電氣測(cè)量技術(shù)及信號(hào)處理：第五章 測(cè)量信號(hào)的數(shù)字化處理

第五章

測(cè)量信號(hào)的數(shù)字化處理第一節(jié)

概述

第二節(jié)

模／數(shù)轉(zhuǎn)換原理與采樣定理第三節(jié)

時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng)第四節(jié)

離散傅里葉變換和快速傅里葉變換

第五節(jié)

序列及其Z變換第六節(jié)

數(shù)字濾波器

第一節(jié)概述一、信號(hào)的分類(lèi)連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)（-∞<t<∞）有定義的信號(hào)（定義域是連續(xù)的，值域可以不連續(xù)）。離散時(shí)間信號(hào)：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)。數(shù)字信號(hào)：信號(hào)的自變量和函數(shù)值均取離散值。

3時(shí)間幅度連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)連續(xù)離散時(shí)間信號(hào)離散連續(xù)數(shù)字信號(hào)離散量化（離散）4信號(hào)處理的方法：數(shù)字信號(hào)處理：信號(hào)用數(shù)字序列來(lái)表示，利用數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)對(duì)數(shù)字序列進(jìn)行處理，可在專(zhuān)用的數(shù)字信號(hào)處理儀上進(jìn)行，也可在通用計(jì)算機(jī)上或DSP芯片上通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，具有精度高、速度快、工作穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。DSP系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)應(yīng)用軟件實(shí)現(xiàn)法靈活方便速度慢教學(xué)科研硬件實(shí)現(xiàn)法速度快不靈活DSP芯片法靈活方便速度快應(yīng)用廣泛6信號(hào)數(shù)字化處理的目的1、模擬轉(zhuǎn)換成數(shù)字，復(fù)雜的信號(hào)處理、分析方法易于實(shí)現(xiàn)2、易于計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)處理芯片的處理3、易于實(shí)現(xiàn)集成化、智能化4、易于提高信號(hào)處理的速度、精度、穩(wěn)定性、抗干擾性信號(hào)數(shù)字化分析的步驟數(shù)字信號(hào)處理器或計(jì)算機(jī)信號(hào)預(yù)處理A/D轉(zhuǎn)換輸出顯示D/A轉(zhuǎn)換控制裝置信號(hào)預(yù)處理A/D轉(zhuǎn)換第二節(jié)模數(shù)轉(zhuǎn)換原理與采樣定理一、模數(shù)轉(zhuǎn)換原理二、A/D轉(zhuǎn)換器的主要技術(shù)指標(biāo)1、分辯率(Resolution)

指數(shù)字量變化一個(gè)最小量時(shí)模擬信號(hào)的變化量，定義為滿(mǎn)刻度與2n的比值。通常以數(shù)字信號(hào)的位數(shù)來(lái)表示。2、轉(zhuǎn)換速率(ConversionRate)是指完成一次從模擬轉(zhuǎn)換到數(shù)字的A/D轉(zhuǎn)換所需的時(shí)間的倒數(shù)。

二、A/D轉(zhuǎn)換器的主要技術(shù)指標(biāo)3、采樣時(shí)間：是指兩次轉(zhuǎn)換的間隔。為了保證轉(zhuǎn)換的正確完成，采樣速率必須小于或等于轉(zhuǎn)換速率。因此有人習(xí)慣上將轉(zhuǎn)換速率在數(shù)值上等同于采樣速率也是可以接受的。三、采樣定理周期延拓1、時(shí)域采樣定理頻譜混疊采樣定理

為保證采樣后信號(hào)能真實(shí)地保留原始模擬信號(hào)信息，信號(hào)采樣頻率必須至少為原信號(hào)中最高頻率成分的2倍。這是采樣的基本法則，稱(chēng)為采樣定理。fs

＞2fmax

2fmax稱(chēng)為奈奎斯特（Nyquist）頻率

需注意，滿(mǎn)足采樣定理，只保證不發(fā)生頻率混疊，而不能保證此時(shí)的采樣信號(hào)能真實(shí)地反映原信號(hào)x(t)。工程實(shí)際中采樣頻率通常大于信號(hào)中最高頻率成分的3到5倍。2、頻域采樣定理相乘×卷積x(t)t……t-Ts0Tsf2fs-fs0fs2fst……-Ts0Ts……f-2fs

-fs0fs2fs(1)f×一個(gè)持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)x(t)

的頻譜X(f)

，可用均勻抽樣間隔fs1/(2tm)

的抽樣值X(nfs)唯一確定。滿(mǎn)足頻域采樣定理，可得到x(t)在時(shí)域中重復(fù)形成周期信號(hào)xs(t)

，不會(huì)產(chǎn)生混疊。若從xs(t)

恢復(fù)x(t),可用一個(gè)矩形脈沖作為選通信號(hào)，選出單個(gè)脈沖就可無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)。

說(shuō)明：

1)x(t)為持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)，即:|t|>tm時(shí),x(t)=02)抽樣間隔:3、頻譜混疊現(xiàn)象的預(yù)防

(1)提高采樣頻率(2)抗混疊濾波4、采樣長(zhǎng)度與采樣頻率①采樣長(zhǎng)度T是指能夠分析到信號(hào)中的最低頻率所需要的時(shí)間紀(jì)錄長(zhǎng)度;②最高分析頻率fm

：指需要分析的最高頻率，也是經(jīng)過(guò)抗混濾波后的信號(hào)最高頻率;

③據(jù)采樣定理，工程上采樣頻率fs=2.56·fm④時(shí)域的采樣點(diǎn)數(shù)為N

，頻域的譜線數(shù)為M

，頻率分辨率（即頻率間隔）：Δf=1/

T=1/(NTs)=fs/

NΔf=fm/

M⑤fm/

M=fs/

N=>N=M·

(fs/fm)=2.56M

N=2.56fm/Δf例如：機(jī)器轉(zhuǎn)速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障頻率估計(jì)在8倍頻以下，要求譜圖上頻率分辨率Δf=1Hz,則采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)置為：

最高分析頻率fm=8·50Hz=400Hz;

采樣頻率fs=2.56·fm=2.56·400Hz=1024Hz;

采樣點(diǎn)數(shù)N=2.56·（fm/Δf）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024=210

譜線數(shù)M=N/2.56=1024/2.56=400條

按照FFT變換，實(shí)際上得到的也是1024點(diǎn)的譜線，但是數(shù)學(xué)計(jì)算上存在負(fù)頻率，是對(duì)稱(chēng)的，因此，實(shí)際上關(guān)注的是正頻率部分對(duì)應(yīng)的譜線，也就是說(shuō)正頻率有512線，為什么通常又說(shuō)這種情況下是400線呢，就是因?yàn)橥ǔＧ闆r下由于頻率混疊和時(shí)域截?cái)嗟挠绊?，通常認(rèn)為401線到512線的頻譜精度不高而不予考慮。

采樣長(zhǎng)度T的選擇:

1、保證能反映信號(hào)的全貌。對(duì)瞬態(tài)信號(hào)應(yīng)包括整個(gè)瞬態(tài)過(guò)程；對(duì)周期信號(hào)，理論上采集一個(gè)周期信號(hào)就可以了

2、需考慮頻率分辯率，采樣長(zhǎng)度T在最大分析頻率fm確定的情況下與頻率分辯率△f是反比關(guān)系，也就是T越長(zhǎng)△f越小即頻率分辯率越高。

信號(hào)分析中常用的采樣點(diǎn)數(shù)是512、1024、2048、4096等。等效于常說(shuō)的200、400、800、1600線等頻譜線數(shù)。

△f＝fm/M,可見(jiàn)譜線數(shù)M越大頻率分辯率△f越小即頻率分辯率越高。信號(hào)分析中常用的采樣點(diǎn)數(shù)是512、1024、2048、4096等。等效于常說(shuō)的200、400、800、1600線等頻譜線數(shù)?！鱢＝fm/M,可見(jiàn)譜線數(shù)M越大頻率分辯率△f越小即頻率分辯率越高。第三節(jié)時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)28

常用的典型序列291、單位采樣序列

2、單位階躍序列

3、矩形序列

4、實(shí)指數(shù)序列

5、正弦序列1、單位采樣序列302、單位階躍序列312、單位階躍序列32有n或k均表示序列，其余字母一般表示一個(gè)數(shù)信號(hào)相加（乘）是指對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)相加（乘）數(shù)相加信號(hào)相加3、矩形序列334、實(shí)指數(shù)序列34

5、正弦序列35模擬正弦信號(hào)：數(shù)字域頻率是模擬角頻率對(duì)采樣頻率的歸一化頻率重要??！序列的尺度變換如果序列為x(n),則x(m*n)是x(n)序列每隔m點(diǎn)取一個(gè)點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸n壓縮了m倍。當(dāng)m=2時(shí)，其波形如圖：36序列的單位脈沖序列表示

37時(shí)域離散系統(tǒng)線性系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿(mǎn)足線性疊加原理的系統(tǒng)。例：下面兩個(gè)系統(tǒng)是不是線性時(shí)不變系統(tǒng)？38線性時(shí)不變系統(tǒng)及其輸入與輸出之間的關(guān)系卷積：39卷積計(jì)算圖解法40卷積計(jì)算圖解法x(m)1111h(m)1111h(-m)1111y(0)=1h(1-m)1111y(1)=2h(2-m)1111y(2)=3h(3-m)1111y(3)=4h(4-m)1111y(4)=3h(5-m)1111y(5)=2h(6-m)1111y(6)=14142解析法求卷積例：已知x(n)和h(n)分別為：和試求x(n)和h(n)的線性卷積。解

：

參看下圖，分段考慮如下：(1)對(duì)于n<0：(2)對(duì)于0≤n≤4：(3)對(duì)于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6時(shí)：(4)對(duì)于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10時(shí)：(5)對(duì)于(n-6)>4，即n>10時(shí)：4344綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析模擬信號(hào)時(shí)域離散信號(hào)時(shí)域微分方程差分方程頻域付氏變換

S變換付氏變換

Z變換45第四節(jié)離散傅里葉變換和

快速傅里葉變換46時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換序列付氏變換的定義:付氏逆變換的定義：47時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換的性質(zhì)周期性：以2π為周期在ω=0,±2π…點(diǎn)上表示x[n]信號(hào)的直流分量離開(kāi)這些點(diǎn)愈遠(yuǎn)，其頻率愈高，最高頻率在ω=π處。48時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換的性質(zhì)線性：49時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換的性質(zhì)時(shí)移與頻移性質(zhì)：50時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換的性質(zhì)頻域卷積定理：若51

時(shí)域離散信號(hào)的付氏變換的性質(zhì)Parseval定理：帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。

52

離散傅里葉變換（DFT）為什么要用DFT?由于數(shù)字信號(hào)處理器只能處理離散信號(hào)，所以我們需要繼續(xù)將離散時(shí)間序列進(jìn)行頻域離散化（即就是要找到依賴(lài)于離散時(shí)間變量到依賴(lài)于離散頻率變量之間的一種映射關(guān)系）—這就是DFT的作用53

離散傅里葉變換（DFT）離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform)之所以更為重要，是因?yàn)槠鋵?shí)質(zhì)是有限長(zhǎng)序列傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣，從而實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域采用數(shù)值運(yùn)算的方法進(jìn)行。54

離散傅里葉變換（DFT）傅立葉變換的幾種形式55

56離散傅里葉變換（DFT）離散傅里葉變換（DFT）57離散傅里葉變換（DFT）58離散傅里葉變換（DFT）59離散傅里葉變換（DFT）四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(Ω0=2π/T0)離散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和連續(xù)離散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和離散(Ω0=2π/T0)60離散傅里葉變換（DFT）小結(jié)：時(shí)域離散化，頻域周期化時(shí)域周期化，頻域離散化數(shù)字信號(hào)處理器只能處理離散的信號(hào)－DFT正是離散信號(hào)61離散傅里葉變換（DFT）DFT的定義：設(shè)x[n]是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則定義x[n]的N點(diǎn)離散傅里葉變換為（通常N>=M）62離散傅里葉變換（DFT）注意：63離散傅里葉變換（DFT）64離散傅里葉變換（DFT）DFT與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系65離散傅里葉變換（DFT）DFT與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系66離散傅里葉變換（DFT）DFT與傅里葉變換和Z變換的關(guān)系67離散傅里葉變換（DFT）DFT的隱含周期性：x[n]與X(k)的周期均為N68離散傅里葉變換（DFT）任何周期為N的周期序列都可以看作長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x[n]的周期延拓。69離散傅里葉變換（DFT）是x[n]的周期延拓x[n]是的主值序列70離散傅里葉變換（DFT）有限長(zhǎng)序列x[n]的N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)正好是x[n]的周期延拓序列x((n))N的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列。71離散傅里葉變換（DFT）小結(jié)和連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)類(lèi)似，周期序列可用離散Fourier級(jí)數(shù)來(lái)表示；對(duì)周期序列，只要知道它的一個(gè)周期的內(nèi)容就可以完全確定這個(gè)序列，也就是說(shuō)只有一個(gè)周期承載信息，其它周期的值都是冗余的；點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列和周期為N的周期序列，都是由N個(gè)值來(lái)定義。與有限長(zhǎng)序列的DFT變換對(duì)相比，不難發(fā)現(xiàn)，周期序列和有限長(zhǎng)序列本質(zhì)上是一樣的；有限長(zhǎng)序列及其DFT可以分別看作周期序列及其DFS的主值序列，因此，一定要注意有限長(zhǎng)序列的隱含周期性。（這個(gè)隱含周期性主要對(duì)有限長(zhǎng)序列的移位運(yùn)算產(chǎn)生較大影響，進(jìn)而使得對(duì)有限長(zhǎng)序列只能計(jì)算圓周卷積）72快速傅里葉變換FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley,Tukey《機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法》73直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x[n]盡管物理意義不同，但這兩式都是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的計(jì)算74直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑運(yùn)算量復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)X(k)NN-1N個(gè)X(k)N*NN(N-1)75實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個(gè)X(k)4N2N+2(N-1)=2(2N-1)N個(gè)X(k)4N*N2N(2N-1)直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑的特性76直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑FFT的基本思想：利用DFT的系數(shù)的特性，合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)，把長(zhǎng)序列DFT→短序列DFT，從而減少其運(yùn)算量。FFT算法分類(lèi)：時(shí)間抽選法DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法DIF:Decimation-In-Frequency77按時(shí)間抽選的基-2FFT算法算法原理：設(shè)序列點(diǎn)數(shù)N=2L，L為整數(shù)。若不滿(mǎn)足，則補(bǔ)零N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱(chēng)基-2FFT算法。將序列x[n]按n的奇偶分成兩組：x[2r]=x1[r]x[2r+1]=x2[r] r=0,1,….,N/2-178按時(shí)間抽選的基-2FFT算法DFT:79按時(shí)間抽選的基-2FFT算法再利用周期性求X(k)的后半部分80按時(shí)間抽選的基-2FFT算法時(shí)間抽取法蝶形運(yùn)算流圖符號(hào)81按時(shí)間抽選的基-2FFT算法82直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑運(yùn)算量復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)X(k)NN-1N個(gè)X(k)N*NN(N-1)83實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個(gè)X(k)4N2N+2(N-1)=2(2N-1)N個(gè)X(k)4N*N2N(2N-1)按時(shí)間抽選的基-2FFT算法分解后的運(yùn)算量：運(yùn)算量減少近一半

復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)N/2點(diǎn)DFTN*N/4N/2(N/2-1)兩個(gè)N/2點(diǎn)DFTN*N/2N(N/2-1)一個(gè)蝶形12N/2個(gè)蝶形N/2N總計(jì)N*N/2+N/2≈N*N/2N(N/2-1)+N≈N*N/284按時(shí)間抽選的基-2FFT算法N/2仍為偶數(shù)，進(jìn)一步分解：N/2N/4同理：x2[n]也能分解85按時(shí)間抽選的基-2FFT算法86按時(shí)間抽選的基-2FFT算法逐級(jí)分解，直到2點(diǎn)DFT當(dāng)N=8時(shí)，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,187按時(shí)間抽選的基-2FFT算法88按時(shí)間抽選的基-2FFT算法DIT-FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量比較：當(dāng)N=2L時(shí)，共有L級(jí)蝶形，每級(jí)N/2個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形有1次復(fù)數(shù)乘法2次復(fù)數(shù)加法。復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：比較DFT:89按時(shí)間抽選的基-2FFT算法——算法特點(diǎn)原位計(jì)算：計(jì)算完一個(gè)蝶形后，所得輸出數(shù)據(jù)可立即存入原輸入數(shù)據(jù)所占用的存儲(chǔ)單元。這種利用同一個(gè)存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)蝶形計(jì)算輸入、輸出數(shù)據(jù)的方法稱(chēng)為原位計(jì)算。采用原位計(jì)算，存儲(chǔ)數(shù)據(jù)僅需N個(gè)存儲(chǔ)單元，下一級(jí)的運(yùn)算仍采用這種原位方式，只是進(jìn)入蝶形結(jié)的組合關(guān)系有所不同。節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本。90按時(shí)間抽選的基-2FFT算法—算法特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律：N點(diǎn)DIT-FFT運(yùn)算流圖中，每級(jí)都有N/2個(gè)蝶形。每個(gè)蝶形都要乘以因子WNp，這被稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子，p稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。第L級(jí)共有2L-1個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)因子。對(duì)N=2M的一般情況，第L級(jí)的旋轉(zhuǎn)因子為：91按時(shí)間抽選的基-2FFT算法92按時(shí)間抽選的基-2FFT算法—算法特點(diǎn)倒位序:n0n1n2倒位序自然序00000000000110041001100102201011106301110000114100110155101100113611011117711193按時(shí)間抽選的基-2FFT算法——算法特點(diǎn)蝶形運(yùn)算:對(duì)N=2L點(diǎn)FFT，輸入倒位序，輸出自然序第m級(jí)運(yùn)算每個(gè)蝶形的兩節(jié)點(diǎn)距離為2m-1第m級(jí)運(yùn)算：94按時(shí)間抽選的基-2FFT算法—算法特點(diǎn)的確定：蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為k值，表示成L位二進(jìn)制，左移L-m位，把右邊空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為r的二進(jìn)制數(shù)。95按時(shí)間抽選的基-2FFT算法——算法特點(diǎn)存儲(chǔ)單元：輸入序列x(n)：N個(gè)存儲(chǔ)單元系數(shù)：N/2個(gè)存儲(chǔ)單元96按頻率抽選的基-2FFT算法算法原理：設(shè)序列點(diǎn)數(shù)N=2L，L為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將序列x[n]按n的順序分成前后兩半：97按頻率抽選的基-2FFT算法98按頻率抽選的基-2FFT算法按k的奇偶將X(k)分成兩部分：99按頻率抽選的基-2FFT算法令：則X(2r)和X(2r+1)分別是x1(n)和x2(n)的N/2點(diǎn)DFT，記為X1(k)和X2(k)100按頻率抽選的基-2FFT算法101按頻率抽選的基-2FFT算法102按頻率抽選的基-2FFT算法逐級(jí)分解，直到2點(diǎn)DFT103按頻率抽選的基-2FFT算法—算法特點(diǎn)原位計(jì)算：L級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)N/2個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)：m表示第m級(jí)迭代，k,j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)104按頻率抽選的基-2FFT算法——算法特點(diǎn)蝶形運(yùn)算：對(duì)N=2L點(diǎn)FFT,輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點(diǎn)距離：2L-m=N/2m105基-2FFT算法DIT和DIF的異同：分解方式不同

DIT：x(n)奇偶分組

DIF：x(n)前后分組后，X(k)奇偶分組106基-2FFT算法DIT和DIF的異同：運(yùn)算量相同，結(jié)果等效都可進(jìn)行原位計(jì)算，設(shè)備量相當(dāng)；都需要變址運(yùn)算（DIT對(duì)輸入，DIF對(duì)輸出進(jìn)行）；算法可以互相置換；輸入與輸出互為倒序；107基-2FFT算法DIT和DIF的異同：DIT：先乘后加DIF：先加后乘108基-2FFT算法IDFT的高效算法：旋轉(zhuǎn)因子的共軛109基-2FFT算法IDFT的高效算法：先將X(k)取復(fù)共軛，然后直接調(diào)用FFT子程序，或者送入FFT專(zhuān)用硬件設(shè)備進(jìn)行DFT運(yùn)算，最后取復(fù)共軛并乘以1/N得到序列x(n)110第五節(jié)序列的Z變換111序列的Z變換序列雙邊Z變換的定義:序列單邊Z變換的定義：112序列的Z變換收斂域：113序列的Z變換收斂域：P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)，在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。114序列的Z變換Z變換與付氏變換的關(guān)系：115序列的Z變換零極點(diǎn)圖：116序列的Z變換求x[n]=u[n]的Z變換并畫(huà)出零極點(diǎn)圖117序列對(duì)收斂域的影響有限長(zhǎng)序列：一般情況下，收斂域?yàn)?<|z|<∞，其中0和∞需要特殊考慮。求x[n]=RN[n]的Z變換。118序列對(duì)收斂域的影響右序列：一般情況下，收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞，其中∞需要特殊考慮。求x[n]=anu[n]的Z變換。119序列對(duì)收斂域的影響左序列：一般情況下，收斂域?yàn)?<|z|<Rx+

，其中0需要特殊考慮。求x[n]=-anu[-n-1]的Z變換。120序列對(duì)收斂域的影響雙邊序列：一般情況下，收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+

，如無(wú)交集則無(wú)收斂域，即Z變換不存在。求x[n]=a|n|的Z變換。121序列對(duì)收斂域的影響結(jié)論：收斂域中無(wú)極點(diǎn)，收斂域一般以極點(diǎn)為邊界；有限長(zhǎng)序列Z變換的收斂域是整個(gè)z平面，特殊點(diǎn)z=0,∞另外考慮；右邊序列Z變換的收斂域是在某個(gè)圓的圓外，特殊點(diǎn)z=0,∞另外考慮；左邊序列Z變換的收斂域是在某個(gè)圓的圓內(nèi)，特殊點(diǎn)z=0,∞另外考慮；雙邊序列Z變換的收斂域是環(huán)狀域，特殊點(diǎn)z=0,∞另外考慮；特殊點(diǎn)的考慮：序列x(n)的n值全部取正整數(shù)，收斂域包含z=∞點(diǎn)；序列x(n)的n值全部取負(fù)整數(shù)，收斂域包含z=0點(diǎn)；而n的取值既有正整數(shù)又有負(fù)整數(shù)時(shí)，收斂域不包含z=0,∞兩點(diǎn)；122逆Z變換留數(shù)法長(zhǎng)除法部分分式展開(kāi)法123逆Z變換長(zhǎng)除法：不易得到解析解124逆Z變換部分分式展開(kāi)法：求思考收斂域不同時(shí)再求解125第六節(jié)數(shù)字濾波器126數(shù)字濾波器的基本概念指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。127數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的概念與模擬的相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)方式不同。數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：精度高穩(wěn)定，適于批量生產(chǎn)體積小重量輕靈活不要求阻抗匹配可實(shí)現(xiàn)特殊的濾波功能128數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的分類(lèi)：經(jīng)典濾波器輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻率，通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器即可達(dá)到濾波的目的?，F(xiàn)代濾波器信號(hào)與干擾的頻帶相互重疊，則需要按照隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳的提取信號(hào)。本課程只介紹經(jīng)典濾波器129數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的分類(lèi)（從濾波特性上）：130數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的分類(lèi)（從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上）：IIR濾波器FIR濾波器131數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況。相頻特性：反映各個(gè)頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求；但如對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)。理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近。132數(shù)字濾波器的基本概念ωp:通帶截止頻率ωs:阻帶截止頻率δp:通帶波紋（通帶容限）δs:阻帶波紋（阻帶容限）αp:通帶容許的最大衰減αs:阻帶容許的最小衰減133數(shù)字濾波器的基本概念通帶：|ω|≤ωp，要求1-δp≤|H(ejω)|≤1阻帶：ωs≤|ω|≤π,要求|H(ejω)|≤δs過(guò)渡帶：ωp≤|ω|≤ωs134數(shù)字濾波器的基本概念濾波器頻率響應(yīng)的特征參量幅度平方響應(yīng)135數(shù)字濾波器的基本概念濾波器頻率響應(yīng)的特征參量相位響應(yīng)136數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：常系數(shù)線性差分方程：137數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法實(shí)現(xiàn)濾波器需要考慮的幾個(gè)問(wèn)題：軟件或硬件數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)的有限字長(zhǎng)效應(yīng)采用合適的結(jié)構(gòu)，使濾波器在有限字長(zhǎng)的情況下能提供較好的性能同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有多個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與其對(duì)應(yīng)。不同的算法直接影響系統(tǒng)運(yùn)算誤差、運(yùn)算速度以及系統(tǒng)的復(fù)雜程度和成本等。必須研究實(shí)現(xiàn)信號(hào)處理的算法好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實(shí)現(xiàn)138數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法基本運(yùn)算單元：?jiǎn)挝谎訒r(shí)常數(shù)乘法器加法器139數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法例：二階數(shù)字濾波器 y[n]=a1y[n-1]+a2y[n-2]+b0x[n]的方框圖結(jié)構(gòu)和信號(hào)流圖。140數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法信號(hào)流圖是由連接節(jié)點(diǎn)的一些有方向性的支路構(gòu)成。和每個(gè)節(jié)點(diǎn)連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點(diǎn)變量等于所有輸入支路的輸出之和。141數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 FIR：有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) IIR：無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)FIR（FiniteImpulseResponse）–不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路；差分方程：–單位脈沖響應(yīng)h(n)為有限長(zhǎng)的；IIR（InfiniteImpulseResponse）–存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，即信號(hào)流圖中存在環(huán)路；–單位脈沖響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的142IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)濾波器的基本特點(diǎn)：系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)無(wú)限長(zhǎng)；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點(diǎn)存在；存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結(jié)構(gòu)；143IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型：（二階）144IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型：（N階）145FIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)濾波器的基本特點(diǎn)：系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)有限個(gè)n值處不為零；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點(diǎn)；即在有限z平面只有零點(diǎn)，而全部極點(diǎn)都在z=0處（因果系統(tǒng)）；（WHY?）不存在輸出到輸入的反饋，結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸型結(jié)構(gòu)；146FIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型：147無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的基本概念模擬濾波器的設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器148無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)基本要求理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程149模擬濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能要求用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近此性能指標(biāo)利用有限精度算法來(lái)實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，選擇合適的字長(zhǎng)及有效數(shù)字的處理方法實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)：硬件法、軟件法、DSP芯片法150模擬濾波器的設(shè)計(jì)濾波器類(lèi)型的選擇FIR濾波器可以設(shè)計(jì)為線性相位，并且總是穩(wěn)定的在多數(shù)情況下，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)顯著大于具有等效幅度響應(yīng)的IIR濾波器階數(shù)。IIR濾波器通常計(jì)算更簡(jiǎn)便在很多應(yīng)用中，并不要求濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，在這些情況下，通常會(huì)因計(jì)算簡(jiǎn)便而選擇IIR濾波器。151模擬濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述IIR濾波器：用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)取逼近給定的性能要求。即求濾波器的各個(gè)系數(shù)ak、bk。152模擬濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述FIR濾波器：FIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于對(duì)指定幅度響應(yīng)的直接逼近，通常還需要加上線性相位的條件限制。一個(gè)N+1階的FIR濾波器可以通過(guò)利用脈沖響應(yīng)序列或頻率響應(yīng)的N+1個(gè)采樣點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)。常用的方法：窗函數(shù)法頻率采樣法切比雪夫等波紋逼近法153模擬濾波器的設(shè)計(jì)將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器通?？偸窍仍O(shè)計(jì)低通濾波器，再通過(guò)頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類(lèi)型的濾波器典型的模擬濾波器：巴特沃斯濾波器（Butterworth）切比雪夫?yàn)V波器（Chebyshev）橢圓濾波器（Ellipse）貝塞爾濾波器（Bessel）154模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬低通的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法Ωp:通帶截止頻率Ωs:阻帶截止頻率αp:通帶容許的最大衰減αs:阻帶容許的最小衰減155模擬濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)思路：Ωp、Ωs、αp、αs|H(jΩ)|2H(s)156模擬濾波器的設(shè)計(jì)由幅度平方函數(shù)|H(jΩ)|2確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)由于任何可實(shí)現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)一定落在s的左半平面：即左半平面的極點(diǎn)一定屬于H(s)，右半平面的極點(diǎn)必屬于H(-s)。157模擬濾波器的設(shè)計(jì)由幅度平方函數(shù)|H(jΩ)|2確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)已知幅度平方函數(shù)：求系統(tǒng)函數(shù)H(s)158模擬濾波器的設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器的設(shè)計(jì)幅度平方函數(shù)：N：濾波器的階數(shù)Ωc：通帶截止頻率159模擬濾波器的設(shè)計(jì)Ω=0時(shí)，無(wú)衰減Ω=Ωc時(shí)，|H(jΩ)|2=1/2，有通帶最大衰減，3db。即不管N為多少，所有的特性曲線都通過(guò)-3db點(diǎn)，3db不變性。在Ω<Ωc的通帶內(nèi)|H(jΩ)|2有最大平坦的幅度特性：隨著Ω由0變到Ωc，|H(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，減小得越慢，通帶內(nèi)特性越平坦。在Ω>Ωc的過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)，|H(jΩ)|2隨著Ω迅速單調(diào)減小，N越大，衰減速度越大。當(dāng)Ω=Ωs阻帶截止頻率時(shí)，衰減為阻帶最小衰減。160模擬濾波器的設(shè)計(jì)Butterworth濾波器零極點(diǎn)分布極點(diǎn)：161模擬濾波器的設(shè)計(jì)極點(diǎn)在S平面是象限對(duì)稱(chēng)的，分布在半徑為Ωc的圓（Butterworth圓）上，共2N個(gè)極點(diǎn)極點(diǎn)間的角度間隔為π/Nrad極點(diǎn)絕不會(huì)落在虛軸上，因而濾波器才有可能是穩(wěn)定的N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒(méi)有極點(diǎn)。162模擬濾波器的設(shè)計(jì)導(dǎo)出三階Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)163模擬濾波器的設(shè)計(jì)歸一化的Butterworth濾波器原型極點(diǎn)：歸一化極點(diǎn)：164模擬濾波器的設(shè)計(jì)濾波器階數(shù)N的確定：階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度，由技術(shù)指標(biāo)Ωp、Ωs、αp、αs確定。165模擬濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器的步驟：由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定濾波器的階數(shù)N求歸一化系統(tǒng)函數(shù)H(p)去歸一化，得到濾波器傳輸函數(shù)p=s/Ωc166模擬濾波器的設(shè)計(jì)已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2db，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30db，設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器。167模擬濾波器的設(shè)計(jì)已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2db，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30db，設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;[Nwc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[BA]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel('頻率(kHz)');ylabel('幅度(dB）');axis([0,14,-40,5]);168模擬濾波器的設(shè)計(jì)損耗函數(shù)（P154）169模擬濾波器的設(shè)計(jì)Chebyshev濾波器的設(shè)計(jì)方法ChebyshevI型：通帶