2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修二 6.4 平面向量的應(yīng)用 同步練習(xí)(附答案解析)

2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修二6.4平面向量的應(yīng)用同步練習(xí)一、選擇題1．在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，則cA．7 B．7 C．19 D．192．在△ABC中，已知b2+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=42，則△ABC的面積為（）A．23 B．33 C．22 D．424．在△ABC中，若B=3A，則bA．(1，2) B．(2，5．海洋洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD=60m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°A．303m B．602m C．6．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c?b=2bcosA.若λA．(?∞，22] B．(?∞7．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1，BC=2，且點(diǎn)M在AB線段上，且滿足A．?1 B．?45 C．?38．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E為AD上一點(diǎn)，BE⊥AC，若BA=A．15 B．725 C．169．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若sin(A+CA．[233，+∞) B．[10．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，∠ADB=∠EDC=α，則A．32 B．33 C．23二、多項選擇題11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，cA．若A=2π3，a=3，AB邊上的高為3B．若a=3，b=1，B=π6C．若A=2C，sinB=2sinCD．若tanA+tanB+12．在△ABC中，A=A．若BC=2，則B．若AC=3，則C．若△ABC的面積S=D．若△ABC為銳角三角形，則13．在△ABC中，|A．若AB?AC=1，則B．若AB?ACC．若tanA=34D．若|AB|=2|14．在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD=λA．若λ=1B．若λ=1C．若λ∈[D．若λ∈[15．窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若函數(shù)f(x)=B．PA?PBC．AG在AB方向上的投影向量為?D．OA三、填空題16．海倫不僅是古希臘的數(shù)學(xué)家，還是一位優(yōu)秀的測繪工程師，在他的著作《測地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式S=p(p?a)(p?b)(p?c)（其中p=12(17．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上（不含端點(diǎn)），∠ABC=120°，BD=2，AB=BC，AD218．在△ABC中，若AC=2，B=π3，且sinA19．在△ABC中，B=60°，BA=2，CD=3BC，對任意u∈R，有|CA?(μ?1)BC|20．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且3asinBcosC+bcosB+ccosC=021．在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，0)，B(1，2)兩點(diǎn)繞定點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)四、解答題22．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且asin（1）求角A的大??；（2）若b=4，△ABC的面積S=23，求△ABC23．在ΔABC中，B=π3，點(diǎn)D在邊AB上，BD=1（1）若ΔBCD的面積為3，求CD（2）設(shè)∠DCA=θ，若AC=3，求24．在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，其中b=2．（1）若A+C=120°，a=2c，求邊長c；（2）若A-C=15°，a=2csinA，求△ABC的面積．25．在△ABC中，點(diǎn)P為△（1）若點(diǎn)P在邊BC上，且BP=13PC，用AB，（2）若點(diǎn)P是△ABC①求證：PA+②若35sinA?PA26．某公司競標(biāo)得到一塊地，如圖1，該地兩面臨湖（BC，CD面臨湖），AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30（1）求BC，CD的長；（2）該公司重新設(shè)計臨湖面，如圖2，BD是以BD為直徑的半圓，P是BD上一點(diǎn)，BP，PD是一條折線觀光道，已知觀光道每米造價300元，若該公司預(yù)計用88000元建觀光道，問預(yù)算資金是否充足?27．某城市計劃新修一座城市運(yùn)動主題公園，該主題公園為平面五邊形ABCDE（如圖所示），其中三角形ABE區(qū)域為兒童活動場所，三角形BCD區(qū)域為文藝活動場所，三角形BDE區(qū)域為球類活動場所，AB，BC，CD，DE，條件①：cos∠DBE=條件②：∠CDE=120注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（1）求BD的長度；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求BE的長度；（3）在（2）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使兒童活動場所（即三角形ABE）的面積最大？28．如圖，樹人中學(xué)在即將投入使用的新校門旁修建了一條專門用于跑步的紅色跑道，跑道由三部分組成：第一部分為曲線段ABCQ，該曲線段可近似看作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0（1）求曲線段ABCQ的解析式；（2）若新校門位于圖中的B點(diǎn)，其離AE的距離為1.5千米，一學(xué)生準(zhǔn)備從新校門筆直前往位于O點(diǎn)的立德樓，求該學(xué)生走過的路BO的長；（3）若點(diǎn)P在劣弧DE上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OE和線段OD上，NP//OM，且PM⊥x軸.若梯形OMPN區(qū)域為學(xué)生的休息區(qū)域，記∠POE=θ，設(shè)學(xué)生的休息區(qū)域OMPN的面積為S，求S29．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(sinA（1）求角A；（2）若a=27，b＝4，求△30．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2a（1）求A；（2）點(diǎn)D在邊BC上，且BD=3DC，AD=4，求△ABC

答案解析部分1．答案:A解析：在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°

由余弦定理得c2=a2+b2-2ab2．答案:C解析：由余弦定理知b2+c2?a2=2bccosA，又b2+c2?a2=bc，∴cosA=12，∴A=π3，

由2cosBsinC=sin3．答案:D解析：如圖：

易知在?ACD中由正弦定理知ADAC=sin∠ACBsin∠ADC=sin∠ACBsin∠ADB=32，設(shè)AC=2m，AD=3m

在?ABD和?ABC由余弦定理得cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=AB2+B4．答案:C解析：由正弦定理可得ba=sinBsinA=sin3AsinA=sinA+2AsinA=sinAcos2A+cosAsin2A5．答案:D解析：在△BCD中，∠DCB=∠DCA+∠ACB=135°，∠CBD=180°-∠DCB+∠CDB=30°，

由正弦定理DCsin∠CBD=BDsin∠DCB，可得BD=DCsin∠DCBsin∠CBD=60×2212=602（m），

在△ACD中，∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°，∠CAD=180°-∠ADC+∠DCA6．答案:C解析：解：∵c-b=2bcosA，

∴sinC-sinB=2sinBcosA，

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴可得sinAcosB-sinBcosA=sinB，

即sinA-B=sinB，

∵角A，B，C均為銳角，

∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B，

∴cosC-B=cosπ-4B=-cos4B=-cos2A=2sin2A-1，

∵角A，B，C均為銳角，

∴0＜2B＜π20＜π-3B＜π2

∴π6＜B＜π4，

7．答案:C解析：在△ABC中由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=1+4+2=7，∴AB=7，

cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=5714，

設(shè)CM=BM=x，

在△MBC中由余弦定理得cosB=BM2+BC2-MC22BM·BC=x2+4-x24x=5714，解得x=275，

∴S8．答案:D解析：解：由題意可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則B0，0，A0，3，C4，0，

則BA→=0，3，AC→=4，-3，

設(shè)BE→=a，3，

因為BE⊥AC，

所以BE→·AC→=0，

所以4a-9=0，9．答案:C解析：解：因為sin(A+C)=2Sb所以sinB=acsin所以b2=a可得c?2acos再由正弦定理得sinC?2因為sinC?2所以sin(B?A)=sinA，所以B?A=A得B=2A或B=π（舍去）.

因為△ABC是銳角三角形，則0<A<π20<2A<π20<π所以tan可知y=t+13t在(所以y=t+13t的取值范圍為(23故答案為：C.分析sin(A+C)=2Sb2?a2結(jié)合面積公式，可得出b2=a10．答案:D解析：設(shè)CE=m，則AE=3m，AB=2m，AC=4m，

在△ABC中，由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，則sinB=ACABsinC=2sinC，

在△ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsinB，即2msinα=ADsinB，

在△CDE中，由正弦定理可得CEsin∠EDC=DEsinC，即msinα=DEsinC，

整理得：2=ADsinBDEsinC=AD2DE，即AD=4DE，

在△ADE11．答案:A,C,D解析：對A：作AB邊上的高為CD，因為A=2在Rt△BCD中，由正弦定理可得32sin因為∠CBD∈(0，π2)所以∠BCA=π?2π3對B：因為a=3，b=1，B=π6，解得sinA=32，因為A∈(0，π)，所以A=π3或A=對C：因為A=2C，sinB=2sin又sinB=2sinC，所以sin所以sin3C=因為C∈(0，π)，sinC>0，所以2cos所以C=π6或C=5π6，當(dāng)C=5π6時，A=2C=5對D：因為tan(A+B)=所以tanA+所以tanA+因為角A，B，C最多有一個鈍角，所以tanA，因為tanAtanB因為A，B，C∈(0，π)，所以A，B，C∈(0，π故答案為：ACD.分析對A：在直角三角形中利用正弦定理求解，即可分析判斷；對B：利用正弦定理求解可判斷；對C：根據(jù)和差公式化解求得角C即可；對D：利用正切的和差公式化簡可得tanAtan12．答案:B,D解析：對A：由正弦定理ABsinC=BCsinA，可得sinC=ABsinABC=2×122=22，

因為AB>BC，則C>A=π6，可得C∈π4，π，

所以C=π4或C=3π4，故A錯誤；

對B：由余弦定理：BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+3-2×2×3×32=1，

所以BC=113．答案:A,B,D解析：對A：因為BC→=AC→-AB→，則BC→2=AC→2-2AC→·AB→+AB→2，

即4=AC→2-2+AB→2，可得AC→2+AB→2=6，

因為D為BC邊上的中點(diǎn)，則AD→=12AB→+12AC→，

可得AD→2=14AB→2+12AB→·AC→+14AC→2=14×6+12=2，即AD→14．答案:A,C,D解析：對A：因為AD=λAC(λ∈R)，λ=12，所以AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，則csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，

在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B?θ)，則asin(B?θ)=BCsin(B?θ)=CDsin∠CDB，

因為∠ADB=π?∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，

所以csinθ=asin(B?θ)，故A正確；

對C：因為S△ABD+S△BCD=S△ABC，

所以12c?BDsinθ+12a?BDsin(B?θ)=12acsinB，

則sinθa+sin(B?θ)c=sin15．答案:A,B解析：如圖，以GC為x軸，AE為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)oc=a，在△COD中，∠COD=π4由余弦定理可得a2+a2-22=2a2cosπ4，解得

∴Ca，0，G-a，0，A0，-a，B2a2，-2a2，D2a2，2a2，Px，y，AB?=2a2，2-2a16．答案:15解析：由題意可得：p=2+3+42=92，△ABC的面積S=92(92?2)(917．答案:4解析：解：設(shè)AB=BC=t(t>2)，則CD=t-2，

由余弦定理可得AD2=AB2+BD2故答案為：4分析由余弦定理求出AD18．答案:677解析：解：由正弦定理可得：bsinB=2R=所以ac=127，由余弦定理可得：所以4=(a+c)2?2×127又因為ac=127，所以a，c可以看成是一元二次方程所以(x?677)(x?2故AB=677故答案為：677或分析由正弦定理可求出ac=127，再由余弦定理可得a+c=19．答案:21解析：由|CA?(μ?1)BC|≥|AC|得|BA→?μBC→|≥|AC→|，由減法與數(shù)乘的幾何意義，AC為點(diǎn)A到BC的垂線段，得∠ACB=90°，

由BA=2，B=60°，得BC=1，AC=3，CD=3，故BD=4，

在△ABD中，由余弦定理可得∠BAD=90°，

設(shè)D關(guān)于直線AB對稱點(diǎn)為Q，連接BQ，連接CQ交AB于P，則∠DBQ=120°20．答案:2π3解析：如圖，

第一問：∵3asinBcosC+bcosB+ccosC=0∴cosB≠0，cosC≠0，

由正弦定理得3sinAsinBcosC+sinBcosB+sinAcosC=0，化簡得3sinAcosB+sinBcosCsinB+sinC21．答案:?解析：由題意的定點(diǎn)P在AA'和BB'的中垂線交點(diǎn)上，畫出如下圖：

∵AA'中點(diǎn)坐標(biāo)為2，2，直線AA'斜率為1，∴AA'中垂線方程為y-2=-1x-2，即x+y-4=0，

同理可得BB'中垂線方程為x=3，

聯(lián)立x+y-4=0x=3，解得定點(diǎn)P3，1，

又BP=B'P=1-32+2-12=5，BB'=4，∴cosθ=cos∠BPB'=B22．答案:（1）解：因為asinB+3又因為B∈(0，故sinA+3cosA=0，得到tanA=?（2）解：因為b=4，△ABC的面積S=23所以S=12bc在△ABC中，由余弦定理得a2所以a=27，故△ABC的周長為6+2解析：(1)利用正弦定理化邊為角可得tanA=?3，再結(jié)合角A的范圍可求出角A的大小；

(2)根據(jù)三角形的面積公式求出c，再利用余弦定理求出a，進(jìn)而求出△23．答案:（1）解：因為SΔBCD=3又因為B=π3，BD=1，所以在ΔBDC中，由余弦定理得，即CD2=16+1?2×4×1×（2）解：在ΔACD中，DA=DC，因為∠A=∠DCA=θ，則又AC=3，由正弦定理，有AC所以CD=3在ΔBDC中，∠BDC=2θ，由正弦定理得，CDsinB=化簡得cos因為0<θ<∵0<π2所以π2?θ解得θ=π6解析：(1)先利用面積公式可得BC=4，再利用余弦定理運(yùn)算求解；

(2)在△ACD、△BDC中，利用正弦定理整理得24．答案:（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=3cosA+sinA，∴cosA=0，又因為0<A<180°所以A=90°∵A+C=120°∴C=120°-A=120°-90°=30°，∴B=60°，∵b=2，tan∴c=（2）解：a=2csinA，則sinA=2sinCsinA，sinA>0，∴sinC=∵A-C=15°，∴C為銳角，∴C=45°，A=60°，B=75°，∴a∴a=∴S解析：(1)利用正弦定理和和差角公式進(jìn)行化簡，即可求出cosA=0，進(jìn)而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出邊c.

(2)利用正弦定理先求出sinC=22，根據(jù)25．答案:（1）解：如圖：過點(diǎn)P作PD∥CA交AB于點(diǎn)D，PE∥所以AP=AD+AE，由BP=同理AEAC=BPBC=（2）解：①如圖：延長AP交BC于點(diǎn)F，因為點(diǎn)P是△ABC的重心，所以點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且AP=2PF所以PA=?2PF，即PA+2PF=②點(diǎn)P是△ABC的重心時，由①知PA+PB所以35sinA：由正弦定理知a：b：c=sin由余弦定理得cos∠BAC=解析：（1）過點(diǎn)P作PD∥CA交AB于點(diǎn)D，PE∥BA交AC于點(diǎn)E，得四邊形ABCD為平行四邊形，再利用向量的平行四邊形法則及向量的線性運(yùn)算化簡表示AP即可；

（2）①延長AP交BC于點(diǎn)F，因為點(diǎn)P是△ABC的重心，利用重心概念及向量的線性運(yùn)算即可證明；②點(diǎn)P是△ABC的重心時，由26．答案:（1）解：因為AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30°，所以在△ABD中，∠ADB=60°，BD=200m，在△ABC中，∠ACB=60°，由正弦定理可得：AB所以100332在△DCB中，由余弦定理可得：=200故BC=CD=100（2）解：BD是以BD為直徑的半圓，P是BD上一點(diǎn)，所以∠DPB=90°，設(shè)∠PDB=α，α∈(0，所以PD+PB=200(因為α∈(0，π所以PD+PB=2002因為觀光道每米造價300元，所以該觀光道所用資金為(60000而600002解析：(1)在△ABC中，利用正弦定理求出BC=1002m，在△DCB中，利用余弦定理求BC=CD=1002m；

(2)設(shè)∠PDB=α，α∈(27．答案:（1）解：在△BCD中，由余弦定理得：BD2（2）解：若選條件①，由（1）知：BD=6，在△BDE中，由余弦定理得：D解得：BE=?145（舍）或BE=10，若選條件②，∵BC=CD，∠BCD=12