新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案8-6-2第1課時(shí)直線與平面垂直的判定

8．6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定[目標(biāo)]1.掌握直線與平面垂直的定義；2.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能應(yīng)用判定定理證明直線和平面垂直．[重點(diǎn)]直線與平面垂直的證明．[難點(diǎn)]對(duì)直線與平面垂直定義的理解；對(duì)直線與平面所成角定義的理解．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義[填一填]1．如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．2．過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條．[答一答]1．如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，l與α垂直嗎？提示：不一定．若平面內(nèi)的無數(shù)條直線是平行的，則直線l與平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直線l在平面內(nèi)．2．“任何直線”、“所有直線”、“無數(shù)條直線”表達(dá)的是同一意思嗎？提示：“任何直線”與“所有直線”的意義相同，但與“無數(shù)條直線”不同，“無數(shù)條直線”僅是“任何直線”中的一部分．3．若l⊥α，a為平面α內(nèi)的任一條直線，則l與a是否垂直？提示：垂直，由直線和平面垂直的定義可知，直線和平面內(nèi)的所有直線都垂直，這也是證明兩條直線垂直的一種方法．知識(shí)點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理[填一填]1．文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．2．圖形語言：如右圖所示．符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.[答一答]4．如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？為什么？提示：無法判斷這條直線和這個(gè)平面是否垂直．因?yàn)楫?dāng)這兩條直線相交時(shí)，由判定定理可知直線和平面垂直；而當(dāng)這兩條直線相互平行時(shí)，直線和平面不一定垂直，直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行，還可能與平面斜交．5．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(C)A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC知識(shí)點(diǎn)三直線與平面所成的角[填一填]1．如右圖，一條直線l和一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．2．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．3．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．4．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.直線與平面所成角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°.[答一答]6．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角為45°解析：∵BB1⊥平面ABCD，∴∠B1AB是AB1與平面ABCD所成的角．又∠B1AB＝45°，所以AB1與平面ABCD所成的角為45°.典例講練破題型類型一直線與平面垂直的定義及判定定理[例1]下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[解析]由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當(dāng)l與平面α不垂直時(shí)，l可能與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對(duì)，④正確．[答案]D1對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.2判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.[變式訓(xùn)練1]如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(C)A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定解析：因?yàn)锽A⊥α，α∩β＝l，l?α，所以BA⊥l，同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，所以l⊥AC.類型二直線與平面垂直的證明[例2]如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本題是證線面垂直問題，要多觀察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系我們需要哪個(gè)呢？我們需要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問題得證．[證明](1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.線面垂直的判定定理實(shí)質(zhì)是由線線垂直推證線面垂直，途徑是找到一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.推證線線垂直時(shí)注意分析幾何圖形，尋找隱含條件.[變式訓(xùn)練2]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD.求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PA.又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.(2)如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以GF綉eq\f(1,2)CD，所以GF綉AE.所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以AG∥EF.因?yàn)镻A＝AD，G是PD的中點(diǎn)，所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，因?yàn)镃D⊥平面PAD，AG?平面PAD.所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.因?yàn)镻D∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.類型三直線與平面所成的角[例3]在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求直線A1C與平面ABCD(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[分析](1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)中過A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1[解](1)∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)如圖，連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角．在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟：1確定斜線與平面的交點(diǎn)斜足；2通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；3求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.[變式訓(xùn)練3]如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．解：解法1：(1)證明：如圖，連接CO，由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以CD＝eq\r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.解法2：(1)證明：因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，eq\r(3)AC＝BC，得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，則△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，所以PD⊥平面ABC.又CD?平面ABC，所以PD⊥CD.由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．下列表述正確的個(gè)數(shù)為(A)①若直線a∥平面α，直線a⊥b，則b⊥α；②若直線a?平面α，b?α，且a⊥b，則a⊥α；③若直線a平行于平面α內(nèi)的兩條直線，則a∥α；④若直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則a⊥α.A．0B．1C．2D．3解析：①中b與平面α還可能平行、斜交或b在平面α內(nèi)；②中a與平面α還可能平行或斜交；③中a還可能在平面α內(nèi)；由直線與平面垂直的判定定理知④錯(cuò)．2．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是(C)A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：連接AC，因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為eq\f(1,3).解析：連接A1C1.∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1為直線AC1與平面A1B1C1D1所成角．∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴A1C1＝2eq\r(2)，AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).4．如圖所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為4.解析：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.5．如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求直線BD與平面ACD所成角的大?。猓?1)證明：因?yàn)锽D是底面圓的直徑，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AB⊥CD.因?yàn)锳B∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.(2)如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE⊥平面ACD，所以直線BD與平面ACD所成的角為∠BDE.而BE⊥平面ACD，則BE⊥ED，即△BED為直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，則BD＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(2)，所以sin∠BDE＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，所以∠BDE＝30°.——本課須掌握的三大問題1．直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．線線垂直的判定方法：(1)異面直線所成的角是90°；(2)線面垂直，則線線垂直．3．求線面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計(jì)算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點(diǎn)與面平行的線或面)；(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法)．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂正確找出直線與平面所成的角開講啦找斜線在平面內(nèi)的射影時(shí)，不能只說斜線在平面內(nèi)的射影是哪條線，還要進(jìn)而證明其正確性，才能說明某個(gè)角就是斜線與平面所成的角．[典例]如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1[分析]抓信息，找思路．[解]取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于點(diǎn)O，連接AO，B1C由已知ABCD-A1B1C1D1又B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面AC1，D1C1∴B1C⊥平面AC1∵E，F(xiàn)分別為A1B1，CD的中點(diǎn)，∴E