.11.71.61.51.91.81.55.11.81.42.21.61.8>>x=x(abs(x-mean(x))<=3*std(x))x=2.11.71.61.51.91.81.51.81.42.21.61.8刪除離群點(diǎn)刪除異常點(diǎn)第40頁,共75頁，2024年2月25日，星期天find函數(shù)尋找滿足特定邏輯條件的數(shù)組元素的索引>>k=find(isprime(A))'k=259101113>>A(k)ans=

53211713>>A(k)=NaNA=16NaN

NaN

NaN

NaN10NaN896NaN12415141A=163

2

13

510118967 12415141第41頁,共75頁，2024年2月25日，星期天10.矩陣信息的獲取1)矩陣的尺寸2)元素的數(shù)據(jù)類型3)矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第42頁,共75頁，2024年2月25日，星期天1）矩陣的尺寸矩陣尺寸函數(shù)可以得到矩陣的形狀和大小信息。第43頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2）元素的數(shù)據(jù)類型查詢元素?cái)?shù)據(jù)類型信息。第44頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3）矩陣元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)判斷矩陣是否為某種指定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第45頁,共75頁，2024年2月25日，星期天11.稀疏矩陣1）稀疏矩陣的創(chuàng)建2）稀疏矩陣的查看3）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則第46頁,共75頁，2024年2月25日，星期天若一個(gè)矩陣只有少數(shù)的元素非零，稱為稀疏矩陣。稀疏矩陣用非零元素及其對(duì)應(yīng)的下標(biāo)來表示。用戶可以創(chuàng)建雙精度、復(fù)數(shù)和邏輯等類型的稀疏矩陣。

11.稀疏矩陣第47頁,共75頁，2024年2月25日，星期天1）稀疏矩陣的創(chuàng)建函數(shù)sparse可用于創(chuàng)建稀疏矩陣

S=sparse(i,j,s,m,n)i,j——稀疏矩陣非零元素的行和列下標(biāo)s——相應(yīng)的非零元素的值m,n——是矩陣的行數(shù)和列數(shù)函數(shù)sparse從滿矩陣轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣；函數(shù)full從稀疏矩陣轉(zhuǎn)化為滿矩陣。第48頁,共75頁，2024年2月25日，星期天其它用于創(chuàng)建特殊稀疏矩陣的函數(shù)第49頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2）稀疏矩陣的查看MATLAB提供一些函數(shù)用于查看稀疏矩陣的信息，如下表所示。第50頁,共75頁，2024年2月25日，星期天MATLAB自帶一個(gè)的稀疏矩陣west0479。2）稀疏矩陣的查看第51頁,共75頁，2024年2月25日，星期天第52頁,共75頁，2024年2月25日，星期天第53頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3）稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則絕大多數(shù)適用于滿陣的各種命令和函數(shù)都可以用于稀疏矩陣的運(yùn)算，并且遵循如下約定：把矩陣變?yōu)闃?biāo)量或者定長向量的函數(shù)總是給出滿矩陣；對(duì)于標(biāo)量或者定長向量變換到矩陣的函數(shù)，如函數(shù)zeros、ones、eye、rand等總是給出滿矩陣；從矩陣到矩陣的變換函數(shù)將以原矩陣的形式出現(xiàn)；在參與矩陣擴(kuò)展的子矩陣（如[AB;CD]）中，只要有一個(gè)是稀疏矩陣，那么所得的結(jié)果也是稀疏矩陣；在矩陣引用中，將仍以原矩陣形式給出結(jié)果。

第54頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.4矩陣運(yùn)算矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。1.算術(shù)運(yùn)算

基本算術(shù)運(yùn)算：＋(加)－(減)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)第55頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.4矩陣運(yùn)算矩陣的運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算、點(diǎn)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算、邏輯運(yùn)算。1.算術(shù)運(yùn)算

基本算術(shù)運(yùn)算：＋(加)－(減)*(乘)/(右除)\(左除)^(乘方)第56頁,共75頁，2024年2月25日，星期天加減法運(yùn)算語法：A+B語法：A-B>>A+A'ans=32811178201723111714261723262>>A-A'ans=0-2-79205-77-50-2-9720注意：矩陣A和B矩陣的維數(shù)須相同。第57頁,共75頁，2024年2月25日，星期天語法：A*B

>>A*A'ans=438236332150236310278332332278310236150332236438注意：矩陣A和B矩陣的維數(shù)有要求，兩矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則A*B為m×p矩陣。矩陣乘法第58頁,共75頁，2024年2月25日，星期天矩陣除法在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：\和/，分別表示左除和右除。對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如：若a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.15]。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是A-1*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*A-1。對(duì)于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。第59頁,共75頁，2024年2月25日，星期天矩陣與標(biāo)量的運(yùn)算>>B=A-8.5B=7.5-5.5-6.54.5-3.51.52.5-0.50.5-2.5-1.53.5-4.56.55.5-7.5>>C=A*2C=3264261020221618121424830282A=163213510118967 12415141第60頁,共75頁，2024年2月25日，星期天矩陣的乘方語法：A^n>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A^2ans=341285261269261301309285285309301261269261285341要求：A為方陣，n為標(biāo)量，不一定為整數(shù)。第61頁,共75頁，2024年2月25日，星期天2.點(diǎn)運(yùn)算在MATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*./.\.^兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維數(shù)相同。第62頁,共75頁，2024年2月25日，星期天點(diǎn)乘>>A*Aans=341285261269261301309285285309301261269261285341>>A.*Aans=256941692510012164813649144162251961A=163213510118967 12415141第63頁,共75頁，2024年2月25日，星期天點(diǎn)乘方>>pows=[nn.^22.^n]pows=001112244398416165253263664749128864256981512>>n=(0:9)'n=0123456789第64頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.關(guān)系運(yùn)算MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：<(小于)<=(小于或等于)>(大于)>=(大于或等于)==(等于)～=(不等于)第65頁,共75頁，2024年2月25日，星期天3.關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則：當(dāng)兩個(gè)標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。當(dāng)兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣進(jìn)行比較時(shí)，對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行比較，最終的關(guān)系運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與所比較的矩陣維數(shù)相同的由0或1組成矩陣。當(dāng)一個(gè)矩陣和一個(gè)標(biāo)量進(jìn)行比較時(shí)，則對(duì)矩陣的每一個(gè)元素與標(biāo)量按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行比較，最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與矩陣相同的由0或1組成矩陣。第66頁,共75頁，2024年2月25日，星期天4.邏輯運(yùn)算MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與)and|(或)or～(非)not(異或）xor邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則：非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么：

a&ba,b都為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0